勾股定理教學(xué)設(shè)計(jì)

1、勾股定理目標(biāo)認(rèn)知學(xué)習(xí)目標(biāo)：掌握勾股定理及其逆定理.能夠比較熟練地運(yùn)用勾股定理，由已知直角三角形中的兩條 邊長(zhǎng)，求出第三條邊長(zhǎng)，會(huì)用勾股定理的逆定理判定一個(gè)三角形是不是直角三角形.勾股定理是平面幾何中的一個(gè)十分重要的定理，它反映了直角三角形中三邊之間的數(shù)量關(guān)系.在理論和實(shí)際中應(yīng)用很廣泛.重點(diǎn)：理解和掌握勾股定理及其逆定理，以及應(yīng)用.難點(diǎn)：理解勾股定理的推導(dǎo).知識(shí)要點(diǎn)梳理知識(shí)點(diǎn)一：勾股定理a, b,斜邊長(zhǎng)為c,那么a2+b2=c2.即直角三如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為: 角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.圖120要點(diǎn)詮釋?zhuān)?1)勾股定理揭示的是直角三角形的邊之間的平方關(guān)系的定理。(2)勾股

2、定理只適用于直角三角形，而不適用于銳角三角形和鈍角三角形。(3)理解勾股定理的一些變式：c2=a2+b2, a2=c2-b2, b2=c2-a2 ,c2=(a+b)2-2ab知識(shí)點(diǎn)二：用面積證明勾股定理方法一：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖(1)所示的正方形。X正力拗SCD - g+gy = c2+4x-£2J2 ,12圖(1)中2,所以以+8二方法二：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖(2)所示的正方形。圖(2) J 方法三：將四個(gè)全等的直角三角形分別拼成如圖（3） 1和（3） 2所示的兩個(gè)形狀相同的正方形。一 1b '(3)-2在（3） 1中，甲的面積=（大正方形面積）一（4

3、個(gè)直角三角形面積），在（3） 2中，乙和丙的面積和=（大正方形面積）一（4個(gè)直角三角形面所以，甲的面積=乙和丙的面積和，即:方法四：如圖（4）所示，將兩個(gè)直角三角形拼成直角梯形。,所以 aa+6a知識(shí)點(diǎn)三：勾股定理的作用1 .已知直角三角形的兩條邊長(zhǎng)求第三邊；2 .已知直角三角形的一條邊，求另兩邊的關(guān)系；3 .用于證明平方關(guān)系的問(wèn)題；4 .利用勾股定理，作出長(zhǎng)為 占的線(xiàn)段。知識(shí)點(diǎn)四：原命題與逆命題如果兩個(gè)命題的題設(shè)與結(jié)論正好相反，則稱(chēng)它們?yōu)榛ツ婷}。如果其中一個(gè)叫原命題, 則另一個(gè)叫做它的逆命題。知識(shí)點(diǎn)五：勾股定理的逆定理如果三角形的三條邊 a、b, c,滿(mǎn)足a2+b2=c2.那么這個(gè)三角形是

4、直角三角形.要點(diǎn)詮釋?zhuān)汗垂啥ɡ砑捌淠娑ɡ淼膮^(qū)別在于勾股定理從“形”(一個(gè)三角形是直角三角形)出發(fā)，得出三邊數(shù)量關(guān)系(a2+b2=c2),而勾股定理的逆定理從三邊數(shù)量關(guān)系(a2+b2= c2)出發(fā)，判斷其形(三角形是直角三角形)，它是判斷一個(gè)三角形是否是直角三角形或一個(gè)角是否是直角的有效方法。規(guī)律方法指導(dǎo)1 .掌握直角三角形的性質(zhì)如上圖1,直角A ABC的性質(zhì)：(1)勾股定理:ZC=90° ,則有 c2=a2+b2(2) /C=90° ,貝U有/ A+/B=90° ,(3) /C=90° ,則有 c>a, c>b。2 .在理解的基礎(chǔ)上熟悉下列勾

5、股數(shù) 也j滿(mǎn)足不定方程X2+y2=z2的三個(gè)正整數(shù)，稱(chēng)為勾股數(shù)(又稱(chēng)為高數(shù)或畢達(dá)哥拉斯數(shù))，顯然，以x,y,z為三邊長(zhǎng)的三角形一定是直角三角形。熟悉下列勾股數(shù)，對(duì)解題是會(huì)有幫助的：3、 4、 55、 12、 13;8、 15、 17;7、 24、 25;10、 24、 26;9、 40、 41.如果(a,b,c)是勾股數(shù)，當(dāng)t>0時(shí)，以at,bt,ct為三角形的三邊長(zhǎng)，此三角形必為直角三角 形。經(jīng)典例題透析類(lèi)型一：勾股定理的直接用法1、在 RtMBC 中,/ C=900 施(1)已知 a=6, c=10,求 b,(2)已知 a=40, b=9,求 c；(3)已知 c=25, b=15,求

6、 a.思路點(diǎn)撥：寫(xiě)解的過(guò)程中，一定要先寫(xiě)上在哪個(gè)直角三角形中，注意勾股定理的變形使用。解析：(1)在4ABC 中，/ C=90(2)在4ABC 中，/ C=90(3)在4ABC 中，/ C=90,a=40,c=25,a=6, c=10,b=b=9,c='b=15,a=JU 二 20總結(jié)升華：在應(yīng)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算時(shí)一定要看清哪條是直角邊哪條是斜邊。舉一反三【變式】：如圖/ B=/ACD=90° , AD=13,CD=12, BC=3,則AB的長(zhǎng)是多少【答案】. / ACD=90°AD = 13, CD=12.AC2 =AD2-CD2=132-122二25AC=5又.

7、 / ABC=90 ° 且 BC=3由勾股定理可得AB 2=AC2-BC2 =52-32 二16AB= 4AB的長(zhǎng)是4.類(lèi)型二：勾股定理的構(gòu)造應(yīng)用、如圖，已知：在A(yíng)ASC中，4二60°,幺。二7。，&二3。.求：bc的長(zhǎng).思路點(diǎn)撥：由條件 4別， 想到構(gòu)造含30°角的直角三角形，為此作 血比于D,則有ZW 二 30°,52） = 1/5=152,再由勾股定理計(jì)算出 AD、DC的長(zhǎng)，進(jìn)而求出BC的長(zhǎng).解析： 作如1冊(cè) 于D,則因 25 = 60°,一二.1.（直角三角形的兩個(gè)銳角互余）2（在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于,那么它所對(duì)的直角

8、邊等于斜邊的一半）根據(jù)勾股定理，在 M4"中,AD = 73?-1? -15.根據(jù)勾股定理，在 必&O中,CD具AC*-g =小冰-©乂3二 65 = +5(7=65+15=80總結(jié)升華：利用勾股定理計(jì)算線(xiàn)段的長(zhǎng)，是勾股定理的一個(gè)重要應(yīng)用.當(dāng)題目中沒(méi)有垂直條件時(shí)，也經(jīng)常作垂線(xiàn)構(gòu)造直角三角形以便應(yīng)用勾股定理t p舉一反二c 制 A 【變式1】如圖，已知： ZC = 90°, AMCM,戚p.求證：.BLc M A思路點(diǎn)撥：圖中已有兩個(gè)直角三角形，但是還沒(méi)有以 BP為邊的直角三角形.因此，我 們考慮構(gòu)造一個(gè)以 BP為一邊的直角三角形.所以連結(jié)BM.這樣，實(shí)際上

9、就得到了 4個(gè)直角 三角形.那么根據(jù)勾股定理，可證明這幾條線(xiàn)段的平方之間的關(guān)系 解析：連結(jié)BM ,根據(jù)勾股定理，在 處BMP中，而在 血行 中，則根據(jù)勾股定理有 ；.又,: AM-CM （已知）， 二二二".在FlhBCM中，根據(jù)勾股定理有sm2-cm2=bc.一丁 一: 二 .【變式2】已知：如圖，/ B=/D=90° , /A=60° , AB=4 , CD=2。求：四邊形ABCD 的面積。c分析：如何構(gòu)造直角三角形是解本題的關(guān)鍵，可以連結(jié) AC,或延長(zhǎng)AB、DC交于F, 或延長(zhǎng)AD、BC交于點(diǎn)E,根據(jù)本題給定的角應(yīng)選后兩種，進(jìn)一步根據(jù)本題給定的邊選第 三種較

10、為簡(jiǎn)單。BE= 二解析：延長(zhǎng)AD、BC交于E。 / A=60 ° , / B=90E=30BE2=AE 2-AB 2=82-42=48 ,AE=2AB=8 , CE=2CD=4 ,DE2= CE2-CD2=42-22=12,DE=1- S 四邊形 ABCD =SA ABE -Sacde= 2 AB - BE- 2 CD類(lèi)型三：勾股定理的實(shí)際應(yīng)用(一)用勾股定理求兩點(diǎn)之間的距離問(wèn)題C3、如圖所示，在一次夏令營(yíng)活動(dòng)中，小明從營(yíng)地A點(diǎn)出發(fā)，沿北偏東60。方向走了 500 Jim到達(dá)B點(diǎn)，然后再沿北偏西 30。方向走了 500m到達(dá)目的地C點(diǎn)。山(1)求A、C兩點(diǎn)之間的距離。(2)確定目的地

11、 C在營(yíng)地A的什么方向。思路點(diǎn)撥：把實(shí)際問(wèn)題中的角度轉(zhuǎn)化為圖形中的角度，利用勾股定理求解。解析：(1)過(guò)B點(diǎn)作BE/AD/ DAB= / ABE=60 °,30° +/CBA+ Z ABE=180 °/ CBA=90 °即4ABC為直角三角形由已知可得:BC=500m , AB=500 Jim由勾股定理可得：二：-：* AC = ；BCa+ABa =-0%(50邙)口 =100D(m)(2)在 RtA ABC 中,. BC=500m, AC=1000m/ CAB=30 °/ DAB=60 °/ DAC=30 °即點(diǎn)C在點(diǎn)A的

12、北偏東30°的方向總結(jié)升華：本題是一道實(shí)際問(wèn)題，從已知條件出發(fā)判斷出ABC是直角三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。本題涉及平行線(xiàn)的性質(zhì)和勾股定理等知識(shí)。舉一反三【變式】一輛裝滿(mǎn)貨物的卡車(chē)，其外形高2.5米，寬1.6米，要開(kāi)進(jìn)廠(chǎng)門(mén)形狀如圖的某工廠(chǎng)，問(wèn)這輛卡車(chē)能否通過(guò)該工廠(chǎng)的廠(chǎng)門(mén)？【答案】由于廠(chǎng)門(mén)寬度是否足夠卡車(chē)通過(guò)，只要看當(dāng)卡車(chē)位于廠(chǎng)門(mén)正中間時(shí)其高度是否小于 CH.如圖所示，點(diǎn)D在離廠(chǎng)門(mén)中線(xiàn)0.8米處，且CDLAB,與 地面交于H .解：OC = 1米 （大門(mén)寬度一半），OD=0.8米 （卡車(chē)寬度一半） 在RtA OCD中，由勾股定理得：CD=護(hù) _=0 . 6 米，CH= 0 . 6 + 2

13、.3 = 2 . 9 （米） 2 . 5 （米）.因此高度上有0.4米的余量，所以卡車(chē)能通過(guò)廠(chǎng)門(mén).（二）用勾股定理求最短問(wèn)題 4、國(guó)家電力總公司為了改善農(nóng)村用電電費(fèi)過(guò)高的現(xiàn)狀，目前正在全國(guó)各地農(nóng)村進(jìn)行電網(wǎng)改造，某地有四個(gè)村莊 A、B、C、D,且正好位于一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，現(xiàn)計(jì)劃在 四個(gè)村莊聯(lián)合架設(shè)一條線(xiàn)路，他們?cè)O(shè)計(jì)了四種架設(shè)方案， 如圖實(shí)線(xiàn)部分.請(qǐng)你幫助計(jì)算一下，哪種架設(shè)方案最省電線(xiàn).(2)思路點(diǎn)撥：解答本題的思路是： 最省電線(xiàn)就是線(xiàn)路長(zhǎng)最短，通過(guò)利用勾股定理計(jì)算線(xiàn)路長(zhǎng)，然后進(jìn)行比較，得出結(jié)論.解析：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為 1,則圖（1）、圖（2）中的總線(xiàn)路長(zhǎng)分別為AB+BC+CD =3, AB+

14、BC+CD =3圖（3）中，在RtAABC中同理 一，圖（3）中的路線(xiàn)長(zhǎng)為:：.：【：圖（4）中，延長(zhǎng) EF 交 BC 于 H,貝U FHXBC, BH=CH3 優(yōu) bh _ 1由/FBH='2 及勾股定理得：ea = ed=fb = fc= 3 . EF= 1 2FH= 1 3此圖中總線(xiàn)路的長(zhǎng)為4EA+EF = 1+后總2.7323>2.828>2.732圖（4）的連接線(xiàn)路最短，即圖（4）的架設(shè)方案最省電線(xiàn).總結(jié)升華：在實(shí)際生產(chǎn)工作中，往往工程設(shè)計(jì)的方案比較多，需要運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí) 進(jìn)行計(jì)算，比較從中選出最優(yōu)設(shè)計(jì). 本題利用勾股定理、 等腰三角形的判定、全等三角形的 性

15、質(zhì).舉一反三【變式】如圖，一圓柱體的底面周長(zhǎng)為 20cm,高AB為4cm, B C是上底面的直徑. 只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面爬行到點(diǎn)C,試求出爬行的最短路程.10 cm,根據(jù)勾股定理得AC =以小+犯'即。'解:如圖，在 RtABC中，BC=底面周長(zhǎng)的一半=答：最短路程約為10. 77 cm.類(lèi)型四：利用勾股定理作長(zhǎng)為 疝 的線(xiàn)段C5、作長(zhǎng)為亞、出、后的線(xiàn)段。囪思路點(diǎn)撥：由勾股定理得，直角邊為 1的等腰直角三角形，斜邊長(zhǎng)就等于 J2 ,直角邊（1）作直角邊為1 （單位長(zhǎng)）的等腰直角 ACB ,使AB為斜邊；（2）作以AB為一條直角邊，另一直角邊為 1的Rt"/

16、'。斜邊為乂 ；（3）順次這樣做下去，最后做到直角三角形 幺&4 ,這樣斜邊AB、迎1、他、出? 的長(zhǎng)度就是也、也、幣、出?？偨Y(jié)升華：（1）以上作法根據(jù)勾股定理均可證明是正確的；（2）取單位長(zhǎng)時(shí)可自定。一般習(xí)慣用國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)的單位，如 1cm、1m等，我們作圖時(shí)只要取定一個(gè)長(zhǎng)為單位即可?！咀兪健吭跀?shù)軸上表示而的點(diǎn)。解析：可以把710看作是直角三角形的斜邊,（阿二 10為了有利于畫(huà)圖讓其他兩邊的長(zhǎng)為整數(shù)，而10又是9和1這兩個(gè)完全平方數(shù)的和，得另外兩邊分別是3和1。作法：如圖所示在數(shù)軸上找到 A點(diǎn)，使OA=3 ,作AC ±OA且截取AC=1，以。為圓 心，OC為半徑做弧，弧

17、與數(shù)軸的交點(diǎn) B即為亞。類(lèi)型五：逆命題與勾股定理逆定理6、寫(xiě)出下列原命題的逆命題并判斷是否正確1 .原命題：貓有四只腳.（正確）2 .原命題：對(duì)頂角相等（正確）3 .原命題：線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)， 到這條線(xiàn)段兩 端距離相等.（正確）（正確）解析：1.2.3.4.逆命題 逆命題 逆命題 逆命題有四只腳的是貓（不正確）相等的角是對(duì)頂角（不正確）到線(xiàn)段兩端距離相等的點(diǎn)，在這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上.到角兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線(xiàn)上.（正確）?（正確）4 .原命題：角平分線(xiàn)上的點(diǎn)，到這個(gè)角的兩邊距離相等. 思路點(diǎn)撥：掌握原命題與逆命題的關(guān)系。a2+b2+c2+50=6a+8b+10c ,判斷 A總

18、結(jié)升華：本題是為了學(xué)習(xí)勾股定理的逆命題做準(zhǔn)備。7、如果A ABC的三邊分別為 a、b、c,且滿(mǎn)足ABC的形狀。施思路點(diǎn)撥：要判斷A ABC的形狀，需要找到a、b、c的關(guān)系，而題目中只有條件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c ,故只有從該條件入手，解決問(wèn)題。解析：由 a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,得：a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0,(a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=o。(a-3)2>0, (b-4)2>0, (c-5)2>0oa=3, b=4, c=5。32+42=52,a2+b2=c2。由勾股定理的逆定理，得 A ABC

19、是直角三角形。總結(jié)升華：勾股定理的逆定理是通過(guò)數(shù)量關(guān)系來(lái)研究圖形的位置關(guān)系的，在證明中也常要用到。舉一反三【變式1】四邊形 ABCD中，/ B=90° , AB=3 , BC=4, CD=12 , AD=13 ,求四邊形ABCD的面積?！敬鸢浮浚哼B結(jié)AC / B=90 ° , AB=3 , BC=4AC2=AB 2+BC2=25 (勾股定理)AC=5, AC2+CD2=169, AD2=169ac2+cd2=ad2/ ACD=90 ° (勾股定理逆定理)S酗皿CD = S甌+= BC AC CD =36【變式2】已知： ABC的三邊分別為 m2n2,2mn,m2+

20、n2（m,n為正整數(shù)，且m>n）,判斷ABC是否為直角三角形.分析:本題是利用勾股定理的的逆定理，只要證明：a2+b2=c2即可證明：:' B3 . :' J ：= +加': + 一=(加，所以 ABC是直角三角形.【變式3】如圖正方形 ABCD , E為BC中點(diǎn)，F(xiàn)為AB上一點(diǎn)，且1-FBF= A AB。B E C請(qǐng)問(wèn)FE與DE是否垂直？請(qǐng)說(shuō)明?！敬鸢浮緿EXEFo證明：設(shè) BF=a ,貝U BE=EC=2a, AF=3a , AB=4a,EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2；DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2。連接DF (如圖)DF2=

21、AF2+AD 2=9a2+16a2=25a2。DF2=EF2+DE2, FEXDEo學(xué)習(xí)成果測(cè)評(píng)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)：一、判斷對(duì)錯(cuò)()1.直角三角形直角邊長(zhǎng)為 6, 8,則斜邊上的高為 2.4.()2.直角三角形兩邊為1, 2則另一邊為 后()3.兩直角邊的比為1 ： 45的直角三角形三內(nèi)角比為1 ： 2 ： 3.()4.等腰直角三角形斜邊中線(xiàn)與直角邊的比為()5.面積為12,底邊為6的等腰三角形腰長(zhǎng)為5.()6.高為h的等邊三角形面積為2-h2.二、選擇題1 .周長(zhǎng)為24,斜邊長(zhǎng)為10的直角三角形面積為()A.12B.16C.20D.242 . ABC 中，Z C=90° ,/A=30

22、6; , M 為 AB 中點(diǎn)，MD，AB 交 AC 于 D.若 DM=7 ,則BC長(zhǎng)為()A.7B.14C.7D.143 .直角三角形銳角平分線(xiàn)分對(duì)邊為15和25兩部分，則斜邊長(zhǎng)為()A.50B.60C.70D.804.三角形內(nèi)角比為1 ： 2 ： 3,則三邊長(zhǎng)度比為（）A.1 ： 2 ： 3C.1 ：亞：D.1 ：板：3三、填空題一,為直角邊作直角三角形,1 .已知線(xiàn)段a,求作線(xiàn)段 而 a時(shí)，可分別以2a和斜邊即為所求.2 .等腰直角三角形直角邊長(zhǎng)為1,則斜邊長(zhǎng)為.3 .等邊三角形邊長(zhǎng)為 2,則面積為.4 .CD 為 RtAABC 斜邊上的高， AB=13 , AC=12 ,則 CD=5 .

23、周長(zhǎng)為30,面積也為30的直角三角形斜邊中線(xiàn)長(zhǎng)為 6 .兩直角邊之和為14,斜邊長(zhǎng)為12的直角三角形斜邊上的高是 四、解答題1.計(jì)算：RtABC 中，Z C=90°,CD LAB 于 D, M 為 AB 中點(diǎn)，MD=CD ,求/ B.7 .AABC 中，D 為 BC 上一點(diǎn)，且 AB=AD ,求證 AC2-AB2=BC - DC. 能力提升：1 .如圖，A/MC = 120°, Z5 = 30°,如！AS,垂足為 a, CD二江陽(yáng),求AB的長(zhǎng).ab2 .如圖，BD=DC , DA ±AC , AC= 2.求/ BAD.O3 .如圖，在 ABC 中/ C=

24、90° , / CAB=60,AD為/ BAC的平分線(xiàn)，D到AB的距亨于5.6cm,求BC.4 .已知，如圖，AD，BC 于 D, CE，AB 于 E, AD、CE 交于 G,且 CG=AB ,求/ ACB.15 .如圖，在正方形 ABCD中，F(xiàn)為DC的中點(diǎn)，E為BC上一點(diǎn)，且 EC=4 BC ,求證:AF XEF.U F6. 一個(gè)直立的火柴盒在桌面上倒下，啟迪人們發(fā)現(xiàn)了勾股定理的一種新的驗(yàn)證方法.如圖，火柴盒的一個(gè)側(cè)面 ABCD倒下到AB' C' D'的位置，連接CC',設(shè)AB=a , BC=b , AC=c , 請(qǐng)利用四邊形BCC' D&#

25、39;的面積驗(yàn)證勾股定理：a2+b2=c27.已知：如圖，折疊長(zhǎng)方形（四個(gè)角都是直角，對(duì)邊相等 ）的一邊AD,使點(diǎn)D落在BC 邊的點(diǎn)F處，已知 AB=8cm , BC=10cm,求EC的長(zhǎng).綜合探究：,在花鋪內(nèi)走出1 .如圖，學(xué)校有一塊長(zhǎng)方形花鋪，有極少數(shù)人為了避開(kāi)拐角走“捷徑”了一條“路”.他們僅僅少走了 步路（假設(shè)2步為1米），卻踩傷了花草2 .已知 ABC中，AB=40 , AC=30 , BC邊上的高為 24.求 ABC的面積.3 .已知A（1 , 3）, B（4, 2）,點(diǎn)P為x軸上一點(diǎn).求使AP+BP的值最小時(shí)點(diǎn) P的坐標(biāo)和 AP+BP的最小值.答案與解析：基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)：4 、1. X

26、 （畫(huà)示意圖利用勾股定理可以進(jìn)行判斷）2. X （畫(huà)示意圖利用勾股定理可以進(jìn)行判斷）3. ，（畫(huà)示意圖利用直角三角形30度角所對(duì)邊等于斜邊一半可以進(jìn)行判斷）4. X （畫(huà)示意圖利用勾股定理可以進(jìn)行判斷）5. V （畫(huà)示意圖利用三角形面積等于底乘高的一半可以進(jìn)行判斷）6. X （畫(huà)示意圖利用三角形面積等于底乘高的一半可以進(jìn)行判斷）二、1. D （設(shè)兩條直角邊為 a, b斜邊為c, a+b+c=24, c=10,和勾股定理可以求出面積 ）2. C （利用勾股定理及直角三角形中30度角所對(duì)邊等于斜邊的一半即可）3. A （過(guò)平分線(xiàn)與對(duì)邊的交點(diǎn)做斜邊的垂線(xiàn)可得全等，用勾股定理求出小三角形邊長(zhǎng)為15,

27、20, 25,設(shè)另一直角邊長(zhǎng)為 x,根據(jù)勾股定理得：x2+402=（x+20） 2,可求斜邊的長(zhǎng)）4. B （設(shè)30度角所對(duì)邊為a,和勾股定理即可）三、1.3a （用（2a）+（3a）2=13a2）5. j5（勾股定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用）6. 招（過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)坐高線(xiàn)即可）607. 13 （設(shè)CD=x ,應(yīng)用勾股定理和直角三角形面積的兩種表示方法即可）1325. 2 （a+b+c=30, ab=60,斜邊中線(xiàn)=2 c）136.6 （a+b=14 , c=12, a2+b2=c2,用直角三角形面積的兩種表示方法）四、1. . CDLAB CD=MD . . / CMB=45 ° 又 CM=MB .

28、 . / B=67.5 ° 或 22.5° .2.作 AE，BD 于 E, AB=AD ED=EB.AC 2-AB 2=（EC2+AE 2）-（EB 2+AE 2）=（EC+EB）（EC-ED尸BC - DC能力提升：1.分析：由于 AB是將ARAD中的一條直角邊,故要求 AB的長(zhǎng)，只要求出 BD, AD 的長(zhǎng)，利用勾股定理即可求出.解："。=12。葭3二3。ZC=W-ZW-Z£ = 30°,又,: AD I AS,垂足為a ,：，.一，.， _， ,二w ,在直角三角形BAD中， /£ = 30°, 二二"J J

29、 二"1 二2“答：AB的長(zhǎng)為2出cut .2 .分析：作輔助線(xiàn)過(guò) B作AC的平行線(xiàn)BE與AD延長(zhǎng)線(xiàn)相交于 E可證 ADC與& BED 全等利用勾股定理 和30°角所對(duì)的邊是斜邊的一半的定理可得/BAD的度數(shù).解：延長(zhǎng)AD與AC的平行線(xiàn)BE相交于點(diǎn)E BD=DC/ BDE= / ADC（對(duì)頂角相等）/ DAC= / DEB . ADC 9匕 EDBAC=BE 且/ E=90°-AB=BE又 AC=2且/E=90°/ BAD=30 °3 .解：RtAABC 中，/ CAB=60 ° ,/ B=30 ° （余角的性質(zhì)）

30、AD平分/ BAC（已知）1 .Z DAB= 2 / CAB=30 ° （角平分線(xiàn)性質(zhì)）丁./ DAB= / DBE（等量代換）AD=DB（等角對(duì)等邊）DBE 中，DE=5.6, Z B=30 ° （已知） .BD=2DE=11.2（cm）（直角三角形中30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半 ）AD=11.2（cm）（等量代換）同理 RtAACD 中，/ CAD=30 °2CD=二 AD=5.6(cm)BC=DC+DB=5.6+11.2=16.8(cm)，BC邊的長(zhǎng)為16.8厘米.4 .解：- AD ± BC, CEXAB在A(yíng)BD和CGD中：/ A

31、DB= / CDG=90 °又. / CEB=90 °/ B+ / BAD= / B+ / BCE=90 °/ BAD= / BCE又 CG=ABABD CGD(A.A.S)AD=DC又 ; AD ±DC/ ADC=90 °/ ACB= / DAC=45 °a a5 .證明：連結(jié) AE,設(shè)正方形邊長(zhǎng)為 a,貝U DF=FC= 2 , EC= 4 ,a a §在 RtAECF 中，有 EF2=(2 )2+(4 )2?=16 a2;g 20同理可證.在 RtAADF 中，有 AF2=( 2 )2+ a2= 16 a；1 3在 RtAABE 中，有 BE=a- 4 a= 4 a,325,AE2=a2+(4 a)2= 16a2, af2+ef2=ae2.根據(jù)勾股逆定理得，/ AFE=90° ,AF ±EF.6.證明：四邊形BCC' D'為直角梯形，S 梯形 BCC D = 2 (BC+C ' D ' ) . BD ' =2 RtAABCRtAAB ? C', ./ BAC= / B' AC&#