光學(xué)設(shè)計(jì)第08章 單色像差

1、第八章 單色像差光學(xué)系統(tǒng)以單色光成像時(shí)，可產(chǎn)生五種性質(zhì)不同的像差，它們是球差、慧差、像散、像面彎曲和畸變，通稱為單色像差。這些單色像差中，有的僅與孔徑有關(guān)，只有當(dāng)成像光束孔徑角加大時(shí)才產(chǎn)生；有的僅與視場有關(guān)，只有當(dāng)成像范圍加大時(shí)才產(chǎn)生；有的則與孔徑和視場均有關(guān)。§1 球差一 球差的基本概念如圖81所示,由軸上物點(diǎn)A發(fā)出的近軸光線1和,經(jīng)過光學(xué)系統(tǒng)后,交軸上點(diǎn)；由發(fā)出的上、下邊緣光線和經(jīng)過光學(xué)系統(tǒng)后，交軸上于點(diǎn)；由點(diǎn)發(fā)出的上、下帶光線（）2和經(jīng)過光學(xué)系統(tǒng)后，交光軸于點(diǎn)。它們的后截距分別為。 圖81 軸上物點(diǎn)單色光成像引起的像差球差 由軸上物點(diǎn)所發(fā)出的光線經(jīng)過光學(xué)系統(tǒng)后，在光軸上不能交于

2、一點(diǎn)，這是因?yàn)楣鈱W(xué)系統(tǒng)的孔徑大而引起的，這就是球差。如果我們以近軸交點(diǎn)為參考點(diǎn)，那么邊緣光線的縱向球差為：帶光線的縱向球差為：如果,球差為負(fù)，稱為欠校正球差；如果，球差為正，稱為過校正球差。為了更直觀地表征因球差引起的像點(diǎn)的彌散程度，常常采用橫向球差的概念，它們是縱向球差在近軸像面上的投影（彌散），數(shù)學(xué)表達(dá)式為當(dāng)用一個(gè)光屏沿著光軸移動(dòng)時(shí)，在屏上所得到的像為不同大小的彌散斑。如圖81所示。二 球差表達(dá)式光學(xué)系統(tǒng)的球差值是通過對(duì)整個(gè)系統(tǒng)進(jìn)行光路計(jì)算求得的。系統(tǒng)的總球差值是各個(gè)折射面累加而得，即每個(gè)折射面對(duì)系統(tǒng)的總球差值均有“貢獻(xiàn)”。這些貢獻(xiàn)量就是系統(tǒng)的球差分布。 圖82 球差的傳遞與單球面的球差如

3、圖82所示，在光學(xué)系統(tǒng)中某個(gè)折射表面以前的各個(gè)折射面產(chǎn)生的球差設(shè)為，是該折射面的物方球差，其后面的球差為像方球差。不能認(rèn)為是給定折射面產(chǎn)生的球差值，它包含了前面幾個(gè)折射面的球差貢獻(xiàn)；也不能認(rèn)為是該折射球面前幾個(gè)球面產(chǎn)生的球差的簡單累加。實(shí)際上，該球差由兩部分組成，一部分是該折射面本身產(chǎn)生的球差，以表示；另一部分是折射面物方球差（前幾個(gè)前球差累積）乘以該折射面的轉(zhuǎn)面倍率而得，因此 科爾伯（A.Kerber）選擇作為軸向像差的轉(zhuǎn)面公式。則單球面的球差表示為：整理，得令，則式中通常稱為球差系數(shù)。對(duì)于由多個(gè)光學(xué)元件組成的光學(xué)系統(tǒng)，各個(gè)表面的貢獻(xiàn)為： . . .由轉(zhuǎn)面公式：， 得到各個(gè)表面對(duì)球差的貢獻(xiàn)之

4、和：式中： 此式稱為科爾伯公式。三 單個(gè)折射球面的球差分布系數(shù)下面對(duì)進(jìn)行進(jìn)一步的討論，如圖82所示： 由三角形的關(guān)系（正弦定理），得：得注意到由上述公式可見，若要單折射球面的球差為零。可以有三種情況。第一種情況: ,即物點(diǎn)在折射面上。第二種情況：，只有，由得 ，即:物點(diǎn)和像點(diǎn)均在折射球面的球心處，或者說入射光線沿球面的法線方向入射。第三種情況:又由于此時(shí)，還有,（因）則 此時(shí)，像點(diǎn)：這是一對(duì)無球差的共軛點(diǎn)位置，它們的符號(hào)相同，因此都在球心的同側(cè)，或者是實(shí)物成虛像，或者是虛物成實(shí)像，如圖83和圖84所示。 圖83 齊明點(diǎn)（一） 圖84 齊明點(diǎn)（二）由上式，還可以得到該對(duì)無球差的共軛點(diǎn)的物像距關(guān)系

5、：又因?yàn)榇藭r(shí) , 得此式表明，這一對(duì)共軛點(diǎn)，不論孔徑角多大，比值和始終保持常數(shù)，故不產(chǎn)生球差。這一對(duì)共軛點(diǎn)稱為不暈點(diǎn)，或稱為齊明點(diǎn)。 四 球差的級(jí)數(shù)表示式球差是軸上點(diǎn)的像差。由于軸上點(diǎn)發(fā)出的光束對(duì)稱于光軸，當(dāng)孔徑角或入射高度改變符號(hào)時(shí)，縱向球差不改變符號(hào)，故在的級(jí)數(shù)展開式中，不應(yīng)該包含有或的奇次方項(xiàng)；又由于當(dāng)或?yàn)榱銜r(shí)，必為零，展開式中也不應(yīng)有常數(shù)項(xiàng)；是軸上點(diǎn)像差，與視場無關(guān)，故也不應(yīng)包含項(xiàng)。所以的級(jí)數(shù)展開式為：或 由橫向球差可知，其符號(hào)隨或的符號(hào)改變而改變，但數(shù)值不變，或橫向球差的展開式中，只應(yīng)包含或的奇次方項(xiàng)， 即：對(duì)于一般的光學(xué)系統(tǒng)，取到四次冪的精度就足夠了，因此，只要追跡兩條光線（比如，

6、一條是孔徑的邊緣光線，一條是帶光線），就可以求出系數(shù)。如果使系統(tǒng)的邊緣帶球差為零，則 則 則有：上式中，處在和0之間，對(duì)上式微分，求的極值得：可見，當(dāng)邊緣帶球差為零時(shí)，在0.707帶處球差有極值。這是光線光路計(jì)算過程中，取0.707孔徑作為帶光線的主要原因。五 球差曲線由光線的光路計(jì)算，可以精確地計(jì)算光學(xué)系統(tǒng)在不同物距、不同口徑下的球差值。如圖85，畫出了的球差曲線，其中（a）為欠校正球差曲線，（b）為邊緣球差完好校正的球差曲線，（c）為過校正球差曲線。如圖86，給出了曲線，其中（a）為欠校正球差曲線，（b）為邊緣球差完好校正的球差曲線，（c）為過校正球差曲線。如圖87，畫出了橫向球差。橫坐標(biāo)

7、為孔徑角的正切，縱坐標(biāo)為光線在參考像面上的高度，稱為曲線。其中：(a).是邊緣球差欠校正的橫向球差曲線；（b）.是邊緣球差校正完好的橫向球差曲線；（c）.是邊緣球差過校正的橫向球差曲線。 圖85 縱向球差曲線（一） 圖86 縱向球差曲線（二） 圖87 縱向球差曲線（三）§2 慧差對(duì)于軸外物點(diǎn)寬光束來說，如同軸上物點(diǎn)的球差，將會(huì)引起慧差。一 慧差的基本概念如圖88所示，軸外點(diǎn)發(fā)出的子午光束，對(duì)輔軸來說就相當(dāng)于軸上點(diǎn)光束（上光線，主光線，下光線）與輔軸的夾角不同，故有不同的球差值，所以三條光線不能交于(輔軸上)一點(diǎn)。在折射前主光線是子午光線的軸線，而折射后不再是光束的軸線，光束失去了對(duì)稱

8、性。 圖88 子午慧差的定義用上、下光線的交點(diǎn)到主光線的垂直于光軸方向的偏離來表示這種光束的不對(duì)稱性，稱為子午慧差，以表示。式中，是由光軸到上下邊緣光線在像方交點(diǎn)的高度；是主光線在該平面上的交點(diǎn)距光軸的高度。實(shí)際上，光學(xué)系統(tǒng)的各種像差總是同時(shí)存在，故計(jì)算慧差時(shí)，并非像定義那樣，真正求出一對(duì)對(duì)稱光線的交點(diǎn)相對(duì)于主光線的偏離，而是以這對(duì)光線與高斯面交點(diǎn)高度的平均值與主光線交點(diǎn)高度之差來表征，如圖89所示。由于慧差本身是一個(gè)小量，這種計(jì)算公式與其定義式的差別是微乎其微的。如此，可以由子午平面內(nèi)的光線光路計(jì)算計(jì)算出慧差值。被稱為子午慧差. 圖89 子午慧差的計(jì)算若,也就是主光線高度在上、下邊緣光線的像

9、方交點(diǎn)之上時(shí)，慧差值為負(fù)，此時(shí)慧差為欠校正；或，也就是主光線高度在上、下邊緣光線得像方交點(diǎn)之下時(shí)，慧差值為正，此時(shí)慧差為過校正。二 弧矢慧差如圖810所示，由軸外物點(diǎn)發(fā)出的弧矢光束的前光線和后光線折射后為光線它們相交于點(diǎn)，由于二光線對(duì)稱于子午面，故點(diǎn)應(yīng)在子午面內(nèi)，即前光線和后光線與子午面的交點(diǎn)。點(diǎn)到主光線的垂直于光軸方向的距離定義為弧矢慧差，以表示。 圖810 弧矢慧差的定義和計(jì)算一般以前后光線與高斯像面的交線（）距光軸的距離（）和主光線與高斯像面的交點(diǎn)（）到光軸的 距離之差（）來計(jì)算弧矢慧差，如圖810所示。式中，和均可由空間光線的光路計(jì)算而得到。三 慧差圖軸外物點(diǎn)發(fā)出充滿整個(gè)入射光瞳的光束

10、，相當(dāng)于由一系列與瞳面相截成不同半徑的圓錐面光束組成。各個(gè)圓錐面光束經(jīng)過系統(tǒng)成像后，各與高斯像面截得一個(gè)圓。但圓心與高斯像點(diǎn)的距離，以及圓的半徑都與圓錐面光束等有關(guān)。主光線與高斯像面截得一個(gè)點(diǎn)像，即點(diǎn)。其他圓錐光束與高斯像面截得位置和大小不等的圓。入射光瞳邊緣的圓錐光束在高斯像面上截得圓，半徑最大，且其圓心離點(diǎn)最遠(yuǎn)。這樣，各圓的圓心在一條直線上，各圓的兩條公切線成角?？梢娸S外物點(diǎn)在高斯像面的像就如同彗星一樣。就能量而言，像點(diǎn)集中了大部分的光能，為最亮；隨著遠(yuǎn)離點(diǎn)，亮度逐漸變?nèi)酢Ｔ敿?xì)的計(jì)算見其他參考書。 圖811 慧差圖四 光學(xué)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)形式對(duì)慧差的影響如圖89所示，上、下光線的交點(diǎn)在主光線的下方

11、，慧差值為負(fù)。若把圖89中的入射光瞳向右移到球心處，如圖812所示，則主光線與輔軸重合，光束沿輔軸通過折射面不會(huì)失去對(duì)稱性，沒有慧差產(chǎn)生。如果把入射光瞳繼續(xù)向右移，如圖813所示。上下光線的交點(diǎn)將在主光線以上，所以慧差值為正。 圖812 入射光瞳中心與折射球面曲率中心重合慧差消除 圖813 入射光瞳中心在折射球面曲率中心之右慧差為正 圖814 單彎月透鏡正向放置時(shí)慧差為正 圖815 單彎月透鏡反向放置時(shí)慧差為負(fù)所以，慧差與孔徑光闌的位置有關(guān)。慧差值還與透鏡形狀有關(guān)，如圖814所示，彎月形透鏡對(duì)軸外點(diǎn)成像，上光線和兩個(gè)折射面的輔軸較為接近，偏折小；而下光線偏離兩折射面的輔軸較大，故偏折較大；主光

12、線通過透鏡的節(jié)點(diǎn)附近，方向基本不變。因此，光線，的交點(diǎn)必在主光線之上，慧差值為正。如果把正彎月鏡反向放置，如圖815所示，下光線b偏離兩折射面的輔軸較上光線a為小，折射后的光線較的偏折大，主光線的方向近似不變，故光線，的交點(diǎn)應(yīng)在主光線之下，慧差值為負(fù)。如把兩個(gè)彎月形透鏡凹面相對(duì)，并在中間設(shè)置孔徑光闌，如圖816所示。當(dāng)物像的倍率為1時(shí)，從光闌所在空間來看，透鏡的上、下光線分別與透鏡的下、上光線相同，因而兩透鏡產(chǎn)生相反符號(hào)的慧差值，可以完全相消。這種結(jié)構(gòu)就是對(duì)稱式照相物鏡的雛形。 圖816 一對(duì)單彎月透鏡消除慧差§3 正弦差軸上物點(diǎn)經(jīng)光學(xué)系統(tǒng)成像后，只有球差；軸外物點(diǎn)成像存在慧差。對(duì)于

13、鄰軸物點(diǎn)（小視場），其慧差用正弦差來量度。這種近軸物點(diǎn)的像差性質(zhì)要比遠(yuǎn)軸物點(diǎn)的像差簡單得多。一 正弦條件正弦條件是：當(dāng)光學(xué)系統(tǒng)對(duì)軸上物點(diǎn)成完善像時(shí)（消球差），使在垂軸方向上無限靠近的物點(diǎn)也成完善像的充分必要條件。也就是說，如果光學(xué)系統(tǒng)滿足正弦條件，就能對(duì)小視場物面完善成像。正弦條件可由費(fèi)馬原理導(dǎo)出。如圖817所示，光軸上的物點(diǎn)成完善像于，是在過的垂軸方向上無限靠近的一點(diǎn)，設(shè)它也被系統(tǒng)成完善像于點(diǎn)。分別以和表示和。 過點(diǎn)的光線與光軸成角，其共軛光線 圖817 正弦條件與光軸成角。過點(diǎn)光線與光軸成角，其共軛光線與光軸成角。根據(jù)費(fèi)馬原理，光程（）應(yīng)與光程（）相等，即： 。故有：以點(diǎn)為中心，為半徑作圓

14、弧。交光線于點(diǎn)，因角極小，從可得：同理，在像方可得： 兩式可得因和分別使和的完善像，根據(jù)費(fèi)馬原理，其間的光程各為極值，即：因此，光程（）和（）各為常數(shù)，二者之差也為常數(shù)，與角無關(guān)的常數(shù)，取的這條沿光軸的光線計(jì)算，該常數(shù)為0，得這就是正弦條件。這是光學(xué)系統(tǒng)對(duì)垂軸小面積成完善像所需要滿足的條件?；蛘哒f，當(dāng)軸上點(diǎn)能以寬光束成完善像時(shí)，若滿足此條件，過該點(diǎn)的垂軸小面積上的其他點(diǎn)也能以寬光束成完善像。正弦條件還可以表示成其中，為按近軸光線所算得的放大率。當(dāng)物體位于無窮遠(yuǎn)時(shí)，,正弦條件能表示成另一種形式。以代替，并有，可得正弦條件為： 式中為按近軸光線所算得的焦距。二 等暈成像 正弦條件是以軸上物點(diǎn)完善成

15、像為前提的，但實(shí)際的光學(xué)系統(tǒng)僅能對(duì)物點(diǎn)發(fā)出的光束中的一個(gè)帶或二個(gè)帶的光線校正球差，因此，即使是軸上點(diǎn)也不能是真正的完善成像，軸外近軸物點(diǎn)也不可能完善成像，充其量只能要求它的像質(zhì)與軸上點(diǎn)一致，即具有相同程度的成像缺陷，這稱之為等暈成像。既然軸上物點(diǎn)成像時(shí)只有沿光軸方向的球差，那么，根據(jù)等暈成像的要求，在垂直于光軸的平面上與之無限靠近的軸外物點(diǎn)，首先也必須與軸上點(diǎn)具有相同的沿光軸方向的球差。如果以點(diǎn)表示軸上物點(diǎn)A發(fā)出的邊緣光束與光軸的交點(diǎn)。表示近軸光線與光軸交點(diǎn)（高斯像點(diǎn)）。那么，等暈成像首先要求，軸外垂軸物點(diǎn)B發(fā)出的光束，必須成像于過點(diǎn)且在垂軸的平面內(nèi)，才能滿足A和B的成像具有相同的沿軸方向的球

16、差。 然而，由于軸外物點(diǎn)光束通過光學(xué)系統(tǒng)后失去對(duì)稱性，軸外物點(diǎn)的寬光束雖成像于過點(diǎn)的垂直平面內(nèi)，但它們一般不可能都成像于主光線與的垂軸平面的交點(diǎn)處，這種像差就是慧差。如圖818所示，慧差分別在子午和弧矢平面上度量，以主光線兩側(cè)且對(duì)稱于主光線的成對(duì)邊緣光線在像空間的交點(diǎn)相對(duì)于主光線沿垂軸方向的偏離來表示，稱為子午慧差，稱為弧矢慧差。因?yàn)檩S上物點(diǎn)A的像點(diǎn)不存在慧差，因此，軸外近軸物點(diǎn)的慧差是光學(xué)系統(tǒng)不滿足等暈條件的標(biāo)志。 通常用弧矢慧差的長度之比來描述光學(xué)系統(tǒng)對(duì)等暈條件的偏離程度，用OSC表示，稱為正弦差，即式中是一對(duì)弧矢邊緣光線交點(diǎn)的高度。 圖818 軸外物點(diǎn)的子午慧差和弧矢慧差 如圖819所示

17、，是近軸物點(diǎn)B發(fā)出與軸上物點(diǎn)A相同孔徑角的一對(duì)弧矢光線經(jīng)折射球面后的交點(diǎn)。由于弧矢光線對(duì)稱于子午平面，它一定在子午平面內(nèi)，且位于輔軸BC上。顯然有 圖819 弧矢光線在子午面內(nèi)成像考慮到球差的存在，物AB在高斯像面的成像為，如圖820所示，其像高為，并且（物高，如圖819所示）。 圖820 弧矢光線在子午面內(nèi)成像與高斯像而是近軸物體在高斯像面成像的放大率，有式中：u和是近軸光線的初始和最后孔徑角，U和是邊緣光線的起始和最后孔徑角，是近軸光線的像方截距，是邊緣光線的像方截距，是軸外主光線的像方截距（由最后表面頂點(diǎn)到出瞳之距）。 如果OSC0，表示系統(tǒng)滿足等暈條件。當(dāng)軸上物點(diǎn)由于球差而不完善成像時(shí)

18、，滿足此條件可使垂軸小面積等暈成像。 當(dāng)物體處在無限遠(yuǎn)時(shí)，則正弦差為 正弦差表示式中的量，可通過近軸光線和子午面內(nèi)的光線的光路計(jì)算來求得。三 慧差系數(shù)光學(xué)系統(tǒng)中每個(gè)表面對(duì)正弦差均有不同的貢獻(xiàn)，而且每個(gè)表面的正弦差由兩部分組成，一部分是該折射面以前的正弦差，經(jīng)過轉(zhuǎn)面后的貢獻(xiàn)；另一部分是該表面本身產(chǎn)生的正弦差。正弦差的轉(zhuǎn)面倍率選為：由此可以得到式中是該表面本身產(chǎn)生的正弦差。 對(duì)于由多個(gè)表面組成的光學(xué)系統(tǒng)，各個(gè)表面的貢獻(xiàn)為： . . .再由轉(zhuǎn)面公式，求和后得到：式中，為慧差系數(shù)。同樣，慧差系數(shù)也可以化簡為：§4 像散和像面彎曲軸外細(xì)光束通過光學(xué)系統(tǒng)后，在像方空間形成兩條垂直的焦線。一條是由

19、子午光線形成的垂直于子午面的子午焦線；一條是由弧矢光線形成的在子午面內(nèi)的弧矢焦線。當(dāng)子午焦線和弧矢焦線不重合時(shí)，就產(chǎn)生了像散。軸外細(xì)光束可以通過小孔經(jīng)的入射光瞳來實(shí)現(xiàn)。而光學(xué)系統(tǒng)是對(duì)物面成像，物面上的不同發(fā)光點(diǎn)（不同視場點(diǎn)），用細(xì)光束在像空間成像，其像散值將不會(huì)一樣，因此，一個(gè)物平面通過光學(xué)系統(tǒng)后在像空間所成的像不再是平面，而是曲面，這就是像彎曲，也稱為場曲。由子午像點(diǎn)構(gòu)成的曲面，稱為子午像面；由弧矢像點(diǎn)構(gòu)成的曲面，稱為弧矢像面。一 像散.如圖821所示，軸外物點(diǎn)的無限細(xì)光束通過光學(xué)系統(tǒng)后在不同的位置放置接收屏，將得到不同的像。在位置1時(shí)，像截面為一長軸垂直于子午面的橢圓；位置2時(shí)，像截面為一

20、垂直于子午面的短線（子午焦線）；在位置3時(shí)，像截面為長軸垂直于子午面的橢圓；在位置4時(shí)，像截面為一圓；在位置5時(shí)，像截面為長軸在子午像面內(nèi)的橢圓；在位置6時(shí)，像截面為一在子午面內(nèi)的短線（弧矢焦線）；在位置7時(shí)，像截面為長軸在子午面內(nèi)的橢圓。 圖821 軸外物點(diǎn)細(xì)光束成像 在圖821中，兩條短線的光能量最集中，短線稱為軸外物點(diǎn)B的子午像，短線為軸外物點(diǎn)B的弧矢像。兩條短線間沿光束軸（主光線）方向的距離就是光學(xué)系統(tǒng)的像散。 在光學(xué)設(shè)計(jì)中，一般以在光軸上的投影來度量光學(xué)系統(tǒng)的像散值，以表示。像散值的計(jì)算首先以“軸外鄰主光線的細(xì)光束的光線光路計(jì)算”為基礎(chǔ)（楊氏公式），求出最后的，如圖822所示。，則像

21、散值為： 像散值為縱向像差，它是光學(xué)系統(tǒng)中的透鏡的彎曲狀態(tài)、光闌位置和視場角的函數(shù)。 圖822 像散值的計(jì)算二 像面彎曲（場曲） 軸外物點(diǎn)發(fā)出的細(xì)光束通過光學(xué)系統(tǒng)成像時(shí)，形成子午像點(diǎn)和弧矢像點(diǎn)，而軸上物點(diǎn)則無此現(xiàn)象，因此，一個(gè)物平面通過光學(xué)系統(tǒng)時(shí)，離軸越遠(yuǎn)的物點(diǎn)，其成像點(diǎn)離高斯像越遠(yuǎn)，必然形成兩個(gè)彎曲的像面，而且這兩個(gè)像面必須同時(shí)相切于高斯像面與光軸的交點(diǎn)上。 如圖823所示，某一視場（物平面上的物點(diǎn)B）的子午像點(diǎn)、弧矢像點(diǎn)相對(duì)于高斯像面沿光軸方向距離分別為，分別稱為子午像面彎曲、弧矢像面彎曲，或稱為子午場曲和弧矢場曲，其計(jì)算公式為：這可以用軸外物點(diǎn)細(xì)光束的光線光路計(jì)算而求得 圖823 場曲值的計(jì)算三 寬光束的像散和場曲 光學(xué)系統(tǒng)都是以寬光束成像的，如圖824所示，軸外點(diǎn)寬光束上、下光線經(jīng)光學(xué)系統(tǒng)折射后的交點(diǎn)到高斯像面的距離為寬光束子午場曲，以表示。同理，弧矢光束的前、后光線的交點(diǎn)到高斯像面的距離為弧矢場曲，以表示。寬光束的像散： 圖824 軸外物點(diǎn)寬光束成像四 像散分布公式 像散的轉(zhuǎn)面倍率為：由此得到:由圖823所示，得，則得到 式中 其中，是可以忽略的高級(jí)小量，由此得到五 弧矢場曲系數(shù)由于場曲是縱向量，按照科爾伯公式，其轉(zhuǎn)面倍率為