第18講隨機(jī)抽樣

1、第十八講隨機(jī)抽樣一、復(fù)習(xí)目標(biāo)要求1能從現(xiàn)實(shí)生活或其他學(xué)科中提出具有一定價(jià)值的統(tǒng)計(jì)問題；2結(jié)合具體的實(shí)際問題情境，理解隨機(jī)抽樣的必要性和重要性；3在參與解決統(tǒng)計(jì)問題的過程中，學(xué)會(huì)用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法從總體中抽取樣本；通過對(duì)實(shí)例的分析，了解分層抽樣和系統(tǒng)抽樣方法；4能通過試驗(yàn)、查閱資料、設(shè)計(jì)調(diào)查問卷等方法收集數(shù)據(jù)。二、 2010 年命題預(yù)測(cè)統(tǒng)計(jì)是在初中數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)初步的深化和擴(kuò)展，本講的主要內(nèi)容是隨機(jī)抽樣的方法在總體中抽取樣本。預(yù)測(cè) 2010 年高考對(duì)本講的考察是：（ 1）以基本題（中、低檔題為主） ，多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，以實(shí)際問題為背景，綜合考察學(xué)生學(xué)習(xí)基礎(chǔ)的知識(shí)、應(yīng)用基礎(chǔ)知識(shí)、解決實(shí)際問題

2、的能力；（ 2）熱點(diǎn)是隨機(jī)抽樣方法中的分層抽樣、系統(tǒng)抽樣方法。三、知識(shí)精點(diǎn)講解三種常用抽樣方法：1簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣：設(shè)一個(gè)總體的個(gè)數(shù)為 N。如果通過逐個(gè)抽取的方法從中抽取一個(gè)樣本，且每次抽取時(shí)各個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等，就稱這樣的抽樣為簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣。實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，常用抽簽法和隨機(jī)數(shù)表法。（ 1）抽簽法制簽：先將總體中的所有個(gè)體編號(hào)（號(hào)碼可以從 1 到 N ），并把號(hào)碼寫在形狀、大小相同的號(hào)簽上，號(hào)簽可以用小球、卡片、紙條等制作，然后將這些號(hào)簽放在同一個(gè)箱子里，進(jìn)行均勻攪拌；抽簽：抽簽時(shí)，每次從中抽出1 個(gè)號(hào)簽，連續(xù)抽取成樣：對(duì)應(yīng)號(hào)簽就得到一個(gè)容量為n 的樣本。n 次；抽簽法簡(jiǎn)便易行，當(dāng)總體的個(gè)體

3、數(shù)不多時(shí)，適宜采用這種方法。（ 2）隨機(jī)數(shù)表法編號(hào)：對(duì)總體進(jìn)行編號(hào)，保證位數(shù)一致；數(shù)數(shù)：當(dāng)隨機(jī)地選定開始讀數(shù)的數(shù)后，讀數(shù)的方向可以向右，也可以向左、向上、向下等等。在讀數(shù)過程中，得到一串?dāng)?shù)字號(hào)碼，在去掉其中不合要求和與前面重復(fù)的號(hào)碼后，其中依次出現(xiàn)的號(hào)碼可以看成是依次從總體中抽取的各個(gè)個(gè)體的號(hào)碼。成樣：對(duì)應(yīng)號(hào)簽就得到一個(gè)容量為n 的樣本。結(jié)論： 用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，從含有 N 個(gè)個(gè)體的總體中抽取一個(gè)容量為n 的樣本時(shí)， 每次抽取一個(gè)個(gè)體時(shí)任一個(gè)體被抽到的概率為1；在整個(gè)抽樣過程中各個(gè)個(gè)體被抽到的概率為n；NN 基于此，簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣體現(xiàn)了抽樣的客觀性與公平性； 簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的特點(diǎn)：它是不放回抽樣；它

4、是逐個(gè)地進(jìn)行抽??；它是一種等概率抽樣。2系統(tǒng)抽樣：當(dāng)總體中的個(gè)數(shù)較多時(shí)，可將總體分成均衡的幾個(gè)部分，然后按照預(yù)先定出的規(guī)則，從每一部分抽取1 個(gè)個(gè)體，得到所需要的樣本，這種抽樣叫做系統(tǒng)抽樣（也稱為機(jī)械抽樣）。系統(tǒng)抽樣的步驟可概括為：（ 1）將總體中的個(gè)體編號(hào)。采用隨機(jī)的方式將總體中的個(gè)體編號(hào)；（ 2 ）將整個(gè)的編號(hào)進(jìn)行分段。為將整個(gè)的編號(hào)進(jìn)行分段，要確定分段的間隔k .當(dāng) N 是整數(shù)時(shí)，N ；當(dāng) N 不是整數(shù)時(shí)，通過從總體中剔除一些個(gè)體使剩下的個(gè)體數(shù)nNkN能被n 整除，這時(shí) k；nnl ；n（ 3）確定起始的個(gè)體編號(hào)。在第1 段用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣確定起始的個(gè)體邊號(hào)（ 4）抽取樣本。按照先確定的規(guī)

5、則（常將l 加上間隔 k ）抽取樣本： l , l k , l 2k , , l (n1)k 。3分層抽樣：當(dāng)已知總體由差異明顯的幾部分組成時(shí)，常將總體分成幾部分，然后按照各部分所占的比進(jìn)行抽樣，這種抽樣叫做分層抽樣，其中所分成的各部分叫做層。結(jié)論：（ 1）分層抽樣是等概率抽樣， 它也是公平的。 用分層抽樣從個(gè)體數(shù)為N 的總體中抽取一個(gè)容量為n 的樣本時(shí)，在整個(gè)抽樣過程中每個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等，都等于n ；N（ 2）分層抽樣是建立在簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣的基礎(chǔ)上的，由于它充分利用了已知信息，因此利用它獲取的樣本更具有代表性，在實(shí)踐的應(yīng)用更為廣泛。四典例解析題型 1：統(tǒng)計(jì)概念及簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣例

6、1為調(diào)查參加運(yùn)動(dòng)會(huì)的1000 名運(yùn)動(dòng)員的年齡情況，從中抽查了來說，下列說法正確的是（）A 1000 名運(yùn)動(dòng)員是總體B 每個(gè)運(yùn)動(dòng)員是個(gè)體C抽取的100 名運(yùn)動(dòng)員是樣本D 樣本容量是100100 名運(yùn)動(dòng)員的年齡，就這個(gè)問題解析：這個(gè)問題我們研究的是運(yùn)動(dòng)員的年齡情況，因此應(yīng)選D。答案： D點(diǎn)評(píng)：該題屬于易錯(cuò)題，一定要區(qū)分開總體與總體容量、樣本與樣本容量等概念。例 2今用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣從含有6 個(gè)個(gè)體的總體中抽取一個(gè)容量為2 的樣本。 問： 總體中的某一個(gè)體 a 在第一次抽取時(shí)被抽到的概率是多少? 個(gè)體 a 不是在第1 次未被抽到，而是在第2 次被抽到的概率是多少 ? 在整個(gè)抽樣過程中，個(gè)體a 被抽到的

7、概率是多少?解析：（ 1） 1 ，（ 2）1，（3）1。333點(diǎn)評(píng)：由問題 (1)的解答，出示簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的定義，問題 ( 2 ) 是本講難點(diǎn)?；诖?，簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣體現(xiàn)了抽樣的客觀性與公平性。題型 2：系統(tǒng)抽樣例 3為了了解參加某種知識(shí)競(jìng)賽的 1003 名學(xué)生的成績(jī)，請(qǐng)用系統(tǒng)抽樣抽取一個(gè)容量為 50 的樣本。解析：（ 1）隨機(jī)地將這 1003 個(gè)個(gè)體編號(hào)為 1， 2， 3， ， 1003（ 2）利用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，先從總體中剔除 3 個(gè)個(gè)體 (可利用隨機(jī)數(shù)表 )，剩下的個(gè)體數(shù) 1000 能被樣本容量 50 整除，然后再按系統(tǒng)抽樣的方法進(jìn)行點(diǎn)評(píng)：總體中的每個(gè)個(gè)體被剔除的概率相等3，也就是每個(gè)個(gè)體不

8、被剔除的概率相等10001003.100350采用系統(tǒng)抽樣時(shí)每個(gè)個(gè)體被抽取的概率都是，所以在整個(gè)抽樣過程中每個(gè)個(gè)體被抽取的概率仍然1000相等，都是10005050。100310001003分成第 1 在第例 4（ 2004 年福建， 15）一個(gè)總體中有100 個(gè)個(gè)體，隨機(jī)編號(hào)為0， 1， 2， ， 99，依編號(hào)順序平均10 個(gè)小組，組號(hào)依次為1， 2， 3， ， 10.現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個(gè)容量為10 的樣本，規(guī)定如果在組隨機(jī)抽取的號(hào)碼為m，那么在第k 小組中抽取的號(hào)碼個(gè)位數(shù)字與m+k 的個(gè)位數(shù)字相同.若 m=6，則7 組中抽取的號(hào)碼是_.剖析：此問題總體中個(gè)體的個(gè)數(shù)較多，因此采用系統(tǒng)抽樣

9、.按題目中要求的規(guī)則抽取即可. m=6， k=7，m+k=13 ，在第 7 小組中抽取的號(hào)碼是 63.答案： 63點(diǎn)評(píng)：當(dāng)總體中個(gè)體個(gè)數(shù)較多而差異又不大時(shí)可采用系統(tǒng)抽樣。采用系統(tǒng)抽樣在每小組內(nèi)抽取時(shí)應(yīng)按規(guī)則進(jìn)行。題型 3：分層抽樣例 5（ 2006 湖北文， 19）某單位最近組織了一次健身活動(dòng)，活動(dòng)分為登山組和游泳組，且每個(gè)職工至多參加了其中一組。在參加活動(dòng)的職工中，青年人占42.5，中年人占47.5，老年人占10。登山組的職工占參加活動(dòng)總?cè)藬?shù)的1，且該組中，青年人占50，中年人占40，老年人占10。為了了解各4組不同的年齡層次的職工對(duì)本次活動(dòng)的滿意程度，現(xiàn)用分層抽樣的方法從參加活動(dòng)的全體職工

10、中抽取一個(gè)容量為 200 的樣本。試確定（）游泳組中，青年人、中年人、老年人分別所占的比例；（）游泳組中，青年人、中年人、老年人分別應(yīng)抽取的人數(shù)。解析：（）設(shè)登山組人數(shù)為x ，游泳組中，青年人、中年人、老年人各占比例分別為a、 b、 c，則有x 40% 3xb47.5%, x 10%3xc10% ，解得 b=50%,c=10%.4x4x故 a=100% 50% 10%=40%, 即游泳組中，青年人、中年人、老年人各占比例分別為40、50、 10。（）游泳組中，抽取的青年人數(shù)為320040% 60 （人）；4抽取的中年人數(shù)為350 75（人）；2004抽取的老年人數(shù)為310 15（人）。2004

11、點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查分層抽樣的概念和運(yùn)算，以及運(yùn)用統(tǒng)計(jì)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。例 6（ 2006 四川文， 5）甲校有 3600 名學(xué)生，乙校有5400 名學(xué)生，丙校有1800 名學(xué)生，為統(tǒng)計(jì)三校學(xué)生某方面的情況，計(jì)劃采用分層抽樣法，抽取一個(gè)樣本容量為 90 人的樣本，應(yīng)在這三校分別抽取學(xué)生（ ）A 30 人， 30 人， 30 人B30 人， 45 人， 15 人C20 人， 30 人， 10 人D30 人， 50 人， 10 人解析： B；點(diǎn)評(píng)：根據(jù)樣本容量和總體容量確定抽樣比，最終得到每層中學(xué)生人數(shù)。題型 4：綜合問題例 7（ 1）（2004 年湖南， 5）某公司在甲、乙、丙、丁四個(gè)地區(qū)

12、分別有150 個(gè)、 120 個(gè)、 180 個(gè)、 150個(gè)銷售點(diǎn) .公司為了調(diào)查產(chǎn)品銷售的情況，需從這 600 個(gè)銷售點(diǎn)中抽取一個(gè)容量為100 的樣本， 記這項(xiàng)調(diào)查為；在丙地區(qū)中有20 個(gè)特大型銷售點(diǎn)，要從中抽取7 個(gè)調(diào)查其銷售收入和售后服務(wù)情況，記這項(xiàng)調(diào)查為 .則完成、這兩項(xiàng)調(diào)查宜采用的抽樣方法依次是A 分層抽樣法，系統(tǒng)抽樣法B 分層抽樣法，簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法C系統(tǒng)抽樣法，分層抽樣法D 簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法，分層抽樣法分析：此題為抽樣方法的選取問題.當(dāng)總體中個(gè)體較多時(shí)宜采用系統(tǒng)抽樣；當(dāng)總體中的個(gè)體差異較大時(shí)，宜采用分層抽樣；當(dāng)總體中個(gè)體較少時(shí)，宜采用隨機(jī)抽樣.依據(jù)題意，第項(xiàng)調(diào)查應(yīng)采用分層抽樣法、第項(xiàng)調(diào)查

13、應(yīng)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法.故選 B.答案： B（ 2）（ 2005 湖北卷理第11 題，文第 12 題）某初級(jí)中學(xué)有學(xué)生270 人，其中一年級(jí)108 人，二、三年級(jí)各 81 人，現(xiàn)要利用抽樣方法抽取10 人參加某項(xiàng)調(diào)查，考慮選用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、分層抽樣和系統(tǒng)抽樣三種方案，使用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和分層抽樣時(shí)，將學(xué)生按一、二、三年級(jí)依次統(tǒng)一編號(hào)為1， 2， ， 270；使用系統(tǒng)抽樣時(shí)，將學(xué)生統(tǒng)一隨機(jī)編號(hào)1，2， ， 270，并將整個(gè)編號(hào)依次分為10 段 .如果抽得號(hào)碼有下列四種情況： 7， 34， 61， 88， 115， 142， 169， 196， 223， 250； 5， 9， 100， 107， 11

14、1， 121， 180， 195， 200， 265； 11， 38， 65， 92， 119， 146， 173， 200， 227， 254； 30，57， 84，111， 138， 165，192， 219， 246，270；關(guān)于上述樣本的下列結(jié)論中，正確的是（）A 、都不能為系統(tǒng)抽樣B、都不能為分層抽樣C、都可能為系統(tǒng)抽樣D、都可能為分層抽樣解析： D。點(diǎn)評(píng)：采用什么樣的抽樣方法要依據(jù)研究的總體中的個(gè)體情況來定。五思維總結(jié)常用的抽樣方法及它們之間的聯(lián)系和區(qū)別：類別共同點(diǎn)各自特點(diǎn)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣從總體中逐個(gè)抽取抽樣過程將總體均勻分成幾個(gè)中每個(gè)個(gè)系統(tǒng)抽樣部分，按照事先確定體被抽取的規(guī)則在各部分

15、抽取的概率是相同的將總體分成幾層，分分層抽樣層進(jìn)行抽取相互聯(lián)系適用范圍總體中的個(gè)數(shù)比較少在起始部分抽總體中的樣時(shí)采用簡(jiǎn)單個(gè)數(shù)比較隨機(jī)抽樣多各層抽樣時(shí)采總體由差異明顯的用簡(jiǎn)單抽樣或幾部分組者相同抽樣成不放回抽樣和放回抽樣：在抽樣中，如果每次抽出個(gè)體后不再將它放回總體，稱這樣的抽樣為不放回抽樣；如果每次抽出個(gè)體后再將它放回總體，稱這樣的抽樣為放回抽樣。隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣都是不放回抽樣。出師表兩漢：諸葛亮先帝創(chuàng)業(yè)未半而中道崩殂，今天下三分，益州疲弊，此誠(chéng)危急存亡之秋也。然侍衛(wèi)之臣不懈于內(nèi)，忠志之士忘身于外者，蓋追先帝之殊遇，欲報(bào)之于陛下也。誠(chéng)宜開張圣聽，以光先帝遺德，恢弘志士之氣，不宜妄自

16、菲薄，引喻失義，以塞忠諫之路也。宮中府中，俱為一體；陟罰臧否，不宜異同。若有作奸犯科及為忠善者，宜付有司論其刑賞，以昭陛下平明之理；不宜偏私，使內(nèi)外異法也。侍中、侍郎郭攸之、費(fèi)祎、董允等，此皆良實(shí)，志慮忠純，是以先帝簡(jiǎn)拔以遺陛下：愚以為宮中之事，事無大小，悉以咨之，然后施行，必能裨補(bǔ)闕漏，有所廣益。將軍向?qū)?，性行淑均，曉暢軍事，試用于昔日，先帝稱之曰事，悉以咨之，必能使行陣和睦，優(yōu)劣得所?！澳?”，是以眾議舉寵為督：愚以為營(yíng)中之親賢臣，遠(yuǎn)小人，此先漢所以興隆也；親小人，遠(yuǎn)賢臣，此后漢所以傾頹也。先帝在時(shí)，每與臣論此事，未嘗不嘆息痛恨于桓、靈也。侍中、尚書、長(zhǎng)史、參軍，此悉貞良死節(jié)之臣，愿陛下親之、信之，則漢室之隆，可計(jì)日而待也。臣本布衣，躬耕于南陽，茍全性命于亂世，不求聞達(dá)于諸侯。先帝不以臣卑鄙，猥自枉屈，三顧臣于草廬之中，咨臣以當(dāng)世之事，由是感激，遂許先帝以驅(qū)馳。后值傾覆，受