2011年高考一輪數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 3-5數(shù)列的綜合應(yīng)用 理 同步練習(xí)（名師解析）

1、第3章 第5節(jié) 知能訓(xùn)練·提升考點(diǎn)一：等差數(shù)列應(yīng)用題1某大學(xué)教學(xué)樓的圓形樓頂上安裝有1 890盞一樣的普通小燈泡，教學(xué)樓大門正中間頂上的燈泡被設(shè)定為第一盞燈，當(dāng)這些小燈泡的總開(kāi)關(guān)打開(kāi)時(shí)，這些小燈泡就按一定的次序依次閃爍：先第一盞燈亮，過(guò)了1 s，第一盞燈滅掉，而第三盞燈又亮，過(guò)了1 s，第三盞燈滅掉，而第六盞燈又亮，亮的燈依次為1,3,6,10,15，.直到第1盞燈亮?xí)r就停止，然后再按此規(guī)律依次閃爍如果將此過(guò)程中一直沒(méi)有亮過(guò)的燈改裝成另一線路的彩燈，則共要更換_盞燈答案：1 8302我國(guó)北方某城市嚴(yán)重缺水，曾一度取消全市的洗車行業(yè)時(shí)間久了，車容影響了市容市貌今年該市決定了引進(jìn)一種高科

2、技產(chǎn)品污水凈化器，允許洗車行開(kāi)始營(yíng)業(yè)，規(guī)定洗車行必須購(gòu)買這種污水凈化器，使用凈化后的污水(達(dá)到生活用水標(biāo)準(zhǔn))洗車污水凈化器的價(jià)格是每臺(tái)100萬(wàn)元，全市統(tǒng)一洗車價(jià)格10元該市今年的汽車總量是101 000輛，預(yù)計(jì)今后每年汽車數(shù)量將增加2 000輛洗車行A經(jīng)過(guò)預(yù)算，如果全市的汽車總量是x，那么一年內(nèi)在該洗車行洗車的平均輛次是x，該洗車行每年的其他費(fèi)用是1萬(wàn)元問(wèn)：洗車行A從今年開(kāi)始至少經(jīng)過(guò)多少年才能收回購(gòu)買凈化器的成本？解：設(shè)從今年開(kāi)始至少經(jīng)過(guò)n年收回成本，n年內(nèi)的汽車數(shù)量構(gòu)成以101 000為首項(xiàng)，2 000為公差的等差數(shù)列，汽車數(shù)量總和為101 000n×2 000.n年內(nèi)的洗車收入為

3、10××.依題意有10××n×1 0000100×104，化簡(jiǎn)得n280n2 0000，解得n20.因此，洗車行A從今年開(kāi)始至少經(jīng)過(guò)20年才能收回買凈化器的成本考點(diǎn)二：等比數(shù)列應(yīng)用題3某科研單位，欲拿出一定的經(jīng)費(fèi)獎(jiǎng)勵(lì)科研人員，第一名得全部獎(jiǎng)金的一半多一萬(wàn)元，第二名得剩下的一半多一萬(wàn)元，以名次類推都得到剩下的一半多一萬(wàn)元，到第七名恰好獎(jiǎng)金分完，則需拿出獎(jiǎng)金()A250萬(wàn)元B252萬(wàn)元C254萬(wàn)元 D256萬(wàn)元答案：C4某地區(qū)為教育現(xiàn)代化，近五年為中小學(xué)每年新購(gòu)置的電腦臺(tái)數(shù)均按10%的比例增長(zhǎng)，其中2005年、2006年兩年新購(gòu)置的電腦臺(tái)

4、數(shù)之和為1 000臺(tái)，該地區(qū)準(zhǔn)備繼續(xù)照此增長(zhǎng)比例購(gòu)置，則2007年起四年內(nèi)該地區(qū)中小學(xué)將新購(gòu)置電腦的臺(tái)數(shù)為()A1 464 B2 310C2 420 D267答案：D5某市2009年共有1萬(wàn)輛燃油型公交車，有關(guān)部門計(jì)劃于2010年投入128輛電力型公交車，隨后電力型公交車每年的投入比上一年增加50%，試問(wèn)：(1)該市在2016年應(yīng)該投入多少輛電力型公交車？(2)到哪一年底，電力型公交車的數(shù)量開(kāi)始超過(guò)該市公交車總量的？解：(1)該市逐年投入的電力型公交車的數(shù)量組成等比數(shù)列an，其中a1128，q1.5.則在2016年應(yīng)該投入的電力型公交車為a7a1·q6128×1.56145

5、8(輛)(2)記Sna1a2an，依據(jù)題意，得.于是Sn5 000(輛)，即1.5n，經(jīng)驗(yàn)證，n8.到2017年底，電力型公交車的數(shù)量開(kāi)始超過(guò)該市公交車總量的.考點(diǎn)三：增長(zhǎng)率或分期付款問(wèn)題6銀行按規(guī)定在一定時(shí)間結(jié)算利息一次，結(jié)算后即將利息并入本金，這種計(jì)算方法叫做復(fù)利，現(xiàn)在某企業(yè)進(jìn)行技術(shù)改造，有兩種方案：甲方案一次性貸款10萬(wàn)元，第一年可獲利1萬(wàn)元，以后每年比前一年增加30%的利潤(rùn)；乙方案每年貸款1萬(wàn)元，第一年可獲利1萬(wàn)元，以后每年卻比前一年增加利潤(rùn)5千元，兩種方案使用期都是10年，到期一次性還本付息，若銀行貸款利息均按年息10%的復(fù)利計(jì)算，試比較兩方案的優(yōu)劣(計(jì)算時(shí)，精確到千元，并取1.11

6、02.594,1.31013.79)解：甲方案10年共獲利1(130%)(130%)942.63.到期時(shí)，銀行貸款本息為10(110%)1025.94.按甲方案扣除貸款本息后，凈收益為426325.9416.7(萬(wàn)元)乙方案10年共獲利11.5(19×0.5)32.5.到期時(shí)，銀行貸款本息為(110%)(110%)2(110%)101.1×17.53，按乙方案扣除貸款本息后，凈收益為32.517.5314.97(萬(wàn)元)所以甲方案略優(yōu)于乙方案考點(diǎn)四：等差、等比數(shù)列綜合問(wèn)題7(2010·淄博模擬)已知數(shù)列an滿足an2an12n2(n2)，a12.(1)求a2，a3，

7、a4；(2)是否存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使得數(shù)列成等差數(shù)列，若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn.解：(1)a244210，a3208230，a46016278.(2)假設(shè)存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使得數(shù)列成等差數(shù)列，則1恒為常數(shù)，20，即2，此時(shí)2，1.當(dāng)2時(shí)數(shù)列是首項(xiàng)為2、公差為1的等差數(shù)列(3)由(2)得(n1)n1，an(n1)2n2.Sn2·23·224·23(n1)2n2n，2Sn2·223·234·24(n1)2n14n.兩式相減得Sn2·222232n(n1)2n12nn·2n12n，S

8、nn·2n12n.8(2010·鄭州質(zhì)檢)把正奇數(shù)數(shù)列1,3,5,7，中的數(shù)按上小下大、左小右大的原則排成如下三角形數(shù)表：1357911設(shè)三角形數(shù)表中第m行的第一個(gè)數(shù)為am.(1)試用m表示am(不要求證明)；(2)請(qǐng)判斷2 007是該三角形數(shù)表中第幾行的第幾個(gè)數(shù)；(3)已知函數(shù)f(x)()n·(x0)，若記三角形數(shù)表中從上往下數(shù)第n行各數(shù)的和為bn，求數(shù)列f(bn)的前n項(xiàng)和Sn.解：(1)第m行第一個(gè)數(shù)是2·1m2m1.(2)由題意，先求使得m是不等式m2m12 007的最大正整數(shù)解由m2m12 007，得m2m2 0060.mN*，0m45.5.m

9、45.于是，第45行第1個(gè)數(shù)是4524511 981，m114.2 007是第45行的第14個(gè)數(shù)(3)第n行第一個(gè)數(shù)是n2n1，且有n個(gè)數(shù)，若將n2n1看成第n行第1個(gè)數(shù)，則第n行各數(shù)成公差為2的等差數(shù)列，故bnn(n2n1)×2n3.f(bn)()n·n()n.故Sn2()23()3(n1)()n1n()n，Sn()22()33()4(n1)()nn()n1，兩式相減，得Sn()2()3()nn()n1n()n11()nn()n1，Sn2(n2)()n.1.(2009·江西)數(shù)列an的通項(xiàng)ann2(cos2sin2)，其前n項(xiàng)和為Sn，則S30為()A470B4

10、90C495D510解析：ann2(cos2sin2)n2cos.當(dāng)n3k時(shí)，a3k(3k)29k2；當(dāng)n3k1時(shí)，a3k1(3k1)2·cos(3k1)2；當(dāng)n3k2時(shí)，a3k2(3k2)2cos(3k2)2.S30(a3a6a9a30)(a1a4a7a28)(a2a5a8a29)(326292302)(124272282)(225282292)(326292302)(122232282292302)×32·(122232102)··470，故選A.答案：A2(2009·上海)已知函數(shù)f(x)sinxtanx.項(xiàng)數(shù)為27的等差數(shù)列a

11、n滿足an(，)，且公差d0.若f(a1)f(a2)f(a27)0，則當(dāng)k_時(shí)，f(ak)0.解析：f(x)sinxtanx為奇函數(shù)，f(0)0，an為等差數(shù)列且d0，an(1n27，nN*)對(duì)稱分布在原點(diǎn)及原點(diǎn)兩側(cè)，f(a1)f(a2)f(a27)0f(a14)0.k14.答案：143(2007·安徽)某國(guó)采用養(yǎng)老儲(chǔ)備金制度公民在就業(yè)的第一年就交納養(yǎng)老儲(chǔ)備金，數(shù)目為a1，以后每年交納的數(shù)目均比上一年增加d(d0)，因此，歷年所交納的儲(chǔ)備金數(shù)目a1，a2，是一個(gè)公差為d的等差數(shù)列，與此同時(shí)，國(guó)家給予優(yōu)惠的計(jì)息政策，不僅采用固定利率，而且計(jì)算復(fù)利這就是說(shuō)，如果固定年利率為r(r0)，那

12、么，在第n年末，第一年所交納的儲(chǔ)備金就變?yōu)閍1(1r)n1，第二年所交納的儲(chǔ)備金就變?yōu)閍2(1r)n2，以Tn表示到第n年末所累計(jì)的儲(chǔ)備金總額(1)寫出Tn與Tn1(n2)的遞推關(guān)系式；(2)求證：TnAnBn，其中An是一個(gè)等比數(shù)列，Bn是一個(gè)等差數(shù)列解：(1)我們有TnTn1(1r)an(n2)(2)證明：T1a1，對(duì)n2反復(fù)使用上述關(guān)系式，得TnTn1(1r)anTn2(1r)2an1(1r)ana1(1r)n1a2(1r)n2an1(1r)an.在式兩端同乘1r，得(1r)Tna1(1r)na2(1r)n1an1(1r)2an(1r)，得rTna1(1r)nd(1r)n1(1r)n2(

13、1r)an(1r)n1ra1(1r)nan，即Tn(1r)nn.如果記An(1r)n，Bnn，則TnAnBn，其中An是以(1r)為首項(xiàng)，以1r(r0)為公比的等比數(shù)列；Bn是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列.已知正數(shù)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且aaaaS.(1)求證：a2Snan；(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(3)若bn3n(1)n1·2an(為非零常數(shù)，nN*)，問(wèn)是否存在整數(shù)，使得對(duì)任意nN*，都有bn1bn.解：(1)證明：當(dāng)n2時(shí)，由aaaaS，得aaaS，兩式相減，得aSS(SnSn1)(SnSn1)(SnSn1)an.an0，aSnSnan2Snan.又當(dāng)n1時(shí)，aa，a10，a11.a1，且2S1a11.n1時(shí)，a2Snan也成立a2Snan成立(2)當(dāng)n2時(shí)，由a2Snan，得a2Sn1an1.兩式相減，得aa2(SnSn1)anan12ananan1anan1，anan10，an