迭代法解線性方程組-數(shù)值分析實驗報告重點

1、數(shù)學與計算科學學院數(shù)值分析 課程設計題 目： 迭代法解線性方程組 專 業(yè)： 信息與計算科學 學 號： 1309302-24 姓 名： 譚 孜 指導教師： 郭 兵 成 績： 二零一六年 六月 二十日一 、前言：（目的和意義） 1.實驗目的  掌握用迭代法求解線性方程組的基本思想和步驟。 了解雅可比迭代法，高斯-賽德爾法和松弛法在求解方程組過程中的優(yōu)缺點。  2.實驗意義    迭代法是用某種極限過程去逐步逼近線性方程組精確解的方法，它是解高階稀疏方程組的重要方法。迭代法的基本思想是用逐次逼近的方法求解線性方程組。比較雅可比迭代法，高斯-賽德爾迭代

2、方法和松弛法，舉例子說明每種方法的試用范圍和優(yōu)缺點并進行比較。二、數(shù)學原理：設有方程組 將其轉(zhuǎn)化為等價的，便于迭代的形式 (這種轉(zhuǎn)化總能實現(xiàn)，如令),并由此構(gòu)造迭代公式 式中B稱為迭代矩陣，f稱為迭代向量。對任意的初始向量，由式可求得向量序列，若，則就是方程或方程的解。此時迭代公式是收斂的，否則稱為發(fā)散的。構(gòu)造的迭代公式是否收斂，取決于迭代矩陣B的性1.雅可比迭代法基本原理設有方程組 矩陣形式為,設系數(shù)矩陣A為非奇異矩陣，且從式中第i個方程中解出x，得其等價形式 取初始向量，對式應用迭代法，可建立相應的迭代公式： 也可記為矩陣形式： 若將系數(shù)矩陣A分解為A=D-L-U， 式中 ， ， 。則方程

3、Ax=b變?yōu)?得 于是 于是式中中的 。式和式分別稱為雅克比迭代法的分量形式和矩陣形式，分量形式用于編程計算，矩陣型式用于討論迭代法的收斂性。2.高斯賽德爾迭代法高斯賽德爾（Gauss-Seidel）迭代法，其迭代公式為 （i=1,2,n）也可以寫成矩陣形式 仍將系數(shù)矩陣A分解為 則方程組變?yōu)?得 將最新分量代替為舊分量，得 即 于是有 所以 3.超松弛迭代法設已知第k次迭代向量，及第k+1次迭代向量的前i-1個分量，（j=1,2,i-1）,現(xiàn)在研究如何求向量的第i個分量。 首先，有高斯賽德爾迭代法求出一個值，記為 （i=1,2,n）再將第k次迭代向量的第i個分量與進行加權(quán)平均，得，即： 于是

4、的SOR迭代公式 (i=1,2,n) 或 （i=1,2,n） 當=1時，式即為高斯賽德爾迭代法；當0<<1時，式稱為低松弛方法，當某些方程組用高斯賽德爾迭代法不收斂時，可以用低松弛方法獲得收斂；當>1時，式稱為超松弛方法，可以用來提高收斂速度。將式寫成矩陣的形式，得： 即 于是得SOR迭代的矩陣表示 式中 3、 舉例說明及代碼例1：解下面方程組.（雅克比迭代方法、高斯-賽德爾和松弛法的比較）解：先計算迭代矩陣： BJ與BG的特征值跟收斂半徑為 所以，用雅可比迭代法求解，迭代過程收斂，而用高斯-塞德爾迭代法求解，迭代過程發(fā)散。取x0=(0;0;0),為達到精度10-5，取w=0

5、.1。雅可比迭代法松弛法3184代碼：1. 雅可比迭代法function x,k=jacobi(A,b,x0,esp) %k為迭A=input('Input A=');b=input('Input b=');x0=input('Input x0=');esp=1.0e-5;k=0;n=length(b);x=x0;while max(abs(b-A*x0)>esp&k<=500; for i=1:nsum=0;for j=1:nif j=isum=sum+A(i,j)*x0(j); endendx(i)=(b(i)-sum)/

6、A(i,i); endx0=x;k=k+1;if k>500fprintf('迭代達到上限')returnendendkInput A=1 2 -2;1 1 1;2 2 1;Input b=1 1 1'Input x0=0 0 0'運行結(jié)果：k = 3ans = -3 3 12.高斯-賽德爾迭代法clear;clc;A=1 2 -2;1 1 1;2 2 1;b=1 1 1'N=length(b);%解向量的維數(shù)fprintf('庫函數(shù)計算結(jié)果：');x=inv(A)*b%庫函數(shù)計算結(jié)果x=zeros(N,1);%迭代初始值%-(A=

7、D-E-F)-D=diag(diag(A);E=-tril(A,-1);%下三角F=-triu(A,1);%上三角B=inv(D-E)*F;g=inv(D-E)*b;eps=0.0001;%相鄰解的距離小于該數(shù)時，結(jié)束迭代%-開始迭代-for k=1:1000%最大迭代次數(shù)為100fprintf('第%d次迭代：',k);y=B*x+g;fprintf('n與上次計算結(jié)果的距離(2范數(shù)):%f?n',norm(x-y)2); if norm(x-y)<epsbreak;endx=yendx 運行結(jié)果：（因為發(fā)散結(jié)果不能確定）3.松弛迭代法w=0.1;dal

8、t=1.0e-5;A=1 2 -2;1 1 1;2 2 1;b=1 1 1'r=size(b);a=b;x0=zeros(3,1);x=x0;r=r(1);m=0;e=1;for t=1:ra(t)=A(t,t);A(t,t)=0;A(t,:)=A(t,:)/a(t);endb=b./a;root=0 x'while e>daltroot=m;e=0;for i=1:rt=x(i);x(i)=(1-w)*x(i)+w*(b(i)-A(i,:)*x);root=root x(i);t=abs(x(i)-t);if t>ee=t;endendrootm=m+1;end運

9、行結(jié)果：root = 184.0000 -3.0001 3.0000 1.0000例2：（超松弛法）達到同樣的精度10-5，松弛因子的不同，會使得收斂速度大大不同（w取1.01.9）代碼：w=1;dalt=1.0e-5;A=4 1 1 1;1 -4 1 1;1 1 -4 1;1 1 1 -4;b=1;1;1;1;r=size(b);a=b;x0=zeros(4,1);x=x0;r=r(1);m=0;e=1;for t=1:ra(t)=A(t,t);A(t,t)=0;A(t,:)=A(t,:)/a(t);endb=b./a;root=0 x'while e>daltroot=m;e

10、=0;for i=1:rt=x(i);x(i)=(1-w)*x(i)+w*(b(i)-A(i,:)*x);root=root x(i);t=abs(x(i)-t);if t>ee=t;endendrootm=m+1;end運行結(jié)果整理：松弛因子迭代次數(shù)松弛因子迭代次數(shù)1.071.6321.181.73368（不收斂）1.2101.81946（不收斂）1.3131.91372（不收斂）1.4171.523例3：用三種方法分別計算下列方程組并進行比較：解： 雅克比迭代法1） 改寫成等價形式 2） 構(gòu)造迭代公式，即為雅可比迭代公式 3） 取初始向量，即代入上式，求出 依次迭代，計算結(jié)果如下表：

11、要求精度迭代次數(shù)方程組的近似解0.017（1.0994,1.1994,1.2993）0.0019（1.0999，1.1999,1.2999）0.000113（1.1000,1.2000,1.3000） 高斯-賽德爾迭代法 1） 原方程組改為等價方程組 2） 構(gòu)造迭代公式，即為高斯-賽德爾迭代公式 3） 取初始向量，即代入上式，求出 迭代計算下去，得下表.要求精度迭代次數(shù)方程組的近似解0.014（1.0931，1.1957,1.2978）0.0015（1.0991,1.1995,1.2997）0.00017（1.1000,1.2000,1.3000）超松馳迭代法(取松馳因子). 利用SOR方法，

12、構(gòu)造迭代公式與高斯-賽德爾方法相同，初值為.迭代計算結(jié)果列于下表.要求精度迭代次數(shù)方程組的近似解0.015（1.0986,1.1998,1.0331）0.0017（1.0999,1.2000,1.2999）0.00018（1.1000,1.2000,1.3000）代碼：1.雅可比迭代法function x,k=jacobi(A,b,x0,esp) %k為迭A=input('Input A=');b=input('Input b=');x0=input('Input x0=');esp=1.0e-5;k=0;n=length(b);x=x0;whi

13、le max(abs(b-A*x0)>esp&k<=500; for i=1:nsum=0;for j=1:nif j=isum=sum+A(i,j)*x0(j); endendx(i)=(b(i)-sum)/A(i,i); endx0=x;k=k+1;if k>500fprintf('迭代達到上限')returnendendkInput A=10 -1 -2;-1 10 -2;-1 -1 5;Input b=7.2 8.3 4.2'Input x0=0 0 0'運行結(jié)果：k = 13ans = 1.1000 1.2000 1.3000

14、2.高斯-賽德爾迭代法clear;clc;A=10 3 1;2 -10 3;1 3 10;b=14 -5 14'N=length(b);%解向量的維數(shù)fprintf('庫函數(shù)計算結(jié)果：');x=inv(A)*b%庫函數(shù)計算結(jié)果x=zeros(N,1);%迭代初始值%-(A=D-E-F)-D=diag(diag(A);E=-tril(A,-1);%下三角F=-triu(A,1);%上三角B=inv(D-E)*F;g=inv(D-E)*b;eps=0.0001;%相鄰解的距離小于該數(shù)時，結(jié)束迭代%-開始迭代-for k=1:100%最大迭代次數(shù)為100fprintf(

15、9;第%d次迭代：',k);y=B*x+g;fprintf('n與上次計算結(jié)果的距離(2范數(shù)):%f?n',norm(x-y)2); if norm(x-y)<epsbreak;endx=yendx 運行結(jié)果： k= 7x = 1.0000 1.0000 1.00003.松弛迭代法w=1.3;dalt=1.0e-2;A=10,-1,-2;-1,10,-2;-1,-1,5;b=7.2,8.3,4.2'r=size(b);a=b;x0=zeros(3,1);x=x0;r=r(1);m=0;e=1;for t=1:ra(t)=A(t,t);A(t,t)=0;A(

16、t,:)=A(t,:)/a(t);endb=b./a;root=0 x'while e>daltroot=m;e=0;for i=1:rt=x(i);x(i)=(1-w)*x(i)+w*(b(i)-A(i,:)*x);root=root x(i);t=abs(x(i)-t);if t>ee=t;endendrootm=m+1;end運行結(jié)果：root = 0 0 0 0root = 0 0.9360 1.2007 1.6475root = 1.0000 1.2396 1.3083 1.2602root = 2.0000 1.0618 1.1522 1.2896root =

17、3.0000 1.1025 1.2120 1.3069root = 4.0000 1.1026 1.1985 1.2982root = 5.0000 1.0986 1.1998 1.3001例4：用三種方法分別計算下列方程組并進行比較：解： 雅克比迭代法2） 改寫成等價形式 2） 構(gòu)造迭代公式，即為雅可比迭代公式 3） 取初始向量，即代入上式，求出 依次迭代，計算結(jié)果如下表：要求精度迭代次數(shù)方程組的近似解0.0121(1.1986,1.3939,1.5977,0.7962)0.00132(1.1996,1.3998,1.5994,0.7999)0.000153(1.2000,1.4000,1.

18、6000,0.8000) 高斯-賽德爾迭代法 1） 原方程組改為等價方程組 2） 構(gòu)造迭代公式，即為高斯-賽德爾迭代公式 3） 取初始向量，即代入上式，求出 迭代計算下去，得下表.要求精度迭代次數(shù)方程組的近似解0.018(1.1880,1.3843,1.5873,0.7936)0.00114(1.1991,1.3988,1.5990,0.7995)0.000119(1.1999,1.3999,1.5999,0.7999)超松馳迭代法(取松馳因子). 利用SOR方法，構(gòu)造迭代公式與高斯-賽德爾方法相同，初值為.迭代計算結(jié)果列于下表.要求精度迭代次數(shù)方程組的近似解0.016(1.1961,1.39

19、84,1.5987,0.7994)0.0018(1.1998,1.4000,1.6002,0.8000)0.000112(1.2000,1.4000,1.6000,0.8000)代碼：1.雅可比迭代法function x,k=jacobi(A,b,x0,esp) %k為迭A=input('Input A=');b=input('Input b=');x0=input('Input x0=');esp=1.0e-2;k=0;n=length(b);x=x0;while max(abs(b-A*x0)>esp&k<=500; fo

20、r i=1:nsum=0;for j=1:nif j=isum=sum+A(i,j)*x0(j); endendx(i)=(b(i)-sum)/A(i,i); endx0=x;k=k+1;if k>500fprintf('迭代達到上限')returnendendkInput A=2 -1 0 0;-1 2 -1 0;0 -1 2 -1;0 0 -1 2;Input b=1 0 1 0'Input x0=1 1 1 1'運行結(jié)果：k = 21ans = 1.1986 1.3939 1.59770.79622.高斯-賽德爾迭代法clear;clc;A=2 -1

21、 0 0;-1 2 -1 0;0 -1 2 -1;0 0 -1 2;b=1 0 1 0'N=length(b);%解向量的維數(shù)fprintf('庫函數(shù)計算結(jié)果：');x=inv(A)*b%庫函數(shù)計算結(jié)果x=ones(N,1);%迭代初始值%-(A=D-E-F)-D=diag(diag(A);E=-tril(A,-1);%下三角F=-triu(A,1);%上三角B=inv(D-E)*F;g=inv(D-E)*b;eps=0.01;%相鄰解的距離小于該數(shù)時，結(jié)束迭代%-開始迭代-for k=1:100%最大迭代次數(shù)為100fprintf('第%d次迭代：',

22、k);y=B*x+g;fprintf('n與上次計算結(jié)果的距離(2范數(shù)):%f?n',norm(x-y)2); if norm(x-y)<epsbreak;endx=yendx 運行結(jié)果：k= 8x = 1.1880 1.3843 1.58730.79363.松弛迭代法w=1.4;dalt=1.0e-2;A=2 -1 0 0;-1 2 -1 0;0 -1 2 -1;0 0 -1 2;b=1 0 1 0'r=size(b);a=b;x0=ones(4,1);x=x0;r=r(1);m=0;e=1;for t=1:ra(t)=A(t,t);A(t,t)=0;A(t,:)=A(t,:)/a(t);endb=b./a;root=0 x'while e>daltroot=m;e=0;for i=1:rt=x(i);x(i)=(1-w)*x(i)+w*(b(i)-A(i,:)*x);root=root