圓錐曲線知識(shí)點(diǎn)歸納與解題方法技巧

1、圓錐曲線解題方法技巧第一、知識(shí)儲(chǔ)備：1. 直線方程的形式（1）直線方程的形式有五件：點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式、斜截式、截距式、一般式。（2）與直線相關(guān)的重要內(nèi)容 傾斜角與斜率k = tan 0,二） k = yy1X2 點(diǎn) P（Xo,y。）到直線 Ax+By+C=0 的距離AX+2BYo 2CJA2 + B2 夾角公式：直線ll：klX bl夾角為，則tankk1l2: y = k2x + b2|1 + k2K（3）弦長(zhǎng)公式直線y =kx b上兩點(diǎn)A（x1,y1）, B（x2,y2）間的距離 AB = J（X2 -x）2 +5 -yj2 AB =山卄2憶X2I =如小任 + x2）2 Axm AB =屮

2、+右|% _y2（4）兩條直線的位置關(guān)系（）h : y *x biI2 ： y = k2X +b2 h_l2 二 k1k2=-1 I'/J u &十2且 b<-= b211 : Ax + B+G =0（H）仃 112 : Ax + Dy +C2 =0 h _ l2 二 AA2 B1B2 =011 / /l 2A B2- A2 B）=0且 AC 2 - A2C1 = 0 或A _ B1 _ C1A B2 C2者（ A2B2C2 =0）兩平行線距離公式距離d害h : y 二 kx b l2 ： y = kx b211 : Ax By G = 012 ： Ax By C2 =

3、0 2、圓錐曲線方程及性質(zhì)1. 圓錐曲線的兩定義：第一定義中要重視“括號(hào)”內(nèi)的限制條件：橢圓中，與兩個(gè)定點(diǎn)Fi，F(xiàn)2的距離的 和等于常數(shù)2a，且此常數(shù)2a 一定要大于FiF?，當(dāng)常數(shù)等于RF?時(shí)，軌跡是線段Fi F2， 當(dāng)常數(shù)小于F1F2時(shí)，無(wú)軌跡；雙曲線中，與兩定點(diǎn)Fi，F(xiàn)2的距離的差的絕對(duì)值等于常 數(shù)2a，且此常數(shù)2a一定要小于| F1F2|，定義中的“絕對(duì)值”與2a < |F1F2|不可忽視。 若2a = IF1F2I，則軌跡是以F1，F(xiàn)2為端點(diǎn)的兩條射線，若2a > |F 1 F2 |，則軌跡不存 在。若去掉定義中的絕對(duì)值則軌跡僅表示雙曲線的一支。如方程J x 6）2 +y

4、2 - J（x +6）2 +y2 =8表示的曲線是 （答：雙曲線的左支）2. 圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（標(biāo)準(zhǔn)方程是指中心（頂點(diǎn)）在原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸時(shí)的標(biāo)準(zhǔn) 位置的方程）：222 2（1）橢圓：焦點(diǎn)在x軸上時(shí)冷+當(dāng)=1 （ aAb0 ），焦點(diǎn)在y軸上時(shí)與+篤=1 a2 b2a2 b2（ab:>0）。方程Ax2+By2=C表示橢圓的充要條件是什么？（ ABC0,且A，B，C同號(hào)，Am B） 0橢圓的方程的形式有幾種？（三種形式）一、x2 v2標(biāo)準(zhǔn)方程：1（m0, n .0且口 =門(mén)）m n距離式方程：.（x c）2 y2 y-J（x -c）2 y2 =2a參數(shù)方程： x = acos, y =

5、 bsin =若x,y R，且3x2+2y2=6，則x + y的最大值是，x2 + y2的最小值是_（答：5,2 ）2 2 2 2（2）雙曲線：焦點(diǎn)在x軸上：篤 V2 =1，焦點(diǎn)在y軸上：召 聳=1（ a 0,b 0 ）。 a ba b方程Ax2 By2 =C表示雙曲線的充要條件是什么？ （ ABCm0,且A，B異號(hào)）。如設(shè)中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)F1、F2在坐標(biāo)軸上，離心率e. 2的雙曲線C過(guò)點(diǎn)P（4,-V10），則 C的方程為（答：/ y? =6）（3）拋物線：開(kāi)口向右時(shí)y? = 2px（ p 0），開(kāi)口向左時(shí) 寸-2 px（ p - 0），開(kāi)口向 上時(shí) x =2py（p . 0），開(kāi)口向下

6、時(shí) x =2py（p . 0）。3. 圓錐曲線焦點(diǎn)位置的判斷（首先化成標(biāo)準(zhǔn)方程，然后再判斷）：（1）橢圓：由x ?, y 2分母的大小決定，焦點(diǎn)在分母大的坐標(biāo)軸上。2 2如已知方程 一+ = 1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則m的取值范圍是_（答:|m -12 -m3 （=,-1）（1乍）2（2）雙曲線：由x2, y 2項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)決定，焦點(diǎn)在系數(shù)為正的坐標(biāo)軸上；（3）拋物線：焦點(diǎn)在一次項(xiàng)的坐標(biāo)軸上，一次項(xiàng)的符號(hào)決定開(kāi)口方向。提醒：在橢圓中，a最大，a2 = b2 c2，在雙曲線中，c最大，c2 a2 b2。4. 圓錐曲線的幾何性質(zhì)：2 2（1）橢圓（以篤與=1 （ a b 0 ）為例）：范圍：-a

7、< x空a,-b乞y乞b : a2 b2焦點(diǎn)：兩個(gè)焦點(diǎn)（士c,0）:對(duì)稱性：兩條對(duì)稱軸x=0,y=0, 個(gè)對(duì)稱中心（0,0），四2 個(gè)頂點(diǎn)（_a,0）,（0, _b），其中長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a，短軸長(zhǎng)為2b ；準(zhǔn)線：兩條準(zhǔn)線x二一乞； c離心率：e =-，橢圓=0：e：1， e越小，橢圓越圓；e越大，橢圓越扁。a如（1）若橢圓+=1的離心率*也，則m的值是（答：3或空）；5 m53（2）以橢圓上一點(diǎn)和橢圓兩焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積最大值為1時(shí)，則橢圓長(zhǎng)軸的最小值為_(kāi) （答：2、2）x2 y2（2）雙曲線（以=1 （ a 0,b 0 ）為例）:范圍：x _ -a或x丄a, y R ;焦a2 b2點(diǎn)

8、：兩個(gè)焦點(diǎn)（_c,0）:對(duì)稱性：兩條對(duì)稱軸x=0,y=0, 個(gè)對(duì)稱中心（0,0），兩個(gè)頂點(diǎn)（-a,0），其中實(shí)軸長(zhǎng)為2a，虛軸長(zhǎng)為2b，特別地，當(dāng)實(shí)軸和虛軸的長(zhǎng)相2 等時(shí)，稱為等軸雙曲線，其方程可設(shè)為x2-y2=k,k=0 ;準(zhǔn)線：兩條準(zhǔn)線x=； c離心率：e = c，雙曲線=e 1，等軸雙曲線二e = '、2， e越小，開(kāi)口越小，e a越大，開(kāi)口越大；兩條漸近線：y = _Dx。雙曲線的方程的形式有兩種a2 2標(biāo)準(zhǔn)方程： =1（m n - 0）m n距離式方程：|(x - c)2 y2 - , (x- c)2 y2 =2a(3) 拋物線(以寸二2px(p 0)為例)：范圍：x _0,

9、 y 二R ;焦點(diǎn)：一個(gè)焦點(diǎn)(號(hào),0),其中p的幾何意義是：焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離；對(duì)稱性：一條對(duì)稱軸 y=0，沒(méi)有對(duì)稱中 心，只有一個(gè)頂點(diǎn)(0,0)；準(zhǔn)線：一條準(zhǔn)線x ；離心率：e =-，拋物線二e=1。2a如設(shè)aaR，則拋物線y=4ax2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(答：(0,丄);16a2 2點(diǎn)P(x°,y°)和橢圓篤爲(wèi)=1 ( a b 0 )的關(guān)系:(1)點(diǎn)P(x。, y。)在橢圓外a b2 2 2 2第卷1 ; ( 2)點(diǎn)P(x0,y°)在橢圓上= 篤 卑 二1 ；( 3)點(diǎn)P(x), y°)在橢圓內(nèi)a ba b2 2魚(yú)匹：:1a2 b26. 記住焦半徑公式：(1)

10、橢圓焦點(diǎn)在x軸上時(shí)為a二ex0；焦點(diǎn)在y軸上時(shí)為a_ey°，可簡(jiǎn)記為“左加右減，上 加下減”。(2) 雙曲線焦點(diǎn)在x軸上時(shí)為e x0 _a(3) 拋物線焦點(diǎn)在x軸上時(shí)為xj ,焦點(diǎn)在y軸上時(shí)為 %上2 27. 橢圓和雙曲線的基本量三角形你清楚嗎？_第二、方法儲(chǔ)備1、點(diǎn)差法(中點(diǎn)弦問(wèn)題)2 2設(shè)A x1, y1、Bx2,y2 , M a,b為橢圓y 1的弦AB中點(diǎn)則有432 2 2 2 2 2 : 2 2.h=1，亙宜=1 ；兩式相減得上亠=0434343為X2 X1 X2丫1 一 丫2 % 丫2,3a二=二 kAB = 一434b2、聯(lián)立消元法：你會(huì)解直線與圓錐曲線的位置關(guān)系一類的問(wèn)

11、題嗎？經(jīng)典套路是什么？如果有兩個(gè)參數(shù)怎么辦?設(shè)直線的方程，并且與曲線的方程聯(lián)立，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)二次方程，使用判別式.=-0，以及根與系數(shù)的關(guān)系，代入弦長(zhǎng)公式，設(shè)曲線上的兩點(diǎn)A(Xi,yJB(X2,y2)，將這兩點(diǎn)代入曲線方程得到 兩個(gè)式子，然后-，整體消元，若有兩個(gè)字母未知數(shù)，則要找到它們的聯(lián)系，消去一個(gè)，比如直線過(guò)焦點(diǎn)，則可以利用三點(diǎn) A、B、F共線解決之。若有向量的關(guān)系，則尋找坐標(biāo)之間的關(guān)系，根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合消元處理。一旦設(shè)直線為y二kx，就意味著k存在。例1、已知三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在橢圓4x25y2 =80上，且點(diǎn)A是橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)(點(diǎn)A在y軸正半軸上).(1) 若

12、三角形ABC的重心是橢圓的右焦點(diǎn)，試求直線 BC的方程；(2) 若角A為900，AD垂直BC于D，試求點(diǎn)D的軌跡方程分析：第一問(wèn)抓住“重心”，利用點(diǎn)差法及重心坐標(biāo)公式可求出中點(diǎn)弦 BC的斜率，從而寫(xiě)出直線BC的方程。第二問(wèn)抓住角A為900可得出AB丄AC，從而得X1X2 yiy2 -14(yi y2) 10，然后利用聯(lián)立消元法及交軌法求出點(diǎn) D的軌跡方程；22 22解：(1)設(shè)B ( X1,y1) ,C(X2,y2 ),BC中點(diǎn)為(x°,yo),F(2,O則有生 也 珂竺 上 打20 1620 16兩式作差有(X1 X2)(X1 -X2)(y1 -y2)(y1y2)=0 匹衛(wèi)=0 (

13、1)201654F(2,0)為三角形重心，所以由 互，得x°=3，由9比一 =0得y° = -2，代入33/ 口6(1)得 k =-5直線BC的方程為6x -5y -28 =02)由 AB丄AC 得x1x2 y1y14(y1 y2) 10(2)設(shè)直線 BC 方程為 y = kx b,代入 4x2 5y2 =80，得(4 5k2)x2 10bkx 5b2 -80 = 02-10kb5b -80x1 x22， x1x224 5k24 5k22 28k4b 80 k ? / c、/曰y1 y22, y1 y22 代入（2）式得4 +5k4 +5k29b -32b-16420，解得

14、b =4（舍）或b二-4 5k94y+_4直線過(guò)定點(diǎn)(0，_4)，設(shè) D(x,y)，貝卩一 述紅一=1，即 9y2 +9x2_32y_16 = 09x x所以所求點(diǎn)D的軌跡方程是x2 (y -16)2二(卻)2® = 4) o994、設(shè)而不求法例2、如圖，已知梯形ABCD中AB =2CD，點(diǎn)E分有向線段AC所成的比23為，雙曲線過(guò)C、D、E三點(diǎn)，且以A、B為焦點(diǎn)當(dāng)訂訂時(shí)，求雙曲線離心率e的取值范圍。分析：本小題主要考查坐標(biāo)法、定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式、雙曲線的概念和性質(zhì)，推理、算能力和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力。建立直角坐標(biāo)系xOy，如圖，若設(shè)Ch，代入詁一2 2 221，求得h = 1

15、11，進(jìn)而求得Xe = 11 (, yE二川,再代入與1，ba b建立目標(biāo)函數(shù)f(a,b,c,')=0，整理f(e,')=0，此運(yùn)算量可見(jiàn)是難上加難.我們對(duì)h可米取設(shè)而不求的解題策略，建立目標(biāo)函數(shù)f (a,b, c, J = 0，整理f (e, J = 0，化繁為簡(jiǎn).解法一：如圖，以AB為垂直平分線為y軸，直線AB為x軸，建立直角坐標(biāo)系xOy，則CD丄y軸因?yàn)殡p曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C、D，且以A、B為焦點(diǎn)，由雙曲線的對(duì)稱性知C、D關(guān)于y軸對(duì)稱依題意，記A -c,0，C |,h ，E x°,y°，其中c =*|AB|為雙曲線o, yoXhyo =廠的半焦距，h是梯形的高

16、，由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式得cXo C 2'-2c0 -1 + &2(人 +1 )2設(shè)雙曲線的方程為篤a2篤=1，則離心率eJba由點(diǎn)C、E在雙曲線上,將點(diǎn)C、E的坐標(biāo)和e二上代入雙曲線方程得a由式得.2 2 b-，將式代入式，整理得2 4-4' =12' ，43=1 2e2 +1由題設(shè)2< <-得，J 3343e2 +2 4解得-.7 <e< ,10所以雙曲線的離心率的取值范圍為b,.io分析：考慮AE , AC為焦半徑，可用焦半徑公式,AE , AC用E,C的橫坐標(biāo)表示，回避h的計(jì)算，達(dá)到設(shè)而不求的解題策略.解法二：建系同解法一,AE =-

17、(exE ), AC =AEAC廠，代入整理V，由題設(shè)/ W得，討解得所以雙曲線的離心率的取值范圍為 k 7,.10 15、判別式法2 2例3已知雙曲線c： y_1，直線I過(guò)點(diǎn)A、. 2,0，斜率為k，當(dāng)0 ： k ： 1時(shí)，雙曲2 2線的上支上有且僅有一點(diǎn)B到直線I的距離為,2，試求k的值及此時(shí)點(diǎn)B的坐標(biāo)。分析1:解析幾何是用代數(shù)方法來(lái)研究幾何圖形的一門(mén)學(xué)科，因此，數(shù)形結(jié)合必然 是研究解析幾何問(wèn)題的重要手段從“有且僅有”這個(gè)微觀入手，對(duì)照草圖，不難想到： 過(guò)點(diǎn)B作與I平行的直線，必與雙曲線 C相切.而相切的代數(shù)表現(xiàn)形式是所構(gòu)造方程的 判別式厶=0.由此出發(fā)，可設(shè)計(jì)如下解題思路：解題過(guò)程略.分

18、析2:如果從代數(shù)推理的角度去思考，就應(yīng)當(dāng)把距離用代數(shù)式表達(dá)，即所謂“有且僅有一點(diǎn)B到直線I的距離為運(yùn)”，相當(dāng)于化歸的方程有唯一解.據(jù)此設(shè)計(jì)出如下解題思路:M到直線I的距離為:kx 仝 2 -X.： 2Jk2 +1于是，問(wèn)題即可轉(zhuǎn)化為如上關(guān)于x的方程.由于0 ck cl，所以J2 +x2 a x >kx，從而有kx -、：2 + x2 - J2k = -kx + (2 + x2 + J2k.于是關(guān)于x的方程“- kx .、2 X2. 2k 二 2(k21)x22 x2 彳=(2(k21) _2k kx)2,.2(k21) - 2k kx 0k2 -1 x2 2k 2(k2 1) -S

19、9;2k x 2(k2 1) - 2k _2 =0, 2(k21) _ 2k kx .0.由 0 ：k ：1 可知：方程 k2 -1 x2 2k .2(k2 7) - .、2k x . 2(k2 T) - 2k $ _2 =0 的二根同正，故,.2(k2 1) - .2k kx 0恒成立，于是等價(jià)于k2 -1 x2 2k 2(k21) - .2k x . 2(k2 T) - 2k ' 一 2 = 0.由如上關(guān)于x的方程有唯一解，得其判別式厶=0，就可解得點(diǎn)評(píng)：上述解法緊扣解題目標(biāo)，不斷進(jìn)行問(wèn)題轉(zhuǎn)換，充分體現(xiàn)了全局觀念與整體思 維的優(yōu)越性.例4已知橢圓C:x2 +2y2 =8和點(diǎn)P（ 4

20、，1），過(guò)P作直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，在線段AB上取點(diǎn)Q，使APPBAQ求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡所在曲線的方程分析：這是一個(gè)軌跡問(wèn)題，解題困難在于多動(dòng)點(diǎn)的困擾，學(xué)生往往不知從何入手。其實(shí)，應(yīng)該想到軌跡問(wèn)題可以通過(guò)參數(shù)法求解.因此，首先是選定參數(shù)，然后想方設(shè)法 將點(diǎn)Q的橫、縱坐標(biāo)用參數(shù)表達(dá)，最后通過(guò)消參可達(dá)到解題的目的由于點(diǎn)Q(x,y)的變化是由直線AB的變化引起的，自然可選擇直線 AB的斜率k作 為參數(shù)，如何將x,y與k聯(lián)系起來(lái)？ 一方面利用點(diǎn) Q在直線AB上；另一方面就是運(yùn)用ApAQ題目條件：來(lái)轉(zhuǎn)化.由A、B、P、Q四點(diǎn)共線，不難得到x 4(XA XB2XAXB，PB QBx=8xa*xb)要建立x與

21、k的關(guān)系，只需將直線AB的方程代入橢圓C的方程，利用韋達(dá)定理即可通過(guò)這樣的分析，可以看出，雖然我們還沒(méi)有開(kāi)始解題，但對(duì)于如何解決本題，已經(jīng)做到心中有數(shù).在得到x二f k之后，如果能夠從整體上把握，認(rèn)識(shí)到：所謂消參，目的不過(guò)是得到關(guān)于x,y的方程(不含k)，則可由y = k(x-4) +1解得k二紅1，直接代入x= f (k )即可得x 4A2可得:QB4 * _ x * x2 -4 x2 _ x到軌跡方程。從而簡(jiǎn)化消去參的過(guò)程。簡(jiǎn)解：設(shè) AxyBg，y2),Q(x, y)，則由:APPB(1)解之得：X =4(Xl X2)-2曲28 (Xi +X2)設(shè)直線AB的方程為:y = k（x -4）

22、1 ,代入橢圓C的方程,消去y得出關(guān)于x的一元二次方程:2k2 1 x2 4k(1 _4k)x 2(1 _4k)2 _8 =0(2)%x24k(4k -1)22k 12lx廣gk) -8X222k 1代入（1），化簡(jiǎn)得:4k 3與 y = k(x4) 1 聯(lián)立，消去 k 得: 2x y4 (x4) = 0.在(2)中，由.：-64k2 64k 24 0，解得 2 - 10 ,k .2 10，結(jié)合(3)可求得4416 -2 10 16 2.10故知點(diǎn)Q的軌跡方程為:2x y-4=0( 16-210 x6 210).99點(diǎn)評(píng)：由方程組實(shí)施消元，產(chǎn)生一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的關(guān)于一個(gè)變量的一元二次方程，其判別式、韋

23、達(dá)定理模塊思維易于想到這當(dāng)中，難點(diǎn)在引出參，活點(diǎn)在應(yīng)用參，重點(diǎn)在消去參，而“引參、用參、消參”三步曲，正是解析幾何綜合問(wèn)題求解的一條有效通道&求根公式法2 2例5設(shè)直線1過(guò)點(diǎn)P（0, 3），和橢圓亍”順次交于A、B兩點(diǎn)，試求APPB的取值范圍分析：本題中，絕大多數(shù)同學(xué)不難得到：竺二一空，但從此后卻一籌莫展，問(wèn)題的PB Xb根源在于對(duì)題目的整體把握不夠事實(shí)上，所謂求取值范圍，不外乎兩條路：其一是構(gòu) 造所求變量關(guān)于某個(gè)（或某幾個(gè)）參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式（或方程），這只需利用對(duì)應(yīng)的思想 實(shí)施；其二則是構(gòu)造關(guān)于所求量的一個(gè)不等關(guān)系分析1:從第一條想法入手,APPB-仝已經(jīng)是一個(gè)關(guān)系式，但由于有兩個(gè)變

24、量XbXa,Xb，同時(shí)這兩個(gè)變量的范圍不好控制， 所以自然想到利用第3個(gè)變量一一直線AB的 斜率k.問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為如何將Xa,Xb轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的表達(dá)式，到此為止，將直線方程代入橢圓方程，消去y得出關(guān)于x的一元二次方程，其求根公式呼之欲出簡(jiǎn)解1:當(dāng)直線I垂直于x軸時(shí)，可求得APPB當(dāng)I與x軸不垂直時(shí)，設(shè)A xi, yi , B（x2，y2），直線I的方程為：y = kx 3，代入橢圓方程，消去 y得 9k24 x2 54kx 45 =0解之得X1,2_ -27k _6 9k2 -5一 9k2 +4因?yàn)闄E圓關(guān)于y軸對(duì)稱，點(diǎn)P在y軸上，所以只需考慮k 0的情形.當(dāng)k 0時(shí)，xi_ -27k6 9k2

25、-5_2丄9k 4X2_ -27k -6 9k2 -59k2 +4所以APxi_9k 2 9k2 _5=i =i9k 2、.9k2 -5PBX29k 2.9k2 -518k189 2.9一.所以-1 <1-1 809k24 _0,解得 k2 _5 *，9AP 1- 1 _PB 518. 1，綜上 - < 5分析2:如果想構(gòu)造關(guān)于所求量的不等式,則應(yīng)該考慮到：判別式往往是產(chǎn)生不等的根源.由判別式值的非負(fù)性可以很快確定 k的取值范圍，于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為如何將所求量與k聯(lián)系起來(lái).一般來(lái)說(shuō)，韋達(dá)定理總是充當(dāng)這種問(wèn)題的橋梁，但本題無(wú)法直接應(yīng)用韋APx達(dá)定理，原因在于- =不是關(guān)于xz的對(duì)稱關(guān)系式

26、.原因找到后，解決問(wèn)題的方 法自然也就有了，即我們可以構(gòu)造關(guān)于 Xi,X2的對(duì)稱關(guān)系式.簡(jiǎn)解2：y得9k224 x 54kx 45 = 0(*)fXi-54kX22,9k24玄2 _9k2 +4令，則，丄2324k2245k- 20452從而有 4 < 324k36，所以_45k +20 一 54丄2心，解得1結(jié)合0 ： 空1得_，_1.5綜上,PB，-點(diǎn)評(píng)：范圍問(wèn)題不等關(guān)系的建立途徑多多，諸如判別式法，均值不等式法，變量的有界性法，函數(shù)的性質(zhì)法，數(shù)形結(jié)合法等等.本題也可從數(shù)形結(jié)合的角度入手，給出又一優(yōu)美解法.解題猶如打仗，不能只是忙于沖鋒陷陣，一時(shí)局部的勝利并不能說(shuō)明問(wèn)題，有時(shí)甚至?xí)?/p>

27、局部所糾纏而看不清問(wèn)題的實(shí)質(zhì)所在，只有見(jiàn)微知著，樹(shù)立全局觀念，講究排兵 布陣，運(yùn)籌帷幄，方能決勝千里第三、推理訓(xùn)練：數(shù)學(xué)推理是由已知的數(shù)學(xué)命題得出新命題的基本思維形式，它是 數(shù)學(xué)求解的核心。以已知的真實(shí)數(shù)學(xué)命題，即定義、公理、定理、性質(zhì)等為依據(jù)，選擇 恰當(dāng)?shù)慕忸}方法，達(dá)到解題目標(biāo)，得出結(jié)論的一系列推理過(guò)程。在推理過(guò)程中，必須注 意所使用的命題之間的相互關(guān)系(充分性、必要性、充要性等)，做到思考縝密、推理嚴(yán)密。通過(guò)編寫(xiě)思維流程圖來(lái)錘煉自己的大腦，快速提高解題能力。例6橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)為A,B，O為橢圓中心，F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn)，且AF FB =1， oF =1.(i)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(U)記橢圓的上頂

28、點(diǎn)為M，直線I交橢圓于P,Q兩點(diǎn)，問(wèn)：是否存在直線I，使點(diǎn) F恰為PQM的垂心？若存在，求出直線I的方程若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。思維流程：a2,b=1由T TTAF FB =1，OF|=1> 寫(xiě)出橢圓方程(a c)(a _ c) = 1，c=1由F為.PQM的重心* PQ 丄 MF ,MP 丄 FQk pq2 23x 亠4mx 亠 2m 2 二0與元兩根之和, 兩根之積mP * FQ 二 0得出關(guān)于 m的方程解出m解題過(guò)程:2 2(I)如圖建系，設(shè)橢圓方程為 篤氣=1(a b0),則c = 1a b又 AF FB =1 即(a+c) (a c) =1 =a2 c2/ a2 = 22故橢圓方

29、程為才八1(U)假設(shè)存在直線I交橢圓于P,Q兩點(diǎn)，且F恰為PQM的垂心，則設(shè)P(X1,y1),Q(X2,y2), v M(0,1),F(1,0)，故 kpQ =1 ,工 y = x m22于是設(shè)直線I為y = x * m，由 ；2 得，3x2 4mx 2m0lx +2y =2T TV MP FQ =0 =洛“2 T) y2(y T)又 yi 二 Xi m(i =1,2)得 X(x2 -1) (x2 m)(x m T) = 0 即2XX2 (x X2)(m-1) m2 - m = 0 由韋達(dá)定理得2c 2m -2 4m,八 2c2 (m -1) m- m =03 34 4解得m或m =1 (舍)

30、 經(jīng)檢驗(yàn)m 符合條件.33點(diǎn)石成金：垂心的特點(diǎn)是垂心與頂點(diǎn)的連線垂直對(duì)邊，然后轉(zhuǎn)化為兩向量乘積為零.例7、已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過(guò)A(-2,0)、B(2,0)、 C 1,-三點(diǎn).2(I)求橢圓E的方程：(U)若點(diǎn)D為橢圓E上不同于A、B的任意一點(diǎn)，F(xiàn) (-1,0), H (1,0)，當(dāng) DFH內(nèi)切圓的面積最大時(shí)，求 DFH內(nèi)心的坐標(biāo)；思維流程:由橢圓經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)設(shè)方程為mx ny = 1得到m, n的方程解出m,n由DFH內(nèi)切圓面積最大轉(zhuǎn)化為 DFH面積最大轉(zhuǎn)化為點(diǎn)D的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值最大最大D為橢圓短軸端點(diǎn)DFH面積最大值為 3S葉二2周長(zhǎng)r內(nèi)切圓得出D點(diǎn)坐標(biāo)為

31、r 則x1*2理3k 1(1)解題過(guò)程：(I)設(shè)橢圓方程為 mx?+ ny2=1(m>0,n>0)將A(-2,0)、B(2,0)、3C(1,2)代入橢圓E的方程，得'4m =1,11229解得m=, n= - .二橢圓E的方程+ = 1 .m n =1434341(n) |FH | = 2，設(shè) DFH 邊上的高為 SDFH 2 h=h當(dāng)點(diǎn)D在橢圓的上頂點(diǎn)時(shí)，h最大為,3，所以S dfh的最大值為乜.1SADFH的內(nèi)切圓的半徑為R，因?yàn)?DFH的周長(zhǎng)為定值6.所以，S Df - R 6 * 2所以R的最大值為y .所以內(nèi)切圓圓心的坐標(biāo)為(0,弓點(diǎn)石成金：1s.的內(nèi)切圓二2八的

32、周長(zhǎng)r 的內(nèi)切圓例8、已知定點(diǎn)C(-1,0)及橢圓X2 3y2 =5 ,過(guò)點(diǎn)C的動(dòng)直線與橢圓相交于A，B兩占八、2由線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是一丄, 得 t 3k 1，解得k仝,符合題意22 3k +12- 3所以直線AB的方程為x r§'3y，1=0，或x . 3y 1 = 0 .(U)解：假設(shè)在x軸上存在點(diǎn)M(m,0)，使MA MB為常數(shù).當(dāng)直線AB與x軸不垂直時(shí)，由(I)知 x1 x26k23k213k2 -5XM 二2.3k21所以 MA MB = (% -m)(x2 - m) %y2 = (% - m)(x2 - m) k2(x 1)(x2 1)= (k2 十1 X x

33、； + (k - m) (x+ 2X )+2 k + 2m將(3)代 入， 整 理 得12142 匚(2 m )(3k2 1)2m(6m -1)k -52、3322 c 1 6m 14MA MBm=3o3 m = m 2m23 3(3k +1)74，此時(shí) mA mb .39<3, 1,3 ，當(dāng)3k2 13k2 1注意到MA MB是與k無(wú)關(guān)的常數(shù)， 從而有6m 1 0, m = - 7 當(dāng)直線AB與x軸垂直時(shí)，此時(shí)點(diǎn) A B的坐標(biāo)分別為-12m = -7 時(shí)，亦有 mA mb =4.39，使MA MB為常數(shù).綜上，在x軸上存在定點(diǎn)M -7，jI 3丿1214(6m-1)k252 (2m_3

34、)(3k2)_2m3k2 1點(diǎn)石成金：MA MB = 1- - m233k2 +1=m2 2m 丄丄433(3k2+1)例9、已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M (2,1)，平行于OM的直線I在y軸上的截距為m (m0)，l交橢圓于A、B兩個(gè)不同點(diǎn)。(I)求橢圓的方程；(U)求m的取值范圍;(川)求證直線MA、MB與x軸始終圍成一個(gè)等腰三角形思維流程:2 2解：(1)設(shè)橢圓方程為篤爲(wèi)=1(a . b 0)a ba =2b解得b2=8二 22 2橢圓方程為18 2(n)v直線|平行于0M，且在y軸上的截距為m又 KoM =11的方程為：2X m1y =-x +m

35、丄222由 22 x 2mx 2m4=0工乞=18 22 2直線l與橢圓交于A、B兩個(gè)不同點(diǎn),、.- -(2m) -4(2m -4)0,解得-2 m ： 2,且m = 0(川)設(shè)直線MA、MB的斜率分別為k1,匕只需證明k1+k2=0即可設(shè) A(xyj, B(X2 - y2),且X1 X2 - -2mxx2 = 2m2 - 4則 & =g,k2 =3X1 2x 2 2由 x2 2mx 2m2 -4 = 0可得x1 x2-2m,x1x2 =2m -4而 k1 - k2y1 -1y2 1(y1 1) -(X2- 2) (y2 -1)(X1- 2)X1 - 2X2- 2(X1- 2)(X2

36、_ 2)1 1(尹 m-1)(X2 -2)(產(chǎn)2 5-1)(為 -2) (X -2)(X2 -2)x,x2 (m 2)(xix2) -4(m -1)(為-2)(X2 -2)2m2 -4 (m -2)(2m) -4(m 1)(X1 - 2)(X2 一2)2m242m2 4m4m 4=0(x. 2)(X2 -2)k. k2 =0故直線MA、MB與x軸始終圍成一個(gè)等腰三角形.點(diǎn)石成金：直線MA、MB與x軸始終圍成一個(gè)等腰三角形 =k.02 2過(guò)A(a,0), B(0,-b)的直線到原點(diǎn)的距例.0、已知雙曲線篤-爲(wèi)a b(.)求雙曲線的方程;(2)已知直線y=kx，5(k=0)交雙曲線于不同的點(diǎn)C,

37、D且C, D都在以B為圓心的 圓上，求k的值.思維流程：解：.)2=原點(diǎn)到直線 AB :A_=1的距離a3a babab忑d =-.=.Ja 2 + b2c2.b = 1, a = 3 .故所求雙曲線方程為 £1 _ y 2 = 13(2)把 y 二 kx 5代入 X2 -3y2 =3 中消去 y,整理得(1 -3k2)x2 -30kx-78 = 0.設(shè)C(x1,y1),D(x2,y2),CD 的中點(diǎn)是 E(x°,y°)，則X。X1 X215 k1 - 3k 2y。51 - 3k 2k BEy。11=X0kx°ky° k =0,即卩k 2丁1

38、- 3k 21 - 3k 2k = 0,又 k = 0,. k2=7故所求k= ± .7 .點(diǎn)石成金：C, D都在以B為圓心的圓上二BC=BD= BE丄CD;例11、已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3,最小值為1.(I)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(II)若直線I :y=kx+m與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)(A、B不是左右頂點(diǎn))，且以AB為直徑的圓過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn).求證：直線I過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).思維流程:2 2解：(I)由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 篤-y2 = 1(a b 0),a b由已知得：a，c=3, a-c =1,2 2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為11.43(II )設(shè) AX, yj,Bg,y2).y = kx m,聯(lián)立x2y2一=1.43得(3 4k2)x2 8mkx 4(m2 -3) = 0 ,A=64m2k2 16(3 +4k)(m2 3) >0,即 3 +4k2X1 亠 X2 = -3 4k 4(m2 _3)X1X223 4k2m- 0,8mk2，3(m _4k2) 又 y1y (kx1 m)( kx2 m) =k2xjx2 mk(x1 x2) m2 -3 4k2因?yàn)橐訟B為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn) D(2,0),kADkBD = T，即一