第三章三角函數(shù)

1、數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)學(xué)案 溫故而知新daiwangge第三章 三角函數(shù)【知識(shí)導(dǎo)讀】任意角的概念角度制與弧度制任意角的三角函數(shù)弧長(zhǎng)與扇形面積公式三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)和 角公 式差 角公 式幾個(gè)三角恒等式倍 角公 式同角三角函數(shù)關(guān)系誘 導(dǎo)公 式正弦定理與余弦定理解斜三角形及其應(yīng)用化簡(jiǎn)、計(jì)算、求值與證明三角函數(shù)是一種重要的初等函數(shù)，它與數(shù)學(xué)的其它部分如解析幾何、立體幾何及向量等有著廣泛的聯(lián)系，同時(shí)它也提供了一種解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要方法“三角法”這一部分的內(nèi)容，具有以下幾個(gè)特點(diǎn)：1公式繁雜.公式雖多，但公式間的聯(lián)系非常密切，規(guī)律性強(qiáng).弄清公式間的相互聯(lián)系和推導(dǎo)體系，是記住這些公式的關(guān)鍵.2思想豐富.化歸、數(shù)形結(jié)合、

2、分類討論和函數(shù)與方程的思想貫穿于本單元的始終，類比的思維方法在本單元中也得到充分的應(yīng)用.如將任意角的三角函數(shù)值的問(wèn)題化歸為銳角的三角函數(shù)的問(wèn)題，將不同名的三角函數(shù)問(wèn)題化成同名的三角函數(shù)的問(wèn)題，將不同角的三角函數(shù)問(wèn)題化成同角的三角函數(shù)問(wèn)題等.3變換靈活.有角的變換、公式的變換、三角函數(shù)名稱的變換、三角函數(shù)次數(shù)的變換、三角函數(shù)表達(dá)形式的變換及一些常量的變換等，并且有的變換技巧性較強(qiáng).4應(yīng)用廣泛.三角函數(shù)與數(shù)學(xué)中的其它知識(shí)的結(jié)合點(diǎn)非常多，它是解決立體幾何、解析幾何及向量問(wèn)題的重要工具，并且這部分知識(shí)在今后的學(xué)習(xí)和研究中起著十分重要的作用，比如在物理學(xué)、天文學(xué)、測(cè)量學(xué)及其它各門科學(xué)技術(shù)都有廣泛的應(yīng)用.

3、3.1 任意角的三角函數(shù)的概念一、 考試說(shuō)明：1、 理解任意角的概念、弧度的意義，能正確地進(jìn)行弧度與角度的換算。2、 掌握任意角的正弦、余弦和正切的定義。3、 并會(huì)利用與單位園有關(guān)的三角函數(shù)線表示正弦、余弦和正切。二、重難點(diǎn)：（1）弧度與角度的關(guān)系與概念 （2）任意角的三角函數(shù)的定義三、知識(shí)要點(diǎn)：1、 角的概念及推廣（1）角的定義，一條射線繞端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而成的圖形。（2）正角、負(fù)角、零角的定義。（略）（3）象限角、區(qū)間角、軸上角的概念。（略）（4）終邊相同角的表示及性質(zhì)。（略）2.弧度制與角度制的變化（1）弧度的定義：弧長(zhǎng)等于半徑所對(duì)圓心角的為1弧度（2）弧度、角度的換算：1弧度= 弧度（3）弧長(zhǎng)

4、公式，扇形面積公式： ，3.任意角的三角函數(shù)：（1）任意角的三角函數(shù)的定義：略（2）三角函數(shù)的定義域，值域：略（3）各三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號(hào)：略（4）特殊角的三角函數(shù)值： 02、 三角函數(shù)線：四、典型例題選講例一：填空1.如果1弧度的圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)為2，那么這個(gè)圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為 。2.一個(gè)扇形OAB的周長(zhǎng)為20，當(dāng)扇形的半徑，圓心角分別為 時(shí)，此扇形面積最大。3.若 為第四象限角，則 的符號(hào)為 。4.若且,則角所在象限為。5.已知角頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸正半軸重合，終邊在y=2x上，則cos2= 。例2：已知的范圍。例3：（1）已知角的終邊在直線上，求和的值。（2）已知角的終邊上的

5、一點(diǎn)A的坐標(biāo)為，求銳角的值。例4：已知一扇形的圓心角是，其所在園的半徑是R。（1）若，求扇形的弧長(zhǎng)及該弧所在弓形的面積。（2）若扇形的周長(zhǎng)是一定值，當(dāng)為多少弧度時(shí)，該扇形有最大面積？例5： （1）設(shè)是第四象限的角，試比較和的大??；（2）：若，求證：。練習(xí)題：見(jiàn)課時(shí)作業(yè)（十六）。3.2 同角三角函數(shù)關(guān)系式及誘導(dǎo)公式一、 考試說(shuō)明：1、 理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式2、 能自用單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)出的正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式，進(jìn)行三角求值，化簡(jiǎn)和恒等式變化。二、考向指導(dǎo)： 熟練掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、誘導(dǎo)公式，并能熟練運(yùn)用，主要突出算法、算理的考查。三、重點(diǎn)：同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的靈

6、活運(yùn)用。四、知識(shí)要點(diǎn)：1、 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系。（2）商的關(guān)系（3）平方關(guān)系1°同角三角函數(shù)的三個(gè)關(guān)系式在計(jì)算、化簡(jiǎn)和證明中應(yīng)用極為廣泛，同時(shí)應(yīng)熟練地掌握其等價(jià)形式，即，并能靈活運(yùn)用這些公式。2°已知角的某一種三角函數(shù)值，求角的其余三角函數(shù)值時(shí)，要注意公式的合理選擇，特別要注意開(kāi)方時(shí)的符號(hào)選取。3°學(xué)會(huì)得用方程思想解三角題，對(duì)于這三個(gè)式子，已知其中一個(gè)式子的值，其余二式的值均可以求出。2、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式：略。誘導(dǎo)公式是指角的三角函數(shù)與如，等角的三角函數(shù)之間的關(guān)系。誘導(dǎo)公式可概括為的各三角函數(shù)值，當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，得的同名函數(shù)值，當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，得的異名函數(shù)值，然

7、后在前面加上一個(gè)把看成銳角時(shí)，原函數(shù)值的符號(hào)，即“奇變偶不變，符號(hào)看象限?！蔽?、典型例題選講例1：（1）已知，求角的其余三角函數(shù)。 （2）已知，求角的其余三角函數(shù)。例2：填空（1）已知且，則 。（2）已知，則的值為 。（3）若是三角形的內(nèi)角，若，則 。（4）已知，則 。（5）若則 。（6）設(shè)sin2=-sin,則tan2的值是_(四川)例3：（1）已知的值（2）化簡(jiǎn)例4：已知（1）求：（2）求：（3）求： 例5：（1）已知的值（2）已知 ，求 例6： 1)若sin+cos=,則tan的值是多少？2)若且，求k的取值范圍練習(xí)題：見(jiàn)課時(shí)作業(yè)（十七）3.3 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)一、 考試說(shuō)明：1、熟

8、練掌握三角函數(shù)曲線與曲線的作法，會(huì)用“五點(diǎn)法”作函數(shù)+B的簡(jiǎn)圖。2、會(huì)求三角函數(shù)的定義域、值域。3、會(huì)判斷一些三角函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，會(huì)求解三角函數(shù)的最值與周期。二、考向指導(dǎo)： 三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是高考考查的熱點(diǎn)之一，尤其是在由圖象確定解析式；三角函數(shù)的對(duì)稱性；三角函數(shù)圖象的應(yīng)用；三角函數(shù)的性質(zhì)，尤其是求三角函數(shù)的周期最值。三、重點(diǎn)、難點(diǎn)：三角函數(shù)的性質(zhì)與圖象的應(yīng)用四、知識(shí)要點(diǎn)：1、 正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)。函數(shù)圖象定義域值域奇偶性周期性單調(diào)性最值對(duì)稱軸無(wú)對(duì)稱軸對(duì)稱中心2、三角函數(shù)的周期（最小正周期） （1） （2）三角函數(shù)周期的求法： 首先對(duì)函數(shù)化簡(jiǎn)，然后用以下三種方法求：1

9、°根據(jù)定義求（常用誘導(dǎo)公式）2°根據(jù)圖象求3°根據(jù)定理公式求 （1）形如的周期為 形如的周期為 （2）由圖象可得下列函數(shù)的周期y=y=（3）（不掌握）最小公倍數(shù)法）形如 求法是1°先求各個(gè)加數(shù)函數(shù)的最小正周期，再求的最小公倍數(shù)，即為所求函數(shù)的周期。注：此法對(duì)切函數(shù)的和差不能用此法求，因?yàn)橛虚g斷點(diǎn)。3、三角函數(shù)最值問(wèn)題常見(jiàn)的類型與方法（1）用三角方法求三角函數(shù)的最值常見(jiàn)的函數(shù)形式為：所在象限相同）可先降次整理轉(zhuǎn)化為（1）的形式?？赊D(zhuǎn)化為只有分母含或的函數(shù)式的形式，由正余弦函數(shù)的有界性求解。（2）用代數(shù)方法求三角函數(shù)的最值常見(jiàn)的函數(shù)形式為可轉(zhuǎn)化為的二次函數(shù)式

10、令，則轉(zhuǎn)化為求的最值。，一般應(yīng)用萬(wàn)能公式轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次議程，則“判別式”求其最值或轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)式后構(gòu)造應(yīng)用“均值不等式”及“單調(diào)性”求其最值，也可以將函數(shù)式轉(zhuǎn)化為的形式，由正余弦的有界性求最值（3）用解析法求三角函數(shù)的最值常見(jiàn)的函數(shù)形式為可轉(zhuǎn)化為橢圓或單位圓上的動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線斜率的最值問(wèn)題或輔助角公式。五、典型例題選講：例1：解下列不等式（1）（2） （3）例2：填空：1.的單調(diào)遞減區(qū)間是。2.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后，再作關(guān)于x軸對(duì)稱變換得到函數(shù)，則=。3.已知函數(shù)在區(qū)間上至少取得2次最大值，則正整數(shù)的最小值是 。4.將函數(shù)y=的圖象向左平移m(m>0)個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得到的

11、圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則m的最小值是。例3：已知函數(shù)（1）求的單調(diào)區(qū)間。（2）求圖像的對(duì)稱軸，對(duì)稱中心。例4：比較下列各組數(shù)的大小(1) ,比較與的大小（2）例5：求下列函數(shù)的最小正周期(1) y=sin3x+cos3x (2) (3) (4) (5) （6） 例6：設(shè)函數(shù)（1）求的最小正周期（2）若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，求當(dāng)?shù)淖畲笾道?：已知函數(shù)f(x)=cosxcos(x-)1) 求的值2) 求使f(x)<成立的x的取值集合。例8：設(shè)，若函數(shù)；（1）寫(xiě)出的最小正周期T及單調(diào)遞增區(qū)間。（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為2，求此時(shí)函數(shù)的最大值，并指出x、取何值時(shí)，取到最大值。練習(xí)題：課時(shí)作業(yè)十八3

12、.4函數(shù)的圖象及應(yīng)用一、 考試說(shuō)明：了解參數(shù)A，,對(duì)函數(shù)圖象變化的影響，能畫(huà)出函數(shù)，的圖象，能通過(guò)變換法研究不同函數(shù)圖象間的關(guān)系。能根據(jù)所給的三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)確定參數(shù)A，,的值了解三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型，會(huì)用三角函數(shù)解決一些簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題。二、考向指導(dǎo)的圖象和性質(zhì)一直是高考考查的熱點(diǎn)內(nèi)容之一，題目難度不大；主要結(jié)合三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)進(jìn)行研究。側(cè)重考查三角函數(shù)的圖象及其變換。求三角函數(shù)的解析式 三角函數(shù)的綜合應(yīng)用。三、重難點(diǎn)由部分函數(shù)圖象求函數(shù)的解析式；以化簡(jiǎn)三角函數(shù)式為載體，研究函數(shù)的周期性，單調(diào)性，奇偶性，對(duì)稱性，圖象的變化等。四、知識(shí)要點(diǎn)1、利用五點(diǎn)作圖法畫(huà)出函數(shù)的圖象。

13、五點(diǎn)作圖法關(guān)鍵是準(zhǔn)確找出五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)。在找五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)中要用“整體思想”，即把看作一個(gè)整體。2、由函數(shù)的圖象，通過(guò)圖象變換可得到的圖象，其一般方法是：將函數(shù)的圖象上的各點(diǎn)向左平移個(gè)單位，（時(shí)，向右平移個(gè)單位）得到函數(shù)的圖象。再將函數(shù)的圖象各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍得到函數(shù)（若，橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的倍）的圖象。再將函數(shù)的圖象各點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的A倍得到函數(shù)（若，縱坐標(biāo)縮小到原來(lái)的A倍）的圖象。3、函數(shù)圖象具有以下一些性質(zhì)左對(duì)稱軸處取得最大值或最小值；對(duì)稱中心就是函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)；兩相鄰的對(duì)稱中心（或?qū)ΨQ軸）之間相差半個(gè)最小正周期，相鄰的一個(gè)對(duì)稱中心和對(duì)稱軸之間相差四分之一

14、個(gè)最小正周期。4、利用圖象求出函數(shù) 的解析式主要從以下三個(gè)方面考慮：根據(jù)最大值或最小值求出A的值根據(jù)周期求出w的值 根據(jù)函數(shù)圖象上的某一特殊點(diǎn)求出的值5、函數(shù)的性質(zhì)：最大值為|A| 對(duì)稱軸為，對(duì)稱中心為五、典型例題選講例1：已知函數(shù)的最大值為2.（1）求的值及的最小正周期（2）求的單調(diào)遞增區(qū)間例2：已知函數(shù)，的部分圖象，如圖所示，P，Q分別為該圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，A）（1）求的最小正周期及的值。（2）若點(diǎn)R的坐標(biāo)為（1，0），求A的值。例3：已知函數(shù)的圖象與y軸的交點(diǎn)為（0，1）它在y軸右側(cè)的第一個(gè)最高點(diǎn)和第一個(gè)最低點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（1）求的解析式及的值（2）若銳角滿足的值例

15、4：已知函數(shù)的圖象上有一個(gè)最低點(diǎn)（）。如果圖上每點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，然后向左平移1個(gè)單位可得的圖象，又知的所有正根依次為一個(gè)公差為3個(gè)的等差數(shù)列，求的解析式，最小正周期和單調(diào)區(qū)間。例5：已知函數(shù)，且y=f(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心到最近的對(duì)稱軸的距離為1） 求的值2） 求f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值。例6：關(guān)于的方程在區(qū)間上有且僅有兩個(gè)不同的實(shí)根。（1）求實(shí)根a的范圍；（2）求這兩個(gè)實(shí)根的和。例7：已知函數(shù)f(x)sin(x)cos xcos2x(0)的最小正周期為.(1)求的值；(2)將函數(shù)yf(x)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)yg(x)的圖象，求

16、函數(shù)g(x)在區(qū)間0，上的最小值練習(xí)題：課時(shí)訓(xùn)練十九。3.5 兩角和與差的三角函數(shù) 3.6 簡(jiǎn)單的三角函數(shù)恒等變換一、考試說(shuō)明：1、掌握兩角和與差的正弦、余弦、正切公式。2、能正確運(yùn)用三角公式，進(jìn)行簡(jiǎn)單三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)，并求值和恒等式證明。二、考向指導(dǎo)： 1、三角函數(shù)基本公式是三角函數(shù)的核心內(nèi)容，是歷年高考命題的熱點(diǎn)，必考無(wú)疑。從題型來(lái)看，有選擇題、填空題、又有解答題，從難度來(lái)看為容易題和中檔題。2、三角函數(shù)求值問(wèn)題是高考的熱點(diǎn)，每年高考都重點(diǎn)考查、主要考查三角函數(shù)的變換及運(yùn)算能力。三、重、難點(diǎn)能正確運(yùn)用三角公式、熟練進(jìn)行三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值、和恒等式的證明。四、知識(shí)要點(diǎn)：1、 弄清公式的來(lái)

17、龍去脈，掌握公式的推證過(guò)程。2、 基本公式（1） 兩角和與差的公式 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （2）二倍角公式 （7） （8） （9）（3）另常用的一些重要公式（變形公式） 1°升降冪公式 （10） 2°半角正切的有理式： （11） 3°輔助角公式（12）（其中角是由， 所在象限與點(diǎn)（a，b）所在象限相同來(lái)確定?；蛴?來(lái)確定。）3、三角變換中，常用的技巧與方法 公式的應(yīng)用要做到“三會(huì)”，會(huì)式由左到右會(huì)用，由右到左會(huì)用，公式變形后也會(huì)用，變換常采用的方法有以下幾種。（1） 化弦。即把題目中出現(xiàn)的切函數(shù)都化為弦函數(shù)。（2） 變角：一般是變?yōu)閱谓堑?/p>

18、三角函數(shù)，或用已知角表示未知角，或用未知角表示已知角，角的常見(jiàn)變形有（3） 注意“1”的代換應(yīng)用：（4） 注意公式的逆用或變形運(yùn)用。 4、三角恒等變換中，常采用的變換策略是：從“角”、“形”、“名”、“冪”四方面著手，進(jìn)行局部突破，逐步化簡(jiǎn)。1°變角：常采用“異角化同角”、“復(fù)角化單角”，用已知角表示未知角。2°變形：若三角函數(shù)式結(jié)構(gòu)形式較復(fù)雜，就要從結(jié)構(gòu)形成上考慮化繁為簡(jiǎn)，考慮式子中角的種類、函數(shù)的種類、結(jié)構(gòu)形式、常采用“各差化積，積化和差”特殊值與特殊角的互化等方法。3°變名：從函數(shù)名稱上化簡(jiǎn)，常采用“異名化同名”化弦、化切等。4°化冪：常采用“異次

19、化同次，高低次的互化”。注意升降冪公式的應(yīng)用，與半角正切有理式的應(yīng)用。五、典型例題選講例1、填空 （1） （2） （3）= （4） （5） （6）= （一）化簡(jiǎn)三角函數(shù)式例：化簡(jiǎn)下列各式（1） （2） （3）（二）求三角函數(shù)式的值例：求下列各三角函數(shù)的值。（1）（2）已知=-1，求的值條件求值（給值求值，給值求角）例：1（1）在ABC中，A、B、C為三角形的三個(gè)內(nèi)角，且A<B<C，求的值。（2）已知，求的值。例2：（1）已知，且，求的值。（2） 已知tan(1+m),tan(-)=若都是鈍角，求的值（3）已知向量求的值（三）三角等式的證明三角恒等式的證明過(guò)程，實(shí)質(zhì)是清除左、右兩端或

20、條件與結(jié)論的差異過(guò)程。所以，差異分析就成為三角恒等式，證明的思維動(dòng)因或線索。此時(shí)可以從角的差異，函數(shù)名的差異，式子結(jié)構(gòu)的差異入手來(lái)證明。例：（1）已知，求證：。（2）已知，求證（3）求證 練習(xí)題：見(jiàn)課時(shí)作業(yè)第（二十）第（二十一）。3.7 正弦定理和余弦定理及其運(yùn)用一、 考試說(shuō)明： 1、掌握正弦定理、余弦定理，能根據(jù)條件、靈活運(yùn)用正弦定理、余弦定理解斜三角形。2、能根據(jù)確定三角形的條件，三角形中邊角間的關(guān)系，確定解的個(gè)數(shù)。3、能運(yùn)用解斜三角形的有關(guān)知識(shí)，解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。二、 考向指導(dǎo)：1、 正余弦定理是解斜三角形的重要工具，要熟練掌握使用正、余弦定理時(shí)常用的邊角代換等技巧。2、正余弦定理的應(yīng)用是三角與平面向量知識(shí)的綜合運(yùn)用，是歷年高考的熱點(diǎn)。三、 重點(diǎn)：正余弦定理及三角形面積公式。難點(diǎn)：在已知三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)解情況下，解三角形有兩種，還是一解，無(wú)解。四、 知識(shí)要點(diǎn)：1、正弦定理（R為ABC外接園半徑）及其推導(dǎo)略。2、余弦定理：及其推導(dǎo)略。3、三角形面積公式；其中，分別為ABC的外接園，內(nèi)切園半徑。4、正、余弦定理適用的題型。（1） 余弦定理適用的題型。1°已知三邊求三個(gè)角。2°已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其它兩角。（2） 正弦定理適用的題型：1°已知兩角和任一邊，求其它兩邊和一