等比數(shù)列知識(shí)點(diǎn)匯總與典型例題-精華版

1、等比數(shù)列知識(shí)點(diǎn)匯總與典型例 題（精華版）作者:日期:21等比數(shù)列知識(shí)點(diǎn)總結(jié)與典型例題1、等比數(shù)列的定義：色q q 0 n 2,且n N* , q稱為公比 an 12、通項(xiàng)公式:n 1anaiqai n qqq 0, A B 0 ,首項(xiàng)：ai；公比：q推廣：anamqanamanam3、等比中項(xiàng)：(1)如果a, A,b成等比數(shù)列，那么A叫做a與b的等差中項(xiàng)，即：A2ab 或 A Vab注意：同號(hào)的兩個(gè)數(shù)才有等比中項(xiàng)，并且它們的等比中項(xiàng) 有兩個(gè)(2)數(shù)列an是等比數(shù)列an2 an1 an14、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn公式:(1)當(dāng) q 1 時(shí)，Sn na1(2)當(dāng) q 1 時(shí)，Sna1 1a1 an

2、q1 q廣q言qn A ABn A'Bn A'(A，B，A'，B'為常數(shù))5、等比數(shù)列的判定方法:(D用定義：對(duì)任意的n ,都有an 1qan或包工q(q為常數(shù)，an 0)an為等比數(shù)an(2)等比中項(xiàng)：an2 an1an 1(an 1an1 。)an為等比數(shù)列(3)通項(xiàng)公式：an A Bn A B 0an為等比數(shù)列6、等比數(shù)列的證明方法:依據(jù)定義：若aqan 1q 0 n 2,且 nN 或an1 qanan為等比數(shù)歹U7、等比數(shù)列的性質(zhì)：n m對(duì)任何m,n N ,在等比數(shù)列an中，有an amq。(3)右 m n s t(m, n, s,t N ),則 an

3、am a$ a1特別的，當(dāng) m n 2k 時(shí)，得 an am ak£ ai an a2 an 1 a3an 2等差和等比數(shù)列比較：等差數(shù)列等比數(shù)列定義an 1 an dan 1。q(q 0) an遞推公式a n an 1 d ? an am n mdn man an 1q ； a n amq通項(xiàng)公式ana1(n 1)dn 1anaiq(a1，q 0)中項(xiàng)A an k 22n k( n, k N *, n k 0 )G y1 an kan k(an kan k 0) (n, k N , n k 0)前n項(xiàng)和Snn (ai an)n(n 1)Sn nai2 dnai(q 1)Sn ai

4、1 qn ai anq / (q 2)1 q1 q重要性質(zhì)am an ap aq，一*、(m, n, p,q N ,m n p q)am an ap aq，一*、(m, n, p, q N ,m n p q)經(jīng)典例題透析類型一：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式例1.等比數(shù)列an中，a1 a9 64, a3 a7 20,求現(xiàn)1.思路點(diǎn)撥：由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，通過(guò)已知條件可列出關(guān)于a1和q的二元方程組，解出 a1和q,可得ai；或注意到下標(biāo)1 9 3 7,可以利用性質(zhì)可求出a3、a7,再求ai.解析:8設(shè)此數(shù)列公比為a1 a9 a1 a1q642620a3 a7 aqaq由(2)得：aiq2(1 q4) 20

5、(3), , ai 0 . 4 2_4_由(1)得：(aiq )64 ,a1q8 一(4)得:1 q42q20 582_ 4_ 22_2 2q 5q 2 0,解得 q 2或 q當(dāng) q22時(shí)，a1 2, aia q1064；、1/2當(dāng)q2時(shí),a132, aii10ai q1.法一: , a a9 a3 a7 64,又 a3 a7 20 ,2a3、a7為萬(wàn)程x 20x 64 0的兩實(shí)數(shù)根,a3 16a3 4或a7 4a7 162._ 2a7a3ana7, a111 或 a164 .a3總結(jié)升華：列方程（組）求解是等比數(shù)列的基本方法，同時(shí)利用性質(zhì)可以減少計(jì)算量；解題過(guò)程中具體求解時(shí)，要設(shè)法降次消元，

6、常常整體代入以達(dá)降次目的，故較多變形要用除法（除 式不為零）.舉一反三：【變式1】an為等比數(shù)列，a1=3, a9=768,求a6?！敬鸢浮客?96法一：設(shè)公比為 q,貝U 768=a1q8, q8=256,，q=±2,a6=± 96; 2法一： a5=a1a9 a5= ± 48 q=±2,，a6=±96?！咀兪?】an為等比數(shù)列，an>0,且a1a89=16,求a44a45a46的值?！敬鸢浮?4;2aa89 a4516 ,又 an> 0）. . a45=4a44a45a46一 3a4564 o【變式3】已知等比數(shù)列an,若aa2

7、a3【答案】an 2n 1或an 23 naa323a2,aa2a3a2 a a3 5 _從而，斛之得a1 1 , a3 4或4 4, a3 1aa3 41當(dāng) a1 1 時(shí)，q 2 ；當(dāng) a14時(shí)，q 一。2故 an 2n 1 或 an 23n。法二：由等比數(shù)列的定義知 a2 a1q , a3 a1q221a1 a1q a1q 7代入已知得11"1"2-a1 a1q a1q8a1(1q q2)7, a1(1qq2)7,(1)a3q38a1q2(2)22將 a1 代入(1)得 2q 5q 2 0,q1解得q 2或q 12.a1 43a11 ,、1由(2)得 或 1,以下同方法

8、一。q 2 q 2類型二：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式例2.設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S,若$+$=289,求數(shù)列的公比q.解析：若 q=1,則有 83=3a1, 8e=6a1, S9=9a1._92a1(1 q )1 q因a1W0,得83+ 85 * 289,顯然q=1與題設(shè)矛盾，故 qw1.a1 (1 q3) a1(1 q6)由 83 86289 得，1 q 1 q整理得 q3(2q 6-q 3-1)=0 ,由 qw。，得 2q6-q 3-1=0 ,從而(2q3+1)(q 3-1)=0 ,因 q3w 1,故 q31 一,所以q2舉一反三:1 1【變式1】求等比數(shù)列1,-,-,L的前6項(xiàng)和。3 9

9、【答案】上；243,1- C a1 1, q 一，n 63642433一 86【變式2】已知：an為等比數(shù)列,a1a2a3=27, S=13,1一 ,貝U a1=1 或 a1=93-121【答案】121或上1; 9/ /3、. a3 27a2 3, 13 aq1 q121 或 S5=i9 Ti-i3i2i9【變式3】在等比數(shù)列an中，ai an66,a2 an i i28, Sn i26 ,求 n和q。- a2 an解方程組將由an將由ani-q 一或 2,2ai an，一 響aianaiq128i28,得6664代入2Snai代入Sn64n iaq ,解得nai64aian646。2, qi

10、 一一或 2, n2類型三：等比數(shù)列的性質(zhì)9,求log3 allog3a2 . logsa、.例3.等比數(shù)列an中，若a5 a6解析：.an是等比數(shù)列，ai aiOa2a9 a3 a8ada?a§ %9log3ai log 3 a2舉一反三：log3 aio55log3(ai a? a3L ao)Iog3(a5 a6)log39i0【變式i】正項(xiàng)等比數(shù)列an中,若 ai - aioo=iOO;則 lgai+lga2+lga ioo=【答案】iOO； lga i+lga 2+lga 3+lga ioo=lg(a i a2 a3 aioo)而 ai - aioo=a2 , a99=a3

11、, a98=a5o , a5i .原式=lg(ai aioo)5O=5Olg(a i - aioo)=5O x lgiOO=iOO。827【變式2】在8和27之間插入三個(gè)數(shù)，使這五個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則插入的三個(gè)數(shù)的乘積為 32【答案】2i6;法一：設(shè)這個(gè)等比數(shù)列為an,827aia5 324aq44 8i 2q， q 二，qi62336aq aiqjaqa q9363 216。4法二：設(shè)這個(gè)等比數(shù)列為an,公比為q,則為8 , a53272由題息a1，a3, a5也成等比數(shù)列,2 8 27a3 36，故 a3 6 ,32 a2 a3 a423a3 a3 a3216 。加入的三項(xiàng)分別為 a2, a

12、3, a4,類型四：等比數(shù)列前 n項(xiàng)和公式的性質(zhì)60 ,求 S3n。例4.在等比數(shù)列an中，已知Sn 48, S2nk項(xiàng)和,思路點(diǎn)撥：等差數(shù)列中也有類似的題目，我們?nèi)匀徊捎玫炔顢?shù)列的解決辦法，即等比數(shù)列中前 第2個(gè)k項(xiàng)和，第3個(gè)k項(xiàng)和，第 n個(gè)k項(xiàng)和仍然成等比數(shù)列。解析：法一：令 bl=S=48, b 2=&n-Sn=60-48=12 , b3=S3n-S2n觀察 b-a1+a2+an,nb2=an+1+an+2+a2n=q (a 1+a2+an),b3=a2n+1+a2n+2+a3n=q2n(a 1+a2+an)”一“一 皿 b2122易知b1,b2,b3成等比數(shù)列，. b3 里 3

13、,b 48&n=b3+S2n=3+60=63.法二：. S2n 2Sn , q 1 ,任g 48,曰 1 q由已知得 q山)601 q一一 c5c1+得1qn5 ,即qn144代入得二 64, 1 qa1(1 q3n)1S3nI q ) 64(1 -3) 63。1 q4法三：.an為等比數(shù)歹U,Sn, S2nSn, S3nS2n也成等比數(shù)列,Sn)2Sn(S3n&n),一 S3n(S2n S)2 q (60 48)2cS2n/ Sn486063。舉一反三：【變式1】等比數(shù)列an中，公比q=2, S4=1，則S8=.【答案】17;S8=S4+a5+a6+a7+a8=S4+a 1

14、q +&q +a3q +a4q =S4+q (a 1+a2+a3+a4)=S4+q &=S4(1+q )=1 x (1+2 )=17【變式2】已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且S10=10, S20=40，求：S30=?【答案】130;法一：S10, S20-S10, S30-S20構(gòu)成等比數(shù)列，(S20-Si0)2=So - (S30-S20)即 302=10(S3o-40),S3o=130.法二:2S0WS20, . q 1, S10aK1q10)io q 201 qS301 q1. io一, q430、 a1(1q )10, S2020 a1(1 q )40,a1 3,

15、1 q(5)(133)130.【變式3】等比數(shù)列- -Sn_S2na1(1qn)an的項(xiàng)都是正數(shù)，若-80-，.二 q 1(否則 65608=80, S 2n=6560,前n項(xiàng)中最大的一項(xiàng)為 54,求n.SnS2n2)=80 (1)S2n1 q2n也1-q- =6560(2)(2)+(1)得：1+qn=82,，qn=81(3).該數(shù)列各項(xiàng)為正數(shù)，由(3)知q>1.an為遞增數(shù)列，. an為最大項(xiàng)54. an=a1qn-1=54,，a1qn=54q,.-81a1=54q(4)5422.a1-q -q代入(1)得一q(1 81)8133q=3,n=4.80(1q),【變式4】等比數(shù)列an中，

16、若a1+a2=324, a 3+a4=36,則a5+a6=【答案】4;24-令 b1=a1+a2=a1(1+q) , b2=a3+a4=a1q (1+q),b 3=a5+a6=aq (1+q),b2362勿知：b1, b 2, b 3成等比數(shù)歹U, . b3= =4,即 a5+a6=4.b1324【變式5】等比數(shù)列an中，若a1+a2+a3=7,a4+a5+a6=56,求a7+a8+a9的值?！敬鸢浮?48; an是等比數(shù)列,(a4+a5+a6)=(a+a2+a3)q3,. q3=8, a7+a8+a9=(a 4+a5+a)q 3=56 x 8=448.類型五：等差等比數(shù)列的綜合應(yīng)用例5.已知

17、三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，若前兩項(xiàng)不變，第三項(xiàng)減去 二項(xiàng)減去4,則又成等比數(shù)列.求原來(lái)的三個(gè)數(shù).32,則成等差數(shù)列.若再將此等差數(shù)列的第思路點(diǎn)撥：恰當(dāng)?shù)卦O(shè)元是順利解方程組的前提.考慮到有三個(gè)數(shù)，應(yīng)盡量設(shè)較少的未知數(shù)，并將其設(shè)為整式形式.解析：法一：設(shè)成等差數(shù)列的三數(shù)為 a-d, a,a+d.則a-d, a, a+d+32成等比數(shù)列，a-d, a-4, a+d成等比數(shù)列.2 .a(a d)(a d 32)2_(a 4) (a d)(a d)(2)由(2)得a=38由得 32a=d2+32d(4)8(3)代(4)消a,解得d 或d=8. 3 826，當(dāng) d 2時(shí)，a 一；當(dāng) d=8 時(shí),a=10 39原來(lái)

18、三個(gè)數(shù)為 2,26 , 338或2,10,50. 9 99法二：設(shè)原來(lái)三個(gè)數(shù)為 a, aq, aq 2,則a, aq,aq 2-32成等差數(shù)列，a, aq-4, aq 2-32成等比數(shù)列_2.2aq a aq 32.22 _(aq 4) a(aq32)(2),32由(2)得a ，代入解得q=5或q=13q 4一一 2當(dāng) q=5 時(shí) a=2;當(dāng) q=13 時(shí) a 9原來(lái)三個(gè)數(shù)為2, 10, 50或2, 26,338.999總結(jié)升華：選擇適當(dāng)?shù)脑O(shè)法可使方程簡(jiǎn)單易解。一般地，三數(shù)成等差數(shù)列，可設(shè)此三數(shù)為a-d, a, a+d; x . .一若三數(shù)成等比數(shù)列，可設(shè)此三數(shù)為一，x, xy。但還要就問(wèn)題而

19、言，這里解法二中米用首項(xiàng)a,公比q來(lái)解y決問(wèn)題反而簡(jiǎn)便。舉一反三：【變式1】一個(gè)等比數(shù)列有三項(xiàng)，如果把第二項(xiàng)加上4,那么所得的三項(xiàng)就成為等差數(shù)列，如果再把這個(gè)等差數(shù)列的第三項(xiàng)加上32,那么所得的三項(xiàng)又成為等比數(shù)列，求原來(lái)的等比數(shù)列【答案】為2, 6, 18或2, 10,50; 99 9設(shè)所求的等比數(shù)列為 a, aq, aq2;貝U 2(aq+4)=a+aq 2,且(aq+4) 2=a(aq 2+32);2斛得 a=2, q=3 或 a - , q=-5 ;9故所求的等比數(shù)列為 2, 6, 18或2, 10, 50.99 9【變式2】已知三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，它們的積為27,它們的平方和為 91,求

20、這三個(gè)數(shù)?！敬鸢浮?、3、9 或一1、3、- 9 或 9、3、1 或一9、3、一 1設(shè)這三個(gè)數(shù)分別為 a,a,aq , q由已知得aa aq 27 q2a 22 22 a a q q91a 32 12a2(- q2 1) 91 q42221得 9q 82q9 0 ,所以 q 9 或 q -,9r 一八1即q3或q一故所求二個(gè)數(shù)為：1、3、9或一1、3、 9或9、3、1或一9、3、一 1?！咀兪?】有四個(gè)數(shù)，其中前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，并且第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的和 是16,第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的和為12,求這四個(gè)數(shù).【答案】0, 4, 8, 16 或 15, 9, 3, 1;設(shè)四個(gè)數(shù)

21、分別是 x,y,12-y,16-x2y x 12y.(1)"(12 y)2y(16 x).(2)由得 x=3y-12 ,代入(2)得 144-24y+y 2=y(16-3y+12)144-24y+y 2=-3y 2+28y, 4y2-52y+144=0,y2-13y+36=0,y=4 或 9,x=0 或 15,.四個(gè)數(shù)為 0, 4, 8, 16 或 15, 9, 3, 1.類型六：等比數(shù)列的判斷與證明例6.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足：log 5(Sn+1)=n(n CM),求出數(shù)列an的通項(xiàng)公式，并判斷an是 何種數(shù)列？思路點(diǎn)撥：由數(shù)列a n的前n項(xiàng)和S可求數(shù)列的通項(xiàng)公式，通過(guò)通

22、項(xiàng)公式判斷a n類型.解析：log 5(Sn+1)=n, .-.Sn+1=5n, .1.Si=5n-1 (n N+), - a1 =Si=5 -1=4,當(dāng) n>2 時(shí)，an=Sn-Sn-1=(5 n-1)-(5 n-1-1)=5 n-5 n-1=5n-1(5-1)=4 X 5n-1而 n=1 時(shí)，4X 5n1=4X 511 =4=a1,n-1n C NW, an=4X 5由上述通項(xiàng)公式，可知an為首項(xiàng)為4,公比為5的等比數(shù)列.舉一反三：【變式1】已知數(shù)列Cn,其中C=2n + 3n,且數(shù)列Cn+1-pCn為等比數(shù)列，求常數(shù) P。【答案】p=2或p=3;Cn+1-pCn是等比數(shù)列，對(duì)任意

23、n Nl. n> 2,有(Cn+1-pCn) 2=(Cn+2-pCn+1)(C n-pCn-1). G=2n+3n, (2 n+1+3n+1)-p(2 n+3n) 2=(2 n+2+3n+2)-p(2 n+1+3n+1)(2 n+3nAp(2 n-1+3n-1)即(2-p)2n+(3-p)3n2=(2-p)2n+1+(3-p)-3n+1- (2-p)2n-1 +(3-p)-3n-11整理得：一(2 p)(3 p) 2n 3 n 0,解得：p=2 或 p=3,6顯然C+1-pCnW0,故p=2或p=3為所求.【變式2】設(shè)an、bn是公比不相等的兩個(gè)等比數(shù)列，C=an+bn,證明數(shù)列Cn不是

24、等比數(shù)列.【證明】 設(shè)數(shù)列a n、b n的公比分別為p, q ,且pw q為證Cn不是等比數(shù)列，只需證 C1 C3c1.222 2,2 2. C2(ap b1q) a pbi q2a16pq ,2,2、22,22, ,22、C1C3 (a1 b1)(a1 pbq )a p bq ab(pq )2,、2C1C3C2a1b1 (pq),又 p wq, a 1 w 0, b 1 w 0,C1C3C220 即 C1C3 c2數(shù)列Cn不是等比數(shù)列.【變式3】判斷正誤：a n為等比數(shù)列a7=a3a4；(2)若b2=ac,則a, b, c為等比數(shù)列;a, bn均為等比數(shù)列,則anbn為等比數(shù)歹U；(4)a是公比為q的等比數(shù)列，則an2、 仍為等比數(shù)列; ana, b, c 成等比，則 log na, log mb, log mc 成等差.【答案】(1)錯(cuò)；(2)錯(cuò)；對(duì)；a7=aq6, a3a4二a1q2 a1q3=a12q5,等比數(shù)列的