多元函數(shù)的條件極值

1、4 條件極值條件極值一、問 題 引 入 例例1 要設(shè)計(jì)一個(gè)容積為要設(shè)計(jì)一個(gè)容積為 V 的長(zhǎng)方形無蓋水箱的長(zhǎng)方形無蓋水箱, 試試 問長(zhǎng)、寬、高各等于多少時(shí)問長(zhǎng)、寬、高各等于多少時(shí), 可使得表面積達(dá)到可使得表面積達(dá)到 最小最小? 若設(shè)長(zhǎng)、寬、高各等于若設(shè)長(zhǎng)、寬、高各等于 x, y, z, 則則 2 ();Sz xyxy目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù): .xyzV 約束條件約束條件: 例例2 設(shè)曲線設(shè)曲線 求此曲線上求此曲線上 22,1.zxyxyz1212(,), (,)R ;nnnyf xxxxxxD的點(diǎn)到原點(diǎn)距離之最大、最小值的點(diǎn)到原點(diǎn)距離之最大、最小值. 對(duì)此問題有對(duì)此問題有 222;uxyz目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)

2、函數(shù): 22,1.zxyxyz約束條件約束條件: 定義定義 設(shè)目標(biāo)函數(shù)為設(shè)目標(biāo)函數(shù)為 約束條件為如下一組方程約束條件為如下一組方程: 12(,)0,1,2,().:knxxxkm mn 為簡(jiǎn)便起見為簡(jiǎn)便起見, 記記 并設(shè)并設(shè) 12(,),nPxxx |,( )0,1, 2,.kPPDPkm00()( ),(; ) (),f Pf PPU PP或或0,0,P 使得使得若存在若存在 0()f P( )f P 則稱則稱 是是 在約束條件在約束條件 之下的極小值之下的極小值 0P稱稱 是相應(yīng)的極小值點(diǎn)是相應(yīng)的極小值點(diǎn)二、拉格朗日乘數(shù)法 先從先從 n = 2, m =1 的最簡(jiǎn)情形說起的最簡(jiǎn)情形說起,即

3、設(shè)目標(biāo)函數(shù)即設(shè)目標(biāo)函數(shù)與約束條件分別為與約束條件分別為 ( , )( , )0.(1)zf x yx y 與與dd0,ddxxyxyyzyffffxx ( , )0 x y ( ),yy x 若由若由 確定了隱函數(shù)確定了隱函數(shù) 則使得目則使得目 ( , ( ).zf x y x 標(biāo)函數(shù)成為一元函數(shù)標(biāo)函數(shù)成為一元函數(shù) 再由再由 00000(,)(, (),P xyxy x 求出穩(wěn)定點(diǎn)求出穩(wěn)定點(diǎn) 在此點(diǎn)處滿足在此點(diǎn)處滿足 0()0.xyyxPff yxxyff 記記極值點(diǎn)必滿足極值點(diǎn)必滿足0 xxf0yyf( , )0 x y 0 xxxLf0yyyLf0L ( , , )( , )( , ),L

4、 x yf x yx y在點(diǎn)在點(diǎn) 處恰好滿足處恰好滿足: 000(,)xy ( , )( , )0,( , )( , )0,(2)( , )0.xxxyyyLfx yx yLfx yx yLx y 通過引入輔助函數(shù)通過引入輔助函數(shù) 把條件極值問題把條件極值問題 (1) ( , , ),L x y 轉(zhuǎn)化成為關(guān)于這個(gè)輔助函數(shù)的普通極值問題轉(zhuǎn)化成為關(guān)于這個(gè)輔助函數(shù)的普通極值問題. 拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法引入輔助函數(shù)引入輔助函數(shù) 12121(,)(,).(3)mnkknkf xxxxxx 稱此函數(shù)為稱此函數(shù)為拉格朗日函數(shù)拉格朗日函數(shù), 其中其中 稱稱 12,m為為拉格朗日乘數(shù)拉格朗日乘數(shù). kf

5、 與與定理定理 18.6 設(shè)上述條件極值問題中的函數(shù)設(shè)上述條件極值問題中的函數(shù) 在區(qū)域在區(qū)域 D上有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)上有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù). 若若 (1,2,)km 1212(,)nmL xxx(0)(0)(0)012(,)nPxxxD 的內(nèi)點(diǎn)的內(nèi)點(diǎn) 是該條件極值問是該條件極值問 題的極值點(diǎn)題的極值點(diǎn), 且且01111rank,nmmPnxxmxx (0)(0)(0)12(,nxxx(0)(0)(0)12,)m(0)(0)(0)12,m則存在則存在 m 個(gè)常數(shù)個(gè)常數(shù) 使得使得 個(gè)方程的解個(gè)方程的解: 為拉格朗日函數(shù)為拉格朗日函數(shù) (3) 的穩(wěn)定點(diǎn)的穩(wěn)定點(diǎn), 即它是如下即它是如下 nm1120,1,2

6、, ;(,)0,1,2,.mkkkiiinkkLfinxxxLxxxkm 當(dāng)當(dāng)n = 2, m = 1 時(shí)時(shí)引入輔助函數(shù)引入輔助函數(shù)( , , )( , )( , )F x yf x yx y0 xxxFf0yyyFf0F 極值問題極值問題無條件極值無條件極值:條條 件件 極極 值值 :條件極值的求法條件極值的求法: 方法方法1 代入法代入法.求一元函數(shù)求一元函數(shù)的無條件極值問題的無條件極值問題對(duì)自變量只有定義域內(nèi)限制對(duì)自變量只有定義域內(nèi)限制.對(duì)自變量除定義域內(nèi)限制外對(duì)自變量除定義域內(nèi)限制外,還有其它條件限制還有其它條件限制.例如例如 ,轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化( , )0,( , )x yzf x y 在在

7、條條件件下下 求求函函數(shù)數(shù)的的極極值值( , )0( )x yyx從從條條件件中中解解出出( ,( )zf xx 求條件極值的方法求條件極值的方法 (消元法消元法, 拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法) 方法方法2 拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法.推廣推廣:拉格朗日乘數(shù)法可推廣到多個(gè)自變量和多個(gè)約束拉格朗日乘數(shù)法可推廣到多個(gè)自變量和多個(gè)約束 條件的情形條件的情形. 例如例如, 求函數(shù)求函數(shù)下的極值下的極值.( , , )( , , )0, ( , , )0uf x y zx y zx y z 在在條條件件12( , , , )( , , )( , , )( , , )F x y zf x y zx y

8、 zx y z設(shè)設(shè)解方程組解方程組120 xxxxFf 120yyyyFf 120zzzzFf 10F 10F 解解:xyo6 yxD如圖如圖,222( ,)2(4)0( ,)(4)0 xyfx yxyxyx yfx yxxyx y (2,1)4f 且且( , )0f x y , 2|64 xxy,64)2 , 4( f解解2 用拉格朗日乘數(shù)法解用拉格朗日乘數(shù)法解2( , , )(4)(6)F x yx yxyxy 解方程組解方程組得：得：228320 xFxyx yxy 232420yFxxx y 60Fxy 4,2xyxyo6 yxD例例2.22zxy 求曲面求曲面與平面與平面解：解：12

9、26dxyz設(shè)設(shè)為拋物面為拋物面上任一點(diǎn)，上任一點(diǎn)， 則則 P ( , , )P x y z22zxy的距離為的距離為220 xyz問題歸結(jié)為問題歸結(jié)為2(22)xyz 約束條件約束條件:220 xyz 目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù):22xyz 222( , , )(22)()F x y zxyzzxy 設(shè)設(shè)到平面到平面之間的最短距離之間的最短距離.令令2(22)20yFxyzy 2(22)( 2)0zFxyz 2(22)20 xFxyzx 22zxy111,.448xyz 得唯一駐點(diǎn)：得唯一駐點(diǎn)：min111124446d74 6 根據(jù)問題的實(shí)際意義根據(jù)問題的實(shí)際意義,知知例例3. 要設(shè)計(jì)一個(gè)容量為要設(shè)

10、計(jì)一個(gè)容量為則問題為求則問題為求x , y ,令令解方程組解方程組解解: : 設(shè)設(shè) x , y , z 分別表示長(zhǎng)、寬、高分別表示長(zhǎng)、寬、高, ,下水箱表面積下水箱表面積最小最小. .z 使在條件使在條件xF02zyyzyF02zxxzzF0)(2yxyxF00Vzyx水箱長(zhǎng)、寬、高等于多少時(shí)所用材料最?。克溟L(zhǎng)、寬、高等于多少時(shí)所用材料最?。康拈L(zhǎng)方體開口水箱的長(zhǎng)方體開口水箱, , 試問試問 0 xyzVyxzyzxS)(2)()(20VzyxyxzyzxFxyz得唯一駐點(diǎn)得唯一駐點(diǎn),2230Vzyx3024V因此因此 , ,當(dāng)高為當(dāng)高為,340V所用材料最省所用材料最省.0VP169:1(1

11、)(3)( , )(,)0,4.y zzz x yFFx x設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)由由方方程程確確定定 其其中中例例為為可可微微函函數(shù)數(shù)( ), ( ) , ( ), ().A xB zCxDzB(10數(shù)學(xué)一數(shù)學(xué)一,二二)20,()zzFxyxy 且且則則提提示示：( , , )(,),y zFxzxGyx 設(shè)設(shè).yxzzGGzzxGyG 則則，GF uvxy xz12()()xxxyzGFFxx1()yyyGFx 2()zzzGFx 習(xí)習(xí) 題題cos ,sin5:,.,.uuzzxev yev zuvxy 試求例設(shè).zzuzvxu xv x .zzuz vyu yv y 提示：提示：zuvxy xy.

12、uvvuxxzx .uvvuyyzy cos0,;,sin0uuxevuuvvxyxyyev 由由求求1vuvvuvFFFxGuGG xxFG1sin10coscossinsincosuuuuuuevevevevevev 23.,6xt ytzt 在曲線的所有例切線中，24xyz與平面平行的切線( )( )1.A 只有 條( )2.B 只有 條( )3.C至少有 條().D 不存在提示提示: 由題設(shè)由題設(shè) 2(1, 2 ,3 )Ttt (1,2,1)n Tn 0T n 21 430tt 1211,3tt B解解當(dāng)當(dāng)0 t時(shí)，時(shí)，, 2, 1, 0 zyx,costext ,sincos2tty

13、 ,33tez , 1)0( x, 2)0( y, 3)0( z0cos d2sincos ,tuxeu u ytt 7 7 求求曲曲線線, ,例例 310tzet 在在處處的的切切線線和和法法平平面面的的方方程程. .(1, 2, 3)T 切線方程：切線方程：,322110 zyx法平面方程：法平面方程：, 0)2(3)1(2 zyx. 0832 zyx即即( , )(0,0),(0,0)3(0,0)1,()xyf x yff 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)在在附附近近有有定定義義且且和和則則有有 (0,0)( ) dddAzxy= =3 3- -； ( )( , )0,0,(0,0)(3, 1,1);Bzf

14、 x yf 曲曲面面在在點(diǎn)點(diǎn)的的一一個(gè)個(gè)法法向向量量為為 ( , )( )0,0,(0,0)(3,0,1);0zf x yCfy 曲曲線線在在點(diǎn)點(diǎn)的的一一個(gè)個(gè)切切向向量量為為 ( , )( )0,0, (0,0)(1,0,3).0zf x yDfy 曲曲線線在在點(diǎn)點(diǎn)的的一一個(gè)個(gè)切切向向量量為為( , )0,0( , )xxzf x yyyzf x y 曲曲線線的的參參數(shù)數(shù)方方程程為為：提提示示：T 則則一一個(gè)個(gè)切切向向量量為為 0,0, (0,0)ddd(,)dddfxyzxxx 0,0, (0,0)=(1,0,( , )fxfx y=(1,0,3).D8:例選擇題設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 與與 均可微且

15、均可微且( , )f x y00(,)xy則下列結(jié)論正確的是則下列結(jié)論正確的是( )（A）若）若 則則00 (,)0 xfxy 2006研研( , )x y ( , )0yx y 已知已知 是在約束條件是在約束條件 下的一個(gè)極值點(diǎn)，下的一個(gè)極值點(diǎn)，( , )0 x y 00(,)0yfxy （B）若）若 則則00 (,)0 xfxy 00(,)0yfxy （C）若）若 則則00 (,)0 xfxy 00(,)0yfxy （D）若）若 則則00 (,)0 xfxy 00(,)0yfxy D例例9：提示：提示：滿足方程組滿足方程組0 xxxFf0yyyFf0F yxxyff yxxyff 222(10)210.10.xyyzxyz 分分 求求函函數(shù)數(shù)在在約約束束條條件件下下的的最最大大值值與與最最小小值值例