(完整word版)高中數(shù)學(xué)概率重點問題探討(word文檔良心出品)_第1頁
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1、第1頁共 8 頁高中數(shù)學(xué)中古典概率應(yīng)用上之易錯處探究、基本概念(1) 分類計數(shù)原理:N二mi m2亠亠mn(2) 分步計算原理:N =m1m2mn(3) 排列:一般地,從n個元素中取出m個元素(mn),按照一定的順序排成一 列,叫做從n個元素中取出m個元素的一個排列。從n個元素中取出m個元素(m乞n) 的所有排列的個數(shù),叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù),用符號An表示,Am二n(n -1)( n - 2) (n - m i)。(4) 組合:一般地,從n個不同元素中取出m個元素(m空n)并成一組,叫做從n個元素中取出m個元素的一個組合。從n個元素中取出m個元素的所有組合的個數(shù), 叫做從n

2、個不同元素中取出m個元素的組合數(shù),用符號cn表示。(5)必然事件:在一定的條件下必然要發(fā)生的事件。(6)不可能事件:在一定的條件下不可能發(fā)生的事件。(7)隨機(jī)事件:在一定的條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件(8)在相同的條件下,進(jìn)行了n次試驗,在這n次試驗中,事件A發(fā)生的次數(shù)nA稱為事件A發(fā)生的頻數(shù)。比值A(chǔ)稱為事件A發(fā)生的頻率。n(9)一般地,在大量重復(fù)進(jìn)行同一實驗時,事件A發(fā)生的頻率總是接近于某個n常數(shù),在它附近擺動,這時就把這個常數(shù)叫做事件A的頻率,記作P(A),且一次實驗連同其中可能出現(xiàn)的每一個結(jié)果稱為一個基本事件,通常此試驗中的某一個事件A由幾個基本事件組成,如果一次實驗中可能出現(xiàn)的結(jié)果

3、有n個,即此實驗由n個基本事件1組成。而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等,那么每一個基本事件的概率都是-。如果某個事件A包含的結(jié)果有m個,那么事件A的概率mP(A廠n(n-1)(n -2) (n -m 1)m!第2頁共 8 頁1“有放回摸球”與“無放回摸球”“有放回摸球”與“無放回摸球”主要有以下區(qū)別:(1)無放回摸球主要是指每次摸出的球放在袋外,下次再摸球時總數(shù)比前次少一; 而有放回的摸球是每次摸出一球放在袋內(nèi),下次再摸球時袋內(nèi)球的總數(shù)不變。(2)“無放回摸球”各次抽取不是相互獨立的,而“有放回摸球”每次是相互獨立 的。下面通過一個例題來進(jìn)一步的說明“無放回摸球”與“有放回摸球”的區(qū)別。例1袋中有

4、1,2,3,,N號球各一個,采用無放回,有放回的兩種方式 摸球,試求在第k次摸球時首先摸到一號球的概率。解:設(shè)Bi為事件“第i次摸到一號球”(i =1,2,k)。1無放回摸球若把k次摸出的k個球排成一排,則從N個球任取k個球的每個排列就是一個基本 事件,因此基本事件的總數(shù)為以數(shù)碼1,2,,N中任取k個數(shù)碼的排列數(shù),n二P,F面求事件Bk包含的基本事件數(shù)m,事件Bk可分兩步完成:先在第k個位置上排上1號球,只有一種排法,再在前k -1個位置排其它N -1個球,共有P種排法,由乘法原理知,事件Bk包含的基本事件數(shù)為從而2有放回的摸球因為有放回摸球,每次袋中都有N個球,共摸k次,故共有Nk種可能結(jié)果

5、,既基本事件總數(shù)為n = Nk。事件Bk可分為兩步完成:前k -1次未摸到1號球,共有m = Nk,于是分析:對于有放回摸球與無放回摸球題型, 在審題時一定要注意是有放回還是無放 回,然后根據(jù)題意來考慮排列與組合的應(yīng)用,總之,一定要抓住題目的隱含條件與已 知條件的關(guān)系,所要求的問題與已知條件之間的連接點,這樣才能夠很快的解決問題 而不至于錯誤。、重點問題剖析k Am =1匯k-J二PN,P(Bk)訐二kN -JP)心直。nNk第3頁共 8 頁2“隔板法”隔板法是插空法的一種特殊情況,它的使用非常廣泛,能解決一大類組合問題。下 面用一個具體的例子來說明它的使用的優(yōu)越性。例2將9個相同的小球放到六

6、個不同的盒子里, 每個盒子至少放一個球,有多少種 不同放法。解法一:先在盒子里各放一個球,再把剩下的3個球放到6個盒子里,分三類:3個球放到一個盒子里,有C6種放法;3個球放到兩個盒子里,球數(shù)分別為2,1,共P62種放法;33個球放到3個盒子里,每個盒子各一個球,共C;種放法。根據(jù)分類計數(shù)原理,共有C6P62C =56種放法解法二(隔板法):把6個盒子看做由平行的7個隔板組成的,每一個滿足要求的 放法、相當(dāng)于9個小球和7個隔板的一個排列,其中2個隔板在兩頭,任何2個隔板 之間至少有1個球(既任何2個隔板不相鄰),把兩頭的2個隔板拿掉,每一個滿足要 求的放法還相當(dāng)于再排成一列的9個小球間8個空檔

7、中插入5個隔板,不同的放球方法即插隔板的方法,共有C;=56種。分析:對于用隔板法解決概率問題,一般都是將問題的思考角度進(jìn)行轉(zhuǎn)化,使問題 從多向思維向單一思維轉(zhuǎn)化,然后把問題的本質(zhì)找出來進(jìn)行剖析,問題自然就很好理 解了。上述解法2應(yīng)用了對應(yīng)的方法,轉(zhuǎn)化為插空問題,計算比較簡單,但不易理解, 等理解透徹后,就會發(fā)現(xiàn)隔板法是非常好用的,是具有普適性的方法。但一定要注意 的是應(yīng)用此法的前提是小球是完全相同(不加區(qū)分),盒子是不同的,每個盒子至少放 一球。例3要從高一年級8個班中產(chǎn)生12學(xué)生代表,每個班至少產(chǎn)生一名代表,則代 表名額的分配的方案至少有多少種?解:這個問題如果用原始的方法來分析,是比較麻

8、煩的額,但如果轉(zhuǎn)化問題的角 度,用“隔板法”來理解,這個問題就容易解決了。把12個名額看做12個相同小球,8個班看做8個不同的盒子,用隔板法知道名額分配方法共有C;種。3.分組問題分組問題時排列組合中的一個難點,主要有以下兩種情況。(1)非平均分組問題 在非平均分組問題中, 不管是給出組名或不給出組名, 其分組的方法相同。例4把12人分成如下三組,分別求出以下各種分組的方法數(shù):1分成甲、乙、丙三組,其中甲組7人、乙組3人、丙組2人。2分成三組,其中一組7人、一組3人、一組2人。解:先從12人中任選7人為甲組,余下5人中任選3人為乙組,剩下2人為丙 組,貝U共有C12C;3C|種不同的方法。第4

9、頁共 8 頁先從12人中任選7人為一組有C12種選法,再從余下5人中任選3人有C;種選第5頁共 8 頁法,剩下的兩人為一組,共有Ci;C;C;種不同的選法分析:在第一個問題中,學(xué)生很容易受到干擾,就是對于甲、乙、丙三組,和分成 三組時否需要乘以A;的問題。但是由于各組的人數(shù)不同,這個問題屬于非平均分組問 題,雖然第一小問給出了分組的名稱,但是這個并不影響最后的結(jié)果,它們的分組方 法都是一樣的。(2)平均分分組問題。分析:上面的非平均分組問題中,是否給出組名對結(jié)果沒有影響,但在平均分組問 題中一定要注意問題是否給出了具體的組名,它們的結(jié)果是不同的。例5有6本不同的書,按下列要求分配,各有多少種分

10、發(fā)。1分給甲、乙、丙三人,每人2本;2平均分成三份。解:從6本書中任取2本給一個人,再從剩下的4本中取2本給另外一個人,剩 下的2本給最后一個人,共有C;C:C;=90種分法。設(shè)平均分成三堆有x種分法,在分給甲乙、丙三人每人各說明:上面例子中可以看出:兩個問題都是分成三堆,每堆兩本,屬于平均分組問 題,而(1)分到甲、乙、丙三人,屬于到位問題,相當(dāng)于給出了甲、乙、丙三個指定 的組,但(2)沒有給出組名,因而是不同的。4.圓排列與重復(fù)組合問題(1)圓排列定義1:從n個不同的元素中任取m(m乞n)個,按照一定的順序排成圓形,叫做一個圓排列列數(shù),用符號Rm表示。例6 5個朋友坐在圓桌周圍時,席位排列

11、方法有幾種?解:設(shè)5個人分別為a,b,c,d,e,把他們排成一排時,排列的數(shù)目是5!,排成 圓形時,像下圖那樣只是轉(zhuǎn)了一個地方的排法被看做是一樣的,所以根據(jù)乘法原理得:5R55=5!2本,則應(yīng)有xA!CIC2Ccfccf種不同的分法規(guī)律:一般地,把nm個元素平均分到m個不同的位置,有種方法,把nm個不同元素平均分成m組有m!種分法定義2:從n個不同的元素中取出m(m空n)個元素的所有圓排列的個數(shù),叫做圓排CnnmC: (m4)川C寫C:第6頁共 8 頁所以Rv24答:席位的排列方法有24種。命題1:n個不同的元素的圓排列數(shù)尺=(n-1)!。例7有6名同學(xué)做成一圓圈做游戲,有多少種做法?解:據(jù)命

12、題一, =(6-1)! =120種。答:共有120種。證明:從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)為CT種,而將這m個元素排成圓形由命題1共有(m -1)!種方法,于是由乘法原理得Rm二現(xiàn)(m-1)!.(2)重復(fù)組合定義3:從n個不同的元素中任取m個元素,元素可以重復(fù)選取,不管怎樣的順序 并成一組,叫做重復(fù)組合。定義4:從n個不同的元素中取出m個元素的所有重復(fù)組合的個數(shù),叫做重復(fù)組合 數(shù),用符號H:表示。例8有5個數(shù)1,2,3,4,5,同一個數(shù)允許選用任意次,求從中選出3個的重復(fù)組合數(shù)。解:如果從5個中選出3個時,選的都是不同的數(shù),那么很明顯組合數(shù)為C;,但 是同一個數(shù)允許選用任意次,因此像(1

13、,1,1),(1,2,1),(4,4,5),的組合 也應(yīng)在算內(nèi),所以要想辦法,把問題轉(zhuǎn)化成選取的全是不同元素的問題,為了把上述(1,1,1),(1,2,1),(4,4,5)改成全是不同的數(shù),先把這些數(shù)按從小到大的順 序排列起命題2:從n個元素中取出m(m乞n)個元素的圓排列數(shù)第7頁共 8 頁來得到(1,1,1), (1,2,1), (4,4,5)。然后第一個數(shù)不 變,在第二個 數(shù)上加1,在第三個數(shù)上加2,這就變成:(1,2,3), (1,2,4), (4,6,7)般地(a,b,c).r (a,b 1,c 2),可以證明左右兩邊是一一對應(yīng)的(左右各有一組互相對應(yīng),一組不能和兩組以上對應(yīng))。這樣,

14、a,b,c中即使有相同的元素,在上述的一一對應(yīng)中,也能夠改變成沒有相同的元素組,所以從整體上來說,結(jié)果就成了從1,2,3,4,5,6,7的7個數(shù)中選取3個不同的元素的組合問題了,即337 6 5H5= C735。1x2x3答:從1,2,3,4,5中選取3個數(shù)的重復(fù)組合數(shù)為35。 命題3:從n個不同的元素中選取出m個元素的重復(fù)組合數(shù)為例9從3,5,7,11這4個質(zhì)數(shù)中任取兩個相乘,同一個數(shù)允許重復(fù)使用,可以 得到多少個不相同的乘積?解:根據(jù)命題3有:H:=C42 j-10個。答:可以得到10個不相等的乘積。分析:圓排列和重復(fù)組合問題時高考中的難點,學(xué)生在平時的理解過程中往往也存在很多的理解上的問

15、題,主要是因為他們在平時的訓(xùn)練當(dāng)中已經(jīng)習(xí)慣性的接受了全排 列和不重復(fù)組合的很多的例題,導(dǎo)致了思維的本能反應(yīng)而導(dǎo)致錯誤,老師在講解這兩 個知識點的時候最好能夠重新給學(xué)生建立相應(yīng)的知識體系,在講完這一個知識點以后 再與前兩個知識點進(jìn)行相應(yīng)的對照理解和學(xué)習(xí),這樣可能更好的促進(jìn)教學(xué),學(xué)生也能 夠很好的接受。5.連排與間隔排(1)排列中的“連排”問題(我們稱要求某些元素必須排在一起的排列問題為“連 排”問題):例10某班有學(xué)生38人,其中男生24人,女生14人,現(xiàn)將他們排成一排,女生 必須排在一起的排法有多少種?我們稱要求某些元素必須排在一起的排列問題為“連排”問題。解:由于14名學(xué)生必須排在一起,所以

16、我們可以將14名學(xué)生看成1個“人”,把38人的排列問題看成24+仁25人的問題,共有P2?種,再考慮到14名學(xué)生之間的排法R:,因此女生必須排在一起的排法種數(shù)為F2;5R;4種。一般地,在n個不同的元素中,某k個元素排在一起的排法種數(shù)有種。例11某班有38名同學(xué),其中第一組的12名同學(xué)必須排在一起且第一組中的5名女同學(xué)又必須排在一起的排列方法有多少種?解:將第一組的12名同學(xué)看成一個“人”。將38名同學(xué)的排列問題看成27人的排列的問題,共有排法P277種,再考慮到12名同學(xué)的排列方法,依照例1,可知第一組的第8頁共 8 頁12名同學(xué)要求5名女生排在一起的排法共有P88PS5種。因此總的排法種數(shù)

17、有P227P88PS5種命題4:一般地,n個不同元素的排列中,某k個元素必須排在一起的且在這k個分析:“連排”問題的類型很多,不可能一一例舉,處理“連排”問題的基本方法, 就是將要求排列在一起的元素看成一個整體,將它作為一個元素放到問題中去處理, 之后再考慮這個整體的內(nèi)部排列。(2) “間隔排”問題我們稱要求某些元素中的任何兩個都不能排列在一起的排列問題為“間隔排”問題。例12某班有59名同學(xué),其中第一小組有14名,現(xiàn)將他們排成一排且要求第一 小組的任何兩名同學(xué)都不排在一起的排法有多少種?解:首先將不要求間隔的同學(xué)先排列有P:5種排法,然后再將要求間隔排的同學(xué)插入已排的45位同學(xué)的46個空檔(

18、包括兩頭)中去,有P;6種插入方法,所以總的排法種數(shù)共有P64P455種。命題5: 般地,在n個不同元素的排列中,某k(k乞叩)個元素中的任何兩個元素不排列在一起的排法有Pnn,Pnl 1種。例13現(xiàn)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,用它們(不重復(fù))可組成多少個各位上奇偶 相間的六位數(shù)?解:首先將1,3,5先排共有P33種排法,再將2,4,6插入已排的1,3,5的空檔中去,考慮到奇偶數(shù)字要相間排列,故只有兩大插法。在2,4,6之間還要考慮順序關(guān)系,所以插法共有2P33種,故可組成2P33P33個奇偶相間的六位數(shù)。分析:處理“間隔排”問題的基本方法是將不要求間排的元素先排,之后再考慮將 要求間隔排的

19、元素插入已排元素的空檔中間去。2.3.6重復(fù)計算或者漏計算求解排列組合問題時,常有遺漏或重復(fù)的情況,導(dǎo)致解答錯誤,下面將求解排列組 合問題時幾類常見的錯誤進(jìn)行分析,以引起注意。(1)對一些數(shù)學(xué)概念的意義把握不準(zhǔn),出現(xiàn)遺漏或重復(fù)。例14數(shù)2310有多少個正約數(shù)?錯解:因為2310 = 2 3 5 7 11,所以從這5個質(zhì)數(shù)中分別取1個,取2個,取3個,取4個,取5個的積都是2310的正約數(shù),故正約數(shù)有C5+C;+C53+C;4+C;5=31(個)。分析:上述解法其實有遺漏,原因?qū)φs數(shù)的概念掌握不深入,所謂的正約數(shù)是指: 若有一個正約數(shù)c(此處的整數(shù)指正整數(shù)),使得整數(shù)a與b之間適合a二be,則稱b可 整除a,記作bIa,這時a稱為b的倍數(shù),b稱為a的約數(shù),因為1|2310,所以1也元素中的某I個元素有必須排在一起的排法共有Pn,:Pk對Pkk種第9頁共 8 頁是2310的一個正約數(shù),所以正確的解答為Cs+Cl+Cf+Cs +C5 +32(個)。(2)對題意要求或約束條件考慮不周,出現(xiàn)遺漏或重復(fù)或者不符題意的解答。例15用數(shù)字0,1,2, 3, 4, 5組成沒有重復(fù)數(shù)字的數(shù),能夠組成多少個大

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