2020年浙江高考數學一輪復習：兩條直線的位置關系

1、必過數材美必過數材美1. 兩條直線平行與垂直的判定(1) 兩條直線平行：1對于兩條不重合的直線 11, 12，若其斜率分別為 ki, k2,則有 I1/I2? ki= k2.一- -2當直線 l1, l2不重合且斜率都不存在時，I1/ 12.(2) 兩條直線垂直：1如果兩條直線 I1,I2的斜率存在，設為k1, k2,則有 l1丄 l2?k1k2=- 1.2當其中一條直線的斜率不存在，而另一條直線的斜率為0 時，I1丄 I2.2. 兩條直線的交點的求法直線 I1: A1X + B1y+ C1= 0, I2: A2X + B2y+ C2= 0,貝 U I1與 I2的交點坐標就是方程組1=0,的解

2、.A2X + B2y+ C2=03.二種距離公式P1( (X1, y1), P2(x2, y2) )兩點之間的距離|P1P2| =P( (X2X1 f+(y2-y1丫點 Po(xo, yo)到直線 I: Ax + By+ C = 0 的距離|Ax+By+C|d=VATP平行線 Ax+ By + C1= 0 與 Ax + By+ C2= 0 間距離1C1C21d=VAB1 2小題體驗1 (2018 金華四校聯考) )直線 2x+ (m + 1)y+ 4= 0 與直線 mx+ 3y- 2 = 0 平行，則 m=( )A. 2B.- 3C. 2 或3D. -2 或3解析：選 C 直線 2x + (m

3、+ 1)y+ 4= 0 與直線 mx + 3y- 2 = 0 平行，二 _ =mJ1工-4; m 3 2解得 m= 2 或一 3.2 “a =丁丁” 是直線( (a+ 1)x + 3ay+ 1 = 0 與直線(a- 1)x+ (a+ 1)y- 3 = 0 相互垂直”的兩條直線的位置關系第竜1 逼野閤一簡野風一餐金同廁導醪也A1X + B+ C( )A .充分不必要條件B.必要不充分條件C 充要條件D 既不充分也不必要條件解析：選 A 由直線(a + 1)x+ 3ay+ 1 = 0 與直線( (a 1)x+ (a+ 1)y 3 = 0 相互垂直，得211(a+ 1)(a 1) + 3a(a+ 1

4、) = 0，即 4a + 3a 1 = 0,解得 a = &或一 1,“a = 4” 是直線(a +1)x+ 3ay+ 1= 0 與直線(a 1)x+ (a + 1)y 3 = 0 相互垂直”的充分不必要條件，故選A.3. (2018 浙江五校聯考) )已知動點 P 的坐標為(x,1 x), x R,則動點 P 的軌跡方程為， 它到原點距離的最小值為 _.解析：設點 P 的坐標為( (x, y),貝 U y= 1 x,即動點 P 的軌跡方程為 x + y 1 = 0.原點到直線 x + y 1 = 0 的距離為 d=|0111=當，即為所求原點到動點P 的軌跡的最小值. 0)與直線 S

5、：2x + 6y 3= 0 的距離為-10,則 m =()17A 7B.2C. 14D. 17解析：選 B 直線 11： x + 3y+ m = 0(m0)，即 2x+ 6y+ 2m= 0,因為它與直線 12： 2x+ 6y 3= 0 的距離為寸 10,所以 1( (+ 3| =寸彳 0，解得 m=X/4 + 362考點一兩條直線的位置關系( (基礎送分型考點自主練透) )題組練透1.已知 0,直線 ax+ (b+ 2)y+ 4= 0 與直線 ax+ (b 2)y 3 = 0 互相垂直，則 ab 的 最大值為( () )A. 0B. 2C. 4D. ,2解析：選 B 若 b= 2,兩直線方程分

6、別為 y= ax 1 和 x= ,此時兩直線相交但不垂4a直.若b=-2，兩直線方程分別為x=-4和y=ax-3，此時兩直線相交但不垂直.若b,兩直線方程分別為y=b+2xb+2 和y=-b2x+ b2，此時兩直線的斜率分別為- -1 = 1,得 a2+ b2= 4.因為 a2+ b2= 4 2ab,所以 ab 2, b+2b 2且當 a= b= .2 或 a= b= ,2 時取等號，故 ab 的最大值為 2.2. (2018 諸暨模擬) )已知 a, b 為正數，且直線 ax+ by 6= 0 與直線 2x+ (b 3)y+ 5 = 0 平行，則 2a+ 3b 的最小值為_ .解析：由兩直線

7、平行可得，a(b 3)= 2b,即 2b+ 3a= ab,2+3= 1.又 a, b 為正數，所a b6；+13+ 2弓型=25,當且僅當 a= b= 5 時取等b a； b a號，故 2a+ 3b 的最小值為 25.答案：253.已知兩直線 11： mx + 8y+ n = 0 和“：2x+ my 1= 0,試確定 m, n 的值，使 (1)11與 12相交于點 P(m, 1);11/ 12；( (3)112，且 11在 y 軸上的截距為一 1.m2 8+ n = 0,解：( (1)由題意得|2m m 1 = 0,解得 m= 1, n= 7.即 m= 1, n= 7 時，l1與 l2相交于點

8、 P(m, 1).m= 4, 解得h* 2即 m= 4, n* 2 或 m= 4, n * 2 時，11/ 12.,-，由ab+2 2b 2以 2a+ 3b= (2a+ 3b) +半半=13+(2) / l1/l2,m216=0,m2nM0,m = 4,In* 2.2 =(3)當且僅當 2m+ 8m= 0, 即m= 0 時，h 丄 12.又8 = 1, n= 8.即 m= 0, n= 8 時，h 丄 l2, 且li在 y 軸上的截距為一 1.謹記通法1.已知兩直線的斜率存在，判斷兩直線平行垂直的方法(1)兩直線平行？兩直線的斜率相等且在坐標軸上的截距不等;(2)兩直線垂直？兩直線的斜率之積等于

9、- 1.提醒當直線斜率不確定時，要注意斜率不存在的情況.2.由一般式確定兩直線位置關系的方法直線方程I1:A1X+B1y+C1=0（A：+0）I2:A2X+B2y+C2=0（A2+B20）I1與 I2垂直的充要條件A1A2+BJB2=0I1與 I2平行的充分條件A=B工C（A2B2C2M0）A2B2C2I1與 I2相交的充分條件A? B2（A2盼0）I1與 I2重合的充分條件A2=B2=C2（A2B26K0）提醒在判斷兩直線位置關系時，比例式 A1與哉，貝的關系容易記住，在解答選A2B2C2擇、填空題時，建議多用比例式來解答.考點二距離問題重點保分型考點一一師生共研典例引領1. (2018 衢

10、州模擬) )若直線 11： x+ ay+ 6= 0 與 (a 2)x+ 3y+ 2a = 0 平行，則 h 與 I?間的距離為( () )A. 2C. 3解析：選 B因為/ 12，所以?工乎，解得 a = 1，所以 11: x y+ 6= 0, I2:3 2ax y+ 3= 0，所以 I1與 I2之間的距離 d =38.23 .2 =2._ 直線 3x+4y 3 = 0 上一點 P 與點 Q(2, - 2)的連線的最小值是 _.解析：點 Q 到直線的距離即為P, Q 兩點連線的最小值，_|3X2+4X(23|1min223 + 4答案：13.若直線 l 過點 P( 1,2)且到點 A(2,3)

11、和點 B( 4,5)的距離相等，則直線 l 的方程為解析：法一：當直線 l 的斜率存在時，設直線I 的方程為 y-2= k(x+ 1),即 kx y+ k+ 2= 0.|2k 3+ k + 2| | 4k 5+ k+ 2|由題意知廠2= -2一 ，1即|3k 1|= | 3k 3|,二 k = 3.1直線 l 的方程為 y 2= (x+ 1), 即卩 x+ 3y 5= 0.當直線 I 的斜率不存在時，直線I 的方程為 x= 1,也符合題意.故所求直線 I 的方程為 x + 3y 5 = 0 或 x = 1.法二：當 AB/ l 時，有 k= kAB= 1,31直線 l 的方程為 y 2= 3(

12、 (x+ 1), 即卩 x+ 3y 5= 0.當 l 過 AB 中點時，AB 的中點為( (一 1,4).直線 l 的方程為 x= 1. 故所求直線 l 的方程為 x + 3y 5 = 0 或 x = 1.答案：x+ 3y 5= 0 或 x = 1由題悟法處理距離問題的 2 大策略(1) 點到直線的距離問題可直接代入點到直線的距離公式去求.(2) 動點到兩定點距離相等，一般不直接利用兩點間距離公式處理，而是轉化為動點在 兩定點所在線段的垂直平分線上，從而使計算簡便.即時應用1.已知 P 是直線 2x 3y+ 6= 0 上一點，0 為坐標原點，且點 A 的坐標為( (一 1,1)，若|PO| =

13、|PA|，貝 U P 點的坐標為 _ .2a 3 b+ 6 = 0,解析：法一：設P(a,b)，則 k 社沁但+ 1 行卩仃,解得 a = 3, b=4.AP 點的坐標為(3,4).法二：線段 0A 的中垂線方程為 x y+ 1 = 0,2x 3y+ 6 = 0,x = 3,則由 i解得則 P 點的坐標為( (3,4).lx y+1= 0.Iy= 4,答案：(3,4)2.已知直線 l: ax+ y 1 = 0 和點 A(1,2), B(3,6).若點 A, B 到直線 l 的距離相等，則實數 a 的值為_ .解析：法一：要使點 A, B 到直線 I 的距離相等，則 AB /I,或 A, B 的

14、中點(2,4)在直線 I 上.62所以a=-= 2 或 2a + 4 1= 0,3解得 a= 2 或w法二：要使點 A, B 到直線 I 的距離相等,則制=幕，解得a=-2或2.答案：2 或2考點三對稱問題題點多變型考點一一多角探明鎖定考向對稱問題是高考?？純热葜?，也是考查學生轉化能力的一種常見題型. 常見的命題角度有：(1) 點關于點對稱；(2) 點關于線對稱；(3) 線關于線對稱.題點全練角度一：點關于點對稱1過點 P(0,1)作直線 I 使它被直線 11： 2x + y 8= 0 和 l2： x 3y+ 10= 0 截得的線段被 點P 平分，則直線 I 的方程為_ .解析：設 h 與

15、I 的交點為 A(a,8 2a),則由題意知，點 A 關于點 P 的對稱點 B( a,2a 6)在 I2上，把 B 點坐標代入 I2的方程 得a 3(2 a 6) + 10= 0,解得 a = 4,即點 A(4,0)在直線 I 上，所以由兩點式得直線I 的方程為 x+ 4y 4= 0.答案：x+ 4y 4= 02.已知直線 I： 2x 3y+ 1 = 0,點 A( 1, 2)，則直線 I 關于點 A( 1, 2)對稱的直線 I的方程為_ 解析：法一：在 I: 2x 3y+ 1 = 0 上任取兩點，如 M(1,1), N(4, 3), 則 M , N 關于點 A 的對稱點 M , N 均在直線

16、I上.易知 M ( 3, 5), N ( 6, 7),由兩點式可得 I的方程為 2x 3y 9= 0.法二：設 P(x, y)為 I上任意一點，貝 U P(x, y)關于點 A( 1, 2)的對稱點為 P ( 2 x,4 y),/ P在直線 I 上， 2( 2 x) 3( 4 y) + 1 = 0,即 2x 3y 9= 0.答案：2x 3y 9= 0角度二：點關于線對稱3.已知直線 1: 2x 3y+ 1 = 0,點 A( 1, 2).求：(1) 點 A 關于直線 I 的對稱點 A的坐標；(2) 直線 m：3x 2y 6= 0 關于直線 I 的對稱直線 m的方程.也X2=1,解:x+13(1)

17、設 A (x, y),則x1y22X23Xy2+1=0,(2)在直線 m 上取一點，女口 M(2,0),則 M(2,0)關于直線 I 的對稱點 M 必在直線 m上. 設 M (a, b),a+2 b+0 , 2X3X+則曰x2=1.a2 3解得M 13 器.設直線 m 與直線 I 的交點為 N ,2x 3y+ 1 = 0,則由得 N(4,3).3x 2y 6 = 0.又 m經過點 N(4,3),由兩點式得直線 m的方程為 9x 46y+ 102 = 0.33x=1?解得y=告 A匚 33 A)13 13 .1 = 0,角度三：線關于線對稱4.直線 2x y+ 3= 0 關于直線 x y+ 2=

18、 0 對稱的直線方程是( () )A. x 2y+ 3= 0B. x 2y 3 = 0C. x+ 2y+ 1 = 0D. x + 2y 1 = 0解析：選 A 設所求直線上任意一點P(x,y),則 P 關于 x y+ 2= 0 的對稱點為 P (x0,yo),x + x0由! 丁x X0由點 P(x0,y0) )在直線 2x y+ 3= 0 上， 2(y 2) (x+ 2) + 3= 0,即 x 2y+ 3= 0.通法在握1. 中心對稱問題的 2 個類型及求解方法(1) 點關于點對稱：x = 2a X1,若點 Mg, yj 及 N(x, y)關于 P(a, b)對稱，則由中點坐標公式得進而ly

19、= 2b y1,求解.(2) 直線關于點的對稱，主要求解方法是：1在已知直線上取兩點，利用中點坐標公式求出它們關于已知點對稱的兩點坐標，再由兩點式求出直線方程；2求出一個對稱點，再利用兩對稱直線平行，由點斜式得到所求直線方程.2. 軸對稱問題的 2 個類型及求解方法(1) 點關于直線的對稱：若兩點 P1( (X1, y1)與 P2( (X2, y2)關于直線 I : Ax + By + C = 0 對稱，由方程組A 寧 + B 嚀2+ C = 0，點(-1，可得到點 P1關于 I 對稱的點 P2的坐標( (X2, y2)(其中 B 工 0 , X1 X2).(2) 直線關于直線的對稱：一般轉化

20、為點關于直線的對稱來解決，有兩種情況：一是已知直線與對稱軸相交；二 是已知直線與對稱軸平行.今 + 2 = 0,X0= y 2,2得y0= X + 2 ,=y y,y演練沖關1.已知直線 y= 2x 是厶 ABC 中/C 的平分線所在的直線，若點 A, B 的坐標分別是( (一4,2), (3,1)，則點 C 的坐標為()即 6x-y-6= 0.答案：6x- y-6= 03.已知 ABC 中，頂點 A(4,5)，點 B 在直線 l: 2x- y+ 2=0 上，點A (-2,4)B. (-2,- 4)C (2,4)D (2, - 4)解析：選 C設 A( 4,2)關于直線 y= 2x 的對稱點為

21、(x, y),則-y 2二x2=-1,也=2X,2 2 解得x=4,y=- 2,、 2 1BC 所在直線的方程為 y 1 =(x 3)，即 3x+ y 10 = 0.4 3同理可得點B(3,1)關于直線 y= 2x 的對稱點為(1,3),32.AC 所在直線的方程為 y 2 =14 (x + 4),即 x 3y + 10 = 0.聯立3x + y 10= 0,x = 2,解得可得 C(2,4).x 3y+ 10= 0,y= 4,2.已知入射光線經過點M( 3,4),被直線 l：x y+ 3= 0 反射，反射光線經過點 N(2,6),則反射光線所在直線的方程為 _.解析：設點 M( 3,4)關于

22、直線1： x-y+ 3= 0 的對稱點為 M (a, b),則反射光線所在直線過點 M :所以b 41 =1a- 3,3+ a b+ 4+ 3 = 0,2 2解得 a= 1, b= 0.又反射光線經過點N(2,6),x1所以所求直線的方程為 匕2-1C 在 x 軸上，求A1與 A 關于直線 l: 2x-y+ 2= 0 對稱,4,2), (3,1)，則點 C 的坐標為() ABC 周長的最小值.解：設點 A 關于直線 l: 2x- y+ 2 = 0 的對稱點為關于 X 軸的對稱點為 A2(X2, y2),連接 A1A2交 I 于點 B, 則此時 ABC 的周長取最小值，且最小值為|人識2|.2卜

23、 2= 0,X1= 0,解得 A1(0,7).易求得 A2(4, 5),y1= 7. ABC 周長的最小值為|A1A2|= (4- 0$+ (- 5- 7$= 410.一抓基礎，多練小題做到眼疾手快1. (2018 浙江名校協(xié)作體聯考) )“a = 1 ”是“直線 ax+ 3y+ 3= 0 和直線 x + (a 2)y+ 1 = 0 平行”的( () )解析：選 D 由題可得，直線 I 是線段 AB 的垂直平分線因為 A(7, 4), B( 5,6),所以 kAB=5 一 7 = f，所以 kl=：.又因為 A(7, 4), B( 5,6)的中點坐標為( (1,1).所以直一 5x14x2=1

24、,yiA .充分不必要條件B.必要不充分條件C充要條件D .既不充分也不必要條件解析：選 C 因為直線 ax+ 3y+ 3= 0 和直線 x+ (a 2)y+ 1 = 0 平行的充要條件是a a2=3x1,t 廠解得 a= 1,故選 C.ax1 工 3x1,2. (2018 麗水調研) )已知直線 I1過點(2,0)且傾斜角為 30直線 I2過點(2,0)且與直線|1垂直，則直線 I1與直線 I2的交點坐標為( () )A. (3,3)C. (1,3)B. (2,3)D.V解析：選 C 直線 I1的斜率為 k1= tan 30。= ，因為直線 I2與直線 I1垂直，所以 k2=31 1=、3,

25、所以直線 I1的方程為 y= 3(x+ 2)，直線 I2的方程為 y= . 3(x 2).兩式聯立，解得“Ix=1廠 即直線 l1與直線 l2的交點坐標為(1，問.y= 3,3. (2018 諸暨期初) )已知點 A(7, 4)關于直線 I 的對稱點為 B( 5,6)，則該對稱直線 I 的方程為( () )A. 6x+ 5y 1 = 0B. 5x+ 6y+ 1= 0C. 5x 6y 1 = 0D.6x6線 I 的方程為 y 1 = (x 1)，即 6x 5y 1 =0.4.已知點 P(4, a)到直線 4x 3y 1 = 0 的距離不大于 3,則 a 的取值范圍是解析：由題意得，點 P 到直線

26、的距離為仆43Xa1L|15-3a|因為忖 3, 即5|15 3a|w15,解得 0 aw10,所以 a 的取值范圍是0,10.答案：0,105.若兩平行直線 3x 2y 1 = 0,6x+ ay+ c= 0 之間的距離為愛，則C的值是解析：依題意知，6=七工七,3 2 1解得 a = 4,CM 2,即直線 6x+ ay+C=0 可化為 3x 2y+亍亍=0,又兩平行直線之間的距離為,C+1卅-2-21f，解得C=2或-6.答案：2 或6所以保咼考，全練題型做到咼考達標1. (2018 舟山調研) )在直角坐標平面內，過定點 P 的直線 的直線 m：x ay+ 3= 0 相交于點 M，則|MP

27、 |2+ |M Q2的值為( (A 殛A. 2l: ax+ y 1 = 0 與過定點 QB. 10D. 10解析：選 D 由題意知 P(0,1), Q( 3,0),過定點 P 的直線 ax+ y 1 = 0 與過定點 Q 的直線 x ay+ 3 = 0 垂直, M 位于以 PQ 為直徑的圓上,|PQ = 9+ 1 =壓，|MP|2+M Q2=P Q2=10.2. (2018 慈溪模擬) )曲線 y= 2x x3在 x = 1 處的切線為 l,則點 P(3,2)到直線 l 的距離 為()()7 2A. 211 2c.T9、2B. 210D.10解析：選 A 由題可得，切點坐標為( (1, 1).

28、 y = 2 3x2,由導數的幾何意義可6知，該切線的斜率為k= 2- 3=- 1,所以切線的方程為x+ y+ 2 = 0.所以點 P(3,2)到直線 I的距離為 d=|3；茁?=乎.3. (2018 綿陽模擬)若 P, Q 分別為直線 3x+ 4y- 12= 0 與 6x + 8y+ 5= 0 上任意一點, 則|pq的最小值為1829D.y由題意可知| PQ 的最小值為這兩條平行直線間的距離,所以|PQ 的最小值為 29-.5. (2018 欽州期中) )已知直線 l 的方程為 f(x, y)= 0, Pg浙浙)和 P2( (X2,2) )分別為直線l 上和 I 外的點，則方程 f(x, y

29、)- f(x1, y1)-f(x2, y2)= 0 表示( () )A 過點 P1且與 I 垂直的直線B.與 I 重合的直線C .過點 P2且與 I 平行的直線D .不過點 P2,但與 I 平行的直線解析：選 C 由直線 I 的方程為 f(x, y)= 0，知方程 f(x, y)- f(X1, y“ f( (x2, y2)= 0 表 示與 I 平行的直線，P1( (X1, y1)為直線 I 上的點，貝 U f(x1, y1)= 0, f(x, y)- f( (x1, y1)-f( (x2, y2) = 0 化為 f(x ,y)- f(X2,y2) = 0,顯然P2( (X2,y2)滿足方程 f

30、(x , y)- f(X1, y1) f(X2,y2)= 0,所以 f(x, y)- f(x1, y1) - f(x2, y2) = 0 表示過點 P2且與 I 平行的直線.故選 C.解析：選 C因為 6=討于，所以兩直線平行,4. (2018 廈門模擬) )將一張坐標紙折疊一次,n)重合，則 m+ n 等于( () )使得點( (0,2)與點( (4,0)重合，點(7,3)與點( (m.3436B.y2832C亍亍解析：選 A 由題意可知，紙的折痕應是點(0,2)與點(4,0)連線的中垂線，即直線y= 2x-3,它也是點(7,3)與點(m, n)連線的中垂線,2 =2X導-3，解得則n 3

31、=1m-7=-2,3 m=531n=76已知三角形的一個頂點A(4, - 1)，它的兩條角平分線所在直線的方程分別為li： xy 1 = 0 和 12： x 1= 0，貝 y BC 邊所在直線的方程為 _ 解析：A 不在這兩條角平分線上，因此l1, I2是另兩個角的角平分線.點 A 關于直線 11的對稱點 A1，點 A 關于直線 12的對稱點 A2X1= 0, 解得 所以 A1( (0,3).y1=3，同理設 A2( (X2, y2) ),易求得 A2( ( 2, 1).所以 BC 邊所在直線方程為 2x y+ 3 = 0.答案：2x y+ 3= 07. (2018 余姚檢測) )已知直線 I

32、 過點 P(3,4)且與點 A( 2,2), B(4, 2)等距離，則直線I 的方程為_.解析：顯然直線 I 的斜率不存在時，不滿足題意；設所求直線方程為 y 4= k(x 3),即 kx y+ 4 3k = 0,由已知，得 i2罕士23k|=|4k+巻3k|V1 + kV1+ k在邊 BC 所在直線 l 上.設 A1(x1, y1),則有丿+ 1X14X1=1,=5,又 li與 12不重合， 1l, 12之間距離的取值范圍是( (0,5.答案：( (0,510.已知 ABC 的頂點 A(5,1), AB 邊上的中線邊上的高 BH 所在直線方程為 x 2y 5= 0，求直線解：依題意知：kAc=- 2, A(5,1),IAC的方程為 2x+ y- 11 = 0,2x+ y 11= 0,聯立得 C(4,3).2x y 5 = 0,代入 2x- y 5 = 0,得 2x0 y 1 = 0,2x0y 1 = 0,聯立 x0-2y0 5= 0,得B(1,3),6直線 BC 的方程為 y 3= 5( (x 4),即 6x 5y 9= 0.三