高中數(shù)學(xué)新課程創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計案例--任意角的三角函數(shù)

1、32 任意角的三角函數(shù)教材分析這節(jié)課是在初中學(xué)習(xí)的銳角三角函數(shù)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步學(xué)習(xí)任意角的三角函數(shù)任意角的三角函數(shù)通常是借助直角坐標(biāo)系來定義的三角函數(shù)的定義是本章教學(xué)內(nèi)容的基本概念和重要概念，也是學(xué)習(xí)后續(xù)內(nèi)容的基礎(chǔ)，更是學(xué)好本章內(nèi)容的關(guān)鍵因此，要重點地體會、理解和掌握三角函數(shù)的定義在此基礎(chǔ)上，這節(jié)課又進(jìn)一步研討了三角函數(shù)的定義域，函數(shù)值在各象限的符號，以及誘導(dǎo)公式（一），這既是對三角函數(shù)的簡單應(yīng)用，也是為學(xué)習(xí)后續(xù)內(nèi)容做了必要準(zhǔn)備教學(xué)目標(biāo)1. 讓學(xué)生認(rèn)識三角函數(shù)推廣的必要性，經(jīng)歷三角函數(shù)的推廣的過程，增強對數(shù)的理解能力2. 理解和掌握三角函數(shù)的定義，在此基礎(chǔ)上探索與研究三角函數(shù)定義域、三角函數(shù)值

2、的符號和誘導(dǎo)公式（一），并能初步應(yīng)用它們解決一些問題3. 通過對任意角的三角函數(shù)的學(xué)習(xí)，初步體會數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展和運用的過程，提高學(xué)生的科學(xué)思維水平任務(wù)分析在初中，我們只是學(xué)習(xí)了銳角三角函數(shù)，現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是任意角的三角函數(shù)定義的對象從銳角三角函數(shù)推廣到任意角的三角函數(shù)，從四種三角函數(shù)增加到六種三角函數(shù)定義的媒介則從直角三角形改為平面直角坐標(biāo)系為了便于學(xué)生體會和理解，突出定義適用于任意角，通常要把終邊出現(xiàn)在四個象限的情況都畫出來（注意表示角時不用箭頭），學(xué)習(xí)時，必須弄清并強調(diào)：這六個比值的大小都與點P在角的終邊上的位置無關(guān)，只與角的大小有關(guān)，即它們都是以角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)，符合函

3、數(shù)的定義，從而歸納和總結(jié)出任意角的三角函數(shù)的定義對于三角函數(shù)的定義域、函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號和誘導(dǎo)公式（一），可放手讓學(xué)生探索、研究、討論和歸納，用以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力教學(xué)設(shè)計一、情景設(shè)置初中我們學(xué)習(xí)過銳角三角函數(shù)，知道它們都是以銳角為自變量，由其所在的直角三角形的對應(yīng)邊的比值為函數(shù)值，并且定義了角的正弦、余弦、正切、余切的三角函數(shù)這節(jié)課，我們研究當(dāng)是一個任意角時的三角函數(shù)的定義 在初中，三角函數(shù)的定義是借助直角三角形來定義的如圖32-1，在RtABC中，現(xiàn)在，把三角形放到坐標(biāo)系中如圖32-2，設(shè)點B的坐標(biāo)為（x，y），則OCbx，CBay，OB，從而即角的三角函數(shù)可以理解為坐標(biāo)

4、的比值，在此意義下對任意角都可以定義其三角函數(shù)二、建立模型一般地，設(shè)是任意角，以的頂點O為坐標(biāo)原點，以角的始邊的方向作為軸的正方向，建立直角坐標(biāo)系xOyP（x，y）為終邊上不同于原點的任一點如圖：那么，OP，記作r，（r0）對于三個量x，y，r，一般地，可以產(chǎn)生六個比值：.當(dāng)確定時，根據(jù)初中三角形相似的知識，可知這六個比值也隨之相應(yīng)的唯一確定根據(jù)函數(shù)的定義可以看出，這六個比值都是以角為自變量的函數(shù)，分別把稱之為角的正弦、余弦、正切、余切、正割和余割函數(shù)，記為對于定義，思考如下問題：1. 當(dāng)角確定后，比值與P點的位置有關(guān)嗎？為什么？2. 利用坐標(biāo)法定義三角函數(shù)與利用直角三角形定義三角函數(shù)有什么關(guān)

5、系？3. 任意角的正弦、余弦、正切都有意義嗎？為什么？三、解釋應(yīng)用例題1. 已知角的終邊經(jīng)過P（2，3），求角的六個三角函數(shù)值思考：若P（2，3）變?yōu)椋?m，3m）呢？（m0）2. 求下列角的六個三角函數(shù)值注：強化定義練習(xí)1. 已知角的終邊經(jīng)過下列各點，求角的六個三角函數(shù)值（1）P（3，4）（2）P（m，3）2. 計算（1）5sin90°2sin0°3sin270°10cos180°四、拓展延伸1. 由于角的集合與實數(shù)集之間可以建立一一對應(yīng)的關(guān)系，三角函數(shù)可以看成以實數(shù)為自變量的函數(shù)，如sina，不論取任何實數(shù)，恒有意義，所以sina的定義域為R類似地，

6、研究cosa，tana，cota的定義域2. 根據(jù)三角函數(shù)的定義以及x，y，r在不同象限內(nèi)的符號，研究sina，cosa，tana，cota的值在各個象限的符號3. 計算下列各組角的函數(shù)值，并歸納和總結(jié)出一般性的規(guī)律（1）sin30°，sin390°（2）cos45°，cos（315°）規(guī)律：終邊相同的角有相同的三角函數(shù)值，即sin（k360°）sina，cos（k·360°）cosa，tan（k·360°）tana，（kZ）五、應(yīng)用與深化例題1. 確定下列三角函數(shù)值的符號2. 求證：角為第三象限角的充要

7、條件是sin0，并且tan0證明：充分性：如果sin0，tan0都成立，那么為第三象限角sin0成立，所以的終邊可能位于第三或第四象限，也可能位于y軸的負(fù)半軸上又tan0成立，角的終邊可能位于第一或第三象限sin0，tan0都成立，角的終邊只能位于第三象限必要性：若為第三象限角，由三角函數(shù)值在各個象限的符號，知sin0，tan0從而結(jié)論成立練習(xí)1. 設(shè)是三角形的一個內(nèi)角，問：在sina，cosa，tana，tan中，哪些三角函數(shù)可能取負(fù)值？為什么？2. 函數(shù)的值域是 _ 點評這節(jié)課在設(shè)計上特別注意了以下幾點：前后知識的聯(lián)系，知識的產(chǎn)生、發(fā)展過程，如任意角的三角函數(shù)的定義，由初中所講“0°360°”的情況逐漸過渡到“任意角”的情況，講清了推廣的必要性及意義注重了知識的探究，如三角函數(shù)值在各象限的符號，及誘