2018年高中數(shù)學(xué)課時跟蹤檢測五正弦定理余弦定理的應(yīng)用蘇教版必修520180607158

1、課時跟蹤檢測（五） 正弦定理、余弦定理的應(yīng)用層級一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)1一只螞蟻沿東北方向爬行x cm后，再向右轉(zhuǎn)105°爬行20 cm，又向右轉(zhuǎn)135°，這樣繼續(xù)爬行可回到出發(fā)點處，那么x_.解析：由正弦定理得，x.答案：2一艘船以4 km/h的速度與水流方向成120°的方向航行，已知河水流速為2 km/h，則經(jīng)過 h，則船實際航程為_ km.解析：如圖所示，在acd中，ac2，cd4，acd60°，ad212482×2×4×36.ad6.即該船實際航程為6 km.答案：63從高出海平面h米的小島看正東方向有一只船俯角為30

2、76;，看正南方向一只船俯角為45°，則此時兩船間的距離為_米解析：如圖所示，bch，ach，ab2h.答案：2h4要測量底部不能到達(dá)的東方明珠電視塔的高度，在黃浦江西岸選擇甲、乙兩觀測點，在甲、乙兩點分別測得塔頂?shù)难鼋欠謩e為45°，30°，在水平面上測得電視塔與甲地連線及甲、乙兩地連線所成的角為120°，甲、乙兩地相距500米，則電視塔在這次測量中的高度是_米解析：由題意畫出示意圖，設(shè)高abh，在rtabc中，由已知bch，在rtabd中，由已知bdh，在bcd中，由余弦定理bd2bc2cd22bc·cd·cosbcd得3h2h25

3、002h·500，解之得h500(米)答案：5005.如圖，為測量一棵樹的高度，在地面上選取a，b兩點，從a，b兩點分別測得樹尖的仰角為30°，45°，且a，b兩點之間的距離為60 m，則樹的高度為_m.解析：由正弦定理，得，pb.hpb·sin 45°·sin 45°(3030)m.答案：(3030)6一船以22 km/h的速度向正北航行，在a處看燈塔s在船的北偏東45°，1小時30分后航行到b處，在b處看燈塔s在船的南偏東15°，則燈塔s與b之間的距離為_km.解析：如圖，asb180°15

4、°45°120°，ab22×33，由正弦定理，得，sb66(km)答案：667.一角槽的橫斷面如圖所示，四邊形abed是矩形，已知dac50°，cbe70°，ac90，bc150，則de_.解析：由題意知acb120°，在acb中，由余弦定理，得ab2ac2bc22ac·bc·cosacb90215022×90×150×44 100.ab210，de210.答案：2108線段ab外有一點c，abc60°，ab200 km，汽車以80 km/h的速度由a向b行駛，同時

5、摩托車以50 km/h的速度由b向c行駛，則運動開始_ h后，兩車的距離 最小解析：如圖所示，設(shè)t h后，汽車由a行駛到d，摩托車由b行駛到e，則ad80t，be50t.因為ab200，所以bd20080t，問題就是求de最小時t的值由余弦定理：de2bd2be22bd·becos 60°(20080t)22 500t2(20080t)·50t12 900t242 000t40 000.當(dāng)t時，de最小答案：9某海上養(yǎng)殖基地a，接到氣象部門預(yù)報，位于基地南偏東60°相距20(1)海里的海面上有一臺風(fēng)中心，影響半徑為20海里，正以每小時10 海里的速度沿某

6、一方向勻速直線前進(jìn)，預(yù)計臺風(fēng)中心將從基地東北方向刮過且(1)小時后開始持續(xù)影響基地2小時求臺風(fēng)移動的方向解：如圖所示，設(shè)預(yù)報時臺風(fēng)中心為b，開始影響基地時臺風(fēng)中心為c，基地剛好不受影響時臺風(fēng)中心為d，則b，c，d在一直線上，且ad20，ac20.由題意ab20(1)，dc20，bc(1)·1010()在adc中，因為dc2ad2ac2，所以dac90°，adc45°.在abc中，由余弦定理得cosbac.所以bac30°，又因為b位于a南偏東60°，60°30°90°180°，所以點d位于a的正北方向，又

7、因為adc45°，所以臺風(fēng)移動的方向為北偏西45°.10.如圖，測量人員沿直線mnp的方向測量，測得塔頂a的仰角分別是amb30°，anb45°，apb60°，且mnpn500 m，求塔高ab.解：設(shè)abx，ab垂直于地面，abm，abn，abp均為直角三角形bmx，bnx.bpx.在mnb中，由余弦定理bm2mn2bn22mn·bn·cosmnb，在pnb中，由余弦定理bp2np2bn22np·bn·cospnb，又mnb與pnb互補(bǔ)，mnnp500，3x2250 000x22×500x

8、83;cosmnb，x2250 000x22×500x·cospnb，得x2500 0002x2，x250或x250(舍去)所以塔高為250 m.層級二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)1一船以24 km/h的速度向正北方向航行，在點a處望見燈塔s在船的北偏東30°方向上，15 min后到點b處望見燈塔在船的北偏東65°方向上，則船在點b時與燈塔s的距離是_ km.(精確到0.1 km)解析：作出示意圖如圖由題意知，ab24×6，asb35°，由正弦定理，可得bs5.2(km)答案：5.22已知a船在燈塔c北偏東80°處，且a船到燈塔c的距離為2

9、 km，b船在燈塔c北偏西40°處，a，b兩船間的距離為3 km，則b船到燈塔c的距離為_ km.解析：如圖，由題意可得，acb120°，ac2，ab3.設(shè)bcx，則由余弦定理可得：ab2bc2ac22bc·accos 120°，即32x2222×2xcos 120°，整理得x22x5，解得x1.答案：13.如圖，在某災(zāi)區(qū)的搜救現(xiàn)場，一條搜救犬從a點出發(fā)沿正北方向行進(jìn)x m到達(dá)b處發(fā)現(xiàn)生命跡象，然后向右轉(zhuǎn)105°，行進(jìn)10 m到達(dá)c處發(fā)現(xiàn)另一生命跡象，這時它向右轉(zhuǎn)135°回到出發(fā)點，那么x_.解析：由題圖，知abx

10、，abc180°105°75°，bca180°135°45°，bc10，bac180°75°45°60°，x.答案：4一船向正北航行，看見正西方向有相距10海里的兩個燈塔恰好與它在一條直線上，繼續(xù)航行半小時后，看見一燈塔在船的南偏西60°方向，另一燈塔在船的南偏西75°方向，則這只船的速度是_海里/小時解析：如圖，依題意有bac60°，bad75°，所以cadcda15°，從而cdca10，在直角三角形abc中，可得ab5，于是這只船的速度是10

11、海里/小時答案：105.如圖所示，在山底a處測得山頂b的仰角cab45°，沿傾斜角為30°的山坡向山頂走1 000 m到達(dá)s點，又測得山頂仰角dsb75°，則山高bc為_ m.解析：sab45°30°15°，sbaabcsbc45°(90°75°)30°，在abs中，ab1 000，bcab·sin 45°1 000×1 000(m)答案：1 0006.如圖，從氣球a上測得其正前下方的河流兩岸b，c的俯角分別為75°，30°，此時氣球的高度ad是

12、60 m，則河流的寬度bc是_ m.解析：由題意知，在rtadc中，c30°，ad60 m，ac120 m在abc中，bac75°30°45°，abc180°75°105°， 由正弦定理，得bc120(1)(m)答案：120(1)7.在一次海上聯(lián)合作戰(zhàn)演習(xí)中，紅方一艘偵察艇發(fā)現(xiàn)在北偏東45°方向，相距12 n mile的水面上，有藍(lán)方一艘小艇正以每小時10 n mile的速度沿南偏東75°方向前進(jìn)，若紅方偵察艇以每小時14 n mile的速度，沿北偏東45°方向攔截藍(lán)方的小艇，若要在最短的時間內(nèi)攔截住，求紅方偵察艇所需的時間和角的正弦值解：如圖，設(shè)紅方偵察艇經(jīng)過x小時后在c處追上藍(lán)方的小艇，則ac14x，bc10x，abc120°.根據(jù)余弦定理得(14x)2122(10x)2240xcos 120°，解得x2.故ac28，bc20.根據(jù)正弦定理得，解得sin .所以紅方偵察艇所需要的時間為2小時，角的正弦值為.8.在四邊形abcd中，已知adcd，ad10，ab14，bda60°