【KS5U解析】上海市黃浦區(qū)2020屆高三一?？荚嚕ㄆ谀┛荚嚕?shù)學(xué)試題 Word版含解析

1、黃浦區(qū)2019學(xué)年度第一學(xué)期高三年級(jí)期終調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試卷一、填空題（本大題共有12題，滿分54分.其中第1-6題每題滿分54分，第7-12題每題滿分54分）考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果1.設(shè)集合ax|（x+1）（x2）0，集合bx|1x3，則ab_.【答案】（1，3）.【解析】【分析】先求出集合，再求解ab.【詳解】因?yàn)?，所以，即；所?故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的并集運(yùn)算，化簡(jiǎn)集合結(jié)合并集的定義可求.2.已知z（ai）（1+i）（ar，i為虛數(shù)單位）為純虛數(shù)，則a_.【答案】1.【解析】【分析】先對(duì)復(fù)數(shù)化簡(jiǎn)，結(jié)合純虛數(shù)的定義可求.【詳解】,因?yàn)闉榧兲摂?shù)，所以 且，解得

2、.故答案：.【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算及純虛數(shù)的概念，明確純虛數(shù)的定義是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).3.拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是_【答案】4【解析】試題分析：拋物線的焦點(diǎn)是,準(zhǔn)線方程是,所以焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是4.考點(diǎn)：拋物線性質(zhì).4.在（的展開式中，x的系數(shù)是 （用數(shù)字作答）【答案】-56【解析】試題分析：（展開式的通項(xiàng)為，令，則，所以x的系數(shù)是考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理點(diǎn)評(píng)：涉及到展開式中的問題，常用到二項(xiàng)式定理得通項(xiàng)：5.已知為第二象限的角,則_.【答案】【解析】【分析】利用同角的三角函數(shù)關(guān)系式中的平方和關(guān)系,結(jié)合為第二象限的角,可以求出的值,再利用同角的三角函數(shù)關(guān)系式中的商關(guān)系可

3、以求出的值,最后利用二倍角的正切公式可以求出的值.【詳解】因?yàn)闉榈诙笙薜慕?所以,于是有,因此.故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了同角的三角函數(shù)關(guān)系式,考查了二倍角的正切公式,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.6.母線長為3、底面半徑為1的圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角的弧度數(shù)為_.【答案】，【解析】【分析】根據(jù)圓錐的母線和半徑可得展開圖的弧長與半徑，從而可得圓心角的弧度數(shù).【詳解】因?yàn)閳A錐的母線長為3、底面半徑為1，所以圓錐的側(cè)面展開圖中半徑為3，弧長為，所以圓心角的弧度數(shù)為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查圓錐的側(cè)面展開圖，明確展開圖中的量與圓錐的關(guān)系是求解的關(guān)鍵.側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).7.若無窮等比數(shù)列an

4、滿足：a2a3a4，a5，（nn*），則數(shù)列a2n1的所有項(xiàng)的和為_.【答案】.【解析】【分析】先求解等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后再求和.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則；解得，所以；，所以的所有項(xiàng)的和為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列所有項(xiàng)的求和問題，明確無窮等比數(shù)列的求和方法是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).8.四名男生和兩名女生排成一排，男生有且只有兩位相鄰，則不同排法的種數(shù)是_.（結(jié)果用數(shù)字作答）【答案】144.【解析】【分析】先選出相鄰的男生，然后再進(jìn)行插空安排.【詳解】先選出兩位男生組成一個(gè)整體有種排法；再排好兩個(gè)女生有種排法，女生排好共有三個(gè)空位，再把男生排進(jìn)去共有種

5、排法；所以不同排法的種數(shù)一共有.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查排列問題的求解，不相鄰問題一般是采用插空法求解，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).9.已知a、b為雙曲線e的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)m在e上，abm為等腰三角形，且頂角為120°，則e的兩條漸近線的夾角為_.【答案】90°.【解析】【分析】先根據(jù)abm為等腰三角形且頂角為120°，可得點(diǎn)m的坐標(biāo)，代入雙曲線的方程可得漸近線的斜率，從而可得漸近線的夾角.【詳解】因?yàn)閍bm為等腰三角形且頂角為120°，不妨設(shè)m為第一象限的點(diǎn),則；把代入雙曲線的方程可得；所以漸近線的傾斜角為，兩條漸近線的夾角為.故答案為：.【點(diǎn)

6、睛】本題主要考查雙曲線的方程及性質(zhì)，明確點(diǎn)的坐標(biāo)是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查函數(shù)與方程的思想.10.已知函數(shù)yf（x）與yg（x）的圖象關(guān)于直線yx對(duì)稱，若f（x）x+log2（2x+2），則滿足f（x）log23g（x）的x的取值范圍是_.【答案】（0，log215）.【解析】【分析】化簡(jiǎn)，然后求解不等式，可以轉(zhuǎn)化求解.【詳解】因?yàn)?，所以由得，解得，即；易知函?shù)為增函數(shù)，因?yàn)椋钥傻?；綜上可得x的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)與反函數(shù)間的關(guān)系，互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱，側(cè)重考查轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學(xué)思想.11.設(shè)函數(shù)yf（x）的定義域?yàn)閐，若對(duì)任意的x1d，總存在x2d，使得f（x1）

7、f（x2）1，則稱函數(shù)f（x）具有性質(zhì)m.下列結(jié)論：函數(shù)yx3x具有性質(zhì)m；函數(shù)y3x+5x具有性質(zhì)m；若函數(shù)ylog8（x+2），x0，t時(shí)具有性質(zhì)m，則t510；若y具有性質(zhì)m，則a5.其中正確結(jié)論的序號(hào)是_.【答案】.【解析】【分析】對(duì)于，當(dāng)時(shí)，不存在滿足；對(duì)于，由于，所以具有性質(zhì)；對(duì)于，由于時(shí)，所以時(shí)必有，所以；對(duì)于，由于，所以可得.【詳解】對(duì)于，當(dāng)時(shí)，不存在滿足，故不正確；對(duì)于，由于，所以，所以具有性質(zhì)，故正確；對(duì)于，由于為增函數(shù)，且時(shí)，所以時(shí)必有，所以，故正確；對(duì)于，由于，若y具有性質(zhì)m，所以可得，故不正確.故答案：.【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)函數(shù)新定義的性質(zhì)理解，深刻理解定義的本質(zhì)是

8、求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查邏輯推理的核心素養(yǎng).12.已知正六邊形a1a2a3a4a5a6的邊長為2，點(diǎn)p是該正六邊形邊上的動(dòng)點(diǎn)，記，則的取值范圍是_.【答案】30，36.【解析】【詳解】建立直角坐標(biāo)系，如圖所示：，設(shè)點(diǎn)p（x，y）， 6（x1）2+（y）2+2，正六邊形的中心q（1，），所以s（x1）2+（y）2表示點(diǎn)p（x，y）與點(diǎn)q（1，）之間距離的平方，由圖可知s的最大值為4，最小值為3，的最大值為36，最小值為30，的取值范圍是30，36.故答案為：30，36.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，向量運(yùn)算優(yōu)先使用坐標(biāo)運(yùn)算，建立合適的坐標(biāo)系能簡(jiǎn)化運(yùn)算過程，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).二、

9、選擇題（本大題共有4題，滿分20分.）每題有且只有一個(gè)正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號(hào)上，將代表答案的小方格涂黑，選對(duì)得5分，否則一律得零分.13.方程5的解集是（ ）a. 2b. 2，2c. 1，1d. i，i【答案】b【解析】【分析】利用二階行列式的運(yùn)算規(guī)則進(jìn)行求解.【詳解】，解得.故選：b.【點(diǎn)睛】本題主要考查行列式的計(jì)算，明確行列式的運(yùn)算規(guī)則是求解的關(guān)鍵.14.將函數(shù)ysin（4x）的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，再向右平移個(gè)單位，得到的函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸的方程為（ ）a. xb. xc. xd. x【答案】a【解析】【分析】先求出變換后的解析式，再根據(jù)解析式求解函數(shù)的對(duì)稱軸

10、.【詳解】將函數(shù)ysin（4x）的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，再向右平移個(gè)單位，得到的函數(shù)為，令，解得，由可得.故選：a.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象變換及性質(zhì)，注意的系數(shù)對(duì)結(jié)果的影響，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).15.若函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閞，則“f（x）是偶函數(shù)”是“f（|x|）f（x）對(duì)切xr恒成立”的（ ）a. 充分不必要條件b. 必要不充分條件c. 充分必要條件d. 既不充分也不必要條件【答案】c【解析】【分析】利用偶函數(shù)的定義式及充要條件的定義進(jìn)行判定.【詳解】若是偶函數(shù)，則，從而可得；若，則，即是偶函數(shù).故選：c.【點(diǎn)睛】本題主要考查充要條件的判定，明確條件間的推

11、出關(guān)系是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查邏輯推理的核心素養(yǎng).16.設(shè)曲線e的方程為1，動(dòng)點(diǎn)a（m，n），b（m，n），c（m，n），d（m，n）在e上，對(duì)于結(jié)論：四邊形abcd的面積的最小值為48；四邊形abcd外接圓的面積的最小值為25.下面說法正確的是（ ）a. 錯(cuò)，對(duì)b. 對(duì)，錯(cuò)c. 都錯(cuò)d. 都對(duì)【答案】d【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)的對(duì)稱性可知四邊形abcd是矩形，結(jié)合矩形的面積公式和外接圓的面積公式可求.【詳解】因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)a（m，n），b（m，n），c（m，n），d（m，n），所以四邊形abcd是矩形；不妨設(shè)，則矩形abcd的面積為，因?yàn)椋?，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；所以矩形abcd的面積最小值為4

12、8.四邊形abcd外接圓的直徑為，所以四邊形abcd外接圓的面積為，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；故選：d.【點(diǎn)睛】本題主要考查曲線的方程及基本不等式求解最值，明確所求目標(biāo)的表達(dá)式是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).三、解答題（本大題共有5題，滿分76分.）解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.17.在三棱錐pabc中，已知pa，pb，pc兩兩垂直，pb3，pc4，且三棱錐pabc的體積為10.（1）求點(diǎn)a到直線bc的距離；（2）若d是棱bc的中點(diǎn)，求異面直線pb，ad所成角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）.【答案】（1）（2）arccos【解析】【分析】（1）先

13、根據(jù)已知的體積和棱長求出，結(jié)合直角三角形的知識(shí)可求點(diǎn)a到直線bc的距離；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，寫出向量的坐標(biāo)，利用向量夾角公式可求.【詳解】（1）在三棱錐pabc中，pa，pb，pc兩兩垂直，pb3，pc4，且三棱錐pabc的體積為10.vpabcvapbc10，解得pa5，過p作pobc，交bc于o，連結(jié)po，如圖，由三垂線定理得aobc，po，點(diǎn)a到直線bc的距離：ao.（2）以p為原點(diǎn)，pc，pb，pa所在直線分別為x軸， y軸， z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則a（0，0，5），p（0，0，0），b（0，3，0），c（4，0，0），d（2，0），（0，3，0），（2，5），設(shè)異面直線p

14、b，ad所成角的大小為，則cos.異面直線pb，ad所成角的大小為arccos.【點(diǎn)睛】本題主要考查空間中點(diǎn)到直線的距離和異面直線所成角，空間中的角一般是利用向量來求解，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系是求解的前提，側(cè)重考查直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).18.在abc中，a，b，c分別是角a，b，c的對(duì)邊，且acosc（2bc）cosa.（1）若3，求abc的面積；（2）若bc，求2cos2b+cos2c的取值范圍.【答案】（1）（2）（，）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理可求角a，結(jié)合數(shù)量積3，可求abc的面積；（2）結(jié)合角之間的關(guān)系，把2cos2b+cos2c化簡(jiǎn)為，然后結(jié)合角的范圍可求.【詳解】（1

15、）acosc（2bc）cosa，由正弦定理可得sinacosc（2sinbsinc）cosa，可得sinacosc+sinccosasin（a+c）sinb2sinbcosa，b為三角形內(nèi)角，sinb0，cosa，又a（0，），a，bccosabc3，可得bc6，sabcbcsina.（2）bc，cb，可得b（0，），2b（，），cos（2b）（，），2cos2b+cos2c1+cos2bcos2bcos2（b）cos2bcos2bsin2bcos（2b）（，）.2cos2b+cos2c的取值范圍（，）.【點(diǎn)睛】本題主要考查求解三角形及范圍問題，求解三角形時(shí)邊角的轉(zhuǎn)化是求解的關(guān)鍵，范圍問題一般

16、是把目標(biāo)式化簡(jiǎn)為標(biāo)準(zhǔn)型進(jìn)行求解，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).19.某研究所開發(fā)了一種新藥，測(cè)得成人注射該藥后血藥濃度y（微克/毫升）與給藥時(shí)間x（小時(shí)）之間的若干組數(shù)據(jù)，并由此得出y與x之間的一個(gè)擬合函數(shù)y40（0.6x0.62x）（x0，12），其簡(jiǎn)圖如圖所示.試根據(jù)此擬合函數(shù)解決下列問題：（1）求藥峰濃度與藥峰時(shí)間（精確到0.01小時(shí)），并指出血藥濃度隨時(shí)間的變化趨勢(shì)；（2）求血藥濃度的半衰期（血藥濃度從藥峰濃度降到其一半所需要的時(shí)間）（精確到0.01小時(shí)）.【答案】（1）藥峰濃度為10，藥峰時(shí)間為1.36小時(shí)；注射該藥后血藥濃度逐漸增加，到1.36小時(shí)時(shí)達(dá)到峰值，然后血藥濃度逐漸降低；（

17、2）2.36小時(shí).【解析】【分析】（1）根據(jù)擬合函數(shù)利用換元法可求最值，結(jié)合單調(diào)性可得血藥濃度隨時(shí)間的變化趨勢(shì)；（2）根據(jù)半衰期的含義解方程可求.【詳解】（1）由y40（0.6x0.62x）（x0，12），令0.6xt，t0.612，1，則y40（0.6x0.62x）40（t2+t），當(dāng)t0.612，1，即，x1.36時(shí)，y有最大值10.故藥峰濃度為10，藥峰時(shí)間為1.36小時(shí)；由圖象可知，注射該藥后血藥濃度逐漸增加，到1.36小時(shí)時(shí)達(dá)到峰值，然后血藥濃度逐漸降低；（2）在y40（0.6x0.62x）中，取y5，得40（0.6x0.62x）5，即8t2+8t10，解得t或t（舍），即0.147

18、，得x3.72.故血藥濃度的半衰期為3.721.362.36小時(shí).【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的應(yīng)用，準(zhǔn)確理解題意明確題目中的數(shù)學(xué)模型是求解這類問題的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).20.已知橢圓c的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)焦點(diǎn)在x軸上，橢圓c上一點(diǎn)a（2，1）到兩焦點(diǎn)距離之和為8.若點(diǎn)b是橢圓c的上頂點(diǎn)，點(diǎn)p，q是橢圓c上異于點(diǎn)b的任意兩點(diǎn).（1）求橢圓c的方程；（2）若bpbq，且滿足32的點(diǎn)d在y軸上，求直線bp的方程；（3）若直線bp與bq的斜率乘積為常數(shù)（0），試判斷直線pq是否經(jīng)過定點(diǎn).若經(jīng)過定點(diǎn)，請(qǐng)求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不經(jīng)過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）（2）y±x+2（3）經(jīng)過定點(diǎn)

19、；定點(diǎn)（0，）【解析】【分析】（1）利用橢圓的定義和待定系數(shù)法可求橢圓的方程；（2）利用bpbq， 32可得直線的斜率，從而可求直線bp的方程；（3）先表示直線pq的方程，結(jié)合直線bp與bq的斜率乘積為常數(shù)，建立等量關(guān)系進(jìn)行判定.【詳解】（1）由題意設(shè)橢圓的方程為：1由題意知：2a8，1，解得：a216，b24，所以橢圓的方程為：.（2）由（1）得b（0，2）顯然直線bp的斜率存在且不為零，設(shè)直線bp為：ykx+2，與橢圓聯(lián)立整理得：（1+4k2）x2+16kx0，x，所以p（，）；直線bq：yx+2，代入橢圓中：（4+k2）x216kx0，同理可得q（，），由32得，3（xdxp）2（xqx

20、d），5xd2xq+3xp，由于d在y軸上，所以xd0，解得：k22，所以k，所以直線bp的方程為：y±x+2.（3）當(dāng)直線pq的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線pq方程：xt，p（x，y），q（x'，y'），與橢圓聯(lián)立得：4y216t2，yy'，xx't2，kbpkbq，要使是一個(gè)常數(shù)，0，所以不成立.當(dāng)直線pq斜率存在時(shí)，設(shè)直線pq的方程為：ykx+t，設(shè)p（x，y），q（x'，y'），與橢圓聯(lián)立整理得：（1+4k2）x2+8ktx+4t2160，x+x'，xx'，y+y'k（x+x'）+2t，kbpkbq，所以

21、由題意得：，解得：t，所以不論k為何值，x0時(shí)，y，綜上可知直線恒過定點(diǎn)（0，）.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的方程及性質(zhì)，直線過定點(diǎn)問題，橢圓方程的求解一般是利用待定系數(shù)法；直線過定點(diǎn)問題一般是根據(jù)直線方程的特點(diǎn)來求解.21.對(duì)于數(shù)列an，若從第二項(xiàng)起的每一項(xiàng)均大于該項(xiàng)之前的所有項(xiàng)的和，則稱an為p數(shù)列.（1）若an的前n項(xiàng)和sn3n+2，試判斷an是否是p數(shù)列，并說明理由；（2）設(shè)數(shù)列a1，a2，a3，a10是首項(xiàng)為1、公差為d的等差數(shù)列，若該數(shù)列是p數(shù)列，求d的取值范圍；（3）設(shè)無窮數(shù)列an是首項(xiàng)為a、公比為q的等比數(shù)列，有窮數(shù)列bn，cn是從an中取出部分項(xiàng)按原來的順序所組成的不同數(shù)列，其所有項(xiàng)和分別為t1，t2，求an是p數(shù)列時(shí)a與q所滿足的條件，并證明命題“若a0且t1t2，則an不是p數(shù)列”.【答案】（1）數(shù)列anp數(shù)列；詳見解析（2）（3）或；證明見解析【解析】【分析】（1）先求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后結(jié)合p數(shù)列的特點(diǎn)進(jìn)行驗(yàn)證；（