專題確定帶電粒子在磁場中運動軌跡的方法

1、完美.格式.編輯確定帶電粒子在磁場中運動軌跡的方法帶電粒子在勻強磁場中作圓周運動的問題是近幾年高考的熱點,這些考題不但涉及到洛倫茲力作用下的動力學(xué)問題,而且往往與平面圖形的幾何關(guān)系相聯(lián)系,成為考查學(xué)生綜合分析問題、運用數(shù)字知識解決物理問題的難度較 大的考題.但無論這類問題情景多么新奇、設(shè)問多么巧妙,其關(guān)鍵一點在于標(biāo)準(zhǔn)、準(zhǔn)確地畫出帶電粒子的運動軌跡. 只要確定了帶電粒子的運動軌跡,問題便迎刃而解.下面舉幾種確定帶電粒子運動軌跡的方法.一、對稱法帶電粒子如果從勻強磁場的直線邊界射入又從該邊界射出,那么其軌跡關(guān)于入射點和出射點線段的中垂線對稱,且入射速度方向與出射速度方向與邊界的夾角相等如圖 1；帶

2、電粒子如果沿半徑方向射入具有圓形邊界的勻強 磁場,那么其射出磁場時速度延長線必過圓心如圖 2.利用這兩個結(jié)論可以輕松畫出帶電粒子的運動軌跡,找出 相應(yīng)的幾何關(guān)系.圖一1m-2例1.如圖3所示,直線 MN上方有磁感應(yīng)強度為B的勻強磁場.正、負(fù)電子同時從同一點0 以與 MN成 30°角的同樣速度v射入磁場電子質(zhì)量為m電荷為e,它們從磁場中射出時相距多遠(yuǎn)？射出的時間差是多少?AT解析:正、負(fù)電子的半徑和周期是相同的.只是偏轉(zhuǎn)方向相反.先確定圓心,畫出半徑和軌跡如圖4),由對稱性知：射入、射出點和圓心恰好組成正三角形.所以兩個射出點相距-,由圖還看出經(jīng)歷時間相差-,所以解此題的關(guān)鍵是找圓心、

3、找半徑和用對稱.例2.如圖5所示,在半徑為r的圓形區(qū)域內(nèi),有一個勻強磁場.一帶電粒子以速度vo從M點沿半徑方向射入磁場區(qū),并由 N點射出,0點為圓心.當(dāng)/ MOP4120.時,求：帶電粒子在磁場區(qū)的偏轉(zhuǎn)半徑R及在磁場區(qū)中的運動時間.專業(yè).資料.整理解析：分別過MN點作半徑OMON勺垂線,此兩垂線的交點 0'即為帶電粒子作圓周運動時圓弧軌道的圓心,如圖6所示.由圖中的幾何關(guān)系可知,圓弧MN所對的軌道圓心角為60°, O 0'的邊線為該圓心角的角平分線,由此可得帶電粒子圓軌道半徑為又帶電粒子的軌道半徑可表示為:故帶電粒子運動周期:帶電粒子在磁場區(qū)域中運動的時間二、旋轉(zhuǎn)圓法

4、在磁場中向垂直于磁場的各個方向發(fā)射速度大小相同的帶電粒子時,的半徑相同的動態(tài)圓如圖7,用這一規(guī)律可快速確定粒子的運動軌跡.帶電粒子的運動軌跡是圍繞發(fā)射點旋轉(zhuǎn).1- 例3.如圖8所示,S為電子源,它在紙面360°度范圍內(nèi)發(fā)射速度大小為vo,質(zhì)量為m電量為q的電子q<0,MN是一塊足夠大的豎直擋板,與S的水平距離為L,擋板左側(cè)充滿垂直紙面向外的勻強磁場,磁感應(yīng)強度大小為mv/qL,求擋板被電子擊中的范圍為多大？iif'-iI-解析：由于粒子從同一點向各個方向發(fā)射,粒子的軌跡為繞S點旋轉(zhuǎn)的動態(tài)圓,且動態(tài)圓的每一個圓都是逆時針旋轉(zhuǎn),這樣可以作出打到最高點與最低點的軌跡,如圖9所

5、示,最高點為動態(tài)圓與 MN勺相切時的交點 P,最低點為動態(tài)圓與 MN相割,且SQ為直徑時Q為最低點,帶電粒子在磁場中作圓周運動,由洛侖茲力提供向心力,由得:SQ為直徑,那么：SQ=2L, SO=L,由幾何關(guān)系得：P為切點,所以O(shè)圧L ,所以粒子能擊中的范圍為一.例4. 2021全國新課程卷如圖10所示,在-范圍內(nèi)有垂直于 xy平面向外的勻強磁場,磁感應(yīng)強度大小為 B坐標(biāo)原點O處有一個粒子源,在某時刻發(fā)射大量質(zhì)量為 m電荷量為q的帶正電粒子,它們 的速度大小相同,速度方向均在xy平面內(nèi),與y軸正方向的夾角分布在 090°范圍內(nèi).己知粒子在磁場中做圓周 運動的半徑介于-到 a之間,從發(fā)射

6、粒子到粒子全部離開磁場經(jīng)歷的時間恰好為粒子在磁場中做圓周運動周期的四 分之一.求最后離開磁場的粒子從粒子源射出時的：1速度大??；2速度方向與y軸正方向夾角正弦.解析：設(shè)粒子的發(fā)射速度為 v,粒子做圓周運動的半徑為R,由牛頓第二定律和洛侖茲力公式得：-解得： .從O點以半徑R v V作“動態(tài)圓,如圖11所示,由圖不難看出,在磁場中運動時間最長的粒子,其 軌跡是圓心為 C的圓弧,圓弧與磁場的邊界相切.設(shè)該粒子在磁場中的運動時間為t,依題意,所以/ =專業(yè).資料.整理設(shè)最后離開磁場的粒子的發(fā)射方向與y軸正方向的夾角為 a,由幾何關(guān)系得:_ ,再加上,解得: 三、縮放圓法帶電粒子以大小不同,方向相同的

7、速度垂直射入勻強磁場中,作圓周運動的半徑隨著速 度的變化而變化,因此其軌跡為半徑縮放的動態(tài)圓如圖12,利用縮放的動態(tài)圓,可以探索出臨界點的軌跡,使問題得到解決.圖-123-1*例5.如圖13所示,勻強磁場中磁感應(yīng)強度為B,寬度為d, 電子從左邊界垂直勻強磁場射入,入射方向與邊界 的夾角為B,電子的質(zhì)量為 m電量為e,要使電子能從軌道的另一側(cè)射出,求電子速度大小的范圍.解析：如圖14所示,當(dāng)入射速度很小時電子會在磁場中轉(zhuǎn)動一段圓弧后又從同一側(cè)射出,速率越大,軌道 半徑越大,當(dāng)軌道與邊界相切時,電子恰好不能從另一側(cè)射出,當(dāng)速率大于這個臨界值時便從右邊界射出,設(shè)此時 的速率為Vo,帶電粒子在磁場中作

8、圓周運動,由幾何關(guān)系得：r+r cos 0 =d電子在磁場中運動時洛倫茲力提供向心力：-,所以:聯(lián)立解得：,所以電子從另一側(cè)射出的條件是速度大于.例6. 2021全國II卷如圖15所示,左邊有一對平行金屬板,兩板的距離為d,電壓為U兩板間有勻強磁場,磁感應(yīng)強度為 Bo,方面平行于板面并垂直紙面朝里.圖中右邊有一邊長為a的正三角形區(qū)域 EFGEF邊與金屬板垂直,在此區(qū)域內(nèi)及其邊界上也有勻強磁場,磁感應(yīng)強度大小為B,方向垂直紙面向里.假設(shè)一系列電荷量為q的正離子沿平行于金屬板面、垂直于磁場的方向射入金屬板之間,沿同一方向射出金屬板間的區(qū)域,并經(jīng)EF邊中點H射入磁場區(qū)域.不計重力.1 這些離子中的離

9、子甲到達邊界EG后,從邊界EF穿出磁場,求離子甲的質(zhì)量；2 這些離子中的離子乙從EG邊上的I點圖中未畫出穿出磁場,且 GI長為3a/4,求離子乙的質(zhì)量；3假設(shè)這些離子中的最輕離子的質(zhì)量等于離子甲質(zhì)量的一半,而離子乙的質(zhì)量是最大的,問磁場邊界上什么區(qū)域 內(nèi)可能有離子到達？S-16解析：由題意知,所有離子在平行金屬板之間做勻速直線運動,那么有：qvB0=ql/d,解得離子的速度為：v=U/Bd為一定數(shù)值.雖然離子速度大小不變,但質(zhì)量m改變,結(jié)合帶電離子在磁場中做勻速圓周運動的半徑公式R=mv/qB分析,可畫出不同質(zhì)量的帶電離子在磁場中的運動軌跡,如圖16中的動態(tài)圓.完美.格式.編輯(1)由題意知,

10、離子甲的運動軌跡是圖17中的半圓,半圓與 EG邊相切于A點,與EF邊垂直相交于 B點,由幾何關(guān)系可得半徑：甲 °.一 - ,從而求得離子甲的質(zhì)量 甲(2)離子乙的運動軌跡如圖18所示,在 EIQ中,由余弦定理得:專業(yè).資料.整理解得乙從而求得乙離子的質(zhì)量乙(3)由半徑公式 R=mv/qB可知R* m結(jié)合(1)( 2)問分析可得:假設(shè)離子的質(zhì)量滿足m甲/2 <m甲,那么所有離子都垂直EH邊離開磁場,離開磁場的位置到H的距離介于R甲到2R甲之間,即假設(shè)離子的質(zhì)量滿足m甲 <mc m乙,那么所有離子都從 EG邊離開磁場,離開磁場的位置介于A到I之間,其中AE的距離,IE距離 -

11、°四、臨界法以題目中的“恰好“最大 “最高“至少等詞語為突破口,借助半徑r和速度v以及磁場B之間的約束關(guān)系進行動態(tài)軌跡分析,確定軌跡圓和邊界的關(guān)系,找出臨界點,然后利用數(shù)學(xué)方法求解極值,畫出臨界點的軌 跡是解題的關(guān)鍵.例7.長為L的水平極板間,有垂直紙面向內(nèi)的勻強磁場,如圖19所示,磁感應(yīng)強度為B,板間距離也為L,兩極板不帶電,現(xiàn)有質(zhì)量為 m電量為q的帶負(fù)電粒子(不計重力)從左邊極板間中點處垂直磁感線以水平速度v射入磁場,欲使粒子打到極板上,求初速度的范圍.解析：由左手定那么判定受力向下,所以向下偏轉(zhuǎn),恰好打到下板右邊界和左邊界為兩個臨界狀態(tài),分別作出兩個狀態(tài)的軌跡圖, 如圖20、圖

12、21所示,打到右邊界時,在直角三角形 OA沖,由幾何關(guān)系得：- 解 得軌道半徑電子在磁場中運動時洛倫茲力提供向心力- 因此 -打在左側(cè)邊界時,如圖 21所示,由幾何關(guān)系得軌跡半徑-電子在磁場中運動時洛倫茲力提供向心力,- 所以 -所以打在板上時速度的范圍為二V <_ 例8.如圖22,一足夠長的矩形區(qū)域 abed內(nèi)充滿磁感應(yīng)強度為 B,方向垂直紙面向里的勻強磁場,現(xiàn)從矩形區(qū)域ad邊中點O射出與Od邊夾角為30°,大小為Vo的帶電粒子,粒子質(zhì)量為m,電量為q, ad邊長為L, ab邊足夠長,粒子重力忽略不計.求：1試求粒子能從 ab邊上射出磁場的 vo的大小范圍;2粒子在磁場中運動

13、的最長時間和在這種情況下粒子從磁場中射出所在邊上位置的范圍.解析:1畫出從O點射入磁場的粒子運動軌跡的動態(tài)圓,能夠從ab邊射出的粒子的臨界軌跡如圖23所示,軌跡與de邊相切時,射到 ab邊上的A點,此時軌跡圓心為 O,那么軌道半徑ri=L,由-得最大速度軌跡與ab邊相切時,射到ab邊上的B點,此時軌跡圓心為 Q,那么軌道半徑得最小速度O所以粒子能夠從ab邊射出的速度范圍為：一 .2當(dāng)粒子從ad邊射出時,時間均相等,且為最長時間,因轉(zhuǎn)過的圓心角為300 ° ,所以最長時間：-,射出的范圍為：.通過以上分析不難發(fā)現(xiàn),對于帶電粒子在磁場中的運動問題,解題的關(guān)鍵是畫出帶電粒子在勻強磁場中的運

14、動 軌跡,如果能夠熟練掌握帶電粒子在磁場中運動軌跡的上述四種畫法,很多問題都可以迎刃而解.涉及圓周的某些綜合題,常要在圓周里構(gòu)建直角三角形來幫助解答.這些直角三角形大多由該圓周的半徑、弦 或切線構(gòu)成.這里用幾道高考“壓軸題為例來說明.例22007全國2如下圖,在坐標(biāo)系 Oxy的第一象限中存在沿 y軸正方向的勻強電場,場強大小為E.在其它象限中存在勻強磁場,磁場方向垂直于紙面向里.A是y軸上的一點,它到坐標(biāo)原點O的距離為h； C是x軸上的一點,到O的距離為I.一質(zhì)量為m,電荷量為q的帶負(fù)電的粒子以某一初速度沿x軸方向從A點進入電場區(qū)域,繼而通過C點進入磁場區(qū)域.并再次通過A點,此時速度方向與y軸

15、正方向成銳角.不計重力作用.試求：冷 :|1 粒子經(jīng)過c點速度的大小和方向；< .X H 4 ri >c a* K 3 K a K.H h x 11 A If *2磁感應(yīng)強度的大小 B.分析：運動過程包含類平拋和勻速圓周運動.第2問較難.欲求 B值,要先算出圓周半徑 R,應(yīng)構(gòu)建相應(yīng)的直角三角形,如下列圖中的" APD以及"CPE .再由的h和L來求解見解答中的式和11.解：1 以a表示粒子在電場作用下的加速度,有加速度沿y軸負(fù)方向.設(shè)粒子從 A點進入電場時的初速度為V.,由A點運動到C點經(jīng)歷的時間為t,那么有? -=由式得vo= L ?設(shè)粒子從點進入磁場時的速度

16、為V , V垂直于x軸的分量V1=-由式得設(shè)粒子經(jīng)過V1 =X軸的夾角為a,那么有C點時的速度方向與=-由式得(2)粒子經(jīng)過C點進入磁場后在磁場中作速率為v的圓周運動.假設(shè)圓周的半徑為R,那么有設(shè)圓心為P,貝U PC必與過C點的速度垂直,且有 PC=PA=R用B表示PAW y軸的夾角,由幾何關(guān)系得=+=1由(11)式解得R=2由(12)式得B=-(13)值得歸納的是,例題1和例題2有共通的地方,即利用兩個直角三角形, 來建立兩個長度和一個未知半徑 的聯(lián)系.題1中是用a、a/2求半徑R;題2中是用h、I求半徑R,而接下來的例題 3,仍然涉及兩個直角三角形, 但這次是用兩個的半徑來求解一個未知的長

17、度.(1)磁感應(yīng)強度的大小和方向(提示：可考慮沿CM方向運動的離子為研究對象)；例3 (2021重慶)下列圖是一種質(zhì)譜儀的工作原理示意圖.在以 O為圓心,OH為對稱軸,夾角為2a的扇形區(qū)域 內(nèi)分布著方向垂直于紙面的勻強磁場. 對稱于OH軸的C和D分別是離子發(fā)射點和收集點. CM垂直磁場左邊界于 M 且OMd.現(xiàn)有一正離子束以小發(fā)散角(紙面內(nèi))從 C射出,這些離子在 CM方向上的分速度均為 .假設(shè)該離子束中 比荷為的離子都能會聚到 D,試求：(2)離子沿與CM成 0角的直線CN進入磁場,其軌道半徑和在磁場中的運動時間;(3)線段CM的長度.分析：在第2問的過程中,圓心上移了,但運動軌跡是對稱的；

18、第3問難度加大,而下列圖中的和",會有助于建立量 0M和O N,與未知量NM之間的聯(lián)系見解答中的式,便于CM的求解.解：1設(shè)沿CM方向運動的離子在磁場中做圓周運動的軌道半徑為R,由- 且R=d 得：=-由左手定那么知,磁場方向垂直紙面向外.2設(shè)沿CN運動的離子速度大小為 v,在磁場中的軌道半徑為 R ,運動時間為 t ,由 =-且聯(lián)立得離子在磁場中做勻速圓周運動的周期=-結(jié)合得,也能得出一-,可代替式.3 由圖可知再由聯(lián)立求解得注：假設(shè)引入正弦定理,利用非直角三角形跳出磁場,在其他力學(xué)問題中,圓周與直角三角形也有“配合.比方下面這道例題4.例4 08全國2我國發(fā)射的“嫦娥一號探月衛(wèi)星沿近似于圓形的軌道繞月飛行.為了獲得月球外表全