橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程

1、 橢圓及其標(biāo)方程【教案分析】 本章教學(xué)的內(nèi)容是橢圓的幾何性質(zhì)的認(rèn)識(shí)及其標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，承上它是運(yùn)用坐標(biāo)研究曲線的幾何性質(zhì)的一次實(shí)際演練，啟下為后面的研究雙曲線，拋物線提供了基本模版和理論基礎(chǔ)?！灸繕?biāo)分析】 通過(guò)圖形的形成去探究橢圓的幾何性質(zhì)，即橢圓上的任意一點(diǎn)到橢圓的兩焦點(diǎn)的距離之和為一個(gè)常數(shù)，第二能通過(guò)橢圓的幾何性質(zhì)結(jié)合曲線方程的求解方法去求解橢圓的方程并且最終轉(zhuǎn)化為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，第三通過(guò)對(duì)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，熟悉求解曲線方程的一般方法?！窘虒W(xué)目標(biāo)】 1.知識(shí)與技能：理解并掌握橢圓的定義；明確焦點(diǎn)，及焦點(diǎn)的概念；掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式及其推導(dǎo)過(guò)程；掌握a,b,c三個(gè)量的幾何意義及它們之

2、間的關(guān)系能根據(jù)條件確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。 2.過(guò)程和方法：通過(guò)對(duì)橢圓概念的引入教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生觀察能力，通過(guò)對(duì)橢圓方程的推導(dǎo)，使學(xué)生進(jìn)一步掌握求曲線方程的一般方法，并滲透數(shù)形結(jié)合和等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想方法，提高運(yùn)用坐標(biāo)法解決幾何問(wèn)題的能力。 3.通過(guò)對(duì)畫(huà)橢圓中大膽的探索出橢圓所滿(mǎn)足的幾何條件并且此得到橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和創(chuàng)新意識(shí)，并培養(yǎng)學(xué)生觀察圖形得出幾何知識(shí)，數(shù)形的有效結(jié)合?！窘虒W(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)】重點(diǎn)：橢圓的定義及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程難點(diǎn)：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的建立和推導(dǎo)?！窘虒W(xué)流程】 路線圖：橢圓圖形 的形成橢圓幾何性質(zhì)探究 橢圓方程求解 橢圓的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程 應(yīng)用小結(jié)，作

3、業(yè) 【教學(xué)過(guò)程】教學(xué)內(nèi)容活動(dòng)設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)意圖一橢圓幾何性質(zhì)探究老師：在開(kāi)始今天的新課之前我們先看這么幾組圖形，大家看第一幅是春節(jié)貼的窗花，第二幅是我們常吃的雞蛋，大家觀察宇宙行星的運(yùn)動(dòng)的軌跡以及其他的三幅圖片，大家看這些圖形都有一個(gè)什么共同的特征？學(xué)生：它們都是橢圓。老師：對(duì)，大家看這些圖形都很漂亮，很對(duì)稱(chēng)，均勻美觀，和圓很類(lèi)似感覺(jué)就像將圓壓扁了就變成了橢圓，那大家思考一下以前我們?cè)诋?huà)圓時(shí)，圓上的點(diǎn)有什么要求，圓上的點(diǎn)到一定點(diǎn)的距離等于一定長(zhǎng)而我們將這一定長(zhǎng)稱(chēng)為半徑那我們?cè)撊绾稳ギ?huà)一個(gè)橢圓呢？對(duì)畫(huà)出的橢圓上的點(diǎn)有什么要求？大家?guī)е@兩個(gè)問(wèn)題我們一起看接下來(lái)的幾組動(dòng)畫(huà).(用幾何畫(huà)板制作動(dòng)畫(huà))老師：現(xiàn)

4、在我在平面上取一條定長(zhǎng)，長(zhǎng)為5.43厘米，在平面上任意取這一點(diǎn)M，M可以移動(dòng)的，在平面上再取兩定點(diǎn),的長(zhǎng)為3.15厘米，現(xiàn)在我有一個(gè)要求M到,這兩定點(diǎn)的距離的和等于的長(zhǎng)，現(xiàn)在我讓M繞兩定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，大家觀察M的運(yùn)動(dòng)軌跡是什么？以及我所給出的這些數(shù)據(jù)的變化情況。老師：大家看M形成的軌跡是什么？學(xué)生：橢圓老師：我們可以發(fā)現(xiàn)M在轉(zhuǎn)動(dòng)的過(guò)程中 ，的長(zhǎng)在發(fā)生改變但是與 的和確始終沒(méi)有發(fā)生改變且等于的這條定長(zhǎng)，現(xiàn)在我暫停一下，大家加一下與的和是多少？是否等于的長(zhǎng)？學(xué)生：等于5.43厘米，和一樣長(zhǎng)。老師：現(xiàn)在我改變的長(zhǎng)為4.67厘米，讓M到定點(diǎn),的距離之和仍然等于 的長(zhǎng)，我們?cè)儆^察M 的運(yùn)動(dòng)軌跡，我們可以發(fā)現(xiàn)M

5、的運(yùn)動(dòng)軌跡仍然是橢圓。且與一直隨著M的運(yùn)動(dòng)在改變但是與的長(zhǎng)的和始終不變且始終等于這條定長(zhǎng)，這說(shuō)明了什么？這說(shuō)明我們要畫(huà)出橢圓只需使我們軌跡上的任意一點(diǎn)M到兩定點(diǎn),的距離之和等于的長(zhǎng)而是一條定長(zhǎng)在數(shù)學(xué)中我們將其稱(chēng)為一個(gè)常數(shù)，我們由這個(gè)性質(zhì)畫(huà)出了橢圓，那反過(guò)來(lái)也說(shuō)橢圓上的上任意一點(diǎn)肯定也滿(mǎn)足橢圓上任意一點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)，但我這里有個(gè)疑問(wèn)了是不是只要滿(mǎn)足這一性質(zhì)就可以畫(huà)出橢圓呢？老師：現(xiàn)在我們看圖，我現(xiàn)在逐漸改變定長(zhǎng) ，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)橢圓越來(lái)越小，當(dāng)時(shí)，橢圓完全消失了，當(dāng)我又讓>時(shí)橢圓有出現(xiàn)了這說(shuō)明要的橢圓還必須要滿(mǎn)足 那當(dāng)=的時(shí)候呢？又會(huì)有什么情況，我們觀察動(dòng)畫(huà)可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)=時(shí)M只在,

6、之間運(yùn)動(dòng)，所以綜上，常數(shù)要大于由此我們得到了今天我們將學(xué)習(xí)橢圓及其方程中橢圓的定義， 二橢圓的定義橢圓的定義：把平面內(nèi)與兩定點(diǎn),的距離的和等于常數(shù)（大于）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做焦距。老師：現(xiàn)在我們的到了橢圓的幾何性質(zhì)，為了以后更好的研究橢圓的性質(zhì)，我們肯定要求出橢圓方程，那我們?cè)撊绾吻髾E圓方程？上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了曲線方程的步驟那現(xiàn)在我們一起回顧一下。三.回顧：1.建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，在曲線上任取一點(diǎn)M（x,y）2.寫(xiě)出適合條件P的點(diǎn)M的集合PMP（M）3.用坐標(biāo)化條件P(M),列出方程4化簡(jiǎn)，查漏所以我們要求橢圓方程首先要建立平面直角坐標(biāo)系，那該怎么建

7、系呢？我在剛開(kāi)始說(shuō)了橢圓和圓很類(lèi)似都具有對(duì)稱(chēng)性，而圓的方程中哪一個(gè)方程是最簡(jiǎn)單的？學(xué)生：老師：那他是在怎樣的平面直角坐標(biāo)系下建立的？現(xiàn)在我們來(lái)看PPT它是以圓的兩條互相垂直的對(duì)稱(chēng)軸作為X，Y軸其交點(diǎn)作為原點(diǎn)來(lái)建立的，而我也給出了圓的推導(dǎo)過(guò)程，同理我們的橢圓也具有對(duì)稱(chēng)性，所以這里也以他的兩條相互垂直的對(duì)稱(chēng)軸作為X，Y軸從圖中我們以看出其中一條對(duì)稱(chēng)軸是過(guò)線段的直線，那另一條對(duì)稱(chēng)軸是什么？通過(guò)圖形以及結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)我們可以得到他是線段的垂直平分線，而他們的交點(diǎn)就是原點(diǎn)O，根據(jù)橢圓定義我們知道其中有兩個(gè)常量，我們把它設(shè)出來(lái)，設(shè)=2C，+=2a（a>c>0）則(C,O) (-C,O) 任

8、取橢圓上一點(diǎn)M(X,Y) 則M點(diǎn)滿(mǎn)足的條件是第一步：P=M+=2a 第三步條件坐標(biāo)化= =+=2a第四步化簡(jiǎn)：移項(xiàng)：=2a-平方化簡(jiǎn)為：=再平方化簡(jiǎn)為： 老師：大家觀察我們的方程與那些常量有關(guān)？學(xué)生：a， c， 四標(biāo)準(zhǔn)化老師：大家在橢圓上能找到a， c， 的線段嗎？結(jié)合橢圓的定義以及中垂線的性質(zhì)，我們可以得到設(shè)橢圓與Y軸的交點(diǎn)P則=a,由勾股定理可以得到=，而=c如果此時(shí)我設(shè)b=,則所以橢圓方程就為標(biāo)準(zhǔn)方程：（ab0）此方程的焦點(diǎn)為(-C,0)，(C,0),焦點(diǎn)在X軸上，現(xiàn)在我們?cè)賮?lái)觀察圖形，此時(shí)橢圓是橫著的，當(dāng)橢圓豎起來(lái)時(shí)焦點(diǎn)會(huì)在哪個(gè)軸上。學(xué)生：Y軸老師：而此時(shí)他還是不是橢圓，我們可以看出他

9、是，既然是橢圓肯定會(huì)滿(mǎn)足橢圓的定義，那結(jié)合定義以及課本40頁(yè)的思考，大家按照老師對(duì)焦點(diǎn)在x軸時(shí)橢圓方程的推導(dǎo)過(guò)程，將焦點(diǎn)在y軸的方程求出來(lái)，并且對(duì)其標(biāo)準(zhǔn)化，現(xiàn)在給大家5分鐘的時(shí)間，過(guò)會(huì)我會(huì)請(qǐng)同學(xué)起來(lái)給出他的最后答案。學(xué)生：（ab0） 老師：大家看對(duì)不對(duì)?學(xué)生：此時(shí)這個(gè)方程也是橢圓方程，他的焦點(diǎn)是在y軸上的。五判斷判斷：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中,的分母中哪個(gè)大焦點(diǎn)就在哪個(gè)軸上，且哪個(gè)大哪個(gè)就是首先讓學(xué)生從生活中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)中的幾何圖形橢圓，感知橢圓的對(duì)稱(chēng)美，再由生活引入課堂，探究橢圓的形成，最終讓學(xué)生總結(jié)出橢圓所滿(mǎn)足的幾何特征，得出橢圓的定義讓學(xué)生感知橢圓圖形在生活中的美由此引出如何去做一個(gè)橢圓在由做的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)橢圓所要滿(mǎn)足的幾何性質(zhì)及其限定條件最終得出橢圓的定義 六例題例一.求下題的a,b,c的值以及焦點(diǎn)坐標(biāo)，以及焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上。 a= b= 焦點(diǎn)在 軸，坐標(biāo)： a=