【2019最新】精選高中數(shù)學(xué)人教A版選修2-1習(xí)題：第三章空間向量與立體幾何檢測(cè)(A)

1、【 2019 最新】精選高中數(shù)學(xué)人教A 版選修 2-1 習(xí)題：第三章空間向量與立體幾何檢測(cè)（A）( 時(shí)間 :90 分鐘滿(mǎn)分 :120 分)一、選擇題 ( 本大題共 10 小題 , 每小題 5 分, 共 50 分. 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中 , 只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1 在空間四邊形ABCD中, 連接 AC,BD,若 BCD為正三角形 , 且 E 為其中心, 則化簡(jiǎn)的結(jié)果是 ()A.B.2C.0D.2解析 : 如圖 ,F 是 BC的中點(diǎn) ,E 為 DF的三等分點(diǎn) ,于是 ,則 =0. 故選 C.答案 :C2 設(shè)平面 內(nèi)的兩個(gè)向量a=(1,2,1),b=(-1,1,2),則下列向量中是的法向量

2、的是 ()歡迎下載。A.(-1,-2,5)B.(-1,1,-1)C.(1,1,1)D.(1,-1,-1)解析 : 設(shè)平面 的法向量為 n=(x,y,z),則取 y=1, 得 n=(-1,1,-1).答案 :B3 在以下命題中 , 不正確的個(gè)數(shù)為 ()“|a|-|b|=|a+b|”是“a,b 共線(xiàn)”的充要條件 ;若 ab, 則存在唯一的實(shí)數(shù) , 使 a=b;對(duì)空間任意一點(diǎn) O和不共線(xiàn)的三點(diǎn) A,B,C, 若=2-2, 則 P,A,B,C 四點(diǎn)共面; |(a ·b·c)|=|a|b|c|.A.2B.3C.4D.5解析 : |a| -|b|=|a+b|? a 與 b 的夾角為 ,

3、 是充分不必要條件 , 故不正確; 當(dāng)且僅當(dāng) b 為非零向量時(shí)成立 , 故不正確 ; 由 2-2- 11, 結(jié)合共面向量定理知 , 不正確 ; 由基底的定義知正確 ; 由向量的數(shù)量積的性質(zhì)知不正確 .答案 :C4 若向量 a=(1,x,2),b=(2,-1,2),a,b夾角的余弦值為 , 則 x 等于 ()2【2019最新】精選高中數(shù)學(xué)人教版選修2-習(xí)題：第三章空間向量與立體幾何檢測(cè)（）A.2B.-2C.-2 或D.2 或-解析 :cos<a,b>=,解得 x=-2 或 x=.答案 :C5 已知兩個(gè)不同的平面 與 的法向量分別為m=(3,1,-5),n=(-6,-2,10), 則(

4、)A. B. C. 與 相交但不垂直D.以上都不對(duì)解析 : n=( -6,-2,10),m=(3,1,-5), n=-2m.mn. 與平行.答案 :B6 已知點(diǎn) A(-3,4,3),O為坐標(biāo)原點(diǎn) , 則 OA與坐標(biāo)平面 yOz 所成角的正切值為()A.B.C.D.13/153/15解析 : 點(diǎn) A 在平面 yOz上射影為 B(0,4,3),且|OB|=5, OA與平面 yOz 所成角 滿(mǎn)足 tan =.答案 :B7如圖 , 在平行六面體 ABCD-A1B1C1D1中, 底面是邊長(zhǎng)為 2 的正方形 , 若A1AB=A1AD=60°, 且 A1A=3,則 A1C的長(zhǎng)為 ()A.B.2C.

5、D.答案 :A8 在邊長(zhǎng)為 1 的菱形 ABCD中, ABC=60°. 將菱形沿對(duì)角線(xiàn)AC折起 , 使折起后 BD=1,則二面角 B-AC-D的余弦值為 ()A.B.C.D.解析 : 設(shè)菱形對(duì)角線(xiàn) AC與 BD相交于點(diǎn) O,則 BOD為二面角 B-AC-D的平面角,由余弦定理可得cos BOD=.答案 :A4【2019最新】精選高中數(shù)學(xué)人教版選修2-習(xí)題：第三章空間向量與立體幾何檢測(cè)（）9 若 a=(0,1,-1),b=(1,1,0),且 (a+b) a, 則實(shí)數(shù) 的值是 ()A.-1B.0C.1D.-2解析 :a+ b=(0,1,-1)+(, ,0)=( ,1+ ,-1).由(a+

6、 b) a, 知(a+ b) ·a=0.所以 ×0+(1+ ) ×1- 1×(-1)=0,解得 =-2.答案 :D10 已知正三角形ABC,BC? 平面 , 點(diǎn) A 在 上的射影為點(diǎn)A', BA'C=90°, 則平面 ABC與平面 所成的二面角的正弦值等于()A.B.C.D.解析 : 如圖所示 , 過(guò)點(diǎn) A' 作 A'DBC,垂足為 D,連接 AD,則易知 ADA'為所求二面角的平面角 , 令 BC=a,則 AB=AC=a, A'B=A'C=a, A'A=a.又5/155/15=)

7、=, sin ADA'=.答案 :A二、填空題 ( 本大題共 5 小題 , 每小題 5 分, 共 25 分. 把答案填在題中的橫線(xiàn)上 )11 若空間三點(diǎn) A(1,5,-2),B(2,4,1),C共線(xiàn) , 則 p+q=.解析 : 由已知 , 得=(1,-1,3),. , , p=,q=8. 故 p+q=.答案 :12 若 a=(4,-2,-4),b=(6,-3,2),則(2a- 3b) ·(a+2b)=.答案 :-20013 若由空間向量a=(1,2,3),b=(1,-1,1)構(gòu)成向量集合A=x|x=a+kb,k Z, 則向量 x 的模 |x| 的最小值為.答案 :6【2019

8、最新】精選高中數(shù)學(xué)人教版選修2-習(xí)題：第三章空間向量與立體幾何檢測(cè)（）14 在空間四邊形OABC中, 若 OB=OC,AOB=AOC=,則 cos <> 的值是.解析 :cos <>=0.答案 :015 如圖 , 在正方體 ABCD-A1B1C1D1中,M,N 分別是棱 CD,CC1的中點(diǎn) , 則異面直線(xiàn) A1M與 DN所成的角的大小是.解析 : 如圖 , 以點(diǎn) D為原點(diǎn) , 以 DA,DC,DD1為 x 軸、 y 軸、 z 軸建立空間直角坐標(biāo)系 .設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2, 則=(2,-1,2),=(0,2,1),=0,故異面直線(xiàn) A1M與 ND所成的角為 90°

9、.答案 :90 °三、解答題 ( 本大題共 5 小題 , 共 45 分. 解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟 )16(8 分) 已知 a=(1,2,-2).(1) 求與 a 共線(xiàn)的單位向量b;7/157/15(2) 若 a 與單位向量 c=(0,m,n) 垂直 , 求 m,n 的值 .分析 (1)a 與 b 共線(xiàn) , 則 b=( ,2 ,-2 ), 根據(jù)|b|=1, 可求得 ;(2)a c,則 a·c=0, 且|c|=1, 注意討論解的情況 .解:(1) 設(shè) b=(,2 ,-2 ), 而 b 為單位向量 , |b|=1, 即2+42+42=92=1,=±.

10、b=或 b=.(2) 由題意, 知解得17(8 分) 如圖 , 在棱長(zhǎng)為 1 的正方體 ABCD-A1B1C1D1中,P 是側(cè)棱 CC1上一點(diǎn) ,CP=m.試確定 m使得直線(xiàn) AP與平面 BDD1B1所成角為 60°.解: 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系, 則A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,m),C(0,1,0),D(0,0,0),B1(1,1,1),D1(0,0,1).則 =(-1,-1,0),=(0,0,1),=(-1,1,m),=(-1,1,0).又由 =0,=0 知,為平面 BB1D1D的一個(gè)法向量 .設(shè) AP與平面 BB1D1D所成的角為 ,8【2019最新】

11、精選高中數(shù)學(xué)人教版選修2-習(xí)題：第三章空間向量與立體幾何檢測(cè)（）則 sin =|cos <>|=.依題意得 =sin 60 °=,解得 m=.故當(dāng) m=時(shí), 直線(xiàn) AP與平面 BDD1B1所成角為 60°.18(9 分) 如圖 , 在三棱錐 P-ABC中,PA平面 ABC,BAC=90°,D,E,F分別是棱 AB,BC,CP的中點(diǎn) ,AB=AC=1,PA=2.(1) 求直線(xiàn) PA與平面 DEF所成角的正弦值 ;(2) 求點(diǎn) P 到平面 DEF的距離 .解:(1) 如圖所示 , 以 A 為原點(diǎn) ,AB,AC,AP 所在的直線(xiàn)分別為 x,y,z 軸, 建立

12、空間直角坐標(biāo)系 Axyz.由 AB=AC=1,PA=2,得 A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),P(0,0,2),D,E,F.設(shè)平面 DEF的法向量 n=(x,y,z),則即取 z=1, 則平面 DEF的一個(gè)法向量 n=(2,0,1).9/159/15設(shè) PA與平面 DEF所成的角為 ,則 sin =,故直線(xiàn) PA與平面 DEF所成角的正弦值為 .(2) ,n=(2,0,1),點(diǎn) P 到平面 DEF的距離 d=.19(10 分) 如圖 , 正方形 ABCD和四邊形 ACEF所在平面互相垂直,CEAC,EFAC,AB=,CE=EF=1.(1) 求證 :AF平面 BDE;(2)

13、求證 :CF平面 BDE;(3) 求二面角 A-BE-D 的大小 .(1) 證明如圖 , 設(shè) AC與 BD交于點(diǎn) G,連接 EG. EFAG,且 EF=1,AG=AC=1,四邊形 AGEF為平行四邊形 , AFEG. EG? 平面 BDE,AF?平面 BDE, AF平面 BDE.10【2019最新】精選高中數(shù)學(xué)人教版選修2-習(xí)題：第三章空間向量與立體幾何檢測(cè)（）(2) 證明正方形 ABCD和四邊形 ACEF所在的平面互相垂直 , 且 CEAC,CE平面 ABCD如.圖, 以 C為原點(diǎn), 建立空間直角坐標(biāo)系 Cxyz,則C(0,0,0),A(,0),B(0,0),D(,0,0),E(0,0,1)

14、,F.=(0,-,1),=(-,0,1),=0-1+1=0,=-1+0+1=0. CFBE,CFDE.又 BEDE=E, CF平面 BDE.(3) 解: 由(2) 知, 是平面 BDE的一個(gè)法向量 ,設(shè)平面 ABE的法向量 n=(x,y,z),則 n·=0,n ·=0.即 x=0,z=y.令 y=1, 則 z=. n=(0,1,), 從而 cos <n,>=.二面角 A-BE-D為銳角, 二面角 A-BE-D的大小為.20(10 分) 如圖 , 在四面體 A-BCD中,AD平面 BCD,BCCD,AD=2,BD=2.M是 AD的中點(diǎn) ,P 是 BM的中點(diǎn) , 點(diǎn)

15、 Q在線(xiàn)段 AC上, 且 AQ=3QC.11/1511/15(1) 證明 :PQ平面 BCD;(2) 若二面角 C-BM-D的大小為 60°, 求 BDC的大小 .方法一 (1) 證明 : 取 BD的中點(diǎn) O,在線(xiàn)段 CD上取點(diǎn) F, 使得 DF=3FC.連接OP,OF,FQ,因?yàn)?AQ=3QC,所以 QFAD,且 QF=AD.因?yàn)?O,P 分別為 BD,BM的中點(diǎn) ,所以 OP是 BDM的中位線(xiàn) ,所以 OPDM,且 OP=DM.又點(diǎn) M為 AD的中點(diǎn) ,所以 OPAD,且 OP=AD.從而 OPFQ,且 OP=FQ,所以四邊形 OPQF為平行四邊形 , 故 PQOF.又 PQ?平

16、面 BCD,OF? 平面 BCD,所以 PQ平面 BCD.(2) 解: 作 CGBD于點(diǎn) G,作 CHBM于點(diǎn) H,連接 GH.因?yàn)?AD平面 BCD,CG? 平面 BCD,所以 ADCG.12【2019最新】精選高中數(shù)學(xué)人教版選修2-習(xí)題：第三章空間向量與立體幾何檢測(cè)（）又 CGBD,ADBD=D,故 CG平面 ABD.又 BM? 平面 ABD,所以 CGBM.又 GHBM,CGGH=G,故 BM平面 CGH,所以 GHBM,CHBM.所以 CHG為二面角 C-BM-D的平面角 , 即 CHG=60°.設(shè) BDC=.在 RtBCD中,CD=BDcos =2cos ,CG=CDsin

17、=2cos sin,BG=BCsin=2sin2.在 RtBDM中,HG=.在 RtCHG中,tan CHG=.所以 tan =. 從而 =60°.即 BDC=60°.13/1513/15方法二 (1) 證明 : 如圖 , 取 BD的中點(diǎn) O,以 O為原點(diǎn) ,OD,OP所在射線(xiàn)為y,z 軸的正半軸 , 建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.由題意知 A(0,2),B(0,-,0),D(0,0).設(shè)點(diǎn) C的坐標(biāo)為 (x0,y0,0).因?yàn)?=3,所以 Q.因?yàn)?M為 AD的中點(diǎn) , 故 M(0,1).又 P為 BM的中點(diǎn) , 故 P,所以 .又平面 BCD的一個(gè)法向量為u=(0,0,1),故· u=0.又 PQ?平面 BCD,所以 PQ平面 BCD.(2) 解: 設(shè) m=(x