2014-2017高考真題-第十三章-計(jì)數(shù)原理

1、1第十三章計(jì)數(shù)原理考點(diǎn)1排列與組合1. （2017?新課標(biāo)n ,6 ）安排3名志愿者完成4項(xiàng)工作，每人至少完成 1項(xiàng)，每項(xiàng)工作由 人完成，則不同的安排方式共有（）D.36 種A.12 種 B.18 種C.24 種1.D 4項(xiàng)工作分成3組，可得：=6,安排3名志愿者完成4項(xiàng)工作，每人至少完成 項(xiàng)，每項(xiàng)工作由1人完成，可得：6X =36種.故選D.2.（2016全國(guó)n, 5）如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到 F處與小紅會(huì)合，再一起到位于處的老年公寓參加志愿者活動(dòng)，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為E點(diǎn)到A.24B.18C.12D.9 2.B 從E點(diǎn)到F點(diǎn)的最短路徑有 6種，從F點(diǎn)到G點(diǎn)的最短

2、路徑有3種，所以從G點(diǎn)的最短路徑為 6 X3 = 18種，故選B.3.（2016全國(guó)叭 12）定義 規(guī)范01數(shù)列” an如下：an共有2m項(xiàng)，其中m項(xiàng)為0,m項(xiàng)為1,且對(duì)任意kW2, a1, a2,，ak中0的個(gè)數(shù)不少于1的個(gè)數(shù).若m= 4,則不同的規(guī)范01數(shù)列”共有（）A. 18 個(gè) B.16 個(gè) C.14 個(gè) D.12 個(gè)3.C第一位為0,最后一位為1，中間3個(gè)0, 3個(gè)1，三個(gè)1在一起時(shí)為000111, 001110; 只有2個(gè)1相鄰時(shí)，共A2種，其中110100； 110010； 110001 , 101100不符合題意，三個(gè)1 都不在一起時(shí)有 C3種，共2+ 8 + 4= 14.4.

3、（2016四川，4）用數(shù)字1, 2, 3, 4, 5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A.24B.48C.60D.724.D由題可知，五位數(shù)要為奇數(shù)，則個(gè)位數(shù)只能是1, 3, 5 ;分為兩步：先從1 , 3, 5三個(gè)數(shù)中選一個(gè)作為個(gè)位數(shù)有C1,再將剩下的4個(gè)數(shù)字排列得到 a4,則滿足條件的五位數(shù)有C3 a4= 72.選 D. 5.（2016北京，8）袋中裝有偶數(shù)個(gè)球，其中紅球、黑球各占一半 .甲、乙、丙是三個(gè)空盒，每 次從袋中任意取出兩個(gè)球， 將其中一個(gè)球放入甲盒， 如果這個(gè)球是紅球， 就將另一個(gè)球放入乙盒,否則就放入丙盒 .重復(fù)上述過(guò)程,直到袋中所有球都被放入盒中,則（）A.乙盒

4、中黑球不多于丙盒中黑球B. 乙盒中紅球與丙盒中黑球一樣多C. 乙盒中紅球不多于丙盒中紅球D. 乙盒中黑球與丙盒中紅球一樣多5.B取兩個(gè)球往盒子中放有黑+黑，則丙盒中黑球數(shù)加4種情況：紅+紅，則乙盒中紅球數(shù)加1個(gè)；1個(gè)；紅+黑（紅球放入甲盒中），則乙盒中黑球數(shù)加 1個(gè);黑+紅（黑球放入甲盒中），則丙盒中紅球數(shù)加 1個(gè)；因?yàn)榧t球和黑球個(gè)數(shù)一樣,所以和的情況一樣多.和的情況隨機(jī)，和對(duì)B選項(xiàng)中的乙盒中的紅球與丙盒中的黑球數(shù)沒(méi)有任何影響，和出現(xiàn)的次數(shù)是一樣的，所以對(duì)B 選項(xiàng)中的乙盒中的紅球與丙盒中的黑球數(shù)的影響次數(shù)一樣 .綜上選 B.6.（2015四川，6）用數(shù)字0,1,234,5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位

5、數(shù)，其中比40 000大的偶數(shù)共有（）A.144 個(gè) B.120 個(gè) C.96 個(gè) D.72 個(gè)6.B 由題意，首位數(shù)字只能是 4,5,若萬(wàn)位是5,則有3朋3= 72個(gè)；若萬(wàn)位是4,則有2>a4個(gè)=48 個(gè)，故 40 000 大的偶數(shù)共有 7248= 120 個(gè).選 B.7.（2014大綱全國(guó)，5）有6名男醫(yī)生、5名女醫(yī)生，從中選出 2名男醫(yī)生、1名女醫(yī)生組成一個(gè)醫(yī)療小組,則不同的選法共有 （）A.60 種 B.70 種 C.75 種 D.150 種7.C從中選出 2 名男醫(yī)生的選法有C6= 15種，從中選出1名女醫(yī)生的選法有 C1= 5種,所以不同的選法共有 15X5= 75種,故選

6、C.8.（2014遼寧，6）6把椅子擺成一排,3 人隨機(jī)就座,任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為 （）A.144B.120C.72D.248. D3 人中每?jī)扇酥g恰有一個(gè)空座位, 有 A33X2= 12 種坐法, 3人中某兩人之間有兩個(gè)空座位,有 A 33XA22 = 1 2 種坐法,所以共有 1212=24 種坐法 .9. （2014四川，6）六個(gè)人從左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有 （）A.192 種 B.216 種 C.240 種 D.288 種9. B 當(dāng)最左端排甲時(shí)，不同的排法共有a5種；當(dāng)最左端排乙時(shí)，甲只能排在中間四個(gè)位置之一,則不同的排法共有C14

7、A 44種.故不同的排法共有 A55C14A44=9X24=216 種.10. （2014重慶，9）某次聯(lián)歡會(huì)要安排 3個(gè)歌舞類節(jié)目、2個(gè)小品類節(jié)目和1個(gè)相聲類節(jié)目的 演出順序,則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是 （）A.72B.120C.144D.16810. B 依題意，先僅考慮 3個(gè)歌舞類節(jié)目互不相鄰的排法種數(shù)為a3a4= 144,其中3個(gè)歌舞類節(jié)目互不相鄰但 2個(gè)小品類節(jié)目相鄰的排法種數(shù)為A2a2a3 = 24,因此滿足題意的排法 種數(shù)為 144 24= 120,選 B.60。的共11. （2014安徽，8）從正方體六個(gè)面的對(duì)角線中任取兩條作為一對(duì)，其中所成的角為有（）A.24 對(duì) B.30

8、 對(duì) C.48 對(duì) D.60 對(duì)11. C 法一 直接法：如圖，在上底面中選 B1D1,四個(gè)側(cè)面中的面對(duì)角線都與它成 60 ° 共8對(duì)，同樣A1C1對(duì)應(yīng)的也有8對(duì)，下底面也有16對(duì)，這共有32對(duì)；左右側(cè)面與前后側(cè) 面中共有16對(duì).所以全部共有48對(duì).AlAa法二 間接法：正方體的12條面對(duì)角線中，任意兩條垂直、平行或成角為60°所以成角 為 60° 的共有 C?2 12 6 = 48 對(duì).12.（2014福建，10）用a代表紅球，b代表藍(lán)球，C代表黑球.由加法原理及乘法原理，從1個(gè)紅球和1個(gè)藍(lán)球中取出若干個(gè)球的所有取法可由（1+ a）（1 + b）的展開式1 +

9、a +b+ ab表示出來(lái)，如：“ 1表示一個(gè)球都不取、a ”表示取出一個(gè)紅球、而 ab ”則表示把紅球和藍(lán)球都取 出來(lái).依此類推，下列各式中，其展開式可用來(lái)表示從 5個(gè)無(wú)區(qū)別的紅球、5個(gè)無(wú)區(qū)別的藍(lán)球、5個(gè)有區(qū)別的黑球中取出若干個(gè)球，且所有的藍(lán)球都取出或都不取出的所有取法的是( )A.(1 + a+a2+a3 + a4+ a5)(1 + b5)(1 + c)5 B.(1 + a5)(1 + b + b2+ b3+ b4 + b5)(1 + c)5C.(1 + a)5(1 + b+ b2+b3+ b4 + b5)(1 + c5)D.(1 + a5)(1 + b)5(1 + c+c2+c3+ c4

10、+ c5)12. A 分三步：第一步,5個(gè)無(wú)區(qū)別的紅球可能取出 0個(gè),1個(gè),5個(gè)，則有(1 + a+a2+a3+ a4 + a5)種不同的取法；第二步，5個(gè)無(wú)區(qū)別的藍(lán)球都取出或都不取出，則有(1 + b5)種不同取法； 第三步，5個(gè)有區(qū)別的黑球看作 5個(gè)不同色，從5個(gè)不同色的黑球中任取 0個(gè)，1個(gè)，5個(gè)，有（1 + C）5種不同的取法，所以所求的取法種數(shù)為（1 + a+ a2+ a3+ a4+ a5）（1 + b5）（1 + c）5, 故選A.13. (2014 廣東，8)設(shè)集合 A= ( X1, X2, X3, X4, X5)|xi 1,0,1 , i = 1,2,3,4,5，那么集合 A

11、中滿足條件“ 1嘆1)+ |X2| + |X3| + |X4| + |X5| < 的元素個(gè)數(shù)為()A.60B.90C.120D.13013. D易知 |X1|+ |X2|+ |X3|+ |X4汁 |X5|= 1 或 2 或 3,下面分三種情況討論.其一: X1|+ |X2|+ |X3|+兇汁X5|= 1，此時(shí)，從xi, X2, X3, X4, X5中任取一個(gè)讓其等于 1或1，其余等于0,于 是有C1C1= 10種情況；其二：|X1 汁 |X2|+|X3汁|X4|+ |X5|=2,此時(shí)，從 X1,X2,X3,X4,X5 中任取兩個(gè)讓其都等于 1 或都等于 1 或一個(gè)等于 1、另一個(gè)等于 1

12、,其余等于 0,于是有 2C25 + C5C2 = 40 種情況；其三：|X1 汁 |X2|+ |X3| + |X4汁 1X5= 3,此時(shí)，從 X1, X2, X3, X4, X5 中任取 三個(gè)讓其都等于 1 或都等于 1 或兩個(gè)等于 1 、另一個(gè)等于 1 或兩個(gè)等于 1 、另一個(gè)等于 1其余等于0,于是有2C5 + c5c3 + C3c3= 80種情況由于10+40+ 80= 130,故答案為D.14. （2017天津,14）用數(shù)字1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 , 8, 9組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字，且至多有一個(gè)數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)一共有 個(gè) （用數(shù)字作答）14.1 080 根據(jù)

13、題意,分 2 種情況討論： 、四位數(shù)中沒(méi)有一個(gè)偶數(shù)數(shù)字，即在1、3、5、7、9種任選4個(gè)，組成一共四位數(shù)即可，有 A54=120 種情況,即有 120 個(gè)沒(méi)有一個(gè)偶數(shù)數(shù)字四位數(shù)； 、四位數(shù)中只有一個(gè)偶數(shù)數(shù)字，在 1、 3、 5、 7、 9 種選出 3 個(gè),在 2、 4、 6、 8 中選出 1 個(gè),有 C53?C41 =40 種取法, 將取出的 4 個(gè)數(shù)字全排列,有 A44=24 種順序,則有40X 24=960個(gè)只有一個(gè)偶數(shù)數(shù)字的四位數(shù)； 則至多有一個(gè)數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)有 120+960=1080 個(gè)；故答案為： 108015. （2017?浙江,16）從 6 男 2 女共 8 名學(xué)生中選出隊(duì)

14、長(zhǎng) 1 人,副隊(duì)長(zhǎng) 1 人,普通隊(duì)員 2 人組成 4 人服務(wù)隊(duì),要求服務(wù)隊(duì)中至少有 1 名女生,共有 種不同的選法 （用數(shù)字作答）15. 660 第一類,先選 1 女 3 男,有 C63C21=40 種,這 4人選 2 人作為隊(duì)長(zhǎng)和副隊(duì)有 A42=12 種,故有 40X 12=480種,第二類,先選 2 女 2 男,有 C62C22= 1 5 種,這 4 人選 2 人作為隊(duì)長(zhǎng)和副隊(duì)有 A42=12 種,故有 15 X 12=180種,根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理共有 480+180=660 種,故答案為： 660么全班共寫了16. （2015廣東，12）某高三畢業(yè)班有40人，同學(xué)之間兩兩彼此給對(duì)方僅寫一條

15、畢業(yè)留言，那 條畢業(yè)留言（用數(shù)字作答）.16.1 560依題兩兩彼此給對(duì)方寫一條畢業(yè)留言相當(dāng)于從 40 人中任選兩人的排列數(shù),所以全班共寫了 A240= 40X39= 1 560 條畢業(yè)留言 .17. （2014北京，13）把5件不同產(chǎn)品擺成一排，若產(chǎn)品A與產(chǎn)品B相鄰，且產(chǎn)品A與產(chǎn)品C不相鄰,則不同的擺法有 種.A、 C 相鄰有 CAB、 BAC17.36 將A、B捆綁在一起，有a2種擺法，再將它們與其他3件產(chǎn)品全排列，有A4種擺法, 共有 A22A44= 48 種擺法,而 A、 B、 C 3 件在一起,且 A、 B 相鄰,A、B 相鄰, A、C 不相鄰兩種情況，將這3件與剩下2件全排列，有2

16、/3 = 12種擺法，故的擺法有48- 12 = 36種5 張無(wú)獎(jiǎng) 將這 8 張獎(jiǎng)券分18. （2014浙江，14）在8張獎(jiǎng)券中有一、二、三等獎(jiǎng)各1張，其余配給 4 個(gè)人,每人 2 張,不同的獲獎(jiǎng)情況有 種（用數(shù)字作答 ）.18.60 分情況：一種情況將有獎(jiǎng)的獎(jiǎng)券按2張、1張分給4個(gè)人中的2個(gè)人，種數(shù)為C3C1A2= 36;另一種將3張有獎(jiǎng)的獎(jiǎng)券分給 4個(gè)人中的3個(gè)人，種數(shù)為a4= 24,則獲獎(jiǎng)情況總 共有 36 + 24= 60（種）.考點(diǎn)2二項(xiàng)式定理及其應(yīng)用1. （2017?新課標(biāo)I ,6） （1+衛(wèi)）（1+X） 6展開式中X2的系數(shù)為（）A.15B.20C.30D.351.C (2x -

17、 y) 5 的展開式的通項(xiàng)公式：Tr+1= G (2x) 5-r (- y) r=25- r (- 1) r Gx5-ryr令 5-r=2, r=3，解得 r=3.令 5 - r=3, r=2，解得 r=2.A( x+y) (2x- y) 5 的展開式中的 x3y3系數(shù)=2“-廳況 G+23x1x C5=40.故選 C.2. (2017?新課標(biāo)川,4 )A.- 80 B.- 40(x+y) ( 2x- y) 5的展開式中的X3y3系數(shù)為 ()C.40D.802.C(1+) (1+X)6展開式中：若（1+工二）=（1+x2）提供常數(shù)項(xiàng)1，則（1+X）6提供含有X2的項(xiàng)，可得展開式中 X2的系數(shù)：

18、若（1+忑）提供X-2項(xiàng)，則（1+X） 6提供含有X4的項(xiàng)，可得展開式中 X2的系數(shù)：由（1+X）6通項(xiàng)公式可得 0|可知r=2時(shí)，可得展開式中X2的系數(shù)為 殘=5 .可知r=4時(shí)，可得展開式中X2的系數(shù)為（1+X）6展開式中X2的系數(shù)為：15+15=30 .故選C.3.（2016四川，2）設(shè)i為虛數(shù)單位，則（x+ i）6的展開式中含x4的項(xiàng)為（A.-15X4B.15X4C.-20ix4 D.20ix43. A 由題可知，含X4的項(xiàng)為C6x4i2= 15x4.選A.4.（2015新課標(biāo)全國(guó)I,10）（x2 + X+ y）5的展開式中，x5y2的系數(shù)為（A.10B.20C.30D.60=c5(x

19、2 + X)5 kyk,.k = 2. C5(x2 + x)3y2 的第 r + 1 項(xiàng)為 C2c3x2(3 兒2C5c3= 30.4.CTk+1 2(3 r)+ r = 5,解得 r = 1,a x5y2 的系數(shù)為xy，5.（2015湖南，6）已知 也-眾 5的展開式中含3X2的項(xiàng)的系數(shù)為30,則a=（）A.d3B. VaC.6 D. 65.DpyXJX '的展開式通項(xiàng) Tr +1 = C5x5f( 1)rarr5 x 2 = ( 1)rarC5x2 r,353-令2 r = 2 則 r = 1,二 t2= aCk2 ,二aC1= 30,.a= 6，故選 D.6. （2015陜西，4

20、）二項(xiàng)式（X+ 1）n（n N + ）的展開式中X2的系數(shù)為15，則n =（）A.4B.5C.6D.7n / n1 )6.C 由題意易得：Cn 2= 15, Cn 2= Cn= 15，即2= 15,解得 n= 6.a17. （2014湖北，2）若二項(xiàng)式 2x + -7的展開式中一的系數(shù)是84,則實(shí)數(shù)a =（）XA.2B.4C.1 D乎7.CTr +1= c7 (2x)7r 1=27 rc7ar 2F7.令 2r 7 = 3,貝U r = 5.由 22 C7a5= 84 得 a =1故選C.8. (2014 浙江，5)在(1 + x)6(1 + y)4 的展開式中，記 xmyn項(xiàng)的系數(shù) f(m,

21、 n)，則 f(3,0) + f(2,1) + f(1,2) + f(0,3)=()A.45B.60C.120D.2108. C在(1 + X)6的展開式中，xm的系數(shù)為Cm,在(1 + y)4的展開式中，yn的系數(shù)為Cn,故f(m,n) = Cm c4.從而 f(3 , 0) = C3= 20, f(2, 1) = C2 c4= 60, f(1 , 2) = Ce - C2 = 36, f(0, 3) = C3 =4,故選C.9. （2014四川，2）在x（1 + X）6的展開式中，含X3項(xiàng)的系數(shù)為（）A.30B.20C.15D.109. C 只需求（1 + X）6的展開式中含X2項(xiàng)的系數(shù)即

22、可，而含X2項(xiàng)的系數(shù)為C6= 15,故選C.10. （2014湖南，4） 2X 2y 5的展開式中X2y3的系數(shù)是（）A. 20 B. 5C.5D.2010. A 展開式的通項(xiàng)為 Tk+1= c5(1x)5 k(2y)k= ( 1)k 22k5c5x5k yk，令 5 k = 2,得 k= 3.則展開式中xV的系數(shù)為(一1)3 2只3 5c5= 20,故選A.11. (2017?浙江,13)已知多項(xiàng)式 /X+1) 3(x+2) 2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5 ,貝U a4=,a5=11. 16; 4多項(xiàng)式/ x+1) 3 /x+2) n=x5+a1X4+a23+a3xn+

23、a4X+a5 ,/x+1) 3中，的系數(shù)是：3,常數(shù)是 1; /X+2) 2 中的系數(shù)是 4,常數(shù)是 4, a4=3X4+1 X4=16; a5=1X4=4.故答案為：16; 412. (2017?山東,11)已知(1+3x) n的展開式中含有x2的系數(shù)是54，則n=.12.4(1+3x) n的展開式中通項(xiàng)公式：Tr+1= G (3x) =3r.含有x2的系數(shù)是,H MT13.(2016全國(guó)I, 14)(2 X +G)5的展開式中，x3的系數(shù)是54,.r=2 .亍 G=54,可得 G=6,. t =6, n N .解得 n=4.故答案為：4.(用數(shù)字填寫答案).k13.10(2x +破)5 展

24、開式的通項(xiàng)公式Tk+1 = Ck(2x)5k(>/x)k= C525 kx5: k 0,1,2,3,4,5,k4令 5 2 = 3 解得 k= 4,得 T5= c5254x52 = 10x3,.x3 的系數(shù)是 10.14. (2016北京，10)在(1 2x)6的展開式中，x2的系數(shù)為 .14. 60 展開式的通項(xiàng) Tr +1 = C616 r ( 2x)r = C6( 2x)r.令 r = 2 得 T3= C2 4x2= 60x2,l卩 x2(用數(shù)字作答).的系數(shù)為60.15. (2015北京，9)在(2 + x)5的展開式中，x3的系數(shù)為15.40 展開式通項(xiàng)為：Tr +1 = C525rxr，二當(dāng) r = 3 時(shí)，系數(shù)為 C5 - 253= 40.16.(2015 天津，12)在x- 4x6的展開式中，x2的系數(shù)為15116.w x 4x6的展開式的通項(xiàng) Tr+1 = C6x6 r 4xr=C6rx62r；當(dāng)6 2r = 2時(shí)，r = 2，所以x2的系數(shù)為C2 ;'415