第2課時　函數(shù)定義域與值域

1、第2課時函數(shù)定義域與值域 第 第 2 課時 函數(shù)的定義域與值域 題型一 函數(shù)的定義域 1 函數(shù) f(x) ln(4x x 2 ) 1x 2 的定義域為 為( ) a (0,4) b 0,2) (2,4 c (0,2) (2,4) d ( ， ，0) (4 ， ) 【答案】c 【解析】 要使函數(shù)有意義，則î î ï ïí íï ïì ì 4x x 2 0， ，x 2 0， ， 得 解得 0x4 且 且 x 2. 2 (2021 .江南十校模擬) 函數(shù) y x 2 2x 3lg( (x 1) )的定

2、義域為( ) a ( 1,3 b ( 1,0) (0,3 c 1,3 d 1,0) (0,3 【答案】b 【解析】 要使函數(shù)有意義，x 需滿足î îï ïí íï ïì ì x 2 2x 3 0， ，x 10， ，x 1 1， ， 解得1x0 或 或 0x 3 ，所以函數(shù)的定義域為( 1,0) (0,3 3 若函數(shù) f(x) 的定義域為0,8 ，則函數(shù)g(x) f( (2x) )8 2 x 的定義域為_ 【答案】0,3) 【解析】 依題意有î î ï ï&

3、#237; íï ïì ì 0 2x 8， ，8 2 x 0， ， 得 解得 0 x3 ， g(x) 的定義域為0,3) 思維升華 (1) 根據(jù)具體的函數(shù)解析式求定義域的策略 已知解析式的函數(shù)，其定義域是使解析式有意義的自變量的取值集合，求解時只要根據(jù)函數(shù)解析式列出自變量滿足的不等式 式( 組) ，得出不等式( 組) 的解集即可 (2) 求抽象函數(shù)的定義域的策略 數(shù) 若已知函數(shù) f(x) 的定義域為a ，b ，則數(shù) 復(fù)合函數(shù) f(g(x) 的定義域由不等式a g(x) b 求出； 數(shù) 若已知函數(shù) f(g(x) 的定義域為a ，b， ，則 則 f

4、(x) 的定義域為 g(x)在 在 x a ，b 上的值域 (3) 求函數(shù)定義域應(yīng)注意的問題 不要對解析式進行化簡變形，以免定義域發(fā)生變化； 定義域是一個集合，要用集合或區(qū)間表 示，若用區(qū)間表示數(shù)集，不能用 " 或 ' 連接，而應(yīng)該用并集符號 " ' 連接 題型二 函數(shù)的值域 例 例 1 求下列函數(shù)的值域： (1)y x 2 2x 3 ，x 0,3) ； (2)y 2x 1x 3； ； (3)y 2x x 1 ； (4)y x 1 x 1. 【答案】 【解析】(1)( 配方法)y x 2 2x 3 (x 1) 2 2 ， 由 由 x 0,3) ， 再結(jié)合函數(shù)

5、的圖像 像( 如圖 所示) ，可得函數(shù)的值域為2,6) (2)( 分離常數(shù)法)y 2x 1x 3 2( (x 3) ) 7x 3 2 7x 3 ， 顯然7x 3 0， ， y 2. 故函數(shù)的值域為( ， ，2) (2 ， ) (3)( 換元法)設(shè) 設(shè) t x 1 ，則 x t 2 1 ，且t 0 ， y 2(t 2 1) t 2 è èæ æø øö öt 142 158， ， 由 由 t 0 ，再結(jié)合函數(shù)的圖像 像( 如圖 所示)， ，可得函數(shù)的值域為 ë ëé é

6、8; øö ö158， . (4) 函數(shù)的定義域為1 ， ) ， y x 1與 與 y x 1 在1 ， ) 上均為增函數(shù)， y x 1 x 1 在1 ， ) 上為增函數(shù)， 當 當 x 1 時，y min 2 ，即函數(shù)的值域為 2 ， ) 思維升華 求函數(shù)值域的一般方法 (1) 分離常數(shù)法；(2) 配方法；(3) 不等式法；(4) 單調(diào)性法；(5) 換元法；(6) 數(shù)形結(jié)合法；(7) 導數(shù)法 跟蹤訓練 求下列函數(shù)的值域： (1)y 2x 12 x 1 ； (2)y 12log x 12 x ，x 1,2) ； (3)y x2 x 2x 1(x1) 【答案】 】 【

7、解析】(1) 方法一 y 2x 12 x 1 1 22 x 1 ， 2 x 0， ， 2 x 11 ， 022 x 1 2， 11 22 x 1 1 ， 函數(shù)的值域為( 1,1) 方法二 由 由 y 2x 12 x 1 得得 2 x y 11 y ， 又 2 x 0 ， y 11 y 0 ，即(y 1)(y 1)0 ，即1y1. 函數(shù)的值域為( 1,1) (2) 函數(shù) y 12log x 12 x 在在1,2) 上為減函數(shù)， 當 當 x 1 時，y 12 當，當 x 2 時，y 1 14 34 ， 34 y 12 ， 函數(shù)的值域為 è èæ æû

8、; ûù ù 34 ， 12. (3)令 令 t x 1， ， t0 ，x t 1 ， y ( (t 1) ) 2 ( (t 1) ) 2t t2 t 2t t 2t 1 2 2 1 ， 當 當且僅當 t 2t 即即 t 2 時取等號， 函數(shù)的值域為2 2 1 ， ) 題型三 定義域與值域的應(yīng)用 例 例 2 (1)(2021 廣州模擬) 若函數(shù) f(x) ax 2 abx b 的定義域為x|1 x 2 ，則a b 的值為_ 【答案】 92 【解析】數(shù) 函數(shù) f(x) 的定義域是不等式 ax 2 abx b 0 的解集不等式 ax 2 abx b 0 的解集為x|1

9、 x 2 ， 所以î îï ïí íï ïì ì a0， ，1 2 b， ，1 2 ba ，解得î îï ïí íï ïì ì a 32 ，b 3， ， 以 所以 a b 32 3 92 . (2) 已知函數(shù)y x 2 ax 1 2a 的值域為0 ， ) ，求 a 的取值范圍 【答案】 【解析】令 令 t g(x) x 2 ax 1 2a ，要數(shù) 使函數(shù) y t 的值域為0 ， ) ，則說明0 ，

10、 ) y|y g(x) ，即函數(shù) g(x) 對應(yīng)的一元二次方程的判別式 0 ，即 a 2 4(2a 1) 0， ，即 即 a 2 8a 4 0 ，解得 a 4 2 3或 或 a 4 2 3， ， a 的取值范圍是a|a 4 2 3或 或a 4 2 3 思維升華 已知函數(shù)的定義域、值域求參數(shù)問題，可通過分析函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合函數(shù)的圖 像 、性質(zhì)、轉(zhuǎn)化為含參數(shù)的方程( 組) 、不等式( 組) ，然后求解 練 跟蹤訓練 2 (1) 若函數(shù) f(x) ln(ax 1)在 在(2 ， ) 上有意義，則實數(shù) a 的取值范圍為 為_ 【答案】 ë ëé éø øö ö12 ， 】 【解析】數(shù) 要使函數(shù) f(x) ln(ax 1) 有意義，則 則 ax 10 ， 即 即 ax 10 在(2 ， ) 上恒成立， î î ï ïí íï ïì ì a0， ，2a 1 0， ，得 解得 a 12 . (2) 已知函數(shù) f(x) 12 (x 1) 2 1 的定義域與值域都是1 ，b(b1) ，則實數(shù) b _. 【答案】3 【解析】f(x) 12 (x 1) 2 1 ，x 1 ，b且 且b1 ，