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文檔簡介
1、-高三畢業(yè)班數學課本知識點整理歸納之三第三章 函數一、根底知識定義1 映射,對于任意兩個集合a,b,依對應法那么f,假設對a中的任意一個元素x,在b中都有唯一一個元素與之對應,那么稱f: ab為一個映射。定義2 單射,假設f: ab是一個映射且對任意x, ya, xy, 都有f(x)f(y)那么稱之為單射。定義3 滿射,假設f: ab是映射且對任意yb,都有一個xa使得f(x)=y,那么稱f: ab是a到b上的滿射。定義4 一一映射,假設f: ab既是單射又是滿射,那么叫做一一映射,只有一一映射存在逆映射,即從b到a由相反的對應法那么f-1構成的映射,記作f-1: ab。定義5 函數,映射f:
2、 ab中,假設a,b都是非空數集,那么這個映射為函數。a稱為它的定義域,假設xa, yb,且f(x)=y即x對應b中的y,那么y叫做x的象,x叫y的原象。集合f(x)|xa叫函數的值域。通常函數由解析式給出,此時函數定義域就是使解析式有意義的未知數的取值范圍,如函數y=3-1的定義域為x|x0,xr. 定義6 反函數,假設函數f: ab通常記作y=f(x)是一一映射,那么它的逆映射f-1: ab叫原函數的反函數,通常寫作y=f-1(x). 這里求反函數的過程是:在解析式y=f(x)中反解x得x=f-1(y),然后將x, y互換得y=f-1(x),最后指出反函數的定義域即原函數的值域。例如:函數
3、y=的反函數是y=1-(x0).定理1 互為反函數的兩個函數的圖象關于直線y=x對稱。定理2 在定義域上為增減函數的函數,其反函數必為增減函數。定義7 函數的性質。1單調性:設函數f(x)在區(qū)間i上滿足對任意的x1, x2i并且x1< x2,總有f(x1)<f(x2)(f(x)>f(x2),那么稱f(x)在區(qū)間i上是增減函數,區(qū)間i稱為單調增減區(qū)間。2奇偶性:設函數y=f(x)的定義域為d,且d是關于原點對稱的數集,假設對于任意的xd,都有f(-x)=-f(x),那么稱f(x)是奇函數;假設對任意的xd,都有f(-x)=f(x),那么稱f(x)是偶函數。奇函數的圖象關于原點對
4、稱,偶函數的圖象關于y軸對稱。3周期性:對于函數f(x),如果存在一個不為零的常數t,使得當x取定義域內每一個數時,f(x+t)=f(x)總成立,那么稱f(x)為周期函數,t稱為這個函數的周期,如果周期中存在最小的正數t0,那么這個正數叫做函數f(x)的最小正周期。定義8 如果實數a<b,那么數集x|a<x<b, xr叫做開區(qū)間,記作a,b,集合x|axb,xr記作閉區(qū)間a,b,集合x|a<xb記作半開半閉區(qū)間a,b,集合x|ax<b記作半閉半開區(qū)間a, b),集合x|x>a記作開區(qū)間a, +,集合x|xa記作半開半閉區(qū)間-,a.定義9 函數的圖象,點集(x
5、,y)|y=f(x), xd稱為函數y=f(x)的圖象,其中d為f(x)的定義域。通過畫圖不難得出函數y=f(x)的圖象與其他函數圖象之間的關系(a,b>0);1向右平移a個得到y=f(x-a)的圖象;2向左平移a個得到y=f(x+a)的圖象;3向下平移b個得到y=f(x)-b的圖象;4與函數y=f(-x)的圖象關于y軸對稱;5與函數y=-f(-x)的圖象關于原點成中心對稱;6與函數y=f-1(x)的圖象關于直線y=x對稱;7與函數y=-f(x)的圖象關于x軸對稱。定理3 復合函數y=fg(x)的單調性,記住四個字:“同增異減。例如y=, u=2-x在-,2上是減函數,y=在0,+上是減
6、函數,所以y=在-,2上是增函數。注:復合函數單調性的判斷方法為同增異減。這里不做嚴格論證,求導之后是顯然的。二、方法與例題xyx11x1數形結合法。例1 求方程|x-1|=的正根的個數.【解】 分別畫出y=|x-1|和y=的圖象,由圖象可知兩者有唯一交點,所以方程有一個正根。例2 求函數f(x)=的最大值?!窘狻?f(x)=,記點p(x, x2),a3,2,b0,1,那么f(x)表示動點p到點a和b距離的差。因為|pa|-|pa|ab|=,當且僅當p為ab延長線與拋物線y=x2的交點時等號成立。所以f(x)max=2.函數性質的應用。例3 設x, yr,且滿足,求x+y.【解】 設f(t)=
7、t3+1997t,先證f(t)在-,+上遞增。事實上,假設a<b,那么f(b)-f(a)=b3-a3+1997(b-a)=(b-a)(b2+ba+a2+1997)>0,所以f(t)遞增。由題設f(x-1)=-1=f(1-y),所以x-1=1-y,所以x+y=2.例4 奇函數f(x)在定義域-1,1內是減函數,又f(1-a)+f(1-a2)<0,求a的取值范圍?!窘狻?因為f(x) 是奇函數,所以f(1-a2)=-f(a2-1),由題設f(1-a)<f(a2-1)。又f(x)在定義域-1,1上遞減,所以-1<1-a<a2-1<1,解得0<
8、a<1。例5 設f(x)是定義在-,+上以2為周期的函數,對kz, 用ik表示區(qū)間(2k-1, 2k+1,當xi0時,f(x)=x2,求f(x)在ik上的解析式?!窘狻?設xik,那么2k-1<x2k+1,所以f(x-2k)=(x-2k)2.又因為f(x)是以2為周期的函數,所以當xik時,f(x)=f(x-2k)=(x-2k)2.例6 解方程:(3x-1)()+(2x-3)(+1)=0.【解】 令m=3x-1, n=2x-3,方程化為m(+1)+n(+1)=0. 假設m=0,那么由得n=0,但m, n不同時為0,所以m0, n0.)假設m>0,那么由得n<0,設f(t
9、)=t(+1),那么f(t)在0,+上是增函數。又f(m)=f(-n),所以m=-n,所以3x-1+2x-3=0,所以x=)假設m<0,且n>0。同理有m+n=0,x=,但與m<0矛盾。綜上,方程有唯一實數解x=3.配方法。例7 求函數y=x+的值域?!窘狻?y=x+=2x+1+2+1-1=(+1)-1-1=-.當x=-時,y取最小值-,所以函數值域是-,+。4換元法。例8 求函數y=(+2)(+1),x0,1的值域?!窘狻苛?=u,因為x0,1,所以2u2=2+24,所以u2,所以2,12,所以y=,u2+2,8。所以該函數值域為2+,8。5判別式法。例9 求函數y=的值域
10、?!窘狻坑珊瘮到馕鍪降?y-1)x2+3(y+1)x+4y-4=0. 當y1時,式是關于x的方程有實根。所以=9(y+1)2-16(y-1)20,解得y1.又當y=1時,存在x=0使解析式成立,所以函數值域為,7。6關于反函數。例10 假設函數y=f(x)定義域、值域均為r,且存在反函數。假設f(x)在(-,+ )上遞增,求證:y=f-1(x)在(-,+ )上也是增函數?!咀C明】設x1<x2, 且y1=f-1(x1), y2=f-1(x2),那么x1=f(y1), x2=f(y2),假設y1y2,那么因為f(x)在(-,+ )上遞增,所以x1x2與假設矛盾,所以y1<y2。即y=f
11、-1(x)在(-,+ )遞增。例11 設函數f(x)=,解方程:f(x)=f-1(x).【解】 首先f(x)定義域為-,-,+;其次,設x1, x2是定義域內變量,且x1<x2<-;=>0,所以f(x)在-,-上遞增,同理f(x)在-,+上遞增。在方程f(x)=f-1(x)中,記f(x)=f-1(x)=y,那么y0,又由f-1(x)=y得f(y)=x,所以x0,所以x,y-,+.假設xy,設x<y,那么f(x)=y<f(y)=x,矛盾。同理假設x>y也可得出矛盾。所以x=y.即f(x)=x,化簡得3x5+2x4-4x-1=0,即(x-1)(3x4+5x3+5
12、x2+5x+1)=0,因為x0,所以3x4+5x3+5x2+5x+1>0,所以x=1.三、根底訓練題1x=-1, 0, 1, y=-2, -1, 0, 1, 2,映射f:xy滿足:對任意的xx,它在y中的象f(x)使得x+f(x)為偶數,這樣的映射有_個。2給定a=1,2,3,b=-1,0,1和映射f:xy,假設f為單射,那么f有_個;假設f為滿射,那么f有_個;滿足ff(x) =f(x)的映射有_個。3假設直線y=k(x-2)與函數y=x2+2x圖象相交于點-1,-1,那么圖象與直線一共有_個交點。4函數y=f(x)的值域為,那么函數g(x)=f(x)+的值域為_。5f(x)=,那么函
13、數g(x)=ff(x)的值域為_。6f(x)=|x+a|,當x3時f(x)為增函數,那么a的取值范圍是_。7設y=f(x)在定義域,2內是增函數,那么y=f(x2-1)的單調遞減區(qū)間為_。8假設函數y=(x)存在反函數y=-1(x),那么y=-1(x)的圖象與y=-(-x)的圖象關于直線_對稱。9函數f(x)滿足=1-,那么f()=_。10. 函數y=, x(1, +)的反函數是_。11求以下函數的值域:1y=; (2)y=; (3)y=x+2; (4) y=12. 定義在r上,對任意xr, f(x)=f(x+2),且f(x)是偶函數,又當x2,3時,f(x)=x,那么當x-2,0時,求f(x
14、)的解析式。四、高考水平訓練題1a, f(x)定義域是0,1,那么g(x)=f(x+a)+f(x-a)+f(x)的定義域為_。2設0a<1時,f(x)=(a-1)x2-6ax+a+1恒為正值。那么f(x)定義域為_。3映射f: a, b, c, d1,2,3滿足10<f(a)·f(b)·f(c)·f(d)<20,這樣的映射f有_個。4設函數y=f(x)(xr)的值域為r,且為增函數,假設方程f(x)=x解集為p,ff(x)=x解集為q,那么p,q的關系為:p_q填=、。5以下函數是否為奇函數:1f(x)=(x-1);2g(x)=|2x+1|-|2
15、x-1| ; (3) (x)=;4y=6. 設函數y=f(x)(xr且x0),對任意非零實數x1, x2滿足f(x1x2)=f(x1)+f(x2),又f(x)在0,+是增函數,那么不等式f(x)+f(x-)0的解集為_。7函數f(x)=,其中p,m為r的兩個非空子集,又規(guī)定f(p)=y|y=f(x), xp, f(m)=y|y=f(x), xm,給出如下判斷:假設pm=,那么f(p) f(m)=;假設pm,那么f(p) f(m);假設pm=r, 那么f(p) f(m)=r;假設pmr,那么f(p) f(m)r. 其中正確的判斷是_。8函數y=f(x+1)的反函數是y=f-1(x+1),并且f(
16、1)=3997,那么f(1998)= _。9y=f(x)是定義域為-6,6的奇函數,且當x0,3時是一次函數,當x3,6時是二次函數,又f(6)=2,當x3,6時,f(x)f(5)=3。求f(x)的解析式。10設a>0,函數f(x)定義域為r,且f(x+a)=,求證:f(x)為周期函數。11設關于x的方程2x2-tx-2=0的兩根為,<,函數f(x)=,1求f()、f();2求證:f(x)在,上是增函數;3對任意正數x1, x2,求證:<2|-|.五、聯賽一試水平訓練題1奇函數f(x)存在函數f-1(x),假設把y=f(x)的圖象向上平移3個,然后向右平移2個后,再關于直線y
17、=-x對稱,得到的曲線所對應的函數是_.2假設a>0,a1,f(x)是奇函數,那么g(x)=f(x)是_奇偶性.3假設=x,那么以下等式中正確的有_.f(-2-x)=-2-f(x);f(-x)= ;f(x-1)=f(x);f(f(x)=-x.f:rr滿足f(0)=1,且對任意x,yr,都有f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2,那么f(x)=_.5f(x)是定義在r上的函數,f(1)=1,且對任意xr都有f(x+5)f(x)+5, f(x+1) f(x)+1。假設g(x)=f(x)+1-x,那么g()= _.6. 函數f(x)=的單調遞增區(qū)間是_.7. 函數f(x)=的奇偶性
18、是:_奇函數,_偶函數填是,非。8. 函數y=x+的值域為_.9設f(x)=,對任意的ar,記v(a)=maxf(x)-ax|x1, 3-minf(x)-ax|x1, 3,試求v(a)的最小值。10解方程組: 在實數范圍內11設kn+, f: n+n+滿足:1f(x)嚴格遞增;2對任意nn+, 有ff(n)=kn,求證:對任意nn+, 都有nf(n)六、聯賽二試水平訓練題1求證:恰有一個定義在所有非零實數上的函數f,滿足:1對任意x0, f(x)=x·f;2對所有的x-y且xy0,有f(x)+f(y)=1+f(x+y).f(x)對一切x>0有定義,且滿足:f(x)在0,+是增函數;()任意x>0, f(x)f=1,試求f(1).3. f:0,1r滿足:1任意x0, 1, f(x)0;2f(1)=1;3當x, y, x+y0, 1時,f(x)+f(y)f(x+y),試求最小常數c,對滿足1,2,3的函數f(x)都有f(x)cx.4. 試求f(x,y)=6(x2+y2
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