（整理版）數(shù)列創(chuàng)新題的基本類型及求解策略

1、數(shù)列創(chuàng)新題的根本類型及求解策略高考創(chuàng)新題，向來是高考試題中最為亮麗的風(fēng)景線。這類問題著重考查觀察發(fā)現(xiàn)，類比轉(zhuǎn)化以及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)，分析和解決數(shù)學(xué)問題的能力。當(dāng)然數(shù)列創(chuàng)新題是高考創(chuàng)新題重點(diǎn)考查的一種類型。下舉例談?wù)剶?shù)列創(chuàng)新題的根本類型及求解策略。一、 創(chuàng)新定義型例1、 數(shù)列滿足：，定義使解：要使為正整數(shù)，可設(shè)評(píng)析：準(zhǔn)確理解企盼數(shù)的定義是求解關(guān)鍵。解題時(shí)應(yīng)將閱讀信息與所學(xué)知識(shí)結(jié)合起來，側(cè)重考查信息加工能力。二、 性質(zhì)探求型例2、 數(shù)列滿足： 。 解：由于是知。評(píng)析：此題主要通過對(duì)數(shù)列形式的挖掘得出數(shù)列特有的性質(zhì)，從而到達(dá)化歸轉(zhuǎn)化解決問題的目的。其中性質(zhì)探求是關(guān)鍵。三、 知識(shí)關(guān)聯(lián)型例p21p1xyof

2、pi/pi3、設(shè)f是橢圓的右焦點(diǎn)，且橢圓上至少有21個(gè)不同的點(diǎn)pii=1，2，3，使|fp1|，|fp2|，|fp3|，組成公差為d的等差數(shù)列，那么d的取值范圍為 .解析：由橢圓第二定義知，這些線段長(zhǎng)度的最小值為右焦點(diǎn)到右頂點(diǎn)的距離即|fp1|=，最大值為右焦點(diǎn)到左頂點(diǎn)的距離即|fp21|=，故假設(shè)公差d>0,那么同理 假設(shè)公差d<0,那么可求得。評(píng)析四、 類比聯(lián)想型例4、 假設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，那么有數(shù)列 類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地：假設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列，且，那么有數(shù)列 解析：由“等差數(shù)列前n項(xiàng)的算術(shù)平均值是等差數(shù)列可類比聯(lián)想“等比數(shù)列前n項(xiàng)的幾何平均值也應(yīng)該是等比數(shù)列不難得到評(píng)析：此題只

3、須由條件的特征從形式和結(jié)構(gòu)上比照猜測(cè)不難挖掘問題的突破口。2122 23242526| |20 7 8 9 10 27| | | 19 6 1 2 11 | | | |18 5 4 3 12 | |1716 1514 13五、 規(guī)律發(fā)現(xiàn)型例5、將自然數(shù)不清，2，3，4排成數(shù)陳如右圖，在2處轉(zhuǎn)第一個(gè)彎，在3轉(zhuǎn)第二個(gè)彎，在5轉(zhuǎn)第三個(gè)彎，.，那么第個(gè)轉(zhuǎn)彎處的數(shù)為_。解：觀察由1起每一個(gè)轉(zhuǎn)彎時(shí)遞增的數(shù)字可發(fā)現(xiàn)為“1，1，2，2，3，3，4，4，。故在第個(gè)轉(zhuǎn)彎處的數(shù)為：1+21+2+3+1002+1003=1006010。評(píng)析：此題求解的關(guān)鍵是對(duì)圖表轉(zhuǎn)彎處數(shù)字特征規(guī)律的發(fā)現(xiàn)。具體解題時(shí)需要較強(qiáng)的觀察能力

4、及快速探求規(guī)律的能力。因此，它在高考中具有較強(qiáng)的選拔功能。六、 圖表信息型例6、下表給出一個(gè)“等差數(shù)陣：47 712 其中每行、每列都是等差數(shù)列，表示位于第i行第j列的數(shù)。i寫出的值；ii寫出的計(jì)算公式；iii證明：正整數(shù)n在該等差數(shù)列陣中的充要條件是2n+1可以分解成兩個(gè)不是1的正整數(shù)之積。 解：i詳見第二問一般性結(jié)論。 ii該等差數(shù)陣的第一行是首項(xiàng)為4，公差為3的等差數(shù)列： ； 第二行是首項(xiàng)為7，公差為5的等差數(shù)列： ， ，第i行是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，因此iii必要性：假設(shè)n在該等差數(shù)陣中，那么存在正整數(shù)i，j使得，從而 。 即正整數(shù)2n+1可以分解成兩個(gè)不是1的正整數(shù)之積。 充分性

5、：假設(shè)2n+1可以分解成兩個(gè)不是1的正整數(shù)之積，由于2n+1是奇數(shù)，那么它必為兩個(gè)不是1的奇數(shù)之積，即存在正整數(shù)k，l，使得， 從而可見n在該等差數(shù)陣中。 綜上所述，正整數(shù)n在該等差數(shù)陣中的充要條件是2n+1可以分解成兩個(gè)不是1的正整數(shù)之積。評(píng)析： 本小題主要考查等差數(shù)列、充要條件等根本知識(shí)，考查邏輯思維能力、分析問題和解決問題的能力。求解關(guān)鍵是如何根據(jù)圖表信息求出行列式中對(duì)應(yīng)項(xiàng)的通項(xiàng)公式。圖1圖2圖3圖4七、 幾何計(jì)數(shù)型例7、如圖，第n個(gè)圖形由第n+2 邊形“擴(kuò)展而來的。記第n個(gè)圖形的頂點(diǎn)數(shù)為，那么= 。 解：由圖易知：從而易知評(píng)析：求解幾何計(jì)數(shù)問題通常采用“歸納猜測(cè)證明解題思路。此題也可直

6、接求解。第n個(gè)圖形由第n+2邊形“擴(kuò)展而來的，這個(gè)圖形共由n+3個(gè)n+2邊形組成，而每個(gè)n+2邊形共有n+2個(gè)頂點(diǎn)，故第n個(gè)圖形的頂點(diǎn)數(shù)為。八、 “楊輝三角型例8、如圖是一個(gè)類似“楊輝三角的圖形，第n行共有n個(gè)數(shù)，且該行的第一個(gè)數(shù)和最后一個(gè)數(shù)都是n,中間任意一個(gè)數(shù)都等于第n1行與之相鄰的兩個(gè)數(shù)的和， 分別表示第n行的第一個(gè)數(shù)，第二個(gè)數(shù)，.第n 個(gè)數(shù)。求的通項(xiàng)式。 解：1由圖易知從而知是一階等差數(shù)列，即以上n-1個(gè)式相加即可得到：評(píng)析：“楊輝三角型數(shù)列創(chuàng)新題是近年高考創(chuàng)新題的熱點(diǎn)問題。求解這類題目的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察各行項(xiàng)與行列式的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通常需轉(zhuǎn)化成一階或二階等差數(shù)列結(jié)合求和方法來求解。有興趣的同學(xué)不妨求出的通項(xiàng)式。九、 閱讀理解型例9、電子計(jì)算機(jī)中使用二進(jìn)制，它與十進(jìn)制的換算關(guān)系如下表：十進(jìn)制123456.二進(jìn)制11011100101110.觀察二進(jìn)制1位數(shù)，2位數(shù)，3位數(shù)時(shí)，對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制的數(shù)，當(dāng)二進(jìn)制為6位數(shù)能表示十進(jìn)制中最大的數(shù)是 解：通過閱讀，不難發(fā)現(xiàn)：于是知二進(jìn)制為6位數(shù)能表示十進(jìn)制中最大的