第7章初等模型

1、第七章初等模型如果研究的問(wèn)題或?qū)ο蟮臋C(jī)理比較簡(jiǎn)單，通常用靜態(tài)、線性、確定性模型描述就能達(dá)到建模目的時(shí)，基本上就可以用初等數(shù)學(xué)的方法構(gòu)造和求解模型。本章通過(guò)椅子放穩(wěn)、學(xué)生會(huì)代表名額分配、汽車的安全剎車距離、生豬體重的估計(jì)、 核軍備競(jìng)賽、 使用新材料與新方法的房屋節(jié)能效果等問(wèn)題，介紹用初等數(shù)學(xué)構(gòu)造和求解模型的方法與技巧。需要說(shuō)明的是，一個(gè)數(shù)學(xué)模型的好差在于其應(yīng)用效果，不在于其使用了多么高深的數(shù)學(xué)方法與技巧。也就是說(shuō)，一個(gè)問(wèn)題可用初等數(shù)學(xué)構(gòu)造和求解模型，也可用高等數(shù)學(xué)構(gòu)造和求解模型，如果應(yīng)用效果差不多，那么前者是好的。§7.1椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎一、問(wèn)題的提出這個(gè)問(wèn)題來(lái)自日常生活中一

2、件普通的事實(shí)：把椅子往不平的地面一放，通常只有三只腳著地，放不穩(wěn)，然而只要稍微挪動(dòng)幾次，就可以使四只腳同時(shí)著地，放穩(wěn)了。請(qǐng)用數(shù)學(xué)模型證明為什么能放穩(wěn)。二、問(wèn)題分析此問(wèn)題與數(shù)學(xué)有關(guān)嗎？由常識(shí)我們知道，椅子是不能在臺(tái)階上放穩(wěn)的。同樣地，如果地面某處凹凸太厲害，以至于凹凸的幅度超過(guò)椅腿的長(zhǎng)度，椅子也不能放穩(wěn)。所以椅子能在地面上放穩(wěn)是指在相對(duì)平坦的連續(xù)地面上放穩(wěn)。通常椅子有四條一樣長(zhǎng)的腿， 四腳共圓； 椅腳一般加工成較小的 “面 ”，椅子在地面上放穩(wěn)是四腳同時(shí)著地，而椅腳著地只要椅腳面上有一點(diǎn)與地面上一點(diǎn)接觸就可以了。移動(dòng)椅子有三種方法：旋轉(zhuǎn)；平移；平移加旋轉(zhuǎn)。其中旋轉(zhuǎn)要設(shè) 1 個(gè)變量；平移要 2 個(gè)

3、；平移加旋轉(zhuǎn)要 3 個(gè)。為了簡(jiǎn)單起見采用旋轉(zhuǎn)法。如何旋轉(zhuǎn)？由于四腳共圓，繞這個(gè)圓心旋轉(zhuǎn)。三、假設(shè)1、四條腿一樣長(zhǎng)，椅腳與地面點(diǎn)接觸，四腳共圓；2、地面高度連續(xù)變化，可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面；3、地面相對(duì)平坦，使椅子在任意位置至少三只腳同時(shí)著地。四、建立模型以椅子移動(dòng)前四腳所在的平面建立平面直角坐標(biāo)系（見圖7.1.1），使得四腳 A 、 B、 C、D 共圓的圓心與坐標(biāo)原點(diǎn)重合。用 表示旋轉(zhuǎn)，則四腳與地面的距離隨的變化而變化，即四腳與地面的距離都是關(guān)于的一元函數(shù)，分別用hA ( ) 、 hB ( ) 、 hC ( ) 、 hD ( ) 表示旋轉(zhuǎn)后腳 A 、腳 B、腳 C、腳 D 與地面的距離。 由假

4、設(shè) 2 可知， hA ( ) 、hB ( ) 、 hC ( ) 、 hD ( ) 均為 的連續(xù)函數(shù)。這時(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：求0 ，使hA ( 0 )hB ( 0 )hC ( 0 )hD ( 0 )0 。這是一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，如何解決？很容易讓我們想到用連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)解決，但面對(duì)4 個(gè)函數(shù)不好直接證明，只能尋求轉(zhuǎn)化。把4 個(gè)函數(shù)變成 2 個(gè)函數(shù)，可以通過(guò)兩對(duì)角線分別組合；對(duì)邊分別組合；也可以一腳成一個(gè)函數(shù)，另三腳組合成一個(gè)函數(shù)。因此一般模型這樣建立：對(duì)于四腳與地面距離有4 個(gè)函數(shù)，旋轉(zhuǎn)前不著地的幾腳與地面距離之和記為f ( ) ， 其它腳與地面距離之和記為g ( ) 。顯然f ( ),g( ) 是連續(xù)

5、函數(shù)；對(duì)任意， f ( )g( )0 ，且 g (0)0 ，f (0)0 。證明：存在0 ，使 f ( 0 )g ( 0 )0。yB 'BA 'COAxC 'DD '圖 7.1.1 椅子四腳坐標(biāo)圖五、模型求解將椅子旋轉(zhuǎn)，使 f ( )0 。令 h()f ( ) g() ，由 f () , g( ) 的連續(xù)性知 h() 連續(xù)，而且 h(0)0 和 h()0。如果 h()0 ，那么 f ( )g()0，即椅子旋轉(zhuǎn)后四腳同時(shí)著地。如果 h()0 ，那么 h(0)h( )0。據(jù)連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì), 必存在0 0, 使使 h( 0 ) 0 , 即使 f ( 0 )g(0

6、) 。因?yàn)?f ( ) g( )0, 所以f ( 0 )g( 0 )0 ，即椅子從初始位置旋轉(zhuǎn)0 后四腳同時(shí)著地。六、評(píng)注如果四腳呈正方形，通過(guò)兩對(duì)角線分別組合構(gòu)造f ( ) ,g ( ) ；將椅子旋轉(zhuǎn)/ 2 而證明。如果四腳呈矩形， 通過(guò)兩對(duì)邊分別組合構(gòu)造g( ) ；將椅子旋轉(zhuǎn)而證明。f ( ),§7.2學(xué)生會(huì)代表名額分配一、問(wèn)題的提出某高校一學(xué)院有 3 個(gè)系共 1000 名學(xué)生， 其中甲系有 500 名，乙系 300 名，丙系 200 名。若學(xué)生代表會(huì)議設(shè) 20 個(gè)席位， 公平而又簡(jiǎn)單的是按學(xué)生人數(shù)的比例分配，顯然甲乙丙三系分別應(yīng)占有10， 6， 4 個(gè)席位。丙系 30 名學(xué)生提

7、出轉(zhuǎn)系， 經(jīng)批準(zhǔn)各有 15名學(xué)生分別轉(zhuǎn)到甲系和乙系。按學(xué)生人數(shù)的比例分配，三系分別應(yīng)占有10.3， 6.3， 3.4 個(gè)席位。但席位數(shù)只能是自然數(shù)！于是有比例加慣例的分配法：將取得整數(shù)的19 席以 10，6，3 分配完畢后，三系同意剩下的一席分給比例中小數(shù)最大的丙系，于是三系分別占有 10， 6， 4 席。因?yàn)橛?20席的代表會(huì)議在表決提案時(shí)可能出現(xiàn) 10：10 的局面， 會(huì)議決定下一屆增加1 席。他們按照比例加慣例的分配法重新分配席位， 三系分別占有11，7，3 席。顯然這個(gè)對(duì)丙系太不公平了，總席位增加 1 席，而丙系卻由4 席減為3 席。上述例子說(shuō)明我們要找到衡量公平分配席位的指標(biāo)，并由此

8、建立新的分配方法 。二、問(wèn)題分析我們先討論 A ，B 兩方公平席位的情況。設(shè)兩方人數(shù)分別為 p1 和 p2 ，占有席位分別是n1 和 n2，則兩方每個(gè)席位代表的人數(shù)分別為p1 / n1 和p2 / n 2 ，而且我們知道顯然僅當(dāng)p1 / n1p 2 / n2 時(shí)席位的分配才是公平的，但是因?yàn)槿藬?shù)和席位都是整數(shù)，所以通常是 p1 / n1 和 p 2/ n 2 并不相等， 這時(shí)的席位分配不公平，并且pi / ni (i 1 , 2)數(shù)值較大的一方吃虧，或者說(shuō)對(duì)這方不公平。三、建立公平分配席位的指標(biāo)不妨假設(shè) p1/ n1 p2/ n2 ，則不公平程度可用數(shù)值p1 / n1p2 / n2 描述不公平

9、，它衡量是不公平的絕對(duì)程度，常常無(wú)法區(qū)分兩種程度明顯不同的不公平情況。為了改進(jìn)上述絕對(duì)標(biāo)準(zhǔn)，自然想到用相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)，即把p1 / n1p2 / n2定義為對(duì) A 的相對(duì)不公平度rA (n1 , n 2 ) 。同樣可定義為對(duì) Bp2/ n2的相對(duì)不公平度rB (n1 , n2 )p2 / n 2p1 / n1。p1/ n1建立了衡量不公平程度的數(shù)量指標(biāo)后，制定席位分配的方案的原則是使它們盡可能小。四、公平分配席位的方法假設(shè) A ，B 兩方已占有 n1 和 n 2席，利用相對(duì)不公平度 rA 和 rB 討論，當(dāng)總席位增加一席時(shí)，應(yīng)該分配給A還是B。不失一般性可設(shè)p1/ n1p2/ n2，當(dāng)再分配一席時(shí)，

10、 關(guān)于 pi / ni (i1, 2)的不等式可能有以下3 種情況：（ 1） p1 /( n11)p2/ n2 ，這說(shuō)明即使 A 方增加一席， 仍然對(duì) A 不公平，所以這一席顯然應(yīng)該分給A 方。（ 2） p1/( n11)p2 / n2 ，說(shuō)明當(dāng) A 方增加一席時(shí)將變得對(duì)B 不公平，這時(shí)我們可計(jì)算出對(duì)B 的相對(duì)不公平度為rB (n11 , n 2 )p 2/ n2p1/(n1 1)p 2 ( n11)p1 /(n11)p1 n21（ 3） p1/ n1p2/(n21) ，即當(dāng) B 方增加一席時(shí)對(duì) A 不公平，這時(shí)我們可以計(jì)算出對(duì)A 的相對(duì)不公平度為rA (n1 , n21)p1 / n1p2

11、/( n2 1)p1 (n 21) 1p2/( n21)p 2 n1由于公平席位的原則是使得相對(duì)不公平度盡量地小，如果r A ( n1 , n2 1)rB (n11, n2 ) ，即p12p 22，那么這1席分給 An1 ( n11)n2 (n21)22方；如果rA (,n2 1)，即p2p1，那么這 11B12nr( n 1, n1)n1 (n1 1)n2 ( n2席分給 B 方。pi2記 Qi(i1 , 2) ，則增加的 1席應(yīng)分給 Q 值較大的一方。ni ( ni1)此方法可以推廣到有m 方分配席位的情況：設(shè)第i 方人數(shù)為 pi ，已占pi2有個(gè)席位 ni ， i1,2, m 。當(dāng)總席位

12、增加1 席時(shí)，計(jì)算 Qi，ni (ni1)i 1 , 2 , , m ，應(yīng)將這一席分給 Q 值最大的一方。如果算到兩個(gè)或兩個(gè)以上的 Q 值同時(shí)達(dá)到最大值時(shí)該怎么辦呢？這時(shí)只能用抽簽的方法解決了。五、問(wèn)題的解決回到某高校一學(xué)院學(xué)生代表會(huì)議21 個(gè)席位的分配問(wèn)題，前19 個(gè)席位應(yīng)是 10，6，3 的分配方案，接下來(lái)的工作就是用Q 值法分配第20、21 席了。對(duì)于第 20 席，由 Q1 96.4 、 Q294.5 、 Q396.3 知這一席應(yīng)該分給甲系。對(duì)于第 21 席，由 Q180.4 、 Q2 94.5 、 Q396.3 知這一席應(yīng)該分給丙系。注：用 Q 值法從第 1 個(gè)席位一直算到第21 個(gè)席

13、位后，分配結(jié)果仍是甲、乙、丙三系的席位分別為11， 6， 4。這樣， 21 個(gè)席位的分配結(jié)果是三系分別占有11， 6， 4 席，丙系保住了險(xiǎn)些喪失的一席。六、評(píng)注Q 值方法比 “比例加慣例 ”方法更公平嗎？m 方人數(shù)分別為 p1 , p 2, p m ,記總?cè)藬?shù)為Pmpi, 待分配的i 1總席位為 N 。設(shè)理想情況下m 方分配的席位分別為n1 , n2 , nm ( 自然應(yīng)有 Nmni， 并 且 nin( p, p , p, N) ， 記q pN / P，i 1i12miii 1 , 2 , , m ，則席位分配的理想化準(zhǔn)則（ 1） q i ni qi 1 ， i1 , 2 , , m ；（

14、2）ni ( p1 , p2 , p m , N )ni ( p1 , p2 , , p m , N 1) ，i 1 , 2 , , m 。“比例加慣例 ”滿足原則 （ 1）而不滿足原則 （ 2）；Q 值法滿足原則 （2），不滿足原則（ 1）。那么到底有沒(méi)有一種方法能同時(shí)滿足兩個(gè)原則呢？令人遺憾的是，沒(méi)有找到能同時(shí)滿足這兩個(gè)法則的分配方法。七、問(wèn)題設(shè)席位數(shù)分別為1 , 2 ,，計(jì)算各方一名代表代表的人數(shù)，從每一方一名代表代表的人數(shù)盡可能接近來(lái)分配代表席位。請(qǐng)用這種方法(DHondt)對(duì)本節(jié)開始的某高校一學(xué)院學(xué)生代表會(huì)議的席位進(jìn)行分配，并說(shuō)明這種方法滿足原則（2）而不滿足原則（1）。如果你學(xué)習(xí)了

15、概率論，能否從數(shù)學(xué)期望和方差的角度提出一種分配方法？§7. 3汽車的安全剎車距離一、問(wèn)題的提出美國(guó)某些汽車司機(jī)培訓(xùn)課程中的駕駛規(guī)則：在正常駕駛條件下, 車速每增加 10 英里 /小時(shí)，后車與前車的距離應(yīng)增加一個(gè)車身長(zhǎng)度。 我們稱為 “車身規(guī)則 ”。實(shí)現(xiàn)這個(gè)規(guī)則的簡(jiǎn)便方法是 “2秒法則 ” ：后車司機(jī)從前車經(jīng)過(guò)某一標(biāo)志開始默數(shù) 2 秒鐘后到達(dá)同一標(biāo)志，而不管車速如何。需要解決的問(wèn)題： “2秒法則 ”與 “車身規(guī)則 ”是否一樣；通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型，尋求更好的駕駛規(guī)則。二、問(wèn)題分析常識(shí)：剎車距離與車速有關(guān)。“10 英里 /小時(shí) ( 16 公里 /小時(shí) )車速下 2 秒鐘行駛 29 英尺 (

16、9 米 )”大于“車身的平均長(zhǎng)度 15 英尺 (4.6 米 )”。由此可見， “2秒準(zhǔn)則 ”與 “ 10英里 / 小時(shí)加一車身 ”規(guī)則不同。剎車距離由反應(yīng)距離和制動(dòng)距離構(gòu)成。而反應(yīng)距離受司機(jī)的反應(yīng)時(shí)間及汽車速度影響。每個(gè)司機(jī)的大腦反應(yīng)狀況不同，不同汽車的制動(dòng)系統(tǒng)靈活性有差異，為了確定反應(yīng)距離，需要在汽車制動(dòng)系統(tǒng)靈活的條件下假定司機(jī)的反應(yīng)時(shí)間為常數(shù)（可以通過(guò)若干司機(jī)反應(yīng)時(shí)間的平均值表示）。制動(dòng)距離由汽車制動(dòng)器作用力、車重、車速、道路、氣候等確定，最大制動(dòng)力與車質(zhì)量成正比，使汽車作勻減速運(yùn)動(dòng)。由于各汽車的車重、車速不盡相同，汽車行駛的道路以及氣候也有差異，為了確定制動(dòng)距離，需要假定道路、氣候?qū)χ苿?dòng)

17、距離沒(méi)有影響。三、假設(shè)1、剎車距離d 等于反應(yīng)距離d1 與制動(dòng)距離d 2 之和；2、道路、氣候?qū)χ苿?dòng)距離沒(méi)有影響，汽車制動(dòng)系統(tǒng)靈活，汽車最大制動(dòng)力 F 與汽車質(zhì)量 m 成正比（比例系數(shù)為正常數(shù) c ），使汽車作勻減速運(yùn)動(dòng)；3、司機(jī)的反應(yīng)時(shí)間t1 為常數(shù)，反應(yīng)距離與汽車速度成正比。四、建立模型用 v 表示剎車前的汽車速度（大?。?。由假設(shè) 3，有d1vt1（7.3.1）剎車時(shí)使用最大制動(dòng)力F ， F 作功等于汽車動(dòng)能的改變，即Fd 2 mv2 / 2（ 7.3.2）由假設(shè) 2有Fcm（7.3.3）把式（ 7.3.3）代入式（ 7.3.2），并記 (2c) 1k ，有d 2kv 2（ 7.3.4）

18、結(jié)合式（）與式（），有d vt1 kv2（ 7.3.5）式（）即是所建立的模型，反映了剎車距離與汽車速度的關(guān)系。五、參數(shù)的估計(jì)反應(yīng)時(shí)間 t1 的經(jīng)驗(yàn)估計(jì)值為0.75 秒，利用交通部門提供的一組實(shí)際數(shù)據(jù)（表 7.3.1 前三列，第三列括號(hào)內(nèi)的數(shù)字為最大實(shí)際剎車距離）擬合k 。表 7.3.1 實(shí)際數(shù)據(jù)與擬合后的計(jì)算數(shù)據(jù)車速實(shí)際剎車距離 計(jì)算剎車距離 剎車時(shí)間(英里 /小時(shí) )( 英尺 /秒)（英尺）（英尺）（秒）2029.342（ 44）39.01.53044.073.5（ 78）76.61.84058.7116（ 124）126.22.15073.3173（ 186）187.82.56088.0

19、248（ 268）261.43.070102.7343（ 372）347.13.680117.3464（ 506）444.84.3使用最小二乘法,編寫 Mathematica 程序：fp=ListPlotb, PlotStyle->PointSize0.2, RGBColor0,1,0ft=Fitb,1,x,xgp=Plotft,x,20,120,PlotStyle->RGBColor1,0,0Showfp,gp運(yùn)行程序后 ,有 k0.0256 。把 k0.0256 代入式（），計(jì)算剎車距離 （表7.3.1 第四列）。依據(jù)最大實(shí)際剎車距離可得剎車時(shí)間（表 7.3.1 最后一列）。六

20、、問(wèn)題的解決“2秒準(zhǔn)則 ”應(yīng)作修正 ,修正的準(zhǔn)則稱為“t 秒準(zhǔn)則 ”（見表 7.3.2 ）。表 7.3.2t秒準(zhǔn)則車速（英里 /小時(shí)）010104040606080t （秒）1234七、評(píng)注修正的 “t 秒準(zhǔn)則 ”能在實(shí)際中應(yīng)用嗎?實(shí)際上應(yīng)考慮車輛型號(hào)與載重量，還要考慮路況與天氣。請(qǐng)有興趣的同學(xué)組成小組與汽車生產(chǎn)企業(yè)或交通安全部門合作研究。§7. 4生豬體重的估計(jì)一、問(wèn)題的提出豬肉是我國(guó)人民的主要副食品，因此生豬的生產(chǎn)、收購(gòu)和屠宰對(duì)豬肉的市場(chǎng)供應(yīng)起著重要的作用。自然產(chǎn)生問(wèn)題：生豬養(yǎng)殖者、生豬收購(gòu)者乃至屠宰者需要對(duì)生豬體重作出估計(jì)。二、問(wèn)題分析對(duì)生豬體重估計(jì)通常通過(guò)體形來(lái)估計(jì)，但生豬體

21、形與多個(gè)幾何指標(biāo)、生理指標(biāo)和物理指標(biāo)有關(guān)。注意到建模目的是用簡(jiǎn)單的方法對(duì)生豬體重作出估計(jì)，那么考慮動(dòng)物的復(fù)雜生理結(jié)構(gòu)而用復(fù)雜的生物模型就沒(méi)有實(shí)際使用價(jià)值。對(duì)于每個(gè)生豬，很容易看到體長(zhǎng)與肥瘦，這樣問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：在區(qū)分肥瘦的情況下，能否通過(guò)生豬體長(zhǎng)來(lái)估計(jì)生豬體重。三、假設(shè)與符號(hào)1、生豬的軀干是圓柱體，長(zhǎng)為 l 、直徑為 d 。這樣我們把生豬體長(zhǎng)規(guī)定為軀干的長(zhǎng)度，不考慮頭和尾巴的長(zhǎng)度。2、將軀干類比為彈性梁，彈性梁的斷面面積、下垂度分別為3、生豬的體重f 與軀干的體積成正比，比例常數(shù)為c1 。4、軀干的相對(duì)下垂度 b/ l 是與生豬的尺寸、肥瘦無(wú)關(guān)的常數(shù)以看為生豬長(zhǎng)期進(jìn)化的結(jié)果。四、建立模型彈性梁的彈

22、性規(guī)律k fl3b2sd這里 k 為下垂度系數(shù)，為常數(shù)。由假設(shè) 2，有fc1 sl由式（ 7.4.1）和式（ 7.4.2）有bc1 k l32ld但由假設(shè)4 知 b / lc2 ，把它代入式（7.4.3）有d 2c1k l 3c2注意到 sd 2 / 4 ，把式（ 7.4.4 ）代入式（ 7.4.2）有2fkc1l 4cl 44c2kc12其中 c。于是所建立的模型為s 、 b 。c2 ，這可（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）4c2f cl 4（7.4.6）五、模型求解模型 fcl 4 中的比例系數(shù)c 可依據(jù)不同年齡、不同類型的生豬的實(shí)際測(cè)量數(shù)據(jù)利用最小二乘法確定。六、評(píng)注類比法是數(shù)學(xué)建模中常用的

23、一種方法。把動(dòng)物的軀體類比為彈性梁一個(gè)是大膽的假設(shè)，其可信程度需要實(shí)際檢驗(yàn)。但這種充分發(fā)揮想象力，把動(dòng)物軀干長(zhǎng)度與體重的關(guān)系類比為彈性梁的擾曲問(wèn)題是值得借鑒的。七、問(wèn)題某地區(qū)有n2 ）個(gè)商品糧生產(chǎn)基地， 各基地的糧食數(shù)量分別為 m1、（ nm2 、 、 mn(單位：噸），每噸糧食一距離單位運(yùn)費(fèi)為c ，為使各基地到倉(cāng)庫(kù)的總運(yùn)費(fèi)最小，問(wèn)倉(cāng)庫(kù)如何選址?作如下假設(shè)1、各商品糧生產(chǎn)基地的糧食集中于一處；2、各商品糧生產(chǎn)基地及倉(cāng)庫(kù)看作點(diǎn)；3、各商品糧生產(chǎn)基地與倉(cāng)庫(kù)之間道路按直線段考慮。建立平面直角坐標(biāo)系xOy ，各商品糧生產(chǎn)基地的坐標(biāo)分別為(xi , yi ) ，i 1, 2, n ；倉(cāng)庫(kù)的坐標(biāo)為( x,

24、 y) ，則各商品糧生產(chǎn)基地到倉(cāng)庫(kù)的總運(yùn)費(fèi)為 f ( x, y)nxi ) 2yi )2 ，于是模型為cmi( x( yi 1nxi ) 2(y yi )2min f ( x, y)cmi ( xx, yi 1由 f ( x, y)0,f (x, y)0 ，即xyni 1 ni1mi (xxi)0( x xi )2( yyi )2mi (yyi)( x xi )20( yyi )2難以求解模型。請(qǐng)用類比法建立數(shù)學(xué)模型來(lái)解決倉(cāng)庫(kù)選址問(wèn)題。§7.5核軍備競(jìng)賽一、問(wèn)題的提出冷戰(zhàn)時(shí)期美蘇聲稱為了保衛(wèi)自己的安全，實(shí)行 “核威懾戰(zhàn)略 ”，核軍備競(jìng)賽不斷升級(jí)。隨著前蘇聯(lián)的解體和冷戰(zhàn)的結(jié)束，雙方通過(guò)

25、了一系列的核裁軍協(xié)議。在什么情況下雙方的核軍備競(jìng)賽不會(huì)無(wú)限擴(kuò)張，而存在暫時(shí)的平衡狀態(tài)。估計(jì)平衡狀態(tài)下雙方擁有的最少的核武器數(shù)量，這個(gè)數(shù)量受哪些因素影響。當(dāng)一方采取加強(qiáng)防御、提高武器精度、發(fā)展多彈頭導(dǎo)彈等措施時(shí)，平衡狀態(tài)會(huì)發(fā)生什么變化。二、假設(shè)以雙方 (戰(zhàn)略 )核導(dǎo)彈數(shù)量描述核軍備的大小。1、假定雙方采取如下同樣的核威懾戰(zhàn)略：認(rèn)為對(duì)方可能發(fā)起所謂第一次核打擊，即傾其全部核導(dǎo)彈攻擊己方的核導(dǎo)彈基地；己方在經(jīng)受第一次核打擊后，應(yīng)保存足夠的核導(dǎo)彈，給對(duì)方重要目標(biāo)以毀滅性的打擊。2、在任一方實(shí)施第一次核打擊時(shí)， 假定一枚核導(dǎo)彈只能攻擊對(duì)方的一個(gè)核導(dǎo)彈基地。3、摧毀這個(gè)基地的可能性是常數(shù)， 它由一方的攻擊

26、精度和另一方的防御能力決定。三、問(wèn)題分析甲方有 x 枚導(dǎo)彈，乙方所需的最少導(dǎo)彈數(shù)為y ，則 yf (x) 。下證曲線 y f ( x) 是一條上凸的曲線。當(dāng) x 0 時(shí) y y0 。 y0 為乙方的威懾值，表示甲方實(shí)行第一次打擊后已經(jīng)沒(méi)有導(dǎo)彈，乙方為毀滅甲方工業(yè)、交通中心等目標(biāo)所需導(dǎo)彈數(shù)。用 s 表示乙方導(dǎo)彈的殘存率（甲方一枚導(dǎo)彈攻擊乙方一個(gè)基地，基地未被摧毀的概率。 ）。x y 時(shí)，甲方以 x 枚導(dǎo)彈攻擊乙方 y 個(gè)基地中的 x 個(gè)基地， sx 個(gè)基地未摧毀， yx個(gè)基地未攻擊。于是 y0 sxyx 或 y y0(1s)x 。而 xy 時(shí)， y0 sx sy 或 y y0 / s 。yx2

27、y 時(shí)，甲方以 x 枚導(dǎo)彈攻擊乙方y(tǒng) 個(gè)基地，其中 xy 個(gè)基地被攻擊兩次，s2 ( xy) 個(gè)基地未摧毀；另外y (xy)2 yx 個(gè)基地被攻擊一 次 ， s(2 yx) 個(gè) 基 地 未 摧 毀 。 于 是 y0s2 ( xy )s(2 y x) 或y01sys)2x 。s(2s而 x2y 時(shí)， y0 s2 x s2 y 或 y y0 / s2 。類似討論kyx(k1) y 、x(k1) y k2,3,。甲乙導(dǎo)彈數(shù)量比稱為交換比，用a 表示。當(dāng)xay 時(shí)，yy0/ sa 。綜合以上分析，曲線yf (x) 是一條上凸的曲線。顯然， y0 變大，曲線上移、變陡；s 變大， y 減小，曲線變平；a

28、 變大， y 增加，曲線變陡。圖乙方安全線曲線的導(dǎo)彈數(shù)yyf (x) 稱為乙方安全線，這是因?yàn)榧追接?f (x) 。x 枚導(dǎo)彈時(shí)乙方所需乙方有y 枚導(dǎo)彈， 甲方所需的最少導(dǎo)彈數(shù)為x ，則xg ( y) 。同理可證曲線xg( y) 是一條上凹的曲線，是甲方安全線。四、建立模型在同一坐標(biāo)系中分別作甲方安全線、乙方安全線，見圖。曲線yf (x) 和曲線 xg ( y) 把第一象限分成四個(gè)區(qū)域：曲線yf (x) 上方并在曲線 xg( y) 左邊的為乙方安全區(qū)；曲線yf ( x) 上方并在曲線xg( y) 右邊的為雙方安全區(qū)；曲線 xg( y) 右邊并在曲線yf ( x) 下方的為甲方安全區(qū)。對(duì)于乙方的

29、威懾值的威懾值由y0 提高到y(tǒng)0 ，甲方擁有x0 枚導(dǎo)彈。如果f ( x0 )f (x0 )y1 ；甲方為了安全，被動(dòng)地增加y0 ，則乙方導(dǎo)彈到g( y1 )x1 。顯然x1x0 ，f ( x1 )y1 ，則乙方的威懾值由y1 提高到f (x1 )y2 ；甲方為了安全，被動(dòng)地增加導(dǎo)彈到少擁有 x * 枚導(dǎo)彈、乙方至少擁有g(shù)( y2 )x2 。如此競(jìng)爭(zhēng)下去，直到甲方至y * 枚導(dǎo)彈時(shí)甲乙雙方都達(dá)到安全，也才停止核競(jìng)爭(zhēng)。( x*, y*) 是曲線 y枚導(dǎo)彈、 乙方至少擁有f (x) 和 xg ( y) 交點(diǎn) P 的坐標(biāo)，當(dāng)甲方至少擁有x*y* 枚導(dǎo)彈時(shí)甲乙雙方都達(dá)到安全，所以點(diǎn) P 稱為平衡點(diǎn)。圖

30、甲乙雙方的平衡點(diǎn)五、模型解釋1、甲方增加經(jīng)費(fèi)保護(hù)及疏散工業(yè)、交通中心等目標(biāo)時(shí)，導(dǎo)致乙方威懾值 y0 變大（其它因素不變），乙方安全線yf ( x) 上移，相應(yīng)平衡點(diǎn)P (x*, y*) 向右上方移動(dòng)到點(diǎn)P (x , y ) 。由于 xx*, yy* ，所以甲方的被動(dòng)防御也會(huì)使雙方軍備競(jìng)賽升級(jí)。2、甲方將固定核導(dǎo)彈基地改進(jìn)為可移動(dòng)發(fā)射架。此時(shí)乙方安全線yf (x) 不變，但甲方殘存率變大。當(dāng)威懾值x0 和交換比不變時(shí)，x 減小，甲安全線xg ( y) 向 y 軸靠近，相應(yīng)平衡點(diǎn)P (x*, y*) 向左下方移動(dòng)到點(diǎn)P (x , y ) 。由于 xx*, yy * ，所以甲方這種單獨(dú)行為，會(huì)使雙方

31、的核導(dǎo)彈減少。3、雙方發(fā)展多彈頭導(dǎo)彈，每個(gè)彈頭可以獨(dú)立地摧毀目標(biāo)。此時(shí)雙方威懾值減小，殘存率不變，交換比增加。對(duì)于乙方安全線，y0 減小使曲線yf (x) 下移且變平；a 變大使y f (x) 增加且變陡。 而對(duì)于甲方安全線， x0 減小使曲線 x g( y) 左移且變豎； a 變大使 x g( y) 增加且變陡。平衡點(diǎn) P (x*, y*) 可能向右上方移動(dòng)到點(diǎn) P (x , y ) ，也可能向左下方移動(dòng)到點(diǎn)P (x , y ) 。雙方導(dǎo)彈增加還是減少，需要更多信息及更詳細(xì)的分析。六、評(píng)注以上所建立的模型是幾何圖模型，也稱為蛛網(wǎng)模型。蛛網(wǎng)模型在經(jīng)濟(jì)學(xué)中有重要的應(yīng)用，我們?cè)诘谑碌谌?jié)介紹市場(chǎng)

32、經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型。七、問(wèn)題如果假設(shè)一個(gè)國(guó)家或地區(qū)的總供給 (生產(chǎn) )、總需求（消費(fèi)）只與就業(yè)人數(shù)有關(guān)，請(qǐng)利用幾何圖模型解釋擴(kuò)大出口、增加內(nèi)需能提高就業(yè)。§7.6使用新材料與新方法的房屋節(jié)能效果一、背景和問(wèn)題的提出2005 年 11 月 10 日，建設(shè)部頒布了民用建筑節(jié)能管理規(guī)定，要求新建民用建筑嚴(yán)格執(zhí)行建筑節(jié)能50%的標(biāo)準(zhǔn)。就住宅節(jié)能而言，包括水、電、氣、熱等能耗的節(jié)約以及各類建材、制品的節(jié)約，進(jìn)一步分析還有新技術(shù)、新工藝、新材料、新能源的應(yīng)用。因此，住宅節(jié)能涉及許多領(lǐng)域，是一個(gè)復(fù)雜的系統(tǒng)工程。為了討論問(wèn)題方便 , 這里只研究住宅建設(shè)中使用新材料、新方法 ( 技術(shù)、工藝 )的節(jié)能效果

33、。二、問(wèn)題分析住宅建設(shè)中使用新材料、新方法(技術(shù)、工藝 )使住房節(jié)能大致從以下幾個(gè)方面進(jìn)行：一是朝向。節(jié)能型住宅坐北朝南，偏東或偏西不能超過(guò)30度。二是通風(fēng)。 在廚房、 衛(wèi)生間等相對(duì)封閉的環(huán)境中要安裝機(jī)械排放裝置。三是窗戶。節(jié)能住宅窗戶采用隔熱的雙層中空玻璃，窗戶不宜太大，大窗戶外要有遮陽(yáng)設(shè)施。四是墻面。墻面一般采用外墻外保溫。五是頂樓。頂樓應(yīng)有隔熱保溫層或進(jìn)行綠化節(jié)能。在硬件上主要是屋面保溫隔熱和節(jié)能門窗等節(jié)能技術(shù)，對(duì)外墻進(jìn)行外保溫，墻體使用新型保溫材料，窗戶多采用塑鋼真空玻璃和塑鋼雙層玻璃，屋頂進(jìn)行保溫隔熱處理， “平改坡 ”和加隔熱層， 如采用綠色植物種植屋面、蓄水屋面、平層面與坡層面相

34、結(jié)合等方式。住房的朝向和通風(fēng)影響能源消耗，但需要一段時(shí)間才能顯現(xiàn)。因此研究住宅建設(shè)中使用新材料、新方法 (技術(shù)、工藝 )的節(jié)能效果這一問(wèn)題只從屋面、門、窗、外墻四個(gè)住宅建筑結(jié)構(gòu)部件研究，也就是比較節(jié)能門窗與非節(jié)能門窗、墻體使用新型保溫材料與墻體不使用新型保溫材料、屋面保溫隔熱與屋面不保溫隔熱的差異。這種差異通過(guò)單位時(shí)間、單位面積的屋面（門、窗、外墻）的熱量流失的比較來(lái)描述。三、假設(shè)1、住房外形成長(zhǎng)方體，不考慮房?jī)?nèi)結(jié)構(gòu)部件，屋面面積為S1 、外墻面積為 S2 、（朝外）門面積為S3 、（朝外）窗面積為S4 。2、設(shè)室內(nèi)熱量的流失是熱傳導(dǎo)引起的，不存在戶內(nèi)外的空氣對(duì)流。3、室內(nèi)溫度 T 1 與戶外

35、溫度 T 2 均為常數(shù)。4、住宅建設(shè)中使用的材料乃至構(gòu)件（例如玻璃、木板、保溫材料、墻體）是均勻的，熱傳導(dǎo)系數(shù)為常數(shù)。5、使用新材料、新方法 (技術(shù)、工藝 )的屋面、門、窗、外墻四個(gè)住宅建筑結(jié)構(gòu)部件由內(nèi)層建筑材料、干燥空氣夾層或保溫材料夾層、外層建筑材料三層構(gòu)成，未使用新材料、新方法 (技術(shù)、工藝 ) 的屋面、門、窗、外墻四個(gè)住宅建筑結(jié)構(gòu)部件僅由一層建筑材料構(gòu)成。四、建立模型為了建模的需要，有必要介紹熱傳導(dǎo)定律。設(shè)材料均勻，材料厚度為d ，熱傳導(dǎo)系數(shù)為常數(shù) k ，材料內(nèi)側(cè)和外側(cè)的溫差為T （見圖 7.6.1 ），單位時(shí)間單位面積傳導(dǎo)的熱量Q 為T（ 7.6.1）Q kd圖 7.6.1熱傳導(dǎo)定律

36、圖 7.6.2三層建筑結(jié)構(gòu)部件的熱傳導(dǎo)設(shè)使用新材料、新方法( 技術(shù)、工藝 )的某一住宅建筑結(jié)構(gòu)部件的內(nèi)層建筑材料厚度、熱傳導(dǎo)系數(shù)分別為d1、 k1，干燥空氣夾層或保溫材料夾層厚度、熱傳導(dǎo)系數(shù)分別為l 、k0 ，外層建筑材料厚度、 熱傳導(dǎo)系數(shù)分別為d 2 、k2 。設(shè)內(nèi)層建筑材料的外側(cè)溫度為Ta，外層建筑材料的內(nèi)側(cè)溫度為Tb （見圖 7.6.2），則單位時(shí)間單位面積傳導(dǎo)的熱量Q1 為Q1k1T1 Tak0Ta Tbk2TbT2（ 7.6.2）d1ld2在式（ 7.6.2）中消去 Ta 、 Tb，有Q1(T1 T2 ) /( d1/ k1d 2 / k2l / k0 )（ 7.6.3）設(shè)未使用新材

37、料、新方法( 技術(shù)、工藝 )的某一住宅建筑結(jié)構(gòu)部件的建筑材料厚度、 熱傳導(dǎo)系數(shù)分別為 d 、k ，則單位時(shí)間單位面積傳導(dǎo)的熱量Q2為Q2k T1 T2（ 7.6.4）d由于 k0k1 、 k0k2 ，在使用新材料、新方法(技術(shù)、工藝 )的某一住宅建筑結(jié)構(gòu)部件的內(nèi)層建筑材料和未使用新材料、新方法(技術(shù)、工藝 )的某一住宅建筑結(jié)構(gòu)部件的建筑材料一致并且厚度相同時(shí)，即dd1 、 kk1時(shí)，由式（ 7.6.3）和式（ 7.6.4），有Q1Q2（ 7.6.5）這表明住宅建設(shè)中使用新材料、新方法(技術(shù)、工藝 )使住房明顯節(jié)能。五、模型應(yīng)用1、屋面?zhèn)鲗?dǎo)的熱量設(shè)屋面低層建筑材料厚度、熱傳導(dǎo)系數(shù)分別為d11 、 k11 ，干燥空氣夾層厚度、熱傳導(dǎo)系數(shù)分別為l 1 、 k0 ，上層建筑材料厚度、熱傳導(dǎo)系數(shù)分別為 d21 、 k21 ，由式（ 7.6.3）知單位時(shí)間單位面積傳導(dǎo)的熱量Q11 為Q11 (T1T2 ) /(d11 / k11d21 / k21l 1 /