發(fā)射衛(wèi)星為什么用三級火箭

1、微分方程建模：發(fā)射衛(wèi)星為什么用三級火箭 微分方程建模是數(shù)學(xué)建模的重要方法，因為許多實際問題的數(shù)學(xué)描述將導(dǎo)致求解微分方程的定解問題。把形形色色的實際問題化成微分方程的定解問題，大體上可以按以下幾步： 1. 根據(jù)實際要求確定要研究的量(自變量、未知函數(shù)、必要的參數(shù)等)并確定坐標(biāo)系。 2. 找出這些量所滿足的基本規(guī)律(物理的、幾何的、化學(xué)的或生物學(xué)的等等)。 3. 運用這些規(guī)律列出方程和定解條件。 列方程常見的方法有： （i）按規(guī)律直接列方程 在數(shù)學(xué)、力學(xué)、物理、化學(xué)等學(xué)科中許多自然現(xiàn)象所滿足的規(guī)律已為人們所熟悉，并直接由微分方程所描述。如牛頓第二定律、放射性物質(zhì)的放射性規(guī)律等。我們常利用這些規(guī)律對

2、某些實際問題列出微分方程。（ii）微元分析法與任意區(qū)域上取積分的方法 自然界中也有許多現(xiàn)象所滿足的規(guī)律是通過變量的微元之間的關(guān)系式來表達(dá)的。對于這類問題，我們不能直接列出自變量和未知函數(shù)及其變化率之間的關(guān)系式，而是通過微元分析法，利用已知的規(guī)律建立一些變量（自變量與未知函數(shù)）的微元之間的關(guān)系式，然后再通過取極限的方法得到微分方程，或等價地通過任意區(qū)域上取積分的方法來建立微分方程。（iii）模擬近似法 在生物、經(jīng)濟(jì)等學(xué)科中，許多現(xiàn)象所滿足的規(guī)律并不很清楚而且相當(dāng)復(fù)雜，因而需要根據(jù)實際資料或大量的實驗數(shù)據(jù)，提出各種假設(shè)。在一定的假設(shè)下，給出實際現(xiàn)象所滿足的規(guī)律，然后利用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法列出微分方程。

3、 在實際的微分方程建模過程中，也往往是上述方法的綜合應(yīng)用。不論應(yīng)用哪種方法，通常要根據(jù)實際情況，作出一定的假設(shè)與簡化，并要把模型的理論或計算結(jié)果與實際情況進(jìn)行對照驗證，以修改模型使之更準(zhǔn)確地描述實際問題并進(jìn)而達(dá)到預(yù)測預(yù)報的目的。本章將利用上述方法討論具體的微分方程的建模問題。§1 發(fā)射衛(wèi)星為什么用三級火箭采用運載火箭把人造衛(wèi)星發(fā)射到高空軌道上運行，為什么不能用一級火箭而必須用多級火箭系統(tǒng)？下面通過建立運載火箭有關(guān)的數(shù)學(xué)模型來回答上述問題。火箭是一個復(fù)雜的系統(tǒng)，為了使問題簡單明了，我們只從動力系統(tǒng)和整體結(jié)構(gòu)上分析，并且假設(shè)引擎是足夠強(qiáng)大的。1.1 為什么不能用一級火箭發(fā)射人造衛(wèi)星下面用

4、三個數(shù)學(xué)模型回答這個問題1.1.1 衛(wèi)星進(jìn)入600km 高空軌道時，火箭必須的最低速度首先將問題理想化，假設(shè)：（i）衛(wèi)星軌道是以地球中心為圓心的某個平面上的圓周，衛(wèi)星在此軌道上以地球引力作為向心力繞地球作平面勻速圓周運動；（ii）地球是固定于空間中的一個均勻球體，其質(zhì)量集中于球心；（iii）其它星球?qū)πl(wèi)星的引力忽略不計。建模與求解：設(shè)地球半徑為，質(zhì)量為；衛(wèi)星軌道半徑為，衛(wèi)星質(zhì)量為。根據(jù)假設(shè)（ii）和（iii），衛(wèi)星只受到地球的引力，由牛頓萬有引力定律可知其引力大小為 （1）其中為引力常數(shù)。為消去常數(shù)，把衛(wèi)星放在地球表面，則由（1）式得 或 再代入（1）式，得 （2）其中為重力加速度。根據(jù)假設(shè)（

5、i），若衛(wèi)星圍繞地球作勻速圓周運動的速度為，則其向心力為，因為衛(wèi)星所受的地球引力就是它作勻速運動的向心力，故有 由此便推得衛(wèi)星距地面為，必須的最低速度的數(shù)學(xué)模型為 （3）取，代入上式，得 即要把衛(wèi)星送入離地面600km高的軌道，火箭的末速度最低應(yīng)為7.6km/s。1.1.2 火箭推進(jìn)力及升空速度火箭的簡單模型是由一臺發(fā)動機(jī)和一個燃料倉組成。燃料燃燒產(chǎn)生大量氣體從火箭末端噴出，給火箭一個向前的推力?；鸺w行要受地球引力、空氣阻力、地球自轉(zhuǎn)與公轉(zhuǎn)等的影響，使火箭升空后作曲線運動。為使問題簡化，假設(shè)：（i）火箭在噴氣推動下作直線運動，火箭所受的重力和空氣阻力忽略不計。（ii）在時刻火箭質(zhì)量為，速度為

6、，且均為時間的連續(xù)可微函數(shù)；（iii）從火箭末端噴出氣體的速度（相對火箭本身）為常數(shù)。建模與分析：由于火箭在運動過程中不斷噴出氣體，使其質(zhì)量不斷減少，在內(nèi)的減少量可由臺勞展式表示為 （4）因為噴出的氣體相對于地球的速度為，則由動量守恒定律有 （5）從（4）式和（5）式可得火箭推進(jìn)力的數(shù)學(xué)模型為 （6）令時，求解上式，得火箭升空速度模型 （7）（6）式表明火箭所受推力等于燃料消耗速度與噴氣速度（相對火箭）的乘積。（7）式表明，在一定的條件下，升空速度由噴氣速度（相對火箭）及質(zhì)量比決定。這為提高火箭速度找到了正確途徑：從燃料上設(shè)法提高值；從結(jié)構(gòu)上設(shè)法減少。1.1.3 一級火箭末速度上限火箭衛(wèi)星系統(tǒng)

7、的質(zhì)量可分為三部分：（有效負(fù)載，如衛(wèi)星），（燃料質(zhì)量），（結(jié)構(gòu)質(zhì)量，如外殼、燃料容器及推進(jìn)器）。一級火箭末速度上限主要是受目前技術(shù)條件的限制，假設(shè)：（i）目前技術(shù)條件為：相對火箭的噴氣速度km/s及 （ii）初速度忽略不計，即。建模與求解：因為升空火箭的最終（燃料耗盡）質(zhì)量為，由（7）式及假設(shè)（ii）得到末速度為 （8）令，代入上式，得 （9）于是，當(dāng)衛(wèi)星脫離火箭，即時，便得火箭末速度上限的數(shù)學(xué)模型為 由假設(shè)（i），取km，便得火箭速度上限 km/s因此，用一級火箭發(fā)射衛(wèi)星，在目前技術(shù)條件下無法達(dá)到相應(yīng)高度所需的速度。1.2 理想火箭模型從前面對問題的假設(shè)和分析可以看出：火箭推進(jìn)力自始至終在加

8、速著整個火箭，然而隨著燃料的不斷消耗，所出現(xiàn)的無用結(jié)構(gòu)質(zhì)量也在隨之不斷加速，作了無用功，故效益低，浪費大。所謂理想火箭，就是能夠隨著燃料的燃燒不斷拋棄火箭的無用結(jié)構(gòu)。下面建立它的數(shù)學(xué)模型。假設(shè)：在時段丟棄的結(jié)構(gòu)質(zhì)量與燒掉的燃料質(zhì)量以與的比例同時進(jìn)行。建模與分析：由動量守恒定律，有 由上式可得理想火箭的數(shù)學(xué)模型為 （10）及 ，解之得 （11）由上式可知，當(dāng)燃料耗盡，結(jié)構(gòu)質(zhì)量拋棄完時，便只剩衛(wèi)星質(zhì)量，從而最終速度的數(shù)學(xué)模型為 （12）（12）式表明，當(dāng)足夠大時，便可使衛(wèi)星達(dá)到我們所希望它具有的任意速度。例如，考慮到空氣阻力和重力等因素，估計要使km/s才行，如果取km/s，則可推出，即發(fā)射1噸重

9、的衛(wèi)星大約需50噸重的理想火箭。1.3 多級火箭衛(wèi)星系統(tǒng)理想火箭是設(shè)想把無用結(jié)構(gòu)質(zhì)量連續(xù)拋棄以達(dá)到最佳的升空速度，雖然這在目前的技術(shù)條件下辦不到，但它確為發(fā)展火箭技術(shù)指明了奮斗目標(biāo)。目前已商業(yè)化的多級火箭衛(wèi)星系統(tǒng)便是朝著這種目標(biāo)邁進(jìn)的第一步。多級火箭是從末級開始，逐級燃燒，當(dāng)?shù)诩壢剂蠠M時，第級火箭立即自動點火，并拋棄已經(jīng)無用的第級。我們用表示第級火箭質(zhì)量，表示有效負(fù)載。為了簡單起見，先作如下假設(shè)：（i）設(shè)各級火箭具有相同的，表示第級結(jié)構(gòu)質(zhì)量，表示第級的燃料質(zhì)量。（ii）噴氣相對火箭的速度相同，燃燒級的初始質(zhì)量與其負(fù)載質(zhì)量之比保持不變，記該比值為。先考慮二級火箭。由（7）式，當(dāng)?shù)谝患壔鸺紵?/p>

10、時，其速度為 在第二級火箭燃燒完時，其速度為 （13）仍取km/s，考慮到阻力等因素，為了達(dá)到第一宇宙速度，對于二級火箭，欲使km/s，由（13）式得 解之得 ，這時 同理，可推出三級火箭 欲使km/s，應(yīng)該，從而。與二級火箭相比，在達(dá)到相同效果的情況下，三級火箭的質(zhì)量幾乎節(jié)省了一半。現(xiàn)記級火箭的總質(zhì)量（包括有效負(fù)載）為，在相同假設(shè)下（km/s，km/s，），可以算出相應(yīng)的值，現(xiàn)將計算結(jié)果列于下表中：（級數(shù)） 1 2 3 4 5 × 149 77 65 60 50實際上，由于受技術(shù)條件的限制，采用四級或四級以上的火箭，經(jīng)濟(jì)效益是不合算的，因此采用三級火箭是最好的方案。1.4 最佳結(jié)構(gòu)

11、設(shè)計下面我們將考慮當(dāng)用級火箭發(fā)射衛(wèi)星時的最佳結(jié)構(gòu)，即使最小的結(jié)構(gòu)。記 記 ， 由于，可以推出 易知則最佳結(jié)構(gòu)問題轉(zhuǎn)化為 s.t. 可以推出當(dāng)時，最小。§2 人口模型2.1 問題提出據(jù)考古學(xué)家論證，地球上出現(xiàn)生命距今已有20億年，而人類的出現(xiàn)距今卻不足200萬年。縱觀人類人口總數(shù)的增長情況，我們發(fā)現(xiàn)：1000年前人口總數(shù)為2.75億。經(jīng)過漫長的過程到1830年，人口總數(shù)達(dá)10億，又經(jīng)過100年，在1930年，人口總數(shù)達(dá)20億；30年之后，在1960年，人口總數(shù)為30億；又經(jīng)過15年，1975年的人口總數(shù)是40億，12年之后即1987年，人口已達(dá)50億。我們自然會產(chǎn)生這樣一個問題：人類人

12、口增長的規(guī)律是什么？如何在數(shù)學(xué)上描述這一規(guī)律。2.2 Malthus 模型1789年，英國神父Malthus在分析了一百多年人口統(tǒng)計資料之后，提出了Malthus模型。模型假設(shè)（i）設(shè)表示時刻的人口數(shù)，且連續(xù)可微。（ii）人口的增長率是常數(shù)（增長率=出生率死亡率）。（iii）人口數(shù)量的變化是封閉的，即人口數(shù)量的增加與減少只取決于人口中個體的生育和死亡，且每一個體都具有同樣的生育能力與死亡率。建模與求解由假設(shè)，時刻到時刻人口的增量為 于是得 （14） 其解為 (15)模型評價考慮二百多年來人口增長的實際情況，1961年世界人口總數(shù)為，在19611970年這段時間內(nèi)，每年平均的人口自然增長率為2%

13、，則（15）式可寫為 (16)根據(jù)17001961年間世界人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)，我們發(fā)現(xiàn)這些數(shù)據(jù)與（16）式的計算結(jié)果相當(dāng)符合。因為在這期間地球上人口大約每 35年增加 1倍，而（16）式算出每 34.6年增加1倍。但是，當(dāng)人們用（15）式對1790年以來的美國人口進(jìn)行檢驗，發(fā)現(xiàn)有很大差異。 利用（16）式對世界人口進(jìn)行預(yù)測，也會得出驚異的結(jié)論：當(dāng)年時，即4400萬億，這相當(dāng)于地球上每平方米要容納至少 20人。顯然，用這一模型進(jìn)行預(yù)測的結(jié)果遠(yuǎn)高于實際人口增長，誤差的原因是對增長率的估計過高。由此，可以對是常數(shù)的假設(shè)提出疑問。2.3 阻滯增長模型（Logistic模型）如何對增長率進(jìn)行修正呢？我們知道，

14、地球上的資源是有限的，它只能提供一定數(shù)量的生命生存所需的條件。隨著人口數(shù)量的增加，自然資源、環(huán)境條件等對人口再增長的限制作用將越來越顯著。如果在人口較少時，我們可以把增長率看成常數(shù)，那么當(dāng)人口增加到一定數(shù)量之后，就應(yīng)當(dāng)視為一個隨著人口的增加而減小的量，即將增長率表示為人口的函數(shù)，且為的減函數(shù)。 模型假設(shè) （i）設(shè)為的線性函數(shù)，。（工程師原則，首先用線性） （ii）自然資源與環(huán)境條件所能容納的最大人口數(shù)為，即當(dāng)時，增長率。 建模與求解由假設(shè)（i），（ii）可得，則有 （17）（17）式是一個可分離變量的方程，其解為 (18)模型檢驗 由（17）式，計算可得 (19)人口總數(shù)有如下規(guī)律：（i） ，

15、即無論人口初值如何，人口總數(shù)以為極限。（ii）當(dāng)時，這說明是單調(diào)增加的，又由（19）式知：當(dāng)時，為凹，當(dāng)時，為凸。（iii）人口變化率在時取到最大值，即人口總數(shù)達(dá)到極限值一半以前是加速生長時期，經(jīng)過這一點之后，生長速率會逐漸變小，最終達(dá)到零。與Malthus模型一樣，代入一些實際數(shù)據(jù)進(jìn)行驗算，若取1790年為，可以看出，直到 1930年，計算結(jié)果與實際數(shù)據(jù)都能較好地吻合，在1930年之后，計算與實際偏差較大。原因之一是60年代的實際人口已經(jīng)突破了假設(shè)的極限人口，由此可知，本模型的缺點之一就是不易確定。2.4 模型推廣可以從另一個角度導(dǎo)出阻滯增長模型，在Malthus模型上增加一個競爭項，它的作

16、用是使純增長率減少。如果一個國家工業(yè)化程度較高，食品供應(yīng)較充足，能夠提供更多的人生存，此時較小；反之較大，故建立方程 （20）其解為 (21)由（21）式，得 (22)對(20)(22)式進(jìn)行分析，有（i）對任意，有，且（ii）當(dāng)時，遞增；當(dāng)時，；當(dāng)時，遞減。（iii）當(dāng)時，為凹，當(dāng)時，為凸。 令（20）式第一個方程的右邊為0，得，稱它們是微分方程（20）的平衡解。易知，故又稱是（20）式的穩(wěn)定平衡解。可預(yù)測：不論人口開始的數(shù)量為多少，經(jīng)過相當(dāng)長的時間后，人口總數(shù)將穩(wěn)定在。參數(shù)和可以通過已知數(shù)據(jù)利用Matlab中的非線性回歸命令nlinfit求得。§3 戰(zhàn)爭模型早在第一次世界大戰(zhàn)期間

17、，F(xiàn). W. Lanchester 就提出了幾個預(yù)測戰(zhàn)爭結(jié)局的數(shù)學(xué)模型，其中包括作戰(zhàn)雙方均為正規(guī)部隊；作戰(zhàn)雙方均為游擊隊；作戰(zhàn)的一方為正規(guī)部隊，另一方為游擊隊。后來人們對這些模型作了改進(jìn)和進(jìn)一步的解釋，用以分析歷史上一些著名的戰(zhàn)爭，如二次世界大戰(zhàn)中的美日硫黃島之戰(zhàn)和1975年的越南戰(zhàn)爭。影響戰(zhàn)爭勝負(fù)的因素有很多，兵力的多少和戰(zhàn)斗力的強(qiáng)弱是兩個主要的因素。士兵的數(shù)量會隨著戰(zhàn)爭的進(jìn)行而減少，這種減少可能是因為陣亡、負(fù)傷與被俘，也可能是因為疾病與開小差。分別稱之為戰(zhàn)斗減員與非戰(zhàn)斗減員。士兵的數(shù)量也可隨著增援部隊的到來而增加。從某種意義上來說，當(dāng)戰(zhàn)爭結(jié)束時，如果一方的士兵人數(shù)為零，那么另一方就取得了勝

18、利。如何定量地描述戰(zhàn)爭中相關(guān)因素之間的關(guān)系呢？比如如何描述增加士兵數(shù)量與提高士兵素質(zhì)之間的關(guān)系。3.1 模型一 正規(guī)戰(zhàn)模型模型假設(shè)（i）雙方士兵公開活動。方士兵的戰(zhàn)斗減員僅與方士兵人數(shù)有關(guān)。記雙方士兵人數(shù)分別為，則方士兵戰(zhàn)斗減員率為，表示方每個士兵的殺傷率?？芍?，為方士兵的射擊率（每個士兵單位時間的射擊次數(shù)），每次射擊的命中率。同理，用表示方士兵對方士兵的殺傷率，即。（ii）雙方的非戰(zhàn)斗減員率僅與本方兵力成正比。減員率系數(shù)分別為。（iii）設(shè)雙方的兵力增援率為。模型與求解 由假設(shè)可知 （23）我們對（23）式中的一種理想的情況進(jìn)行求解，即雙方均沒有增援與非戰(zhàn)斗減員。則（23）式化為 （24）其

19、中為雙方戰(zhàn)前的兵力。由（24）式的前兩式相除，得 分離變量并積分得,整理得若令，則有當(dāng)，雙方打成平局。當(dāng)時，方獲勝。當(dāng)時，方獲勝。這樣，方要想取得戰(zhàn)斗勝利，就要使，即 考慮到假設(shè)（i），上式可寫為 (25)(25)式是方占優(yōu)勢的條件。若交戰(zhàn)雙方都訓(xùn)練有素，且都處于良好的作戰(zhàn)狀態(tài)。則與，與相差不大，（25）式右邊近似為1。（25）式左邊表明，初始兵力比例被平方地放大了。即雙方初始兵力之比，以平方的關(guān)系影響著戰(zhàn)爭的結(jié)局。比如說，如果方的兵力增加到原來的2倍，方兵力不變，則影響著戰(zhàn)爭的結(jié)局的能力將增加4倍。此時，方要想與方抗衡，須把其士兵的射擊率增加到原來的4倍（均不變）。以上是研究雙方之間兵力的變

20、化關(guān)系。下面將討論每一方的兵力隨時間的變化關(guān)系。對(24)式兩邊對求導(dǎo)，得 ，即 （27）初始條件為解之，得同理可求得的表達(dá)式為。3.2 模型二 游擊戰(zhàn)模型模型假設(shè)（i）方士兵看不見方士兵，方士兵在某個面積為的區(qū)域內(nèi)活動。方士兵不是向方士兵射擊，而是向該區(qū)域射擊。此時，方士兵的戰(zhàn)斗減員不僅與方兵力有關(guān)，而且隨著方兵力增加而增加。因為在一個有限區(qū)域內(nèi)，士兵人數(shù)越多，被殺傷的可能性越大。可設(shè)，方的戰(zhàn)斗減員率為，其中為方戰(zhàn)斗效果系數(shù)，其中仍為射擊率，命中率為方一次射擊的有效面積（）與方活動面積（）之比。假設(shè)（ii），（iii）同模型一的假設(shè)（ii），（iii）。模型與求解由假設(shè)，可得方程 （28）其

21、中是方戰(zhàn)斗效果系數(shù)。為了使（28）式容易求解，可以做一些簡化：設(shè)交戰(zhàn)雙方在作戰(zhàn)中均無非戰(zhàn)斗減員和增援。此時，有 （29）兩式相除，得，其解為令，上式可化為 (30)當(dāng)，雙方打成平局。當(dāng)時，方獲勝。當(dāng)時，方獲勝。方獲勝的條件可以表示為 即初始兵力之比以線性關(guān)系影響戰(zhàn)斗的結(jié)局。當(dāng)雙方的射擊率與有效射擊面積一定時，增加活動面積與增加初始兵力起著同樣的作用。3.3 模型三 混合戰(zhàn)模型模型假設(shè)（i）方為游擊隊，方為正規(guī)部隊。（ii）交戰(zhàn)雙方均無戰(zhàn)斗減員與增援。模型與求解借鑒模型一與二的思想，可得 （31）其解為 （32）其中。經(jīng)驗表明，只有當(dāng)兵力遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于1時，正規(guī)部隊才能戰(zhàn)勝游擊隊。當(dāng)時，方勝，此時 （

22、33）一般來說，正規(guī)部隊以火力強(qiáng)而見長，游擊隊以活動靈活，活動范圍大而見長。這可以通過一些具體數(shù)據(jù)進(jìn)行計算。不妨設(shè)，命中率，活動區(qū)域的面積m2，方有效射擊面積m2，則由（33），方取勝的條件為 ，方的兵力是方的10倍。美國人曾用這個模型分析越南戰(zhàn)爭。根據(jù)類似于上面的計算以及四五十年代發(fā)生在馬來亞、菲律賓、印尼、老撾等地的混合戰(zhàn)爭的實際情況估計出，正規(guī)部隊一方要想取勝必須至少投入8倍于游擊部隊一方的兵力，而美國至多只能派出6倍于越南的兵力。越南戰(zhàn)爭的結(jié)局是美國不得不接受和談并撤軍，越南人民取得最后的勝利。3.4 模型四 一個戰(zhàn)爭實例J. H. Engel 用二次大戰(zhàn)末期美日硫黃島戰(zhàn)役中的美軍戰(zhàn)地

23、記錄，對正規(guī)戰(zhàn)爭模型進(jìn)行了驗證，發(fā)現(xiàn)模型結(jié)果與實際數(shù)據(jù)吻合得很好。硫黃島位于東京以南660英里的海面上，是日軍的重要空軍基地。美軍在1945年2月開始進(jìn)攻，激烈的戰(zhàn)斗持續(xù)了一個月，雙方傷亡慘重，日方守軍21500人全部陣亡或被俘，美方投入兵力73000人，傷亡20265人，戰(zhàn)爭進(jìn)行到28天時美軍宣布占領(lǐng)該島，實際戰(zhàn)斗到36天才停止。美軍的戰(zhàn)地記錄有按天統(tǒng)計的戰(zhàn)斗減員和增援情況。日軍沒有后援，戰(zhàn)地記錄則全部遺失。用和表示美軍和日軍第天的人數(shù)，忽略雙方的非戰(zhàn)斗減員，則 （34）美軍戰(zhàn)地記錄給出增援率為 并可由每天傷亡人數(shù)算出，。下面要利用這些實際數(shù)據(jù)代入（34）式，算出的理論值，并與實際值比較。利用給出的數(shù)據(jù)，對參數(shù)進(jìn)行估計。對（34）式兩邊積分，并用求和來近似代替積分，有 （35） (36)為估計在（36）式中取，因為，且由的實