高數(shù)講座(導數(shù)微分中值定理泰勒公式)

1、高等數(shù)學講座 第二講 導數(shù)與中值定理及應用一、 導數(shù)及其應用（一）導數(shù)的性質(zhì)1. （導函數(shù)的介值性） 設在上處處可導（在端點處存在單側(cè)導數(shù)），則，存在，使得。證明： 設，則在上處處可導，且。由于 ，故存在，有同理 ，故存在，有因此，都不是在上的最小值點，設是的最小值點，由費馬定理，即。導函數(shù)具有介值性，并不意味著導函數(shù)連續(xù)。2 （導函數(shù)無第一類間斷點） 設在上處處可導，證明：對開區(qū)間中的任意點，或者是的連續(xù)點，或是的第二類間斷點。亦就是說，導函數(shù)沒有第一類的間斷點。證明： 反證法 因為在上處處可導，即在上處處有定義。若導函數(shù)在上存在第一類的間斷點，則由第一類的間斷點的定義，有都存在，但不相等，

2、或雖相等但不等于若，于是，這與在處可導（存在）矛盾。如果，即，也與在處可導（存在）矛盾。因此只能是的連續(xù)點，或是的第二類間斷點。3. （單調(diào)的導函數(shù)必連續(xù)） 設在內(nèi)單調(diào)，證明在內(nèi)連續(xù)。證明： 反證法 不妨設在內(nèi)單調(diào)增加，若在內(nèi)不連續(xù)，設是的間斷點，因為單調(diào)函數(shù)只可能有第一類間斷點，即只有第一類間斷點，這與題2的結(jié)論矛盾。故單調(diào)的導函數(shù)必連續(xù)。（二）、函數(shù)的極值與最值1 設為偶函數(shù)，能否斷定x=0是的極值點？若分別附加條件：(1) 連續(xù)；(2) 存在; (3) 存在且不等于零,結(jié)論如何?討論：（1）若在x=0處不連續(xù)，則結(jié)論未必成立。如：； (2) 若僅在x=0處連續(xù)，則結(jié)論未必成立。如：； (

3、3) 若僅在x=0處可導，則結(jié)論未必成立。如：；(4) 若，則結(jié)論成立。這是因為在上，存在，且。2. 設在(0,2)內(nèi)有極小值0,其中常數(shù)a>1,求在(0,2)內(nèi)的一 個極大值。解： 令 ，得到兩個根， 且 （圖示）。因為，所以是的極大值點，是的極小值點，故由題設條件知，因此在(0,2)內(nèi)的一個極大值為。3. 設函數(shù)在上連續(xù)，在上二次可微，若，且，其中是一個給定的函數(shù)，證明。證明：設分別是在上的最大值和最小值，由條件知，。（i），則必有。（ii），如果，則存在最大值點，使，則。因，即又是最小值點，矛盾，因此。同理可證。所以。舉一反三練習： 設滿足方程1. 若在點x=c(c0)處取得極值,

4、試證它是極小值;2. 若在點x=0處取得極值,試問它是極小值還是極大值。4. （利用極值討論方程的根） 討論方程的實根個數(shù)，其中a>0為常數(shù)。解： 令，則連續(xù)，故方程在內(nèi)有根，但當，因此在內(nèi)有唯一實根。在上，考慮方程 令，則，當，當故 是的極小值。由于，因此（1）當時，是的唯一零點。（2）當時，在內(nèi)沒有零點。（3）當時，在內(nèi)各有一個零點。綜上所述，當時，原方程有惟一實根，且為負根；當時，原方程有兩個實根其中一個x=2，另一個是負根；當時，原方程有三個實根，一個負根，兩個正根分別在內(nèi)。本題中，當時，對原方程兩邊取對數(shù)，使問題得到簡化。這種方法經(jīng)常用到。(三) 函數(shù)不等式的證明思路一、利用函

5、數(shù)的單調(diào)性證明不等式i. 證明不等式 證明： 設，則在上可微，。 無法準確判斷的符號，再令，由于在上可微，故當，即，于是，在上嚴格單調(diào)減少，故不等式得證。本題解法的特點是連續(xù)兩次引進輔助函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式。舉一反三練習：證明 。思路二、利用函數(shù)的凹凸性證明不等式ii. 證明均值不等式 其中：為正實數(shù),，n為任意正整數(shù)。證明： 令，顯然的圖形是凹函數(shù)。由函數(shù)的凹凸性，有 其中：取 ，則 即 故 舉一反三練習：證明，其中x,y>0。思路三、把多參數(shù)的不等式轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)不等式的證明iii. 證明當時，恒有 證明： 欲證 成立，等價于證明 ，又等價于證明令，構(gòu)造輔助函數(shù) 在上可導

6、，且，由于，故在上嚴格單調(diào)增加，有，即 #舉一反三練習：設，證明當時，有 。思路四、利用函數(shù)的極值證不等式iv. 證明， 其中 證明： 令 只需證明在上的最小值大于等于，且最大值小于等于1即可。 ，由，解得的圖形為凹函數(shù)，它在處取得最小值，最小值為，最大值在區(qū)間的端點取到，即最大值=。故舉一反三練習：1. 設，若對一切的，恒有，試確定常數(shù) 最小應取何值。 2. 證明不等式 為正整數(shù)。二、 微分中值定理（一） 羅爾定理 在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間上可導，端點值相等，則存在，使得。 問題: 羅爾定理能否推廣？或減弱它的條件，結(jié)論照樣成立。1 設在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間上右導數(shù)存在且連續(xù)，且，證明存在

7、一點，使得。 分析： 為證明存在一點，使得，只需證明存在，使得，再由的連續(xù)性，用介值定理即可證明。注意到右導數(shù)的定義： 如果是最大值，這個極限式子的分子必小于等于0，而分母大于0，由函數(shù)極限的保號性，其極限必小于等于0，即，此處的就可以作為要找的。如果是最小值，這個極限式子的分子必大于等于0，而分母大于0，由函數(shù)極限的保號性，其極限必大于等于0，即，就可以作為要找的。證明： 若在閉區(qū)間上為常數(shù)，則開區(qū)間內(nèi)的任一點都可以當作所求的。如果不是常數(shù)，有的連續(xù)性，必在閉區(qū)間上取得最大值和最小值。因為，故最大值和最小值中必有一個在開區(qū)間內(nèi)取得。不妨設是的最大值點，則有上討論知。再任取一點，由于在上連續(xù)，

8、則在上存在最小值點，又有，最后再由右導數(shù)的連續(xù)性以及連續(xù)函數(shù)的介值定理得證。本題將羅爾定理的導數(shù)存在的條件減弱為右導數(shù)存在且連續(xù)。羅爾定理是有限區(qū)間上成立的中值定理，能否把有限區(qū)間推廣到無窮區(qū)間？2 設在上連續(xù)，在上可導，且，則存在，使得。 證法1： （運用費馬定理）如果能證明在上最小值或最大值在上的內(nèi)點取到，則由費馬定理馬上得到證明。如果恒成立，結(jié)論顯然成立。否則必存在，不妨假設，由條件知，對，當時，有，取，則，又因為，所以在上最小值只能在內(nèi)取到。由費馬定理，故存在，使得。 證法2： （運用介值定理） 如果恒成立，結(jié)論顯然成立。否則必存在，不妨假設，對任意，由連續(xù)函數(shù)的介值定理知存在，使得，

9、又因為，則，由函數(shù)極限的保號性知，存在，有，即有 ，再利用連續(xù)函數(shù)的介值定理得，使得。至此我們得到，于是在上對應用羅爾定理，存在，使得。證法3： （運用變量代換）能否將無窮區(qū)間通過變換轉(zhuǎn)化成有限區(qū)間，再利用有限區(qū)間上的羅爾定理？這種想法是可行的。做變量代換 則 ，顯然在上可導，且從而在上對應用羅爾定理，存在，使得，即令，且，即得。舉一反三練習： 設在上可導，且，試證存在一點，使得。 提示：構(gòu)造函數(shù)，顯然在上連續(xù)可導，且，因此滿足推廣的羅爾定理條件，故存在，使得。3 設在上二階可導，且，證明對任意的， 存在，使得。 證明： 顯然當時，任取，都有 成立 故只需證，存在，使所證等式成立。注意這里的是

10、依賴x的。任取，令，即滿足 ，于是我們只需證明存在，使，再由的任意性，即得證明。構(gòu)造輔助函數(shù) ，顯然。在區(qū)間上分別對函數(shù)應用羅爾定理，得到兩點，使，再在閉區(qū)間上，對應用羅爾定理，則存在，使得，即得。解題過程中先引入一個常數(shù)，然后證明這個就是我們要找的中值點的某階導數(shù)的值。這種方法被稱為待定常數(shù)法。在證明高階導數(shù)的中值等式時經(jīng)常用到。舉一反三練習： 設在上三階可導，且，證明對任意的，存在一點，使得。（二） 拉格朗日中值定理利用中值定理討論函數(shù)的性質(zhì)1. 設二階可導，且存在x0使得，又，證明有且僅有兩個零點。 證明： 由知，存在，有，由拉格朗日定理，于是存在，使 因此，存在，使得（零點定理）。同樣由，存在，有，由拉格朗日定理，于是存在，使 因此，存在，使得（零點定理）。由此證明了在上存在了兩個零點。下面證明僅有這兩個零點。反證法 若還存在的一個零點，即，兩次利用羅爾定理，可知存在，使得，這與題設條件矛盾。即在R上有且僅有兩個零點。（三） 泰勒公式利用泰勒公式討論函數(shù)的性質(zhì)1 設函數(shù)在0,1上二階可微，且證明。證明：因在0,1上連續(xù)，故有最大值。設是函數(shù)