專題1：三視圖方法總結(jié)及例題(解析版)

1、專題1:三視圖方法總結(jié)及例題（解析版）一.空間幾何體的三視圖正視圖：光線從幾何體的前而向后而正投影得到的投影圖；反映了物體的高度和長度 便J視圖：光線從幾何體的左而向右面正投影得到的投影圖；反映了物體的高度和寬度 俯視圖：光線從幾何體的上而向下面正投影得到的投影圖。反映了物體的長度和寬度 三視圖中反應(yīng)的長、寬、高的特點：“長對正”，“高平齊”，“寬相等”二.空間幾何體的直觀圖斜二測畫法的基本步驟：建立適當(dāng)直角坐標(biāo)系X。），（盡可能使更多的點在坐標(biāo)軸上）建立斜坐標(biāo)系ZxOy ,使NxOy =45° （或135°）畫對應(yīng)圖形在已知圖形平行于x軸的線段，在直觀圖中畫成平行于x .

2、軸，且長度保持不變；在己知圖形平行于Y軸的線段，在直觀圖中畫成平行于Y .軸，且長度變?yōu)樵瓉淼囊话耄恢庇^圖與原圖形的面積關(guān)系：S白觀圖=Sj£圖形常見幾何體的三視圖:三視圖幾何體矩形矩形矩形立方體（四棱柱）矩形矩形三角形三棱柱三角形三角形四邊形四棱錐三角形三角形三角形三棱錐矩形矩形圓圓柱等腰三角形等腰三角形圓圓錐圓球還原三視圖的策略:切割法三線交匯法拔高法去點法一，切割法例，某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（）A. 20B. 24C. 18D. 16【答案】A【分析】由三視圖還原出該幾何體的直觀圖，如圖所示，該幾何體是一個直三棱柱去掉一個三棱錐得 到的，然后計算體積即可【

3、詳解】解：由幾何體的三視圖還原出該幾何體的直觀圖，如圖所示.該幾何體是一個直三棱柱去掉 一個三棱錐得到的.由題中數(shù)據(jù)可得三棱柱的體枳為1x3x4x4=24,截去的三棱錐的體積為4,2故該幾何體的體枳是20.【點睛】此題考查由三視圖求幾何體的體積，需熟記錐體的體積公式，屬于基礎(chǔ)題.切割法規(guī)律總結(jié)：1、還原到常見幾何體中2、實線當(dāng)而切，虛線背后切3、切完后對照三視圖進(jìn)行檢驗二，三點交匯法例2某三棱錐的三視圖如圖所示，如果網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,則該三棱錐的體積為()A. 4B. 8C. 12D. 24【答案】A【分析】由三視圖還原幾體何體，可知該幾何體是從長為4,寬為4,高為3的長方體中截得（

4、如圖）, 直接由三棱錐的體積公式可得答案.【詳解】由三視圖還原幾體何體如圖，三棱錐。一 A8C是從長為4,寬為4,高為3的長方體中截得，所以%T8C =-xyx4x2x3 = 4故選：A【點睛】此題考查由三視圖求多而體的體積，關(guān)鍵是由三視圖還原幾何體，屬于中檔題.三點交匯法規(guī)律：三線交匯得頂點，各頂必在其中選多頂可能用不完，個中取舍是關(guān)鍵 :三、拔高法例3： 3某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積是（）*amA. 4x/2+4B. 272+8C. 472+8D. 12【答案】B【分析】由三視圖可得此幾何體為如圖所示的四棱錐，然后求出各個面的面積即可【詳解】解：由三視圖可得此幾何體為如圖

5、所示的四棱錐E-45CD，由題可得，AB = BC = CD = AD = CE = 2.DE = BE = 2B所以該幾何體的表面積為2x2 + 2xx2x2 + 2x-x2x>/2 = 8 + 25/2 ,22故選：B拔高法規(guī)律總結(jié)：1 .標(biāo)出俯視圖所有結(jié)點，畫出俯視圖對應(yīng)的直觀圖2 .由主、側(cè)視圖的左中右找出被拔高的點.四、去點法例4：某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的體積是（）俯視圖A. 6B. 12C. 24D. 36【答案】B【分析】由三視圖可得原圖，結(jié)合原圖，利用四棱錐的體積公式即可得解.【詳解】原圖如圖所示，可得 V = lx3x3x4=12. 3故選：B.【點睛】本

6、題考查了三視圖，考查了利用三視圖畫直觀圖，同時考查了錐體的體積公式，屬于基礎(chǔ)題.去點法規(guī)律：畫立方體 > 冽多余點， 連剩余點六字真言：先去除、再確定針對練習(xí)1. 一個四棱錐的三視圖如圖所示，其正視圖和側(cè)視圖為全等的等腰直角三角形，俯視圖是邊長為&的正方形，則該幾何體的表面積為（）C. 26+2D. 6【答案】C【分析】首先把幾何體進(jìn)行轉(zhuǎn)換，進(jìn)一步求出幾何體的高，最后求出側(cè)視圖的面積.【詳解】根據(jù)幾何體的三視圖，轉(zhuǎn)換為幾何體為：由于正視圖和側(cè)視圖為全等的等腰直角三角彬,俯視圖是邊長為點的正方形, 故底面的對角線長為2.所以四棱錐的高為：x2=l,故四棱錐的側(cè)面高為力=, 走j +

7、12 ="，W 2 J 2則四棱錐的表面積為S = 4x,xJ?x95 + 2 = 2JJ+2.22故選C.【點睛】本題考查的知識要點：三視圖和幾何體的轉(zhuǎn)換，幾何體的體枳公式和面積公式的應(yīng)用，主要 考查學(xué)生的運算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題型.2.某幾何體的三視圖如下圖，若該幾何體的所有頂點都在一個球面上，則該球面的表面積為() 2 一村江神陽 I-一 2 fE?；虺?84B.344% c.D. 20%【答案】B【解析】 由三視圖可知,幾何體是一個三棱柱,幾何體的底面是邊長為2的等邊三角形，側(cè)棱長為2 ，三棱柱的兩個底而中心的中點與三棱柱的頂點的連線就一往， r = J(Zx 同=立

8、,球的表面積為4乃r=4笈、2 = 生 ，故選B.V 3333點睛：三視圖問題的常見類型及解題策略(1)由幾何體的直觀圖求三視圖.注意正視圖、側(cè)視圖和俯視圖的觀察方向，注意看到的部 分用實線表示，不能看到的部分用虛線表示.(2)由幾何體的部分視圖畫出剩余的部分視圖.先根據(jù)已知的一部分三視圖，還原、推測直 觀圖的可能形式，然后再找其剩下部分三視圖的可能形式.當(dāng)然作為選擇題，也可將選項逐 項代入，再看看給出的部分三視圖是否符合.(3)由幾何體的三視圖還原幾何體的形狀.要熟悉柱、錐、臺、球的三視圖，明確三視圖的 形成原理，結(jié)合空間想象將三視圖還原為實物圖.3.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實線

9、畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的各條枝中，最長的棱的長度為()A. 2/B. 2而C. 472D. 4出【答案】C【分析】依據(jù)多而體的三視圖，畫出它的直觀圖并放入棱長為4的正方體中，求出最長的棱長為IABI可得答案.【詳解】依據(jù)多而體的三視圖，畫出它的直觀圖，如圖所示：在棱長為4的正方體中,四面體43CD就是滿足圖中三視圖的多面體,其中A、B點為所在棱的中點，所以，四而體A3CO最長的極長為|481=，7"7 = 4人.故選：C.【點睛】方法點睛：本題考查由三視圖還原幾何體，考查學(xué)生空間想象能力，由三視圖畫出直觀圖的步驟和思考方法：1、首先看俯視圖，根據(jù)俯視圖畫出幾何體地而的直

10、觀圖：2、觀察正視圖和側(cè)視圖找到幾何體前、后、左、右的高度：3、畫出整體，然后再根據(jù)三視圖進(jìn)行調(diào)整.4.已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體最長的梭長為（）A. 4B. 8C. 12D. 24【答案】A【分析】由三視圖還原幾體何體，可知該幾何體是從長為4,寬為4,高為3的長方體中截得（如圖）, 直接由三棱錐的體積公式可得答案.【詳解】由三視圖還原幾體何體如圖，三棱錐。一 A8C是從長為4,寬為4,高為3的長方體中截得，所以 d-abc =xyx4x2x3 = 4故選：A【點睛】此題考查由三視圖求多面體的體積，關(guān)鍵是由三視圖還原幾何體，屬于中檔題.6.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形邊長為1,粗線是一

11、個棱錐的三視圖，則此棱錐的表面積為（）A. 4 + 4x/2B. 2 + 6C. 3 + 3&D. 8【答案】A【分析】由三視圖還原棱錐的直觀圖，即可求棱錐的表而積.【詳解】由已知三視圖，可得：此棱錐ABC。的直觀圖如下圖所示：A3。和C3。都是直角邊為2和2點的直角三角形，A5C和ADC均是腰長為2的等腰直角三角形，所以其表而積為 S = 2xLx2x2jI+2xLx22=4 + 4jI.22故選:A.【點睛】本題考查了根據(jù)三視圖求幾何體的表面積，空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.7. 一個幾何體的三視圖如圖示，則這個幾何體的體積為（）側(cè)位湎圖正往題圖,，3a35/A. aBC. D.366

12、【答案】D【分析】試題分析：由三視圖可知該幾何體為正方體去掉一角，其直觀圖如圖縮小，正方體的體枳乙，去掉的三棱錐的體積1 乂4乂4乂4乂。=幺，因此組合體的體積/ 一=至，心公案為D. 3 2666考點：由三視圖求幾何體的體積.8.已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的各個面中，面積的最大值為（）|< 2 > 區(qū)正視圖側(cè)視圖俯視圖13A.B.-22【答案】B【分析】根據(jù)三視圖，畫出原圖，根據(jù)原圖,【詳解】c "D加22判斷各個面的面積大小，即可得解.1如圖:棱錐/一 ABC即為所求圖形,PC = PA = 5 AC = y/2 AB = BC = 13所以PAC面積為

13、一，2而P8C, APAB, AABC的而積分別為近，正，2 2 2故PAC的面積最大,故選：B.【點睛】本題考查了立體幾何的三視圖，本題所用方法是利用長方體的割補進(jìn)行還原原圖，是解三視圖的一個重要方法，考查了空間想象能力和空間感，計算量不大，屬于中檔題.9. 一個正三棱柱的三視圖如圖所示，則這個三棱柱的表面積為（）左視圖2cmA. 12+ 5/3 (cm2)B. 10 + 5/3 (cm2)C. 10+2>/5(cn/)D. 12 + 2>/5(cn/)【答案】D【分析】由三視圖可知，該正三棱柱的底面是邊長為2cm的正三角形，高為2cm，根據(jù)面積公式計 算可得結(jié)果.【詳解】正三棱

14、柱如圖，AB = BC = AC = 2, A4 = BB1=CC1 = 2 ,三棱柱的表面積為2x2x3 +2x：x2xJJ= 12 + 2®2故選：D【點暗】本題考查了根據(jù)三視圖求表而積，考查了正三棱柱的結(jié)構(gòu)特征，屬于基礎(chǔ)題10. 一個空間幾何體的正視圖和側(cè)視圖都是邊長為2的正方形，俯視圖是一個圓，那么這 個幾何體的表面積為()正視圖側(cè)視圖俯視圖A. 3B. 5乃C. 4笈D. 64【答案】D【分析】根據(jù)三視圖可知幾何體為圓柱體，由已知條件得底面直徑2r和高都為2,即可求圓柱體 表面積.【詳解】由題意知：幾何體為底面直徑2,和高/?都為2的圓柱體，工表面枳 S = 2/rrh +

15、 2/rr1 = 6元， 故選：D【點睛】 本題考查了由幾何體三視圖求表而枳，應(yīng)用了圓柱體表面積的求法，屬于簡單題.11 .如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實線及粗虛線畫出的是某多面體的三視圖，則)7 + 25/5【答案】A【解析】 分析：通過三視圖可知，該多而體為棱長為2的正方體切割而成的四棱錐O-ABCD，4 D為棱的事，再計算該四棱錐各面面積之和詳解：視圖可知,該幾何體為四棱錐由棱長為2的正方體切割而成.底面48CD為矩形，S.bcd=2義肝百=2小Socd 芭 eBc = 5 S 正方形=x 2- =2SQD aABCD =小易得 AB = «,OA = 3,OB = 2

16、e由余弦定理8“所點黑淖=亭得/. S = x3x 2&x= 3必822四棱錐的表面枳S = 26+下+2x2 + 3 = 7 + 3行點睛：（1）當(dāng)已知三視圖去還原成幾何體時，首先根據(jù)三視圖中關(guān)鍵點和視圖形 狀確定幾何體的形狀，再根據(jù)投影關(guān)系和虛線明確內(nèi)部結(jié)構(gòu)，最后通過三視圖驗 證幾何體的正確性.（2）表面積計算中，三角形的面積要注意正弦定理和余弦定理的運用.12 . 一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的最長棱長為（）272B. 2>/5C. 2yf6D. 472【答案】C【分析】將三視圖還原直觀圖，即可找到最長的棱，計算其長度即可.【詳解】 由題意得：該幾何體的直觀內(nèi)是一

17、個四棱鉗A - 8CG4如圖所示.其中為最長棱.由勾股定理得AG =V42 +22+22 =2.故選：C【點睛】本題主要考查三視圖，將三視圖還原直觀圖是解決本題的關(guān)鍵，屬于簡單題.13.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某三棱錐的三視圖，則該三棱錐的【答案】C【分析】觀察三視圖并將其“翻譯”成直觀圖，要注意三視圖的三要素“高平齊，長對正，寬相等”，還要特別注意實線與虛線以及相同圖形的不同位置對幾何體直觀圖的影響.【詳解】如圖所示，三棱錐O ABC即為所求，正方體的棱長都是2,B點到底面DAC的距離是2.所以11 12VD-ABC = ；x S.i0c =-x-xx2x2 = -.J

18、J 乙0故選：C.【點睛】本題利用空間幾何體的三視圖重點考查學(xué)生的空間想象能力和抽象思維能力.14 .某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）【答案】A【分析】由三視圖可知該幾何體為一個圓柱內(nèi)挖去兩個與圓柱同底的半球，由圓柱體積減去兩個半球 體枳可得.【詳解】由三視圖可知該幾何體為一個圓柱內(nèi)挖去兩個與圓柱同底的半球，所以該幾何體的體枳2xV = x12x2-2x-x xl3= 2 33故選：A.【點睛】本題考查三視圖，考查幾何體的體積，解題關(guān)鍵是由三視圖得出幾何體的結(jié)構(gòu).15 .某幾何體的三視圖如圖，則幾何體的體積為A. 8n - 16B. 8 丸+16【答案】A【解析】C. 16n

19、-8D. 8 冗+8根據(jù)三視圖恢復(fù)原幾何體為兩個底面為弓形的柱體，底面積為一個半圓割去一個等腰直角三角形，其面積為三二 Lx4x2 = 2萬一4,22高為4,所以柱體體枳為4(24-4)=81-16 ,選A【點睛】由于正視圖和側(cè)視圖均為矩形，所以原幾何體為柱體，底而為兩個弓形，所以原幾 何體是由圓柱截得的，三視圖問題是近些年高考必考題，根據(jù)三視圖恢復(fù)原幾何體，數(shù)據(jù)要 根據(jù)“長對正、高平齊，寬相等”的原則，標(biāo)清幾何體中線段的長度，利用面積或體積公式 計算.16 .某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）16C.3D. 16【答案】B【分析】 由三視圖畫出其直觀圖，再根據(jù)錐體的體積公式計算

20、可得：【詳解】解：由三視圖可知，該幾何體是一個豎放的四棱錐（有一條側(cè)棱R4垂直于底面4BC0）, 其直觀圖如圖所示：四棱錐尸一A5CD的底面是直角梯形A5CD （上底為5C = 1,下底為 AD = 3,高為45 = 2），四棱錐的高是E4 = 2,所以直角梯形A5co的面積為S樣g伙。=W +/"）"" = （1 + 3）x2 = 4,所以該四棱錐P-ABCD的體枳為VP-ABCD = X S 直角梯形mCD xPA=-x4x2 = -故選：民【點睛】本題考查由三視圖求直觀圖的體積，屬于基礎(chǔ)題.17 .棱長為2的正方體被一平面截成兩個幾何體，其中一個幾何體的三視

21、圖如圖所示，那么該幾何體的體積是（）D. 3【答案】B【詳解】試題分析：如圖，陰影平行四邊形表示截面,可見這個截面將正方體分為完全相同的兩個幾何體，則所求幾何體的體枳即是原正方體的體積的一半，V = x2x2x2 = 4. 2考點：1.三視圖：2.正方體的體積18 .某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（）正（壬成圖網(wǎng)莊版圖能視圖B. 5 + -+y/52C. 5 +應(yīng)+與D. 5 + V2+V5【答案】D【分析】依題意，由三視圖得到直觀圖，再求出四棱錐的表面積即可:【詳解】解：由三視圖可得如下直觀圖則S4_L而ABC。，A3C。為矩形，且S4 = 2, A8 = 2，AD =1,所

22、以S&SAB=x2x2=2, SS &SCD21=-x2sad = x 2 x 1 = 1, abcd =1x2 = 2 , 乙2xJ+22 =喬,Si5Cfi=-xlx>/22 +22 =V22所以表面積為5 +有+虛故選：D【點睛】本題考查由三視圖求幾何體的表面枳，屬于基礎(chǔ)題.走進(jìn)高考1, 2014年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（全國II卷）如圖，網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長為1 （表示1cm），圖中粗線畫出的是某零件的三視圖，該零件由一個底面半徑為3cm,高為6cm的圓柱體毛坯切削得到，則切削掉部分的體積與 原來毛坯體積的比值為（）【答案】A【詳解】 因為加丁市

23、的零件半價為3,高為6,所以體枳匕=54乃，又因為加工后的冬件，左半部為小圓羋徑為2 半部為大圓柱，半徑為3,高為2,所以體積匕 =16萬+ 1肪=344,54/r 34/r 10所以削掉部分的體枳叮原體枳之比為一-=> 故選A.54 乃27考點：本小題主要考查立體幾何中的三視圖，考查同學(xué)們的空間想象能力.2, 2015年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（新課標(biāo)II）如圖，已知4,萬是球0的球面上兩點，ZAOB=90° , C為該球面上的動點，若三棱錐行心體積的最大值為36,則球。的表面積為（）A. 36n B. 64n【答案】CC. 144nD. 256n【解析】如圖所示

24、，當(dāng)點c位于垂宜于面的宜徑端點時，三棱錐°-ABC的體積最大，設(shè)O Rb月我=Vjob =孑町2 xR= m中=36r= 60球的半徑為，此時，故，則球的表面積為S = 4kR2 =144k,故選C.考點：外接球表面積和椎體的體積.C3, 2014年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（新課標(biāo)【）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的各【答案】B【詳解】.4由正視圖、側(cè)視圖、俯視圖形狀，可判斷該幾何體為四面體，且四而體的長、寬、高均為4個單位，故可考慮置于棱長為4個單位的正方體中研究，如圖所示，該四而體為。一A8C，且A8 = 8C = 4,A

25、C = 4舊DB = DC = 2小，DA = «4五$ +4 = 6 ,故最長的棱長為6,選B.4, 2015年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（新課標(biāo)H）一個正方體被一個平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如右圖，則截去部分體積與剩余【答案】D【解析】試題分析：設(shè)正方體的棱長為1.由三視圖判斷，正方體被切掉的部分為三棱錐,.正方體如 部分的體枳為?xxlxlxl = ；,.,剩余部分體枳為= ?,.截去部分 3 266 6體積與剩余部分體枳的比值為!.故選D.考點：由三視圖求體積5, 2015年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（新課標(biāo)I ）圓柱被一個平面截去一部分后與半球（

26、半徑為玲組成一個幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示.若該幾何體的表面積為16 +20乃，則r=（）D. 8【答案】B【解析】【詳解】【分析】由幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖可知，截圓柱的平面過圓柱的軸線，該幾何體是一個半球拼接半個圓柱，其表而積為：-x4r + - x nr1 +1 x 2r x 2/rr + 2r x 2/' + - x nr1 = 5/rr2 +4r2 2222又;該幾何體的表面積為16+20兀， 二 5加二 +4/ = 16 +20萬，解得 r=2.本題選擇B選項.點睛：三視圖的長度特征：“長對正、寬相等，高平齊”，即正視圖和側(cè)視圖一樣高、正視圖 和

27、俯視圖一樣長，側(cè)視圖和俯視圖一樣寬.若相鄰兩物體的表面相交，表面的交線是它們的 分界線，在三視圖中，要注意實、虛線的畫法.6, 2016年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（新課標(biāo)3卷）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表36遍C. 90D. 81【答案】B【解析】【詳解】 試題分析: 解：由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個以俯視圖為底面的斜四棱柱,其底面而積為：3X6=18,前后側(cè)面的面積為:3X6X2=36,左右側(cè)面的面積為:3xV32 + 62 x 2= 18V5故棱柱的表面積為：18+36+18而= 54+18北.故選:B.點睛：本題考查的知識點是由三視圖，求體積和表面積，根據(jù)已知的三視圖，判斷幾何體的 形狀是解答的關(guān)鍵，由三視圖判斷空間幾何體（包括多而體、旋轉(zhuǎn)體和組合體）的結(jié)構(gòu)特征 是高考中的熱點問題.7, 2016年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一