研究生數(shù)學(xué)建模精品案例二2

1、第二章 吸波材料與微波暗室問(wèn)題的數(shù)學(xué)建模2011年全國(guó)研究生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽B題新型隱身殲擊機(jī)殲-20最近試飛成功，標(biāo)志著我國(guó)在隱身技術(shù)領(lǐng)域取得了重大進(jìn)展。所謂飛機(jī)隱身，是指在飛機(jī)有關(guān)部位涂覆或粘貼吸波材料，合理設(shè)計(jì)飛機(jī)外形與布局等使敵方探測(cè)系統(tǒng)（如無(wú)線電雷達(dá)，紅外雷達(dá)，激光雷達(dá)等）只接收到大大減弱后的飛機(jī)反射信號(hào)，從而降低被發(fā)現(xiàn)或跟蹤的可能。隱身技術(shù)的基礎(chǔ)研究包括探索不同頻段上吸波的機(jī)理，研制高效吸波的特殊材料，將吸波材料設(shè)計(jì)成合理的形狀使之發(fā)揮最大效能等，其成果不僅可以應(yīng)用到飛機(jī)艦船坦克等軍用裝備，也可以應(yīng)用到其他科技領(lǐng)域。例如，許多以電磁波，光波或聲波的傳播為信息載體的儀器設(shè)備，都需要功能與

2、性能的測(cè)試，甚至還要對(duì)其工作過(guò)程進(jìn)行盡可能真實(shí)的仿真。早期這類測(cè)試常選擇在無(wú)電磁干擾的偏僻空曠山區(qū)進(jìn)行。在近代各種干擾已無(wú)法全部避免，所以近三十多年來(lái)這樣的測(cè)試與仿真（例如本題將要研究的導(dǎo)彈制導(dǎo)系統(tǒng)的仿真），放置在被稱為“無(wú)回波暗室”的實(shí)驗(yàn)室中進(jìn)行。無(wú)回波暗室能夠屏蔽外界干擾信號(hào)，通過(guò)內(nèi)墻（包括地面與天頂面）敷設(shè)的吸波體，吸收各類反射信號(hào)，使室內(nèi)反射大為減弱，被測(cè)設(shè)備接收到的“似乎”只有測(cè)試信號(hào)源發(fā)出的實(shí)驗(yàn)所需信號(hào)。這樣，它為測(cè)試設(shè)備提供了一個(gè)幾乎沒(méi)有反射信號(hào)的“自由空間”。 圖1給出了二維示意。 由物理學(xué)知道，除了真空，沒(méi)有一種介質(zhì)對(duì)于各頻段的電磁輻射波（甚至包括聲波）的傳播是絕對(duì)透明的，波

3、從一種介質(zhì)輻射到另一種介質(zhì)時(shí)，都將發(fā)生不同程度的反射、折射乃至散射，一部分波的能量被圖1 無(wú)回波暗室工作示意圖 吸收轉(zhuǎn)化為介質(zhì)的內(nèi)能。定義反射率為反射波功率與入射波功率之比：，顯然。吸波材料一般制成平板形狀和特殊形狀兩大類基本形狀。平板形狀吸波體的主要性能指標(biāo)是電磁波從空間向材料表面垂直入射（入射角）時(shí)的反射率，其值越小，吸波性能越高。當(dāng)入射角時(shí)稱為斜入射，斜入射時(shí)將出現(xiàn)反射、折射情況，此時(shí)反射率的理論計(jì)算較復(fù)雜，與入射角、兩種介質(zhì)的電參數(shù)和波的極化方向等多種因素有關(guān)，本題將反射率簡(jiǎn)化為滿足余弦法則，即，其中為入射角大小，其中為垂直入射反射率。為了提高無(wú)回波暗室的吸波性能，一般使用錐體（正四棱

4、錐或正圓錐體等）或尖劈形狀的吸波體，大量錐體或尖劈有規(guī)律地排列組成的整體粘貼在墻上構(gòu)成吸波體。采用這些形狀的主要理由是它們能使得輻射波在尖形的幾何空缺間形成多次反射和透射-反射，降低反射出去的能量，實(shí)現(xiàn)高效率吸波。圖2示意了一條想象中的輻射線（實(shí)際上是在一個(gè)微小立體角內(nèi)輻射）射入尖劈吸波體后，經(jīng)過(guò)多次反射以及透射過(guò)尖劈后進(jìn)入相鄰尖劈空間形成反射的情況。為尖劈角，為尖劈的高，為尖劈的底部寬度。理論上還應(yīng)有多次透射后進(jìn)入相鄰空間的反射，但能量已極小，工程上可以不計(jì)。 吸波體的吸波性能計(jì)算需要考慮多次反射，微波暗室的電磁特性分析應(yīng)研究各個(gè)墻面間的相互影響（即一個(gè)墻面既接受其他墻面的輻射又同時(shí)反射給其

5、他墻面）。盡管理論上可通過(guò)求解由Maxwell 方程組和相應(yīng)的邊界條件構(gòu)成的數(shù)學(xué)物理問(wèn)題，來(lái)嚴(yán)格地分析與計(jì)算，但模型復(fù)雜且計(jì)算繁雜量大。工程上處理此類復(fù)雜問(wèn)題的常用思路是先采用簡(jiǎn)化模型進(jìn)行理論分析，再用實(shí)驗(yàn)測(cè)試數(shù)據(jù)修正由簡(jiǎn)化模型得出的分析 結(jié)果。若模型較合理、測(cè)試數(shù)據(jù)準(zhǔn)確，則這樣的處理圖2 尖劈形吸波體吸波功能的示意 對(duì)實(shí)際研究具有較高的指導(dǎo)價(jià)值。本題要求采用上述工程處理的思路，用較簡(jiǎn)單直觀的幾何光學(xué)模型，來(lái)初步研究分析特殊吸波體和微波暗室的性能這兩類問(wèn)題，后續(xù)的實(shí)驗(yàn)測(cè)試與修正不包括在本題中。問(wèn)題1：尖劈形狀吸波體的性能分析設(shè)尖劈形狀吸波體及其坐標(biāo)系如圖3所示，尖劈的長(zhǎng)度沿方向?yàn)闊o(wú)限長(zhǎng)，其他尺

6、寸記號(hào)同圖2。由射向角（軸正向與入射線負(fù)方向的夾角）和方位角（軸正向與射線在平面上投影的夾角）確定入射波線的方向，只考慮波在兩種不同介質(zhì)界面處的反射，不考慮邊緣處的繞射。假設(shè)尖劈材料的電性能參數(shù)各處均勻，垂直入射的反射率為，斜入射時(shí)的反射率滿足前述的余弦法則，設(shè)入射波線的輻射強(qiáng)度為1單位。試建立入射波線在一個(gè)尖劈幾何空缺間反射過(guò)程圖3 尖劈吸波體吸波示意 的數(shù)學(xué)模型，即分別刻畫最終反射波線的方向，反射次數(shù)，反射波的輻射強(qiáng)度與已知反射率、諸幾何參數(shù)之間的定量關(guān)系。 建議：可先從二維問(wèn)題著手研究起。問(wèn)題2：導(dǎo)彈導(dǎo)引仿真實(shí)驗(yàn)用的微波暗室的性能研究 自主尋的式導(dǎo)彈的制導(dǎo)系統(tǒng)的核心設(shè)備之一是安置在頭部、

7、能自動(dòng)尋找和跟蹤目標(biāo)的導(dǎo)引頭。在導(dǎo)彈的研制過(guò)程中需要在地面條件下模擬導(dǎo)引頭跟蹤目標(biāo)的性能。設(shè)導(dǎo)引頭的工作波段在微波段（指頻率為0.3-300GHz(波長(zhǎng)1m-1mm)）。一種已經(jīng)研究成功的仿真系統(tǒng)主要由目標(biāo)模擬器系統(tǒng)，作為導(dǎo)引頭支架的三軸轉(zhuǎn)臺(tái)和微波暗室組成。目標(biāo)模擬器用來(lái)模擬目標(biāo)運(yùn)動(dòng)，它由天線陣列子系統(tǒng)及其控制子系統(tǒng)組成。天線陣列是安置在微波暗室靠近一面墻、有規(guī)律排列在同一球面的若干個(gè)微波天線，各天線的中心軸線對(duì)準(zhǔn)球心，按某種規(guī)律依次發(fā)射模擬目標(biāo)回波的微波信號(hào)，模擬自由空間中目標(biāo)相對(duì)于導(dǎo)彈的運(yùn)動(dòng)。需要測(cè)試的導(dǎo)引頭安裝在三軸轉(zhuǎn)臺(tái)上，轉(zhuǎn)臺(tái)根據(jù)導(dǎo)引頭跟蹤目標(biāo)時(shí)發(fā)出的制導(dǎo)指令作三自由度角度的轉(zhuǎn)動(dòng)，帶動(dòng)

8、導(dǎo)引頭模擬導(dǎo)彈在空間的三自由度運(yùn)動(dòng)。微波暗室提供一個(gè)微波“自由空間”。圖4中只畫出一面墻上的吸波材料，實(shí)際上所有6個(gè)墻面均鋪設(shè)吸波材料。 本題研究一個(gè)簡(jiǎn)化問(wèn)題。目標(biāo)模擬器是圓弧形線陣列，而非球面陣列，它安裝在靠近一面墻的中心水平面內(nèi)，圓弧線對(duì)兩邊的墻處于對(duì)稱位置，圓弧半徑，各天線軸線對(duì)準(zhǔn)圓心（即導(dǎo)引頭位置）。設(shè)目標(biāo)模擬器對(duì)導(dǎo)引頭的總張角，每安裝一個(gè)天線，共16個(gè)天線。設(shè)天線屬于余弦輻射體 （見(jiàn)附錄2），輻射強(qiáng)度，為天線軸線圖4 導(dǎo)引仿真實(shí)驗(yàn)室示意 方向輻射強(qiáng)度，為與法線成角方向的輻射強(qiáng)度。目標(biāo)模擬器的工作基于所謂“等價(jià)重心原理”：如果兩個(gè)相鄰天線對(duì)導(dǎo)引頭的張角小于某個(gè)閾值（見(jiàn)圖5），同時(shí)發(fā)射同

9、頻率同相位且相同極化方向、但功率不同的微波信號(hào)時(shí)，根據(jù)導(dǎo)引頭的功能，它將對(duì)準(zhǔn)中間的“重心”，它滿足：， （1）圖5 模擬目標(biāo)運(yùn)動(dòng)的原理 其中分別為發(fā)射的微波功率，角度均以弧度計(jì)。就是導(dǎo)引頭“感覺(jué)”到的目標(biāo)方向，這個(gè)方向稱為導(dǎo)引頭的視在方向。這等價(jià)于不工作，代之以在點(diǎn)存在著一個(gè)輻射兩者功率之和的“視在天線”。于是，連續(xù)地改變天線的功率之比，且兩者之和為常值時(shí)，導(dǎo)引頭就“感覺(jué)”到視在目標(biāo)在之間運(yùn)動(dòng)，距離不變。又因?yàn)橐曉谀繕?biāo)功率的大小模擬了導(dǎo)彈與目標(biāo)之間距離的遠(yuǎn)近，故若兩者功率之和變化，功率之比不變，則模擬了目標(biāo)與導(dǎo)彈間的距離變化，但方向不變。這樣，控制兩相鄰天線的功率比及它們的功率之和，并連續(xù)地控

10、制相鄰的兩兩一組的天線的開(kāi)關(guān)，使之時(shí)間上前后銜接，對(duì)導(dǎo)引頭相當(dāng)于在目標(biāo)陣列上有一個(gè)運(yùn)動(dòng)的視在天線，模擬了導(dǎo)彈與目標(biāo)之間的相對(duì)連續(xù)的運(yùn)動(dòng)。（注：上述原理是產(chǎn)生視在目標(biāo)的背景介紹，本題的重點(diǎn)宜放在微波暗室的性能分析上） 圖6 問(wèn)題2的諸參數(shù)示意圖現(xiàn)在回到問(wèn)題本身。設(shè)暗室的寬=18，高=14，長(zhǎng)=15，線陣列的圓弧半徑，單位均為米。所有墻面鋪設(shè)同一規(guī)格的吸波體（上述數(shù)據(jù)均從吸波體的頂端平面算起）。圖6所示暗室右端中心的的小方塊面積處是安置導(dǎo)引頭的部位，稱為“靜區(qū)”。靜區(qū)小方塊的中心點(diǎn)與目標(biāo)模擬陣列圓弧的圓心重合。靜區(qū)接收到的電磁能量直接對(duì)導(dǎo)彈的導(dǎo)引仿真有重要影響，根據(jù)導(dǎo)引仿真要求，靜區(qū)從諸墻面得到的

11、反射信號(hào)的功率之和與從信號(hào)源直接得到的微波功率之比，始終滿足0.03。 設(shè)m。目標(biāo)模擬器對(duì)導(dǎo)引頭的視在目標(biāo)運(yùn)動(dòng)從左端開(kāi)始，以勻角速運(yùn)動(dòng)到右端，前后共4秒，視在天線中心軸線對(duì)準(zhǔn)靜區(qū)中心，中心軸線處的發(fā)射功率強(qiáng)度隨時(shí)間線性增大，結(jié)束時(shí)比初始時(shí)增大了一倍。并假設(shè)：（1）視在天線發(fā)射功率強(qiáng)度分布滿足余弦輻射體（見(jiàn)附錄2）；（2）只考慮所有墻面對(duì)輻射的反射，不計(jì)入墻面的散射；（3）不計(jì)入模擬器的天線及其安裝支架，以及導(dǎo)引頭本身對(duì)輻射的影響；若暗室鋪設(shè)平板形吸波材料，其垂直反射率0.50。試建立合適的數(shù)學(xué)模型，在上述假設(shè)下，根據(jù)提供的數(shù)據(jù)，通過(guò)對(duì)模型的分析與數(shù)值計(jì)算，判斷這樣的微波暗室能否能滿足仿真技術(shù)要

12、求？ 在此彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，何時(shí)的值最小？進(jìn)一步，若暗室改為鋪設(shè)尖劈形吸波材料，由于沿尖劈形吸波體各平面處的吸波效果不是常數(shù)，所以常用統(tǒng)計(jì)的方法求出其平均值，稱此平均值為平均反射率。現(xiàn)設(shè)此平均反射率已經(jīng)求出，為0.05（相當(dāng)于尖劈形吸波體被換成另一種吸波性能更好材料的平板形吸波體的垂直反射率），請(qǐng)你再次用模型進(jìn)行計(jì)算，根據(jù)結(jié)果判斷，這樣的暗室是否能滿足仿真技術(shù)要求？何時(shí)的值最?。?【附錄1】 立體角的基本概念輻射能在立體錐角范圍內(nèi)傳播，需要一個(gè)描述立體錐角“大小”的數(shù)學(xué)量立體角。平面角的大小是用過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)的兩條射線所夾的范圍來(lái)衡量，以弧度或度為單位，弧長(zhǎng)等于半徑的圓弧所對(duì)的平面角的大小定義為

13、一弧度（rad）。圓的平面角為rad。三維空間里立體角定義：以立體錐角的頂點(diǎn)為球心，作一半徑為的球面，用此錐角在球面上所截微元面積，除以半徑的平方，來(lái)表示此立體角元的大?。焊綀D1 立體角定義 。 （f1.1） 若微元面積的法向量與輻射方向單位向量成角，則， (f1.2)立體角的單位為立體弧度或球面度（），當(dāng)截出的球面積等于半徑平方時(shí)，該立體角的大小為1球面度。在球坐標(biāo)系中立體角的計(jì)算如下。設(shè)輻射源位于球坐標(biāo)的原點(diǎn)，在球坐標(biāo)系里輻射方向由方位角和高低角給出。球面上的一微元面積 對(duì)原點(diǎn)構(gòu)成的立體角為附圖2 球坐標(biāo)系中的立體角元 ，由于 ，故立體角微元為 。 （f1.3）原點(diǎn)周圍的全部空間的立體角大

14、小為：。 (f1.4)【附錄2】 關(guān)于輻射的幾個(gè)描述參量1. 輻射通量 本身發(fā)射輻射能的物體，稱為一次輻射源。受到別的輻射源照射后透射或反射輻射能的物體稱為二次輻射源。這兩種輻射源統(tǒng)稱為輻射體。輻射體向周圍空間發(fā)出輻射能，用輻射功率來(lái)描述這些輻射能。以輻射形式發(fā)射、傳播或接收的輻射功率，定義為輻射通量，記之為，單位是瓦特（W）。點(diǎn)源輻射在立體角內(nèi)傳播，故這里的輻射通量指在某一個(gè)立體角范圍內(nèi)傳播的能量。2. 輻射強(qiáng)度 大多數(shù)輻射源在不同方向上的輻射通量是不相同的，有的方向強(qiáng)，有的弱。以光輻射為例，若對(duì)普通照明燈泡罩上燈罩，光照功率在各個(gè)方向是不同的，燈頭向上方向很小，而沿?zé)襞葺S線向下為最強(qiáng)，與軸

15、線成一角度方向則隨角度增大而減小。容易知道，一定大小的輻射通量，通過(guò)給定立體角內(nèi)輻射時(shí)的強(qiáng)度，肯定比在另一個(gè)更小的立體角內(nèi)通過(guò)時(shí)的強(qiáng)度要小。這就需要引入輻射強(qiáng)度的概念。輻射強(qiáng)度指在某個(gè)指定方向上輻射通量的大小。由于單一方向（一根線內(nèi)）無(wú)法談?wù)搨鬏數(shù)哪芰浚瘦椛鋸?qiáng)度定義為指定方向上的一個(gè)微小立體角內(nèi)所包含的輻射通量，除以這個(gè)立體角的大小，所得的商即為輻射源在此方向上的輻射強(qiáng)度。它只刻畫指定方向上一個(gè)很小空間范圍內(nèi)輻射的強(qiáng)弱。數(shù)學(xué)上，若在某給定方向上的一個(gè)微小立體角內(nèi)的輻射通量為，則該方向上的輻射強(qiáng)度為 。 （f2.1）因此，輻射強(qiáng)度表示為輻射通量關(guān)于球面角的導(dǎo)數(shù)。輻射強(qiáng)度的單位為瓦特每球面度，（

16、瓦/sr），定量地表示為單位立體角內(nèi)的輻射通量，它是輻射的基本單位，其他概念的單位均由這個(gè)基本單位導(dǎo)出（如輻射通量，以及下面將要引入的輻射照度，輻射出射度等）。在球坐標(biāo)系中，一個(gè)方向可由方位角和高低角兩個(gè)角確定（見(jiàn)附圖1），若已知點(diǎn)輻射源或微元在給定方向上的輻射強(qiáng)度為方位角和高低角的某個(gè)函數(shù)，那么可計(jì)算出此輻射源發(fā)出的總輻射通量：；立體角，則。當(dāng)輻射強(qiáng)度軸對(duì)稱時(shí)，只是角的函數(shù)，附圖3 余弦輻射體示意 計(jì)算可以容易些 。有時(shí)，與空間方向的關(guān)系按下列較簡(jiǎn)單的規(guī)律變化： ， 。 （f2.2）其中為輻射微元，為法線方向的輻射強(qiáng)度，為與法線成角方向的輻射強(qiáng)度。若用矢徑表示輻射強(qiáng)度，則各方向輻射強(qiáng)度矢徑的

17、終點(diǎn)軌跡在一球面上。符合這一規(guī)律的輻射體稱為余弦輻射體。本題的問(wèn)題2就采用這樣的輻射簡(jiǎn)化模型。 3.輻射照度 當(dāng)一定量的輻射通量到達(dá)一個(gè)接受面時(shí)，稱此面被輻射“照明”了，輻射照明程度的大小，用輻射照度（簡(jiǎn)稱照度）這個(gè)量來(lái)描述。一定輻射通量的輻射照射到兩個(gè)大小不同面積的表面，兩者的單位面積上接收的輻射通量顯然不同。設(shè)被照平面垂直于輻射方向，則照度（）定義為落到某微元上的輻射通量與此元面積之比，刻畫單位面積上所接收到的輻射通量的密度。數(shù)學(xué)上有 。 （f2.3）照度的單位為瓦特每平方米。若較大面積的表面被均勻照射，則平均輻射照度為。用點(diǎn)輻射源與假想球面的方法，容易推出照度的“距離平方反比定律”。記點(diǎn)

18、源的均勻輻射強(qiáng)度為，它在空間發(fā)出的總通量為；半徑為的球面面積為，故輻射源在距離處產(chǎn)生的照度為 。 （f2.4）若被照平面與輻射方向不垂直（斜交），則輻射照度計(jì)算公式要作調(diào)整。如附圖4所示，點(diǎn)輻射源的發(fā)光強(qiáng)度為，被照微元面積為，距離源為，對(duì)點(diǎn)所張的微立體角為，其法線方向與的軸線的夾角為。由立體角的定義，；通過(guò)的輻射通量為 ；故面積上的輻射照度為。 （f2.5）附圖4 斜交時(shí)的照度定律 （f2.5）稱為輻射照度的距離平方反比余弦定律。 4. 輻射出射度 從一輻射表面（比如反射面）的單位面積上輻射出的輻射通量，表征其輻射能力的大小，稱為輻射出射度，記為。輻射出射度與輻射照度是一對(duì)相同意義的物理量，只

19、是前者是發(fā)出，后者是接收，兩者的單位相同。對(duì)于非均勻輻射面，有 。 （f2.6）若本身不主動(dòng)輻射，受外來(lái)輻照后所得照度為。入射能量中一部分被吸收，另一部分被反射，設(shè)表面反射率為，那么顯然有 。主要參考文獻(xiàn)1. 劉順華等，電磁波屏蔽及吸波材料，化學(xué)工業(yè)出版社，2007.82. Bhag Singh Gurn, Huseyin R. Hiziroglu, Electromagnetic Field Theory Foundamentals,周克定，張肅文等譯，機(jī)械工業(yè)出版社，20003. 張以漠，應(yīng)用光學(xué)，機(jī)械工業(yè)出版社，1988問(wèn)題的求解這是一條比較好的題目，而且是研究生競(jìng)賽中幾乎完全被解決的唯

20、一賽題，所以本書以它作為第一章。雖然題目在表述上有些不太準(zhǔn)確的地方，如余弦法則和沒(méi)有明確指出微波射到墻壁后根據(jù)惠更斯原理散射，但就總體而言解決該問(wèn)題需要?jiǎng)?chuàng)造性、有難度、既體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的作用、也證明了數(shù)學(xué)建模在高科技領(lǐng)域大有作為。在絕大多數(shù)人眼中隱身是個(gè)神秘的、專業(yè)性很強(qiáng)的問(wèn)題，與數(shù)學(xué)幾乎毫不相干。而通過(guò)題目的介紹，大家都清楚地知道飛機(jī)隱身取決于飛機(jī)表面的兩個(gè)因素，一是飛機(jī)表面材料的吸波性能；二是飛機(jī)表面的幾何形狀，后者就是個(gè)純數(shù)學(xué)問(wèn)題，因此數(shù)學(xué)建模在隱身技術(shù)中占有舉足輕重的地位。一 二維情況下尖劈形吸波體的性能分析遵循數(shù)學(xué)建模中先易后難的原則，先討論光線的反射問(wèn)題，即題目的第一問(wèn)尖劈形吸波體的性

21、能分析。開(kāi)始再考慮其中最簡(jiǎn)單的情況，即入射光線垂直于尖劈頂部直線的情況。因?yàn)樵谌肷潼c(diǎn)，尖劈的法線也垂直于尖劈頂部直線，所以尖劈頂部直線垂直于入射線和法線所決定的平面，而根據(jù)光線的反射定律，反射光線與入射線和法線共面，因此新的反射點(diǎn)在這個(gè)面內(nèi)，其法線垂直于尖劈頂部直線，故仍然在這個(gè)面內(nèi)。由此類推在這種情況下，光線在尖劈中不斷反射的整個(gè)過(guò)程都一定在這個(gè)平面內(nèi)。因此這種情況就是一個(gè)平面問(wèn)題，相對(duì)而言簡(jiǎn)單得多。即便如此，尋找光線的變化規(guī)律還是有比較大的難度。因?yàn)楸M管根據(jù)光的反射定律不斷反射的光線每次變化都很有規(guī)律，但從整個(gè)過(guò)程來(lái)看，前后規(guī)律并不相同。 圖1 光線在尖劈幾何空缺中的下行傳播過(guò)程在C處作法

22、線BE的平行線，由內(nèi)錯(cuò)角相等及兩對(duì)邊相互垂直的兩個(gè)角也相等（兩條法線分別垂直于尖劈的兩邊），可見(jiàn)相鄰兩次入射角有以下關(guān)系： +2圖2光線在尖劈幾何空缺間的傳播上下行轉(zhuǎn)化的臨界狀態(tài)由圖2 可知臨界狀態(tài)時(shí)，由三角形內(nèi)角之和等于180度，即兩個(gè)直角之和，得相鄰兩次入射角有如下關(guān)系： 利用光的路線的可逆性及光線下行時(shí)結(jié)論，無(wú)非改變?nèi)肷浣窍聵?biāo)的順序，得在光線上行時(shí)相鄰兩次入射角有如下關(guān)系： 這還是光線從劈頂射入的情況，如果考慮光線從尖劈上方任意位置射入則光線在尖劈內(nèi)的反射次數(shù)、功率損失、最終出射角等就更復(fù)雜了。通過(guò)羅列各種情況分別進(jìn)行討論，解決問(wèn)題比較困難。但如果能夠抓住問(wèn)題本質(zhì)把上述貌似不同的規(guī)律綜合

23、成為一個(gè)規(guī)律，討論起來(lái)就會(huì)容易許多。當(dāng)然這時(shí)需要討論另一個(gè)變量，所以抓住問(wèn)題本質(zhì)的能力對(duì)研究生很重要。為此我們定義特征角和特征距離。特征角：尖劈底與入射點(diǎn)連線方向與第n次入射光線的相反方向所形成的小于180度夾角稱為第n次特征角。特征距離：連接第n次入射點(diǎn)到尖劈的底的連線長(zhǎng)度稱為第n次入射特征距離，用表示。這樣光線在尖劈中的多次反射的規(guī)律就很容易描述了：第n次特征角。其中是豎直向上的方向到入射光線的相反方向的夾角，如圖1.因此。由圖1，ACB是COB的外角，等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和，再利用入射角與反射角相等，即得，依此類推有，即使對(duì)圖2也仍然成立。這樣多次反射的規(guī)律就綜合成一種情況。由上面

24、兩個(gè)圖很容易發(fā)現(xiàn)，因此得到了，就立即得到了入射角。在尖劈中多次反射時(shí)入射角的變化規(guī)律就找到了。再利用第n次入射的特征距離來(lái)判斷光線是否離開(kāi)尖劈，這樣討論反射的次數(shù)也很方便。圖3相鄰兩次反射的特征距離間的關(guān)系圖3中Sn 為P1B,Sn+1為P2B,利用三角形的正弦定理得如下關(guān)系： 利用反射角與入射角相等，即得 即 利用上述結(jié)果，類似推導(dǎo)可得： ，若光線從劈尖射入，則S0即尖劈的長(zhǎng)度，若超過(guò)則n+1次反射不會(huì)發(fā)生。故，則第n+1次反射不會(huì)發(fā)生。下面分兩種情況討論：（一），只發(fā)生n次反射，且第n次反射線與尖劈延長(zhǎng)線相交，則根據(jù)，得<及必須同時(shí)成立，又因?yàn)槭菃握{(diào)上升的，肯定會(huì)超過(guò)90度，為利用正

25、弦函數(shù)在90度之內(nèi)是單調(diào)上升的性質(zhì)，角度都轉(zhuǎn)化到90度之內(nèi)進(jìn)行比較 與 同時(shí)成立即<與同時(shí)成立。（二），只發(fā)生n次反射，且n次反射后反射線方向在尖劈扇形內(nèi)，這時(shí)反射線與尖劈及延長(zhǎng)線均沒(méi)有交點(diǎn)，由圖2反射線與尖劈兩邊夾角均不超過(guò)，此時(shí)第n次特征角大于等于，再加2則大于等于2，故仍然有 及必須同時(shí)成立，故，因?yàn)?gt;,故n>所以關(guān)于n的不等式組與上面相同，綜合上面兩種情況都有反射次數(shù)公式為。關(guān)于這個(gè)問(wèn)題也可以用代數(shù)方法求解，問(wèn)題的代數(shù)方法Householder 反射變換 先從二維問(wèn)題引出基于投影概念的反射變換Householder變換。圖4示意了入射線反射3次后的過(guò)程，分別表示為尖劈

26、吸波體的兩個(gè)相鄰斜平面，在二維情況下為兩直線，分別是它們的單位法向量，為尖劈角。（1） 第1次反射設(shè)為入射線所在的單位向量，與交于；圖5表示入射向量射向在處反射為單位向量的情況?，F(xiàn)在用代數(shù)方法求反射向量。 記，又設(shè)關(guān)于直線的鏡面反射向量為。從的矢終端作到的矢終端的連線，得向量。由幾何關(guān)系知，向量的方向與相反，長(zhǎng)度則是在上的投影的2倍，即 因此。 圖4 三次反射過(guò)程 注意到是一個(gè)矩陣，不妨記為 ， 于是有 。 圖5 在右斜面上的反射 圖6 在左斜面上的反射實(shí)際上，當(dāng)坐標(biāo)系建立后，的法向量是確定的向量，矩陣是由唯一確定的，它刻畫的是向量關(guān)于直線的鏡面反射變換后得到向量，建立了如何由輸入量計(jì)算反射向

27、量的數(shù)學(xué)模型。求出后，就容易由入射向量計(jì)算反射向量。 由于，則有。 上式建立了入射向量與要求的反射向量之間的定量關(guān)系。只要已知入射向量和反射面（線），由此立即可寫出反射向量來(lái)。這是個(gè)線性變換，稱此反射變換為Householder變換，矩陣是反映這個(gè)反射變換本質(zhì)的二階張量，稱為Householder矩陣。在圖5的坐標(biāo)系中，尖劈角為，故 ，所以 不難證明，反射矩陣是其行列式的值等于1的正交矩陣。又 ，這里即前面的，故得 反射的結(jié)果，是將入射向量旋轉(zhuǎn)一個(gè)尖劈角，再關(guān)于豎軸取對(duì)稱，若，則第1次反射后反射向量指向下方（取決于反射向量的第2個(gè)分量的正負(fù)號(hào)）。由此看出，用代數(shù)方法的好處除了計(jì)算程序化外，還容

28、易判別后續(xù)反射的趨向。我們還可以求出第1次反射的反射角，由圖5，這可從與的數(shù)積值計(jì)算，因?yàn)閮?nèi)積是反射角的余弦， ，所以， 。這與前面幾何方法求得的一致。（2）第2次反射 （見(jiàn)圖6） 將第2次反射的入射向量記為 ，作，關(guān)于反射面（線）的反射向量為。同理，我們通過(guò)關(guān)于的鏡面反射向量來(lái)求。為此，作向量，顯然有故有 。所以 ， 其中的反射變化矩陣為 。 由于 ，所以 ， 顯然，是其行列式值等于1的正交矩陣。由，得第2次反射向量 。 相比，又增加了尖劈角，再取關(guān)于豎軸對(duì)稱?？梢栽俅闻袛?，若，仍然指向下方，否則反射將往空缺上方返回。 同樣運(yùn)用向量的點(diǎn)積，不難求出第2次反射角。這里從略。（3）第3次反射記第

29、3次入射線向量，此時(shí)是反射面，則反射向量為 。 同樣依靠的第2分量判別其指向，并決定后續(xù)反射的方向。（4）第4次反射記第4次入射線向量，此時(shí)是反射面，則反射向量為。 可以用歸納法證明：若存在第次反射，則反射向量為 。 因?yàn)榉瓷湎蛄柯湓诩馀鼉?nèi),光線方向向上，與豎直線夾角小于等于，則無(wú)法再反射（不考慮由于尖劈高度不夠所造出的無(wú)法反射） 即 等價(jià)于 即 ，又因?yàn)?gt;，所以是只發(fā)生n次反射的充分條件。這樣，可得出最大反射次數(shù) ， 其中是射向角。這個(gè)結(jié)果與前面的幾何方法是一致的（不考慮劈高無(wú)法準(zhǔn)確求出反射次數(shù)）。 還可以有簡(jiǎn)單的方法，利用反射定律，入射線的延長(zhǎng)線和反射線關(guān)于反射面對(duì)稱，可以將光線在尖

30、劈內(nèi)多次反射的過(guò)程等價(jià)為直線在一個(gè)被分割為若干個(gè)相同扇形的半圓中前進(jìn)的情況。圖7光線在尖劈空間多次反射延拓圖如圖7所示，假設(shè)光線在一個(gè)尖劈內(nèi)發(fā)生多次反射后離開(kāi)尖劈，入設(shè)點(diǎn)為P0,第一次反射點(diǎn)是P1,第二次反射點(diǎn)是P2，扇形P0OP1表示尖劈。則可以將扇形P0OP1 如圖7所示作延拓，將尖劈繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得扇形P0OP1旋轉(zhuǎn)后的左邊界與原來(lái)的右邊界重合，重復(fù)這個(gè)過(guò)程可以延拓成半圓。則入射光線在尖劈中的反射過(guò)程P0-P1-P2 等價(jià)于入射光線在半圓內(nèi)沿直線P0-P1-P2傳播，我們稱直線P0-P1-P2 為“虛像傳播直線”。P2是對(duì)應(yīng)第二次反射點(diǎn)的虛像，P3是對(duì)應(yīng)第三次反射點(diǎn)的虛像，Pn是

31、對(duì)應(yīng)第n次反射點(diǎn)的虛像，P0P1與半圓相交于P點(diǎn)，PnP是出射線的虛像。該直線跑出半圓就等價(jià)于入射光線反射出尖劈。所以反射次數(shù)就可以由“虛像傳播直線”與多少個(gè)扇形的右邊界相交來(lái)決定，而且出射綫的方向也可以由入射線方向及“虛像傳播直線”和真實(shí)出射線的關(guān)系決定。虛像和原像的關(guān)系可以概括如下：記扇形P0OP1 為第0塊扇形區(qū)域，扇形P1OP2為第1塊扇形區(qū)域，以下類推。當(dāng)P點(diǎn)所在的扇形是偶數(shù)2k塊時(shí)，將該區(qū)域逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)4k，則與第0塊扇形區(qū)域重合，PnP將與出射線重合，真實(shí)光線經(jīng)OP0反射出尖劈。當(dāng)P點(diǎn)所在的扇形是奇數(shù)2k-1塊時(shí)，將該區(qū)域逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)(4k-4) 與第1塊扇形區(qū)域重合，則PnP將與出

32、射線關(guān)于OP1對(duì)稱, 真實(shí)光線經(jīng)OP1反射出尖劈。圖8扇形延拓法示意圖根據(jù)圖8，由反射定律，=,而由對(duì)頂角相等，故又因?yàn)椋?是公共邊。因此 ，故，因?yàn)榧辞懊嫣岬降?，而也等于，加之，所以有，因此，類似由三角形兩邊夾一角相等，三角形全等，又有，因此，由,k=1,2,3, ，其中是真實(shí)的反射點(diǎn)，是“虛像傳播直線”與半徑的交點(diǎn)，據(jù)此可推出“虛像傳播直線”經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)或與真實(shí)光線完全重合或與真實(shí)光線關(guān)于對(duì)稱。由上述關(guān)系，光線在尖劈內(nèi)反射的次數(shù)（過(guò)劈頂?shù)牟挥?jì)）等于“虛像傳播直線”與半圓間隔角為的半徑相交的次數(shù)。各次反射的入射角等于“虛像傳播直線”與半圓上述半徑所生成夾角（等于特征角）與之差的絕對(duì)值，即，出射線

33、的方向，當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)為，因?yàn)槿肷鋾r(shí)向下為正，出射時(shí)向上為正，所以要減去，加是因?yàn)樾D(zhuǎn)后重合。當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)為 。減去，加的理由同上，先用減去，然后再是關(guān)于豎軸做對(duì)稱，是因?yàn)閼?yīng)該關(guān)于對(duì)稱，而前面做法是關(guān)于豎軸對(duì)稱。上面討論的光線從尖劈的頂點(diǎn)射入的情況，如果從高于尖劈頂點(diǎn)位置射入又是什么結(jié)果？用幾何的方法或者半圓延拓的方法都是容易解決的。先討論幾何的方法。設(shè)從尖劈頂點(diǎn)B射入的光線反射的次數(shù)為N,由公式，知過(guò)點(diǎn)A的光線AC的反射次數(shù)不會(huì)多于與之平行經(jīng)過(guò)尖劈頂點(diǎn)B的光線BD的反射次數(shù)，即小于等于n。設(shè)CG是光線AC的反射線，過(guò)尖劈的另一頂點(diǎn)E作光線EF平行于CG，根據(jù)相同的理由過(guò)點(diǎn)E的光線EF的反射次數(shù)

34、不會(huì)多于與之平行經(jīng)過(guò)C的光線CG的反射次數(shù)。前已證明CG的特征角比AC的特征角大，根據(jù)反射次數(shù)的公式，當(dāng)入射角增加時(shí)EF的反射次數(shù)為n-2,但光線AC在C點(diǎn)已經(jīng)反射一次，故光線AC的反射次數(shù)至少為n-1。若用半圓延拓方法討論，由圖8一族平行光線進(jìn)入尖劈，顯然相差最大的兩條光線分別從，的左邊射入（射向無(wú)法產(chǎn)生反射），兩交點(diǎn)間弦長(zhǎng)小于，由于平行線截同一圓的兩條弦長(zhǎng)相等，所以兩條“虛像傳播直線”與半圓另外兩個(gè)交點(diǎn)之間距離小于，即小于圓心角所對(duì)應(yīng)的弦長(zhǎng)，因此最多與半圓內(nèi)頂角為的扇形的邊相交的次數(shù)少一個(gè)，與幾何方法的結(jié)論相同。由此可知，尖劈的吸波效果與頂角有關(guān)，而與尖劈的高度幾乎沒(méi)有什么關(guān)系，可以選擇最

35、容易制作的尖劈高度以節(jié)省表面的制作費(fèi)用。我們就是要讓數(shù)學(xué)建模發(fā)揮這樣的作用。二 三維情況下尖劈形吸波體的性能分析尖劈實(shí)際上是三維的立體，前面因?yàn)楣饩€垂直于尖劈的頂部直線而簡(jiǎn)化為二維平面問(wèn)題，所以前面討論的只是三維情況的特例。當(dāng)入射光線與尖劈的頂部直線不垂直時(shí)，每條反射線與尖劈的兩個(gè)面的交點(diǎn)處的法線既不平行也不相交，因此光線在尖劈內(nèi)多次反射的過(guò)程不在同一個(gè)平面內(nèi)。不僅如此，反射角和出射線方向都與二維情況有很大的不同。首先還是采用幾何方法。如果能夠?qū)⑷S情況轉(zhuǎn)化為前已研究過(guò)的平面問(wèn)題就容易求解了。當(dāng)然從三維向二維簡(jiǎn)化最簡(jiǎn)單的方法就是投影?？紤]向垂直于尖劈頂部直線的平面做投影。先證明投影后情況與前面

36、討論的光線在垂直于尖劈頂部直線的平面內(nèi)的情況相似，相鄰?fù)队爸g符合反射定律，而且二維的投影反射點(diǎn)與真實(shí)反射點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，所以投影前后光線在尖劈內(nèi)的反射次數(shù)相同。進(jìn)而可以證明各段反射光線與尖劈頂部直線即X軸夾角保持為常數(shù)，根據(jù)在垂直于尖劈頂部直線的平面內(nèi)的反射線的投影可以求出真實(shí)反射線的方向和功率大小。這樣三維問(wèn)題就用幾何方法完全解決了。因?yàn)榉瓷渚€與入射線關(guān)于過(guò)入射點(diǎn)的反射面法線對(duì)稱，過(guò)入射點(diǎn)的平行于尖劈頂部直線即X軸的直線關(guān)于過(guò)入射點(diǎn)的反射面法線也對(duì)稱，所以各段反射光線與尖劈頂部直線即X軸形成對(duì)稱圖形，夾角始終相等，因此是常數(shù)。因?yàn)榉瓷涿娴姆ň€垂直于尖劈頂部即X軸，投影后保持不變，反射線與入射線

37、向垂直于尖劈頂部直線的平面做投影后仍然關(guān)于反射面的法線對(duì)稱，所有相鄰?fù)队爸g符合反射定律，投影后情況與前面討論的光線在垂直于尖劈頂部直線的平面內(nèi)的情況相似。因?yàn)檎鎸?shí)的反射點(diǎn)x坐標(biāo)不同，所以真實(shí)的反射點(diǎn)投影后點(diǎn)數(shù)不會(huì)增加，又因?yàn)橥队昂髖、z坐標(biāo)沒(méi)有變化，如果投影之間重合，由于光線總在尖劈兩個(gè)面之間來(lái)回地反射，尖劈不是黑洞，一定是原路返回，因此仍然可以區(qū)分。所以投影前后光線在尖劈內(nèi)的反射次數(shù)相同。具體的計(jì)算公式見(jiàn)下面代數(shù)方法。其次利用“虛像傳播直線”方法，推廣到三維空間，我們將反射模型延拓為“虛像傳播直線”在無(wú)限長(zhǎng)的半圓柱體內(nèi)傳播的問(wèn)題。如圖9、圖10所示，入射光線以射向角和方位角射入尖劈空間，可

38、以延拓為以射向角和方位角射入一個(gè)以尖劈面為基礎(chǔ)延拓生成的半圓柱體中按直線前進(jìn)的情況來(lái)討論。圖9三維空間延拓 圖10三維延拓的無(wú)限長(zhǎng)半圓柱類似于二維的模型，入射光線在尖劈空間中的多次反射過(guò)程P0-P1-P2等價(jià)于入射光線在半圓柱體內(nèi)沿著直線傳播，即傳播過(guò)程為 我們?nèi)匀环Q之為“虛像傳播直線”，入射光線發(fā)生多次反射的尖劈空間是個(gè)底面為圓心角為2的扇形柱體，扇形柱體的高的方向是x軸，扇形柱體的半徑就是尖劈底面等腰三角形的腰。關(guān)于等價(jià)的含義也類似于二維情況，即記“虛像傳播直線”與半圓柱體的圓柱面的交點(diǎn)為P，扇形柱塊P0OP1 為第0塊扇形柱塊，扇形柱塊P1OP2為第1塊扇形柱塊，以下類推。當(dāng)點(diǎn)所在的扇形

39、柱塊是偶數(shù)2k塊時(shí)，將該柱塊繞x軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)4k，則與第0塊扇形柱塊重合，與重合，當(dāng)點(diǎn)所在的扇形柱塊是奇數(shù)2k-1塊時(shí)，將該柱塊繞x軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)(4k-4) ，則與第0塊扇形柱塊關(guān)于OP1面對(duì)稱，與關(guān)于OP1面對(duì)稱。當(dāng)P點(diǎn)所在的扇形柱塊是偶數(shù)2k塊時(shí)，將該柱塊繞x軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)4k，則與第0塊扇形區(qū)域重合，PnP將與出射線重合，真實(shí)光線經(jīng)OP0面反射出尖劈。當(dāng)P點(diǎn)所在的扇形柱塊是奇數(shù)2k-1塊時(shí)，將該柱塊繞x軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)(4k-4) ，則與第0塊扇形柱塊關(guān)于OP1面對(duì)稱， PnP也與出射線關(guān)于OP1面對(duì)稱, 真實(shí)光線經(jīng)OP1面反射出尖劈。因此“虛像傳播直線”到達(dá)半圓柱體外就對(duì)應(yīng)入射光線運(yùn)動(dòng)出尖劈

40、空間，光線在尖劈空間內(nèi)反射多少次就等于“虛像傳播直線”與多少個(gè)由圓柱體軸與圓心角為2 的扇形半徑生成的平面Mk相交。而反射角、出射方向、功率衰減等也可以根據(jù)旋轉(zhuǎn)與對(duì)稱關(guān)系求出來(lái)。下面對(duì)上述結(jié)論給出證明。根據(jù)二維情況的證明，要證明上述結(jié)論，只要證明光線的真實(shí)反射點(diǎn)與“虛像傳播直線”與半圓柱體的圓柱面的對(duì)應(yīng)的交點(diǎn)的x坐標(biāo)對(duì)應(yīng)相等，因?yàn)閥、z坐標(biāo)已經(jīng)證明是相同的。根據(jù)二維情況的結(jié)論，各段反射線與對(duì)應(yīng)的入射線及其延長(zhǎng)線在垂直于尖劈頂部直線的平面上的投影長(zhǎng)度對(duì)應(yīng)相等，加之各段反射光線與尖劈頂部直線即X軸夾角保持為常數(shù)，因此相同的投影長(zhǎng)度乘上相同的夾角的余切，得到各段反射線與相應(yīng)入射線及其延長(zhǎng)線各部分端點(diǎn)

41、的x坐標(biāo)總對(duì)應(yīng)相等。由投影圖，P2k與繞x軸旋轉(zhuǎn)4k后重合，現(xiàn)在P2k與的x坐標(biāo)也相同，因此在三維空間P2k與繞x軸旋轉(zhuǎn)4k后也是重合的。由投影圖，P2k+1與繞x軸旋轉(zhuǎn)4k后關(guān)于OP1對(duì)稱，現(xiàn)在P2k+1與的x坐標(biāo)也相同，因此在三維空間P2k+1與繞x軸旋轉(zhuǎn)4k后關(guān)于OP1面對(duì)稱。三維情況也可以用代數(shù)方法求解。圖11三維空間的幾個(gè)角度設(shè)入射光線的負(fù)方向與z軸正向夾角，x軸正向與入射光線在xoy平面上投影的夾角為方位角。入射光線的方向向量為在yoz平面上的投影向量為則 則入射光線投影關(guān)于z軸的方位角因此反射次數(shù)由二維情況結(jié)論是。當(dāng)n=2k時(shí)，前已討論應(yīng)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)4K，對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矩陣是前面推導(dǎo)的

42、k個(gè)與k個(gè)矩陣的間隔相乘，根據(jù)x方向沒(méi)有變化，再轉(zhuǎn)化成三維矩陣。設(shè)為出射線與z軸正方向的夾角，則可以計(jì)算為： 設(shè)為出射線在xOy平面上的投影與x軸正方向的夾角，則可以計(jì)算為：在平面投影為計(jì)算為：，將逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度，得到，再將關(guān)于和x軸組成的平面做對(duì)稱，即可得出射波線向量，計(jì)算過(guò)程如下：同上可計(jì)算為：和x軸組成的平面的法向量可計(jì)算為：將關(guān)于和x軸組成的平面做對(duì)稱：其中第一個(gè)分量立得，第二個(gè)分量由以下計(jì)算得到：2(cos)2第三個(gè)分量由以下計(jì)算得到：2sin2射向角的計(jì)算方法同n=2k時(shí)，方位角可計(jì)算如下：在平面投影為結(jié)論：綜合反射次數(shù)n為奇數(shù)和偶數(shù)的情況，反射波出射角分為射向角和方位角，射向角可

43、以一般地表示為方位角可以一般地表示為。其中： ， 出射波線功率入射光線的方向用向量表示為，OPk與x軸生成平面的法向量可以表示為：入射光線的相反向量與該反射面的法向量之間夾角即為第k次反射的入射角。第k次反射時(shí)斜反射率為出射光線的功率為結(jié)論：出射光線功率可以一般地表示為三 關(guān)于功率的衰減光線在尖劈多次反射會(huì)造出功率衰減，題目中指出了垂直反射率為，當(dāng)光線不與反射面垂直時(shí)即斜入射時(shí)的反射率滿足余弦法則，即其中為入射角?，F(xiàn)在看這個(gè)近似表述是不嚴(yán)格的，甚至從字面理解有誤導(dǎo)。實(shí)際上在余弦法則中，其核心思想是將光線分解為分別垂直、平行于反射面的兩部分，其中垂直于反射面的部分按垂直反射率衰減，而平行于反射面

44、的部分可以視為未進(jìn)入反射面，因此保持不變。否則會(huì)產(chǎn)生入射角越大，光線越接近平行于反射面，則光線能量衰減得越厲害，甚至當(dāng)900時(shí)0，光線并沒(méi)有進(jìn)入反射面，卻能量衰減為零，與事實(shí)嚴(yán)重不符。在競(jìng)賽中雖然曾經(jīng)有研究生隊(duì)答疑時(shí)在網(wǎng)上提出過(guò)這個(gè)問(wèn)題，然而在獲獎(jiǎng)的研究生隊(duì)中卻幾乎沒(méi)有發(fā)現(xiàn)，說(shuō)明在研究生中大膽質(zhì)疑的精神還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠。四 評(píng)價(jià)微波暗室效果的簡(jiǎn)單模型題目的第二問(wèn)是個(gè)困難的、但又是非常實(shí)際而且重要的課題。因?yàn)槭俏⒉ò凳遥ㄩL(zhǎng)比光波長(zhǎng)得多，因此微波經(jīng)過(guò)墻壁反射后不再是簡(jiǎn)單地反射，而是按照惠更斯原理，在接觸點(diǎn)沿各個(gè)方向都產(chǎn)生射線 ，形成一個(gè)余弦輻射體。這樣一條微波射線碰到障礙物后就變成無(wú)窮多條微波射線，每

45、條射線長(zhǎng)度取每條射線的強(qiáng)度就形成一個(gè)球。不僅如此，由于暗室表面不可能吸收全部的微波能量，總會(huì)有部分微波再次輻射出來(lái)，這個(gè)過(guò)程不是一次、兩次、有限次就結(jié)束的，理論上可以進(jìn)行無(wú)窮多次輻射，僅僅是射線的能量迅速趨向于零。由此看來(lái)這是一個(gè)有無(wú)窮多個(gè)余弦輻射體的、經(jīng)過(guò)無(wú)窮多次輻射的、無(wú)窮多點(diǎn)、無(wú)窮多射線、無(wú)窮多項(xiàng)迭加的問(wèn)題。猛一看是太難了，但越是困難的問(wèn)題就越可能蘊(yùn)含著豐富的創(chuàng)造性。這次競(jìng)賽的情況反映研究生中有少數(shù)研究生創(chuàng)造性不差，但是這批人在研究生中的比例不大，需要通過(guò)深入開(kāi)展研究生的數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)讓更多的研究生培養(yǎng)出創(chuàng)造性。其實(shí)對(duì)于這個(gè)表面上看似非常困難的問(wèn)題，就有一些具有一定的創(chuàng)造性的解決方法。為了

46、解決在兩種垂直反射率分別是0.5和0.05之下，判斷微波暗室能否符合技術(shù)要求，本質(zhì)上并不要求徹底解決微波傳輸?shù)娜^(guò)程。研究生們受解決書本上的問(wèn)題和純理論問(wèn)題的影響，習(xí)慣于徹底解決問(wèn)題的思維模式。殊不知這一思維模式如果能夠解決問(wèn)題自然是既有價(jià)值，又畢其功于一役，但實(shí)際上這種思路可能將問(wèn)題提高到非常困難甚至無(wú)法解決的程度，不是解決問(wèn)題的好方法。上述思維方式是與數(shù)學(xué)建模所倡導(dǎo)的實(shí)事求是、具體問(wèn)題具體分析、注重創(chuàng)造性的思維模式背道而馳的。由于天線直接投射到靜區(qū)的微波功率是很容易計(jì)算的，因此只要估計(jì)在垂直反射率是0.5或0.05條件下，靜區(qū)接受通過(guò)暗室六個(gè)面輻射過(guò)來(lái)的全部微波功率是否達(dá)到或超過(guò)直接投射功

47、率的3%就解決或回答了問(wèn)題，確保不超過(guò)或確保超過(guò)3%都是解決了問(wèn)題。因此從題目的要求看，并不需要精確求出通過(guò)暗室六個(gè)面輻射到靜區(qū)的全部微波功率，一味追求高精度有時(shí)實(shí)際上是一種浪費(fèi)。如同近似計(jì)算中分?jǐn)?shù)一定用無(wú)限循環(huán)小數(shù)代替一樣不可取。我們首先考慮垂直反射率是0.5的情況，僅計(jì)算從天線經(jīng)過(guò)暗室墻壁一次反射輻射到靜區(qū)的微波功率，就發(fā)現(xiàn)已經(jīng)超過(guò)從天線直接輻射到靜區(qū)功率的14%，顯然多次反射一定讓靜區(qū)接受到更多的功率，使百分比更大，所以得出結(jié)論：垂直反射率是0.5的微波暗室不符合技術(shù)要求。再考慮垂直反射率是0.05的情況，計(jì)算經(jīng)暗室墻壁一次反射輻射到靜區(qū)的微波能量和從天線直接輻射到靜區(qū)的微波能量，兩者的

48、比值大約是0.017（暗室墻壁被劃分成若干個(gè)小區(qū)域，小區(qū)域的大小對(duì)此有一些影響）。由于垂直反射率為0.05，按定義經(jīng)過(guò)一次反射微波能量至少被吸收掉95%，剩下不到5%，因此相鄰兩次反射的總能量之比不大于0.05，按常理推斷，經(jīng)過(guò)暗室墻壁二次反射輻射到靜區(qū)的微波能量與經(jīng)暗室墻壁一次反射輻射到靜區(qū)的微波能量之比應(yīng)該也不超過(guò)0.05。由此類推經(jīng)過(guò)暗室墻壁多次反射輻射到靜區(qū)的微波能量序列各項(xiàng)不超過(guò)一個(gè)首項(xiàng)相同但公比為0.05的等比序列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)。而后者的所有各項(xiàng)的和是有計(jì)算公式的，因此經(jīng)過(guò)暗室墻壁無(wú)窮多次反射輻射到靜區(qū)的微波能量總和小于等于這個(gè)公比為0.05的等比序列的各項(xiàng)總和。容易估計(jì)經(jīng)過(guò)暗室墻壁多次

49、反射輻射到靜區(qū)的微波能量總和的上界和與從天線直接輻射到靜區(qū)的微波能量之比為0.017/(1-0.05)=0.0176<0.03。有近一倍的安全系數(shù)，到此我們可以判定垂直反射率為0.05時(shí)微波暗室滿足技術(shù)要求。上述思路并不復(fù)雜，計(jì)算也不困難，雖然精度不高，卻能夠正確回答題目所提的問(wèn)題，其中的數(shù)學(xué)建模思想值得研究生很好地掌握。五 關(guān)于輻射功率的計(jì)算輻射的微波能量應(yīng)該怎樣計(jì)算？這個(gè)問(wèn)題表面上并不復(fù)雜，由于理解不同，在競(jìng)賽中研究生們推導(dǎo)出來(lái)的公式可以說(shuō)五花八門，幾乎都有不太準(zhǔn)確的地方，加上精度上的差別，因此在最終結(jié)果中鮮有答案相同的，值得詳細(xì)推導(dǎo)。題目中介紹了輻射強(qiáng)度、輻射照度、還有輻射出射度，

50、它們之間是什么關(guān)系？距離平方反比余弦定律適用于什么物理概念？需要什么條件？如果微波傳播過(guò)程當(dāng)中發(fā)生反射是否繼續(xù)適用？但很少研究生進(jìn)行認(rèn)真討論，影響解決實(shí)際問(wèn)題，這方面暴露出來(lái)的問(wèn)題與研究生自學(xué)能力密切相關(guān)。討論微波暗室的效率應(yīng)該抓住功率。題目要求的比率就是功率之比。無(wú)論從天線直接輻射到靜區(qū)的微波能量，還是經(jīng)暗室墻壁多次反射輻射到靜區(qū)的微波能量都與功率有關(guān)，因?yàn)楣β食松蠒r(shí)間就是能量。輻射有方向，能量沒(méi)有方向，因而才具有可比性。由于輻射強(qiáng)度、輻射照度、還有輻射出射度都是中間變量，為了求功率應(yīng)該通過(guò)輻射通量來(lái)過(guò)渡。輻射強(qiáng)度要通過(guò)對(duì)立體角積分得出輻射通量，輻射照度要通過(guò)對(duì)面積進(jìn)行積分得出輻射通量。輻射

51、通量是單位立體角內(nèi)的微波的功率，對(duì)立體角積分時(shí)輻射強(qiáng)度要取沿著表面法線方向。關(guān)于輻射功率的計(jì)算，主要分成以下幾個(gè)子問(wèn)題：1.入射功率與反射功率的數(shù)量關(guān)系；2. 輻射強(qiáng)度到輻射照度的轉(zhuǎn)換；3. 輻射照度到輻射強(qiáng)度的轉(zhuǎn)換。一束微波輻射到墻面上一點(diǎn)后其射線方向覆蓋半個(gè)空間，反射波球的能量遵循余弦輻射體分布，將形成一個(gè)反射波球。把入射角記作，垂直反射率記作，入射微波束的功率in和反射波球在各個(gè)方向上的功率之和（即反射通量）之間滿足以下的反射方程（是否有余弦因子牽涉到對(duì)余弦法則的理解，沒(méi)有余弦因子也是可以的）： 由于反射方向覆蓋半個(gè)空間，遵循余弦輻射體分布，一個(gè)方向上的反射輻射強(qiáng)度為： 式中，是反射面法

52、線方向的輻射強(qiáng)度，是要計(jì)算的反射方向與法向的夾角， 0i/2。反射波球的總通量可以用輻射強(qiáng)度在單位半球面上的積分表示：out=0202INcosisinidid=IN從上面三個(gè)式子可以得到入射功率in和法向反射的輻射強(qiáng)度IN之間在余弦輻射體條件下有如下關(guān)系： 由于不同的入射微波束產(chǎn)生的反射都遵循余弦輻射體，又因?yàn)樵谕稽c(diǎn)法向相同，這些反射微波可以進(jìn)行疊加（這里沒(méi)有考慮相位問(wèn)題）。由條入射波束產(chǎn)生的反射波球的法向輻射強(qiáng)度與入射通量之間滿足如下平衡方程： 至于輻射強(qiáng)度到輻射照度的轉(zhuǎn)換遵循距離平方反比余弦定律。點(diǎn)源的法向反射輻射強(qiáng)度記作。當(dāng)點(diǎn)源q發(fā)出的微波輻射到微小區(qū)域，根據(jù)惠更斯原理則被照射的區(qū)域

53、變成了面微波源，記由引起的微小區(qū)域的法向反射輻射強(qiáng)度為（微小區(qū)域足夠小，視為點(diǎn)源），微小區(qū)域的輻射照度為，將和的中心點(diǎn)連線與墻壁在處的法線的夾角為q,k；將點(diǎn)源輻射到微小區(qū)域上的微波通量記作q,k。對(duì)微小區(qū)域k內(nèi)點(diǎn)的反射輻射照度進(jìn)行積分，由于微小區(qū)域內(nèi)各點(diǎn)的法向反射照度幾乎相等，積分即乘微小區(qū)域的面積，根據(jù)前面推導(dǎo)的反射方程，反射出來(lái)的輻射通量等于照射過(guò)來(lái)的輻射通量乘上反射率及相應(yīng)夾角的余弦，得到以下等式： 式中，表示微小區(qū)域k的面積dAk關(guān)于q點(diǎn)的立體角（單位球面上的投影面積）；為輻射源q朝著點(diǎn)k方向的輻射強(qiáng)度，符合余弦輻射體模型。和的表達(dá)式如下：式中表示點(diǎn)q到區(qū)域k的中心點(diǎn)的距離，。 由于微小區(qū)域k的面積足夠小，可以作為點(diǎn)源處理，分別按輻射強(qiáng)度和輻射照度計(jì)算輻射通量應(yīng)該是相等的，即。右邊是利用以上剛獲得的結(jié)論。將后式帶入前式，即可得到由點(diǎn)源q引起的微小區(qū)域k的法向反射輻射強(qiáng)度的表達(dá)式：當(dāng)q=k時(shí)，上式中系數(shù)=0；當(dāng)時(shí)，的表達(dá)式如下：按照同樣的方法，可以得到天線r的輻射在區(qū)域k上產(chǎn)生的反射通量的表達(dá)式，如下：其中，表示天線r的輻射在微小區(qū)域k上產(chǎn)生的法向反射輻射強(qiáng)度；表示天線r的法向輻射強(qiáng)度；系數(shù)和有關(guān)，當(dāng)時(shí)，,當(dāng)>0時(shí)，的表達(dá)式如下：上式中，是微小區(qū)域k的中心點(diǎn)和天線r的連線與k的法線的夾角；是微小區(qū)域k的中心點(diǎn)和天線r的連線與r的發(fā)射方向的夾角；是微小