數(shù)列的通項(xiàng)與求和二輪專題訓(xùn)練文科

1、數(shù)列的通項(xiàng)與求和二輪專題復(fù)習(xí)(文科)一、真題回訪回訪1 an與Sn的關(guān)系11. (2014 全國(guó)卷 U )數(shù)列an滿足 an+1 =, a8= 2,貝U ai=.I an回訪2數(shù)列求和2. (2012 全國(guó)卷)數(shù)列an滿足 an+1 + ( 1)nan = 2n 1, an的前 60項(xiàng)和為()A. 3 690B.3 660C.1 845D.1 8303. (2013全國(guó)卷I改編)已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足&= 0, 5.則(1) an的通項(xiàng)公式為；1(2) 數(shù)列a2n 1a2n+1的前n項(xiàng)和為.4. (2014全國(guó)卷I改編)已知an是遞增的等差數(shù)列，a2, a4是方程x2 5x

2、+ 6二0的根，則(1) an的通項(xiàng)公式為；an(2)數(shù)列刁的前n項(xiàng)和為.二、熱點(diǎn)題型探究熱點(diǎn)題型1數(shù)列中的an與Sn的關(guān)系何 數(shù)列an中，a1 = 1, Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且滿足包1(n>2).求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.變式訓(xùn)練1 (1)(2016合肥三模)已知數(shù)列an前n項(xiàng)和為Sn,若S = 2an 2n， 貝 U Sn=.(2)已知數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為Sn,且23 + 2 = 3an(n N*), 貝y an=.熱點(diǎn)題型2裂項(xiàng)相消法求和 卜例目 已知等差數(shù)列an的公差dM0,它的前n項(xiàng)和為Sn，若70,且a2, a7, a22成等比數(shù)列，(1) 求數(shù)列an的通項(xiàng)

3、公式；1 13(2) 若數(shù)列S；的前n項(xiàng)和為T(mén)n,求證：6<Tn<8.變式訓(xùn)練2已知數(shù)列an是遞增的等比數(shù)列，且ai + a4= 9, &a3 = 8.(1) 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2) 設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，bn =，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.熱點(diǎn)題型3錯(cuò)位相減法求和kfflB 已知數(shù)列an和bn滿足 ai = 2, bi= 1, an+i = 2an(n N ),1 1 1 *bi + qb2 + 3匕3+ + »bn= bn+1 1(n N ).(1)求an與bn；記數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和為T(mén)n,求Tn.變式訓(xùn)練3已知在公比大于1的等比數(shù)列an中，a

4、2, a4是函數(shù)f(x) = (x 2)(x8)的兩個(gè)零點(diǎn).(1)求數(shù)列an 的通項(xiàng)公式；求數(shù)列2nan的前n項(xiàng)和Sn.三、課后作業(yè)1.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若Sn= 2an 4(n N*)，貝U an=()n+1B.2nC.2n1D.2n2n 12 .數(shù)列an滿足 a1 = 1,且當(dāng) n2 時(shí)，an = n an1，則 a5=()11A.B.C.5D.6561 1 1 13.22 1 + 32 1+ 42 1 +，+ n+ 12 1的值為()n+ 1_ 3n+ 131 11+ n + 231 1AA.2 n + 2B.4 2 n + 2C.42 n+ 1Dp-+'n+1 n+

5、24 .在等差數(shù)列an中,ai = 2 012,其前n項(xiàng)和為Sn,若S 0122 012Sio=2 002,則S2 014的值等于（）A. 2 011 B. 2 012C.2 014 D. 2 0135. (2016西安模擬)設(shè)3是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，an = 43 3,則&=6. (2016廣州二模)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S,若a2= 12,kn2 1(n N*),1則數(shù)列 sn的前n項(xiàng)和為.7. 已知an的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn= 2an+1(n N )，且a1 = 1，則通項(xiàng)公式an=8. (2016鄭州模擬)已知等差數(shù)列an中a2 = 5,前4項(xiàng)和&= 28.(1)求數(shù)列

6、an的通項(xiàng)公式；若bn= ( 1)nan，求數(shù)列bn的前2n項(xiàng)和T2n.9. 設(shè)數(shù)列an滿足 a1 + 3a2 + 32a3+ 3n1an=£, n N*.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；設(shè)bn= n，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.數(shù)列的通項(xiàng)與求和二輪專題復(fù)習(xí)（文科）參考答案一、真題回訪回訪1 an與Sn的關(guān)系1111 an-11 . an+1, °an+111 an1 an 1 1 1 an 1 11 an 11 an11= =1 =1an 1an 1=1 (1 an 2)= an 2,1 an 2周期T= (n+ 1) (n 2) = 3；.a8= a3x2+2 = a2= 2

7、.而 a2=11 a1a = g.回訪2數(shù)列求和2. D °°an+1 + ( 1)nan= 2n 1，a2 = 1 + a1, a3 = 2 a1, a4= 7 a1, a5= a1, a6= 9+ a1, a7= 2 a1, a8= 15 a1, a9= a1, a10= 17+ a1, an = 2 a1, a12=23 a1, ,a57= a1, a58= 113+ a1, a59= 2 a1, a60= 119 a1,'a1+ a2+ + a60= (a1 + a2 + a3 + a4)+ (a5 + a6 + a7 + a8)+ + (a57 + a58

8、 + a59 + a6o)3.10+ 26 + 42+ + 234=(1)an = 2 n15X 10 + 23421 830. 1 2nn n 1(1)設(shè)an的公差為 d,則 Sn= na1+2 d.3a1 + 3d = 0,由已知可得5a1+ 10d= 5,a1 = 1 ,解得故an的通項(xiàng)公式為an= 2 n.d= 1.由知1a2n 1a2n+ 11 = 1 亠3 2n 1 2n 2 2n 3 2n 11a2n 1a2n+ 1的前n項(xiàng)和為-1111+13+12n 312n 1n1 2n.、 1a2= 2, a4= 3.設(shè)數(shù)列an的公差為d,則a4- a2= 2d,故d=，3 1從而ai =

9、 2.所以an的通項(xiàng)公式為an =空n+ 1.設(shè)刃的前n項(xiàng)和為Sn,n + 22n+1，則c 34Sn = 2+ 23+ +n+ 1n+22n + 2*+1，134n+1 n + 2n+ 22n+2.2七+尹+盯+尹1311 n+ 23 1,1兩式相減得 應(yīng)=4+或+滬 -2+=4+ 4 1-2-1二、熱點(diǎn)題型探究熱點(diǎn)題型1數(shù)列中的an與Sn的關(guān)系卜例U 解由已知，當(dāng)n>2時(shí)，2an1,anSn Sn1 1 1x所以Sn-SF分2 Sn Sn 12 Sn Sn 1所以 Sn Sn 1 Sn Sn=,n2.n n+ 1 分即1 1又S1 = a1= 1,所以數(shù)列S是首項(xiàng)為1,公差為2的等差

10、數(shù)列，6分11n +12所以 1 = 1 + 1(n 1)= 2 ，即 Sn=.8 分$22n+12 2 2所以當(dāng)n2時(shí)，an = Sn S-1二亠：二一.10分n+1 nnn+1變式訓(xùn)練 1 (1)n2n(n N*)(2)2x3n_1(n N*) 由 3 = 2an 2n得當(dāng) n= 1Si S 1Sn時(shí)，S1 = a1 = 2;當(dāng)n2時(shí)，Sn = 2(Sn S 1) 2n，即尹一尹 =1,所以數(shù)列 卯是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列，則歹=n, Sn = n 2n(n2),當(dāng)n= 1時(shí)，也符 合上式，所以Sn= n 2n(n N*).(2)因?yàn)?2Sn + 2= 3an， 所以 2Si+1 +

11、 2= 3an+1，an+1 由一，得 2Sn+1 2S = 3an+1 3an，所以 2an+1 = 3an+1 3an，即 玄門(mén)=3.當(dāng)n= 1時(shí)，2 + 2S1 = 3a1,所以a1 = 2,所以數(shù)列an是首項(xiàng)為2,公比為3的等 比數(shù)列，所以 an = 2x3n ln N*).熱點(diǎn)題型2裂項(xiàng)相消法求和仞 解(1)由已知及等差數(shù)列的性質(zhì)得 S5 = 5a3,：a3= 14, 1分又a2, a7, a22成等比數(shù)列，即 a2 = a2 a22.2分2 3由(a1 + 6d) = (a1 + d)(a1 + 21d)且0,解得 a1 = d,a1 = 6, d= 4.4分故數(shù)列an的通項(xiàng)公式為

12、an= 4n + 2, n N*.6分n a1 + an111 J _1_(2)證明：由(1)得 $=2= 2n +4n, £= = 4 n n + 2，8分1 111 1 3 1-Tn= 4 13 + 2 4+ n n + 2 = 3 4 n+ 1 + n + 2 他分,3 111113又 TnT1= 8 11+ 1 = 6,所以了 ER2 分變式訓(xùn)練2解(1)由題設(shè)知a1 a4 = a2a3= 8, 2分a1 = 1,a1 = 8,又a1 + a4= 9,可得或(舍去)4分a4 = 8a4= 1.由 a4 = a1q3得公比 q= 2, 故 an= a1 qn1 = 2n 1.6

13、 分ai 1 qn&=PT =2n-1.8 分an+iSn+1 Sn i i又 bn= 6 , 10 分所以 Tn= b1 + b2+- + bn=右一S2丄丄丄11+ S2 S3 + Sn S+ 廠 S1 S+ =SnSn+1SnSn+1& Sn+111r .12 分2n+1 1熱點(diǎn)題型3錯(cuò)位相減法求和例解(1)由 a1 = 2, an+1 = 2an,得 an= 2(n N ).2 分 由題意知：當(dāng)n= 1時(shí)，b1 = b2 1,故b2 = 2.3分1bn+1bn*當(dāng)n2時(shí)，二bn= bn+1 bn.4分整理得=二，所以bn= n(n N ).6分nn+1n(2)由(1)知

14、 anbn= n 2n，因此 Tn= 2+ 2 22+ 3 23+ + n 2 n,2Tn = 22 + 2 23 + 3 24+ n 2n+1, 8 分所以 Tn 2Tn= 2 + 22 + 23+ 2n n 2n+1.9 分故 Tn= (n 1)2n+1 + 2(n N*).12 分變式訓(xùn)練3解(1)因?yàn)閍2, a4是函數(shù)f(x) = (x 2)(x 8)的兩個(gè)零點(diǎn)，且等比數(shù)列an的公比q大于1,所以a2 = 2, a4= 8, 2分所以q = 2,所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an = 2n1(n N ).6分(2)由(1)知 2nan=nx 2n，所以 Sn= 1X2 + 2X22+ nX2

15、n,7分2Sn= 1 X 22 + 2X 23+ + (n 1)X 2n+ nX 2n+J 8 分r o“2 2nX 2“由一，得一Sn = 2 + 22 + 23+ 2n nX 2n+nX 2n +1, 11 分1 2所以 Sn= 2+ (n 1)X2n+ ln N*).12 分三、課后作業(yè)1. A 由 Sn = 2an 4 可得 Sn-1 = 2an 1 4(n2),兩式相減可得 an = 2an 2ani（n2）, 即卩 an= 2an-1（n2）.又 ai = 2ai 4, ai = 4,所以數(shù)列an是以 4 為首 項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，貝U an= 4X 2n1 = 2n+1，故選

16、A.n 12. A 因?yàn)?a1= 1,且當(dāng) n2 時(shí)，an= an-1,I r an 則 =an 1a5 a4 a3 a2r 4 3 2 1a； a3 a2 a； a1，即 a5=5X3X 3X 2X 115.故選A.3.C 屯=叨=n + 1 1 n + 2n nn + 21n+ 2.1 22 1 + 32 1 + 42 11 1+ +2n+121彳1 113+2_13一=2 2 n+ 1 n + 2n n 1Snd4. C 等差數(shù)列中，S= na1 + 2 d, » = a1 + (n 1),dS2 012 S10a1= 2 012,公差為2的等差數(shù)列.因?yàn)?_01210 = 2

17、 002,1尹* n花即數(shù)列學(xué)是首項(xiàng)為d所以(2 012 10)- =d2 002, 2= 1,所以 S2 014= 2 014( 2 012)+ (2 014 1)X 1 = 2 014,選 C.5.27an= 4Sn 3,a 當(dāng) n= 1 時(shí)，a1 = 4a1 3,解得a1 = 1,當(dāng)n2時(shí)，4Sn= an+ 3,.°4SnT = an 1+ 3,：4an= an an1,=3，：an是以 1 為an 13=黔 3= 1?.則數(shù)列1 1 1Sn的前n項(xiàng)和為2 1 11 1 + + 2 2n 12n+ 1212n+ 1n2n+ 1.12 -n n 3- 2X 1 2所以有an3 n

18、 22 , nA2,n N*.n N 由 Sn= 2an+ i(n N )可得 Si-1 = 2an(n2, nn> 2,*an+ 1 3*N ）兩式相減得：an= 2an+1 2an,即-= 2（門(mén)2, n N ）.* 1又由 a1= 1 及 Sn= 2an+ 1（n N ）可得 a2=，13所以數(shù)列an從第二項(xiàng)開(kāi)始成一個(gè)首項(xiàng)為a2 = 2，公比為2的等比數(shù)列,*1 3故當(dāng)n>1, n N*時(shí)有an=勺n2,1, n= 1,8.解（1）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,則由已知條件得a2= a1 + d= 5,4X 3S4= 4a1 + 2 X d = 28,a1 = 1,2分二4分d = 4,'an = a1 + (n 1) X d = 4n 3(n N ).6 分由(1)可得 bn= ( 1)nan= ( 1)n(4n