電磁場(chǎng)與電磁波(第三版)課后答案__謝處方

1、.第二章習(xí)題解答2.1一個(gè)平行板真空二極管內(nèi)的電荷體密度為40U 0 d 4 3x 2 3 ，式中陰極板位9于 x 0 ，陽極板位于xd ，極間電壓為U0 。如果 U040V 、 d 1cm 、橫截面S 10cm 2 ，求：（ 1） x0 和 xd 區(qū)域內(nèi)的總電荷量Q ；（ 2） xd 2 和 x d 區(qū)域內(nèi)的總電荷量 Q 。d44解 （1）Qd(0U 0 d 4 3 x 2 3) Sd xUS 4.72 10 11 C0923d00（）d44 (11 ) 0U0SQd(0U 0 d 4 3 x 2 3 ) Sd x0.97 10 11 Cd 293d3 22.2一個(gè)體密度為2.3210 7

2、C m 3 的質(zhì)子束，通過1000V 的電壓加速后形成等速的質(zhì)子束，質(zhì)子束內(nèi)的電荷均勻分布，束直徑為2mm ，束外沒有電荷分布，試求電流密度和電流。解質(zhì)子的質(zhì)量 m1.7 10 27 kg 、電量 q 1.610 19C。由1mv2qU2得v2mqU1.37106 m s故Jv0.318A m 2IJ( d 2)210 6A2.3一個(gè)半徑為 a 的球體內(nèi)均勻分布總電荷量為Q 的電荷，球體以勻角速度繞一個(gè)直徑旋轉(zhuǎn)，求球內(nèi)的電流密度。解以球心為坐標(biāo)原點(diǎn)，轉(zhuǎn)軸（一直徑）為z 軸。設(shè)球內(nèi)任一點(diǎn)P 的位置矢量為 r ，且r 與 z 軸的夾角為，則 P 點(diǎn)的線速度為vrer sin球內(nèi)的電荷體密度為Q4a

3、33故Jv eQ33r sine 3Q 3 r sin4a4a2.4一個(gè)半徑為 a 的導(dǎo)體球帶總電荷量為Q ，同樣以勻角速度繞一個(gè)直徑旋轉(zhuǎn)，求球表面的面電流密度。解以球心為坐標(biāo)原點(diǎn)，轉(zhuǎn)軸（一直徑）為z 軸。設(shè)球面上任一點(diǎn)P 的位置矢量為 r ，且 r 與 z 軸的夾角為，則 P 點(diǎn)的線速度為vrea sin球面的上電荷面密度為QQ4a2e Q故J Sv ea sinsin4a24a2.5兩點(diǎn)電荷q1 8C位于 z 軸上 z4 處， q24C 位于 y 軸上 y4 處，求(4,0,0)處的電場(chǎng)強(qiáng)度。.解電荷 q1 在 (4,0,0) 處產(chǎn)生的電場(chǎng)為q1r r12 ex 4 ez 4E10 rr1

4、3(4 2)340電荷 q2 在 (4,0,0) 處產(chǎn)生的電場(chǎng)為q2r r21 ex 4 ey 4E20 rr23(4 2)340故 (4,0,0) 處的電場(chǎng)為EE1E2exeyez 232202.6一個(gè)半圓環(huán)上均勻分布線電荷l ，求垂直于圓平面的軸線上za 處的電場(chǎng)強(qiáng)度E (0,0, a) ，設(shè)半圓環(huán)的半徑也為a ，如題.圖所示。2 6解半圓環(huán)上的電荷元l dllad在軸線上 za 處的電場(chǎng)強(qiáng)度為dElarrd40( 2a)3lez(ex cosey sin)d82a0在半圓環(huán)上對(duì)上式積分，得到軸線上za 處的電場(chǎng)強(qiáng)度為E (0,0, a)d E2l (ezex 2)lez( ex cose

5、y sin)d820a820a2題 2.6圖2.7 三根長度均為 L ，均勻帶電荷密度分別為l1 、 l 2 和 l3地線電荷構(gòu)成等邊三角形。 設(shè)l12l 22 l 3 ，計(jì)算三角形中心處的電場(chǎng)強(qiáng)度。解建立題2.7 圖所示的坐標(biāo)系。三角形中心到各邊的距離為dL tan30o3 L則26l1oo3l 1E1ey40d (cos30cos150)ey 20 Loo3 l 23 l 1E2(ex cos30ey sin30 )20 L(ex3 ey )8 0 LE3(ex cos30oey sin30o)3l 3(ex3ey )3l1題 2.7圖2 0 L8 0L故等邊三角形中心處的電場(chǎng)強(qiáng)度為E E

6、1E2E3ey3l1(ex 3 ey ) 3l1(ex3 ey ) 3 l1ey3l 120 L80L8 0 L40 L2.8點(diǎn)電荷q 位于 (a,0,0) 處，另點(diǎn)電荷2q 位于 (a,0,0) 處，空間有沒有電場(chǎng)強(qiáng)度 E0 的點(diǎn)？解電荷 q 在 ( x, y, z) 處產(chǎn)生的電場(chǎng)為.E1qex (x a) ey y ezz40 ( x a)2y2z2 3 2電荷2q 在 ( x, y, z) 處產(chǎn)生的電場(chǎng)為E 22q ex ( x a) ey y ez z4 0 ( x a) 2y 2z2 3 2( x, y, z) 處的電場(chǎng)則為 EE1E2。令 E0 ，則有ex ( xa)ey yez

7、z2ex ( x a) ey yez z( x a)2y 2z2 3 2( x a)2y2z2 3 2由上式兩端對(duì)應(yīng)分量相等，可得到(x a)( xa)2y 2z2 3 22( x a)( xa)2y2z2 3 2y( xa) 2y2z2 3 22 y( xa)2y2z2 3 2z( xa)2y2z2 3 22z( xa) 2y2z2 3 2當(dāng) y0 或 z0 時(shí)，將式或式代入式，得a0 。所以， 當(dāng) y0 或 z0 時(shí)無解；當(dāng) y0且 z0 時(shí)，由式，有(x a)( x a)32( xa)( xa)3解得x(32 2) a但 x3a 2 2a 不合題意，故僅在(3a2 2a,0,0) 處電場(chǎng)

8、強(qiáng)度 E0 。29一個(gè)很薄的無限大導(dǎo)電帶電面，電荷面密度為。證明：垂直于平面的 z 軸上 z z0處的電場(chǎng)強(qiáng)度 E 中，有一半是有平面上半徑為3z0 的圓內(nèi)的電荷產(chǎn)生的。解半徑為 r 、電荷線密度為ldr 的帶電細(xì)圓環(huán)在z 軸上 z z0處的電場(chǎng)強(qiáng)度為r z0 d rd Eez 2 0 (r 2z02)3 2故整個(gè)導(dǎo)電帶電面在z軸上 z z0 處的電場(chǎng)強(qiáng)度為r z0 drz01ez 2 0E ez 0 2 0 (r 2z02 )3 2ez 2 0 (r 2z02 )1 20而半徑為3z0 的圓內(nèi)的電荷產(chǎn)生在z軸上 zz0 處的電場(chǎng)強(qiáng)度為3z0rz0 d rz03z0Eezez10 2 0 (r

9、 2 z02)2 0 (r 2ez3 2z02 )1 2 04 02.10 一個(gè)半徑為 a 的導(dǎo)體球帶電荷量為Q ，當(dāng)球體以均勻角速度 繞一個(gè)直徑旋轉(zhuǎn)，如題2.10 圖所示。求球心處的磁感應(yīng)強(qiáng)度B 。題 2.10 圖解球面上的電荷面密度為Q4a2rer a 點(diǎn)處的電流面密度為當(dāng)球體以均勻角速度繞一個(gè)直徑旋轉(zhuǎn)時(shí)，球面上位置矢量J Sv rezer aea sineQ sin4a將球面劃分為無數(shù)個(gè)寬度為dla d的細(xì)圓環(huán)，則球面上任一個(gè)寬度為d l a d細(xì)1 E2.圓環(huán)的電流為d IJ S dlQsind4細(xì)圓環(huán)的半徑為 basinda cos，圓環(huán)平面到球心的距離，利用電流圓環(huán)的軸線上的磁場(chǎng)公

10、式，則該細(xì)圓環(huán)電流在球心處產(chǎn)生的磁場(chǎng)為d B ez0b2 d Iez0Qa2 sin 3d0Q sin 3d2d2)3 22sin2a22)3 2ez8a2(b8 (acos故整個(gè)球面電流在球心處產(chǎn)生的磁場(chǎng)為0Q sin30QBez08adeza62.11 圖2.11 兩個(gè)半徑為 b 、同軸的相同線圈，各有N 匝，相互隔開距離為d ，如題所示。電流 I以相同的方向流過這兩個(gè)線圈。（1）求這兩個(gè)線圈中心點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度Bex Bx ；（2）證明：在中點(diǎn)處d Bxd x等于零；（ 3）求出 b 與 d 之間的關(guān)系，使中點(diǎn)處d 2 Bxd x 2也等于零。解 （1）由細(xì)圓環(huán)電流在其軸線上的磁感應(yīng)強(qiáng)度

11、0 Ia 2Bez 2(a2z2 )3 2得到兩個(gè)線圈中心點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度為Bex (b20 NIb 2d 2 4)3 22）兩線圈的電流在其軸線上x (0（xd ) 處的磁感應(yīng)強(qiáng)度為Bex0 NIb 20NIb 22(b2x2 )3 22b2(dx)2 3 2所以d Bx30 NIb 2 x30 NIb 2 (dx)d x2(b2x2 )5 22b2( d x)2 5 2故在中點(diǎn) xd 2 處，有d Bx30 NIb 2 d 23 0 NIb 2 d 20d x2b2d245 22b2d245 2（ 3）d2 Bx150 NIb 2 x230 NIb 2題 2.11 圖d x22( b2x2

12、 )7 22(b2x2 )5 2150 NIb 2 (dx) 230 NIb 22b2(dx)2 7 22b2( d x)2 5 2令d 2 Bx0，有5d 2 410d x2x d 2b 2d 2 4 7 2b 2d 2 45 2即5 d 2 4b2d 24故解得db2.12一條扁平的直導(dǎo)體帶，寬為2a ，中心線與 z 軸重合，通過的電流為 I 。證明在第一象限內(nèi)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為Bx0I，4a0 Iln r2By式中 、r1 和 r2如題2.12圖所示。4 ar1解將導(dǎo)體帶劃分為無數(shù)個(gè)寬度為d x 的細(xì)條.題 2.12 圖.帶，每一細(xì)條帶的電流dIIdx 。由安培環(huán)路定理， 可得位于 x 處的

13、細(xì)條帶的電流dI 在2a點(diǎn) P( x, y) 處的磁場(chǎng)為d B0 d I0 I d x0 I d x2R4aR4a( xx ) 2y2 1 2則d Bxd B sin0 Iy d x4a( x x )2y2 d Byd Bcos0I (xx )d x4a( xx ) 2y2 所以a0 Iy d x0 IxxaBxarctana 4a( xx )2y2 4yaa0Iarctanaxarctanax4ayy0Iarctanxaarctan xa4ayy0I1)0 I4(24aaa0 I ( x x )d x0Ia22Byx )a 4a( xx )2y2ln( xy8 aa0 I( x a) 2y2

14、0 Ilnr2ln2y24 ar18 a ( x a)2.13 如題 2.13圖所示，有一個(gè)電矩為p1 的電偶極子，位于坐標(biāo)原點(diǎn)上，另一個(gè)電矩為 p2 的電偶極子，位于矢徑為r 的某一點(diǎn)上。試證明兩偶極子之間相互作用力為Fr3p1 p2(sin 1 sin 2 cos2cos 1 cos 2 )40r 4式中 1r , p1， 2r, p2，是兩個(gè)平面 (r , p1) 和 (r, p2 ) 間的夾角。并問兩個(gè)偶極子在怎樣的相對(duì)取向下這個(gè)力值最大？解電偶極子 p1 在矢徑為 r 的點(diǎn)上產(chǎn)生的電場(chǎng)為1gp1E13( p1 r)r4r5r30所以 p1 與 p 2 之間的相互作用能為因?yàn)?Wep2

15、 gE1r , p1，2p1grp2grggg1 3( p1 r )( p2r) p1p2r5r34 0r, p2，則題 2.13 圖p1r cos 1p2r cos 2又因?yàn)槭莾蓚€(gè)平面 (r , p1) 和 (r , p2 ) 間的夾角，所以有(rp1 )g(rp2 )r 2 p1 p2 sin 1 sin 2 cos另一方面，利用矢量恒等式可得.(r p1 )g( r p2 )( rp1) r gp2r 2 p1(r gp1) r gp2r 2 ( p1gp2 ) (r gp1)( r gp2 )因此( p1gp2 )12 ( rp1 )g(rp2 )(r gp1)( r gp2 )p1p

16、2 sin 1 sin2 cosp1p2 cos 1 cos 2rp1 p2于是得到We40r 3 ( sin 1 sin 2 cos2cos 1 cos 2 )故兩偶極子之間的相互作用力為FrWep1 p2( sin 1 sin2 cosd1)qconst42cos 1 cos 2 )(3r0d rr3p1 p240r 4 ( sin 1 sin 2 cos2cos 1 cos 2 )由上式可見，當(dāng)120時(shí)，即兩個(gè)偶極子共線時(shí)，相互作用力值最大。2.14兩平行無限長直線電流I1 和 I 2 ，相距為 d ，求每根導(dǎo)線單位長度受到的安培力Fm 。解 無限長直線電流I1 產(chǎn)生的磁場(chǎng)為B1e0 I

17、12 r10I1I 2直線電流 I 2每單位長度受到的安培力為Fm12I 2ez B1 d ze12d02式中 e12 是由電流 I1 指向電流 I 2 的單位矢量。同理可得，直線電流I1每單位長度受到的安培力為Fm21Fm120I1I2e122 d2.15 一根通電流 I1 的無限長直導(dǎo)線和一個(gè)通電流I 2 的圓環(huán)在同一平面上， 圓心與導(dǎo)線的距離為 d ，如題2.15 圖所示。證明：兩電流間相互作用的安培力為Fm0 I1I 2 (sec1)這里是圓環(huán)在直線最接近圓環(huán)的點(diǎn)所張的角。解無限長直線電流I1 產(chǎn)生的磁場(chǎng)為B1e0 I12r圓環(huán)上的電流元 I 2d l 2 受到的安培力為d FmI 2

18、 d l 2B1d l2 ey0I1I22 x由題2 15圖可知dl 2(ex sinez cos)a d題 2.15 圖.2xda cos0 aI1 I 2所以Fm(ez sinex cos)d2 (da cos0)ex0aI 1I 22cos2(dd0a cos )ex0aI 1I 2 (2d2)ex0 I 1I 2 (sec 1)2aad2a22.16證 明 在 不 均 勻 的 電 場(chǎng) 中 ， 某 一 電 偶 極 子 p 繞 坐 標(biāo) 原 點(diǎn) 所 受 到 的 力 矩 為.r( pg )E p E 。p 繞坐標(biāo)原點(diǎn)所受到的力矩為解 如題 2.16圖所示，設(shè) p qdl (d l1)，則電偶極

19、子Tr2qE(r2 )r1 qE(r1 )(rd ld ld ldl) qE(r) (r) qE(r2222qr E (rdl ) E(rdl ) q dl E(rdl ) E(rdl )dl 122222當(dāng)時(shí)，有E(rdl ) E(r ) ( dl) E(r )22E(rd l ) E(r ) ( d l)E(r )22故得到T r (qdl)E(r ) qd l E(r )r( pg)Ep E題 2.16圖.第三章習(xí)題解答3.1 真空中半徑為a 的一個(gè)球面， 球的兩極點(diǎn)處分別設(shè)置點(diǎn)電荷q 和 q ，試計(jì)算球赤道平面上電通密度的通量(如題 3.1圖所示 )。解由點(diǎn)電荷 q 和q 共同產(chǎn)生的電

20、通密度為赤道平面Dq R3R3 q4RRaq er r ez ( z a)er r ez ( z a)4 r 2( z a)2 3 2r 2( z a)2 3 2則球赤道平面上電通密度的通量D gd SD gez z0 d SSSqqa(a)a3 2 2 r d r4( r22)3 2(r22題 3.1圖0aa )qaa1(1)q0.293q(r 2a2 )1 2023.21911 年盧瑟福在實(shí)驗(yàn)中使用的是半徑為ra 的球體原子模型， 其球體內(nèi)均勻分布有總電荷量為Ze 的電子云，在球心有一正電荷Ze （ Z 是原子序數(shù)， e 是質(zhì)子電荷量） ，通過實(shí)驗(yàn)得到球體內(nèi)的電通量密度表達(dá)式為DeZe1r

21、，試證明之。0r 4r 2ra3解位于球心的正電荷Ze 球體內(nèi)產(chǎn)生的電通量密度為D1erZe4r 2原子內(nèi)電子云的電荷體密度為Ze3Ze4ra334ra3b電子云在原子內(nèi)產(chǎn)生的電通量密度則為4r 3 3Zer0aD2 ererc4r243ra故原子內(nèi)總的電通量密度為DDDeZe1r題 3. 3 圖 (a)12r 4r 2ra33.3電荷均勻分布于兩圓柱面間的區(qū)域中，體密度為0 C m 3,兩圓柱面半徑分別為a 和 b ，軸線相距為 c (c ba) ，如題3.3 圖 (a) 所示。求空間各部分的電場(chǎng)。解由于兩圓柱面間的電荷不是軸對(duì)稱分布，不能直接用高斯定律求解。但可把半徑為a 的小圓柱面內(nèi)看作同時(shí)具有體密度分別為0 的兩種電荷分布， 這樣在半徑為 b 的整個(gè)圓柱體內(nèi)具有體密度為0 的