圓錐曲線常見題型

1、、定義法【典型例題】例1、(1)拋物線C:y2=4x上一點(diǎn)P到點(diǎn)A(3,42 )與到準(zhǔn)線的距離和最小,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為2(2)拋物線C: y =4x上一點(diǎn)Q到點(diǎn)B(4,1)與到焦點(diǎn)F的距離和最小，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)2 2例2、F是橢圓- y1的右焦點(diǎn)，A(1,1)為橢圓內(nèi)一定點(diǎn),43P為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)。(1) PA +|PF的最小值為-yA PH F 0Fx(2)PA +2PF的最小值為例3、動(dòng)圓M與圓Ci：(x+1)2+y2=36內(nèi)切,與圓C2：(x-1) 2+y2=4外切,求圓心跡方程。M3例 4、 ABC 中，B(-5,0),C(5,0),且 sin C-si nB=si nA,求點(diǎn) A 的軌跡方

2、程。5二、點(diǎn)差法【典型例題】與圓錐曲線的弦的中點(diǎn)有關(guān)的問題，我們稱之為圓錐曲線的中點(diǎn)弦問題。解圓錐曲線的中點(diǎn)弦問題的一般方法是：聯(lián)立直線和圓錐曲線的方程，借助于一元次方程的根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式及參數(shù)法求解。若設(shè)直線與圓錐曲線的交點(diǎn)(弦的端點(diǎn))坐標(biāo)為 A(x1, y1)、B(x2,y2)，將這兩點(diǎn)代 入圓錐曲線的方程并對所得兩式作差， 得到一個(gè)與弦AB的中點(diǎn)和斜率有關(guān)的式子，可以 大大減少運(yùn)算量。我們稱這種代點(diǎn)作差的方法為“點(diǎn)差法”。1.以定點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在直線的方程2 2例1、過橢圓 =1內(nèi)一點(diǎn)M (2,1)引一條弦，使弦被 M點(diǎn)平分，求這條弦所在直164線的方程。2例2、

3、已知雙曲線x2 -才=1，經(jīng)過點(diǎn)M (1,1)能否作一條直線I，使I與雙曲線交于 A、B，且點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)。若存在這樣的直線I，求出它的方程，若不存在，說明理由。2. 過定點(diǎn)的弦和平行弦的中點(diǎn)坐標(biāo)和中點(diǎn)軌跡22i例3、已知橢圓 工 -1的一條弦的斜率為 3,它與直線x =-的交點(diǎn)恰為這條弦的中75 252點(diǎn)M，求點(diǎn)M的坐標(biāo)。2 2例4、已知橢圓 乂 乞=1 ,求它的斜率為3的弦中點(diǎn)的軌跡方程。75253. 求與中點(diǎn)弦有關(guān)的圓錐曲線的方程例5、已知中心在原點(diǎn)，一焦點(diǎn)為 F(0, 50)的橢圓被直線I : y = 3x -2截得的弦的中點(diǎn)一 1的橫坐標(biāo)為一，求橢圓的方程。22 2_例6已知橢

4、圓 2 =1 a b 0的一條準(zhǔn)線方程是 x = 1，有一條傾斜角為的直ab4線交橢圓于 A B兩點(diǎn)，若AB的中點(diǎn)為C -,-，求橢圓方程I 2'4丿4. 圓錐曲線上兩點(diǎn)關(guān)于某直線對稱問題2 2例7、已知橢圓 =1，試確定的m取值范圍，使得對于直線 y = 4x m，橢圓上 43總有不同的兩點(diǎn)關(guān)于該直線對稱。5. 求直線的斜率X2y2f 9)例8已知橢圓1上不同的三點(diǎn) A x1, y1 , B 4, ,C x2, y2與焦點(diǎn)F 4,0259. 5的距離成等差數(shù)列( 1)求證：x1 x 8 ；( 2)若線段AC的垂直平分線與 x軸的交點(diǎn)為T ,求直線BT的斜率k.6. 證明定值問題例9已

5、知AB是橢圓2x2a2y_21 a b 0不垂直于x軸的任意一條弦,P是AB的中點(diǎn),O為橢圓的中心求證：直線 AB和直線OP的斜率之積是定值、數(shù)形結(jié)合法例1：已知P(a,b)是直線x+2y-仁0上任一點(diǎn)，求S= a2 b2 4 6b 13的最小值。例2：已知點(diǎn)P(x,y)是圓x2+y2-6x-4y+12=0上一動(dòng)點(diǎn)，求 X的最值。x充分利用曲線系方程 利用曲線系方程可以避免求曲線的交點(diǎn)，因此也可以減少計(jì)算。典型例題求經(jīng)過兩已知圓C1： x2y24x - 2y =0和C2:x2y2- 2y -4 =0的交點(diǎn)，且圓心在直線 l : 2x 4y0上的圓的方程。直線和圓錐曲線?？碱}型直線與橢圓、雙曲線

6、、拋物線中每一個(gè)曲線的位置關(guān)系都有相交、相切、相離三種 情況，從幾何角度可分為三類：無公共點(diǎn)，僅有一個(gè)公共點(diǎn)及有兩個(gè)相異公共點(diǎn)對于拋物線來說，平行于對稱軸的直線與拋物線相交于一點(diǎn)，但并不是相切；對于雙曲線來說， 平行于漸近線的直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，但并不相切.直線和橢圓、雙曲線、拋物線中每一個(gè)曲線的公共點(diǎn)問題，可以轉(zhuǎn)化為它們的方程 所組成的方程組求解的問題，從而用代數(shù)方法判斷直線與曲線的位置關(guān)系。解決直線和圓錐曲線的位置關(guān)系的解題步驟是：(1)直線的斜率不存在，直線的斜率存，(2)聯(lián)立直線和曲線的方程組；(3)討論類一元二次方程(4) 一元二次方程的判別式(5)韋達(dá)定理，同類坐標(biāo)變 換(6

7、)同點(diǎn)縱橫坐標(biāo)變換(7) x,y , k(斜率)的取值范圍運(yùn)用的知識：1、中點(diǎn)坐標(biāo)公式:坐標(biāo)。2、弦長公式：若點(diǎn)則kxb, y2(8)目標(biāo)：弦長，中點(diǎn)，垂直，角度，向量，面積，范圍等等x-i x2Vi y2x -,y一 2 ,其中 x,y 是點(diǎn) A(X1,yJ, B(X2,y2)的中點(diǎn)AyJ, B(X2, y2)在直線 y = kx b(k = 0) 上,=kx2 b，這是同點(diǎn)縱橫坐標(biāo)變換，是兩大坐標(biāo)變換技巧之一,AB =(為X2)2 +(% y2)2t(X1 -X2)2 (心-収2)2(1 k2)(X1 X2)2二,(1 k2)(x1 X2)2 -4X2或2)1k2y1y23、兩條直線 h

8、: y = &X d, 12: y = k2x - b2垂直：則 kjk2 二-1兩條直線垂直，則直線所在的向量ViLV2 = 04、韋達(dá)定理：若一元二 次方程ax2 bx c =0(a = 0)有兩個(gè)不同的根 洛龍，則bcx-i x2, x-i x2 ：aa常見的一些題型：題型一：數(shù)形結(jié)合確定直線和圓錐曲線的位置關(guān)系2二1始終有交點(diǎn),m的取值范圍x2例題1、已知直線丨：y = kx 1與橢圓C :4題型二：弦的垂直平分線問題弦的垂直平分線問題和對稱問題是一種解題思維，首先弄清楚哪個(gè)是弦，哪個(gè)是對稱軸, 用到的知識是：垂直(兩直線的斜率之積為-1 )和平分(中點(diǎn)坐標(biāo)公式)。例題2、過點(diǎn)

9、T(-1,0)作直線丨與曲線N : y2二x交于A、B兩點(diǎn)，在x軸上是否存在一點(diǎn)E(x°,0)，使得- ABE是等邊三角形，若存在，求出X。；若不存在，請說明理由。2例題3、已知橢圓 y2 =1的左焦點(diǎn)為F, O為坐標(biāo)原點(diǎn)。2(I)求過點(diǎn) O F,并且與x = -2相切的圓的方程；(H)設(shè)過點(diǎn)F且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓于A B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與xxy31練習(xí)1:已知橢圓C : 22=1(a b 0)過點(diǎn)(1,一)，且離心率e =。ab22(I)求橢圓方程；(n)若直線丨：y =kx m(k =0)與橢圓交于不同的兩點(diǎn) M、N ,且線段MN的垂1直平分線過定點(diǎn) G(,0)

10、，求k的取值范圍。8jV Ax2y2練習(xí)2、設(shè)Fi、F2分別是橢圓 一 上1的左右焦點(diǎn).是否存在過點(diǎn)A(5,0)的直線I與54橢圓交于不同的兩點(diǎn)請說明理由.D，使得F?C二F2題型三：動(dòng)弦過定點(diǎn)的問題圓錐曲線自身有一些規(guī)律性的東西，其中一些性質(zhì)是和直線與圓錐曲線相交的弦有關(guān)系，對這樣的一些性質(zhì)， 我們必須了如指掌， 并且必須會證明。 隨著幾何畫板的開發(fā)， 實(shí)現(xiàn)了 機(jī)器證明幾何問題， 好多以前我們不知道的、 了解不深入的幾何或代數(shù)性質(zhì)， 都如雨后春 筍般的出來了，其中大部分都有可以遵循的規(guī)律， 高考出題人，也得設(shè)計(jì)好思維，讓我們 在他們設(shè)好的路上“走”出來。下面我們就通過幾個(gè)考題領(lǐng)略一下其風(fēng)采。

11、例題4、已知橢圓C:22x y22 = 1(a b 0)的離心率為a b二，且在x軸上的頂點(diǎn)分別為2Ai(-2,0),A 2(2,0)。(I)求橢圓的方程;(II)若直線I : x =t(t 2)與x軸交于點(diǎn)T,點(diǎn)P為直線I上異于點(diǎn)T的任一點(diǎn)，直線PAi,PA2分別與橢圓交于 M、N點(diǎn)，試問直線 MN是否通過橢圓的焦點(diǎn)？并證明你的結(jié)論。例題5、已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x軸上，橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最 大值為3;最小值為1;(I)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(H)若直線I: kx m與橢圓C相交于A, B兩點(diǎn)(A , B不是左右頂點(diǎn))，且以AB為直徑的圓過橢圓 C的右頂點(diǎn)。求證：直線 l過

12、定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)。 題型四：過已知曲線上定點(diǎn)的弦的問題若直線過的定點(diǎn)在已知曲線上，則過定點(diǎn)的直線的方程和曲線聯(lián)立，轉(zhuǎn)化為一元二次方程(或類一元二次方程)，考察判斷式后，韋達(dá)定理結(jié)合定點(diǎn)的坐標(biāo)就可以求出另一端點(diǎn) 的坐標(biāo)，進(jìn)而解決問題。下面我們就通過例題領(lǐng)略一下思維過程。2 2例題6、已知點(diǎn)A、B、C是橢圓E:篤Z =1 (a . b 0)上的三點(diǎn)，其中點(diǎn)A(2、.3,0)a b是橢圓的右頂點(diǎn)，直線BC過橢圓的中心 0,且"AclBC=0，BC =2 AC，如圖。(I)求點(diǎn)C的坐標(biāo)及橢圓E的方程;PC與直線QC關(guān)于直線Xh&3對稱，求直線(II)若橢圓E上存在兩點(diǎn)P、Q,

13、使得直線3C以過點(diǎn)A ( 1，)，兩個(gè)焦點(diǎn)為(一1, 0)2(1, 0)。(1) 求橢圓C的方程;(2) E, F是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果直線 AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，證明 直線EF的斜率為定值，并求出這個(gè)定值。導(dǎo)數(shù)各種題型方法總結(jié)請同學(xué)們高度重視：首先，關(guān)于二次函數(shù)的不等式 恒成立的主要解法：1分離變量；2變更主元；3根分布；4判別式法5、二次函數(shù)區(qū)間最值求法：(1)對稱軸(重視單調(diào)區(qū)間) 與定義域的關(guān)系(2)端點(diǎn)處和頂點(diǎn)是最值所在其次，分析每種題型的本質(zhì)，你會發(fā)現(xiàn)大部分都在解決“不等 式恒成立問題”以及“充分應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想”，創(chuàng)建不等關(guān)系求 出取值范圍。最后，同學(xué)們在看例題時(shí)

14、，請注意尋找關(guān)鍵的等價(jià)變形和回歸 的基礎(chǔ)一、基礎(chǔ)題型：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值；不等式恒成立;1、此類問題提倡按以下三個(gè)步驟進(jìn)行解決：第一步：令f (x) =0得到兩個(gè)根；第二步：畫兩圖或列表；第三步：由圖表可知；其中不等式恒成立問題的實(shí)質(zhì)是函數(shù)的最值問題， 2、常見處理方法有三種：第一種：分離變量求最值-用分離變量時(shí)要特另忻意是否需分類討論(>0,=0,<0)第二種：變更主元(即關(guān)于某字母的一次函數(shù))一(已知誰的范圍就把誰作為主元)；例1 :設(shè)函數(shù)y = f(x)在區(qū)間D上的導(dǎo)數(shù)為f (x) , f (x)在區(qū)間D上的導(dǎo)數(shù)為g(x),若在區(qū)間D上，g (x) < 0恒成立，則稱函數(shù) y二f (x)在區(qū)間D上為“凸函數(shù)”，已知實(shí)數(shù)m是常數(shù)，432xmx3xf (x):126 2(1)若y = f (x)在區(qū)間1.0,3 1上為“凸函數(shù)”，求m的取值范圍;(2)若對滿足 m <2的任何一個(gè)實(shí)數(shù) m ,函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b )上都為“凸函數(shù)”， 求b - a的最大值.例 2:設(shè)函數(shù) f (x) = -1 x3 2ax23a2x b(0 : a : 1,b R)3(I)求函數(shù)