2018年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試高考數(shù)學(xué)信息卷(十一)理

1、2018 年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試最新高考信息卷理科數(shù)學(xué)（一）注意事項(xiàng)：1 1、本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分。答題前，考生務(wù)必 將自己的姓名、考生號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2 2、回答第I卷時(shí)，選出每小題的答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào) 涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫(xiě)在試卷上無(wú)效。3 3、回答第n卷時(shí)，將答案填寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在試卷上無(wú)效。4 4、考試結(jié)束，將本試卷和答題卡一并交回。第I卷一、選擇題：本大題共1212 小題，每小題 5 5 分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有項(xiàng)是符合題目要求的。1 1 設(shè)集合M二3,log3a?,N a,b

2、?，若M仃N 0,，則M U N二（）A.A.3,0?B B.3,0,1?C.C.3,0,2?D.D.3,0,12?【答案】B B【解析】因?yàn)镸p|N0?,a 0，所以b =0，所以log3a=0,所以a =1，所以M.3,0?,N=1,0?，所以M J N：3,0,1，故選B.2 2已知a R,i為虛數(shù)單位若復(fù)數(shù)z二a|是純虛數(shù)則a的值為（）1 +iA.A. -1-1B B. 0 0C.C. 1 1D.D. 2 2【答案】C C【解析】由題意，復(fù)數(shù)z =a =aT1T =a一1一a 1為純虛數(shù)，1+i（1+i ）（1-i ）2則a 1 = 0，即a =1，故選C.3.若cos a1n . _

3、, 且冗,貝U sin 2a的值為（)12 /3224逅A.A.- -22B B.C.C.22D.D.4、2999 99 9-2 -【答案】A An又因?yàn)閟in : 0，所以.-0，所以cos：24 4已知等比數(shù)列 訂奩的前n項(xiàng)和Sn滿(mǎn)足4S5=3S4S6,且a2=1則a4等于（【答案】D D【解析】因?yàn)?S5= 3S4 S6，所以3S5- 3S4= S6- S5，所以3a5= a6,故q =3，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得a4= a2q4_2=1 32= 9，故選D.5.5.現(xiàn)有 5 5 人參加抽獎(jiǎng)活動(dòng)，每人依次從裝有 5 5 張獎(jiǎng)票（其中 3 3 張為中獎(jiǎng)票）的箱子中不放回地 隨機(jī)抽取一張，直到

4、 3 3 張中獎(jiǎng)票都被抽出時(shí)活動(dòng)結(jié)束，則活動(dòng)恰好在第4 4 人抽完后結(jié)束的概率為（）【答案】C C【解析】將 5 5 張獎(jiǎng)票不放回地依次取出共有C5=10種不同的取法，若獲恰好在第四次抽獎(jiǎng)結(jié)束，則前三次共抽到2 2 張中獎(jiǎng)票，第四次抽的最后一張獎(jiǎng)票，共有 為 P P = =，故選 C.C.106.6.個(gè)幾何體的視圖如下圖所示，則該幾何體的外接球的表面積為（ 勺，所以灼0,b 0)，得A(-a,0 ), B(a,0 ), F (-c,0 ),a b又過(guò)點(diǎn)F作垂直與x軸的直線(xiàn)分別在第二，第三象限角雙曲線(xiàn)C于P、Q兩點(diǎn),-9 -aCx，令x=0，得y-c ，即E0, c - a,11212已知函數(shù)f

5、 xax2- x-1exaR若對(duì)區(qū)間101 1內(nèi)的任意實(shí)數(shù)Xi、x?、X3，都2有f Xif x?- f x3，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A.A.1,2丨B B.e,41C.C.1,41D.D.i,2ije,41【答案】C C【解析】由題得x = ax - ”ex x -1 ex= ax - xex= x a - ex,當(dāng)a 1時(shí)，x：0,所以函數(shù)f x在1.0,1單調(diào)遞減，因?yàn)閷?duì)區(qū)間0,11內(nèi)的任意實(shí)數(shù)捲、X2、X3，都有f為f x?- f x3,所以f 1 f 1一f 0，所以丄a丄a _1,2 2故a -1，與a : 1矛盾，故a -1不成立.當(dāng)1乞a：e時(shí)，函數(shù)f x在（0,1 na】單

6、調(diào)遞增，在In a,1單調(diào)遞減.X2、X3，都有f x,f x?- f X3,所以Pb2)如圖所示，設(shè)因?yàn)镼M二2MF,解得 口A,E三點(diǎn)共線(xiàn)，所以kAE= kMA，即3，a c a又由直線(xiàn)PB的又因?yàn)閎2=C2-a2，整理得c -a所以f (x max= f(In a )=1a In2a -aln a a,2因?yàn)閷?duì)區(qū)間0,11內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x1， 即M3abT3a2 2Ca，即c=2a，所以3a c-a-10 -所以f0f1_f Ina所以1_如Jaal na a,121即一aln a-al naa-10,2 2121令g a aln a-alnaa -1,1 _a：e,12所以a ln a-

7、1：0，所以函數(shù)g a在1,e上單調(diào)遞減，所以g amax二g 1 =0,所以當(dāng) 仁a :e時(shí)，滿(mǎn)足題意.當(dāng)a_e時(shí)，函數(shù)f x在0,1單調(diào)遞增，因?yàn)閷?duì)區(qū)間0,11內(nèi)的任意實(shí)數(shù)X1、X2、X3，都有f為fX2- fX3,1所以f 0 f 0 _ f 1，故11 a，所以a空4，故e乞a乞4；綜上所述，a- 1,4；故選C.第n卷本卷包括必考題和選考題兩部分。第(13)(21)(13)(21) 題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第(22)(23)(22)(23) 題為選考題，考生根據(jù)要求作答。、填空題：本大題共4 4 小題，每小題 5 5 分。1313.若兩個(gè)非零向量a、b滿(mǎn)足a+b=|a-b

8、= 2 b,則向量a + b與a的夾角為_(kāi)n【答案】-6【解析】設(shè)b= 1，貝Ua+b=|ab= 2, a b = 0，故以a、b為鄰邊的平行四邊形是矩形，且a = J3x y _ 0X-yO，貝V 3x - 2y的最大值為設(shè)向量a b與a的夾角為二，則cos =a2a b a|ab1414 .設(shè)變量X,y滿(mǎn)足約束條件-11 -3x y乞4【答案】5 5-12 -【解析】畫(huà)出不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖所示,由圖象可知，當(dāng)直線(xiàn)y-過(guò)點(diǎn)A點(diǎn)時(shí)，直線(xiàn)在縱軸的截距最大,2 2所以目標(biāo)函數(shù)的最大值為3 1 2 1=5.1515已知F為拋物線(xiàn)E:y2=2px p 0的焦點(diǎn)，過(guò)F作傾斜角為30的直線(xiàn)I與

9、拋物線(xiàn)E交于A、B兩點(diǎn)，過(guò)A、B向E的準(zhǔn)線(xiàn)作垂線(xiàn)，垂足分別為C、D，設(shè)CD的中點(diǎn)為M,則|MF =_.【答案】2P聯(lián)立直線(xiàn)和拋物線(xiàn)的方程得2 24x -28px p=0.設(shè)A音，力、B x2, y2，則為x?=7 p,所以設(shè)AB的中點(diǎn)為N且其的橫坐標(biāo)為 為一=-p,2 2所以N的縱坐標(biāo)為y p 3p =.3p,326所以|MF| = J3p2+p2=2p，故填2p.1616記m二d1a1 d2a2d佝佝，若擊是等差數(shù)列，則稱(chēng)m為數(shù)列訂,的“dn等差均n值”；若是等比數(shù)列，貝U稱(chēng)m為數(shù)列aj的“dn等比均值”.已知數(shù)列的“2n-1【解析】設(shè)直線(xiàn)的方程為y -0 =設(shè)目標(biāo)函數(shù)z = 3x - 2

10、y，化簡(jiǎn)得此時(shí)目標(biāo)函數(shù)取得最大值，由，解得!xy=!，即A1,1，-13 -n項(xiàng)和為Sn,若對(duì)任意的正整數(shù)n都有Sn乞S6，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是【答案】13.11K 54【解析】a1- 3a22 n -1 an,由題得2-,所以ai 3a2| 2n -1 an= 2n,n所以印3a2 III 2n -3 and-2n -2，兩式相減得an:2n 1又由題得3 :3b23乜，所以b3b2|3nbn=3n,n所以b,3b2J| 3nbnJ-3n -3，兩式相減得bn=32，所以cn= 2 -k n 2k -1，因?yàn)閷?duì)任意的正整數(shù)n都有Sn S6，所以C6，c 01311丄士1311解之得K，故填K

11、5454三、解答題：解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。1717. (1212 分)已知ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c其面積為S，且b c2-a2=4、3S.(1) 求角A;(2) 若a =、3,b二m m 0，當(dāng)ABC有且只有一解時(shí)，求實(shí)數(shù)m的范圍及S的最大 值.【答案】(1 1)A =n; (2 2)3-3等差均值”為2 2，數(shù)列仏？的“3n-等比均值”為 3 3記2cn二an-k log3bn，數(shù)列tCn?的前-14 -34【解析】(1 1)由己知b2 c2-a2 2bc = 2、3bcsi nA,由余弦定理得2bccos A 2bc = 2、3bcsin A,所以co

12、sA 13s in A,即sin A-n=丄,I 6丿2-15 -n I n5n 匚廠(chǎng)、n nn彳畀所以A一匸6,A盲(2)由己知，當(dāng)ABC有且只有一解時(shí),當(dāng)m=2時(shí)，ABC為直角三角形，1133,2 21818. ( 1212 分)某市教育部門(mén)為了了解全市高一學(xué)生的身高發(fā)育情況，從本市全體高一學(xué)生中隨機(jī)抽取了 100100 人的身高數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析經(jīng)數(shù)據(jù)處理后，得到了如下圖1 1 所示的頻事分布直方圖，并發(fā)現(xiàn)這 100100 名學(xué)生中，身不低于 1.691.69 米的學(xué)生只有 1616 名，其身高莖葉圖如下圖 2 2 所示，用樣本的身高頻率估計(jì)該市高一學(xué)生的身高概率.:Am 0, n,msi

13、n - -. 3或03:m3，所以0,、一3 U2?;當(dāng)0 : m乞J3時(shí)，由正弦定理msin Bm = 2sin B，sin31_2n3S 3sinB sinC =、3sin B sin一B sin BcosB23二si n2B23si n BcosB23sin2B31cos2B3前2B -上2 2 2 2冗冗 冗-2BJ r所以，當(dāng)B=丄時(shí),3Smax3.3,2綜上所述，Smax334冗-16 -(1)求該市高一學(xué)生身高高于 1.701.70 米的概率，并求圖 1 1 中a、b、c的值.(2)若從該市高一學(xué)生中隨機(jī)選取 3 3 名學(xué)生，記為身高在1.50,1.70的學(xué)生人數(shù)，求的 分布列和

14、數(shù)學(xué)期望；(3)若變量S滿(mǎn)足P -；：S： 0.6826且P- 2-: S2- 0.9544, 則稱(chēng)變量S滿(mǎn)足近似于正態(tài)分布N亠匚2的概率分布.如果該市高一學(xué)生的身高滿(mǎn)足近似于正態(tài)分布N 1.6,0.01的概率分布，則認(rèn)為該市高一學(xué)生的身高發(fā)育總體是正常的.試判斷該市高一學(xué)生的身高發(fā)育總體是否正常，并說(shuō)明理由.【答案】(1 1)見(jiàn)解析；(2 2)見(jiàn)解析；(3 3)見(jiàn)解析.【解析】(1 1)由圖 2 2 可知，100100 名樣本學(xué)生中身高高于1.701.70 米共有 1515 名，以樣本的頻率估計(jì)總體的概率，可得這批學(xué)生的身高高于1.701.70 的概率為 0.150.15 .記X為學(xué)生的身高

15、，結(jié)合圖1 1 可得：2f 1.301.4f 1.80：X 1.900.02,13f 1.40：X E1.50；=f 1.70：X 1.800.13,100, , 1f 1.50：X_1.60二f 1.60：X _1.701 -2 0.02 2 0.13 = 0.35,又由于組距為 0.10.1，所以a =0.2,b=1.3,c=3.5.(2 2)以樣本的頻率估計(jì)總體的概率，可知從這批學(xué)生中隨機(jī)選取1 1 名，身高在1.50,1.70】的概率為-17 -P 1.50：X乞1.70 = f 1.50：X乞1.60 f 1.60：X 1.70 =0.7,因?yàn)閺倪@批學(xué)生中隨機(jī)選取3 3 名，相當(dāng)于三

16、次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)，所以隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布B 3,0.7,故的分布列為：P = n =C30.3310.7nn =0,1,2,3,-18 -E0 01 12 23 3P&）0.0270.0270.1890.1890.4410.4410.3430.343E =0 0.027 1 0189 2 0.441 3 0.343 = 2.1（或E=3 0.7 =21）（3 3）由N 1.6,0.01，取=1.60,；:,01,由（2 2）可知，P-；X：；- P 1.50：X乞1.70=0.7 0.6826,又結(jié)合（1 1）,可得：P（4 2bX蘭卩+2b）=P（1.40cX W1.80）,=2 f

17、 1.70X E1.80 P（1.50：X乞1.70） =0.96 0.544,N 1.6,0.01的概率分布，應(yīng)該認(rèn)為該市高一學(xué)生的身高發(fā)育總體是正常的.AD/BC,PA =AB =AC二AD =3,BC = 4,M為線(xiàn)段AD上一點(diǎn)，2AM二MD,N為PB的中點(diǎn).(1) 證明：MN/平面PCD;(2) 求直線(xiàn)PN與平面AMN所成角的正弦值.【答案】(1 1)見(jiàn)解析.(2 2)色.71【解析】(1 1)由己知得AM AD =1,DM =2,3取CP的中點(diǎn)T,連接DT,TN由N為PB中點(diǎn)知TN/BC,TN二丄BC = 2,2又AD/BC故TN/DM，四邊形DMNT為平行四邊形，于是MN/DT.因

18、為DT平面PCD,MN二平面PCD，所以MN/平面PCD.(2 2)取BC的中點(diǎn)E,連結(jié)AE,由AB二AC得AE _ BC，從而AE AD,所以這批學(xué)生的身高滿(mǎn)足近似于正態(tài)分布1919. ( 1212 分)如下圖，四棱錐P ABCD中，PA1底面ABCD,BC-19 -,AM = 0,1,0,AN , -12 2y2=1的右焦點(diǎn)為F，坐標(biāo)原點(diǎn)為O.橢圓C的動(dòng)弦AB過(guò)右焦點(diǎn)F且不垂直于坐標(biāo)軸，AB的中點(diǎn)為N，過(guò)F且垂直于線(xiàn)段AB的直線(xiàn)交射線(xiàn)ON于點(diǎn)M.(1 1)求點(diǎn)M的橫坐標(biāo);(2 2) 當(dāng) OMF最大時(shí)，求 MAB的面積.【答案】(1 1)見(jiàn)解析；(2 2)出0.10【解析】(1 1)易知F

19、2,0，設(shè)AB所在直線(xiàn)為y二kx-2 k = 0,A x1,y1,B x2,y2,In AM =0 -y可取心)5n AN =0即丿453，可取n=下,-1x - y十z = 0&5丿、一22設(shè)n =x, y, z為平面AMN的法向量,故直線(xiàn)PN與平面AMN所成角的正弦值為則T 1n PNcos c n,PN=n |PlN3_3514 3也2752以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AE的方向?yàn)閤軸正方向，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)_ xyz，由題意知，A 0,0,0，P 0,0,3，M 0,1,0，B(g ), N可，2X2020. ( 1212 分)已知橢圓 -5且AE = . AB2-BE2-

20、20 -聯(lián)立方程組2X2.y 15，化簡(jiǎn)得y=k x-22 2 2 25k 1 x -20k x 20k -5 = 0,由韋達(dá)定理得x-ix2=20k25k21x-|x220k2一55k2110k22k（5k2+1 5k2+1丿從而ON所在直線(xiàn)方程為15k又FM所在直線(xiàn)方程為（2 2）由（1 1）得M 5,1 12 22k，則詬1，2k，紡處，2k則cos OMF二5 J4225k26k1 4225k410k2116k2125k426k211625k226!k2_二5(當(dāng)且僅當(dāng)321k2=時(shí)取等號(hào))，5當(dāng)COS. OMF取得最小值時(shí)，OMF最大，此時(shí)x1*2=2,AB二1 k2片_x211, 22_4 （_；）FMm+4嚴(yán)1，從而SAMAB=一AB FM23 30102121. （1212 分）已知函數(shù)f x =1 nxmxT,g x =xl nx-n x2-1 m, n R.(1)若函數(shù)f x,g x在區(qū)間0,1上均單調(diào)且單調(diào)性相反，求m,n的取值范圍;x，-21 -22 -（2 2）若O”：a：b，證明：,0b,0b 4 4In a