高中數(shù)學(xué)復(fù)數(shù)

1、復(fù) 數(shù)知識(shí)回顧:1、 復(fù)數(shù)的概念1. 虛數(shù)單位i（1） 它的平方等于，即；（2） 實(shí)數(shù)可以與它進(jìn)行四則運(yùn)算，進(jìn)行四則運(yùn)算時(shí)，原有的加、乘法運(yùn)算仍然成立，即滿足交換律與結(jié)合律（3） i的乘方：，它們不超出的形式2. 復(fù)數(shù)的定義形如的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，單個(gè)復(fù)數(shù)常常用字母z表示把復(fù)數(shù)z表示成時(shí)，叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式分別叫做復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部，記作注意復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部都是實(shí)數(shù)3. 復(fù)數(shù)相等如果兩個(gè)復(fù)數(shù)和的實(shí)部和虛部分別相等，即，那么這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等，記作一般的，兩個(gè)復(fù)數(shù)只能說相等或不相等，而不能比較大小4. 共軛復(fù)數(shù)當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)，也稱這兩個(gè)復(fù)數(shù)互相共軛復(fù)數(shù)z的共

2、軛復(fù)數(shù)用，也就是當(dāng)時(shí)，2、 復(fù)數(shù)的分類 正整數(shù)有理數(shù) 零（） 實(shí)數(shù)R：（） 負(fù)整數(shù)復(fù)數(shù)C 無理數(shù) 純虛數(shù)（） 虛數(shù)（） 非純虛數(shù)（）是實(shí)數(shù)是純虛數(shù)3、 復(fù)平面及復(fù)數(shù)的坐標(biāo)表示1. 復(fù)平面在直角坐標(biāo)系里，點(diǎn)z的橫坐標(biāo)是，縱坐標(biāo)是，復(fù)數(shù)可用點(diǎn)來表示，這個(gè)建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，x軸為實(shí)軸，y軸出去原點(diǎn)的部分稱為虛軸2. 復(fù)數(shù)的坐標(biāo)表示一個(gè)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)了一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)；反之一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)對(duì)應(yīng)了一個(gè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的我們常把復(fù)數(shù)看作點(diǎn)3. 復(fù)數(shù)的向量表示在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)與點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的，而點(diǎn)與向量（O為原點(diǎn)）又成一一對(duì)應(yīng)，因此復(fù)數(shù)與向量也是一一對(duì)應(yīng)的，即復(fù)數(shù)

3、可由向量表示，并且規(guī)定相等的向量表示同一個(gè)復(fù)數(shù)我們也把復(fù)數(shù)看作向量4. 復(fù)數(shù)的模在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)Z到原點(diǎn)的距離叫做復(fù)數(shù)z的模，記作由定義知，特別地，如果，則就是一個(gè)實(shí)數(shù)，它的模就等于，故模是實(shí)數(shù)中絕對(duì)值概念在復(fù)數(shù)中的推廣4、 復(fù)數(shù)的運(yùn)算1. 加法（1） 法則復(fù)數(shù)的加法按照一下規(guī)定的法則進(jìn)行：設(shè)，是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，則它們的和是（2） 性質(zhì) 交換律： 結(jié)合律：（3） 幾何意義設(shè)對(duì)應(yīng)向量，對(duì)應(yīng)向量，則對(duì)應(yīng)的向量為因此復(fù)數(shù)的和可以在復(fù)平面上用平行四邊形法則解釋2. 減法（1） 法則復(fù)數(shù)的減法是加法的逆運(yùn)算設(shè)，是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，則它們的差是（2） 幾何意義設(shè)對(duì)應(yīng)向量，對(duì)應(yīng)向量，則對(duì)應(yīng)的向量為表示、

4、兩點(diǎn)之間的距離，也等于向量的模3. 乘法（1） 法則復(fù)數(shù)的乘法規(guī)定為：（2） 性質(zhì) 交換律： 結(jié)合律： 分配律：4. 乘方（1） 法則復(fù)數(shù)的乘方運(yùn)算是指幾個(gè)相同復(fù)數(shù)相乘（2） 性質(zhì)5. 除法復(fù)數(shù)的除法是乘法的逆運(yùn)算，即復(fù)數(shù)除以復(fù)數(shù)的商是指滿足的復(fù)數(shù)，記作一般通過“分母實(shí)數(shù)化”進(jìn)行除法運(yùn)算，即6. 復(fù)數(shù)運(yùn)算的常用結(jié)論（1） ，（2） ，（3） ，（4） ，（5） ，（6）（7） ，5、 復(fù)數(shù)的平方根與立方根1. 平方根如果復(fù)數(shù)和滿足，則稱是的一個(gè)平方根，也是的平方根1的平方根是2. 立方根如果復(fù)數(shù)、滿足，則稱是的立方根（1） 1的立方根：，（2） 的立方根：6、 復(fù)數(shù)方程1. 常見圖形的復(fù)數(shù)方程

5、（1） 圓：（其中，為常數(shù)），表示以對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為圓心，為半徑的圓（2） 線段的中垂線：（其中分別對(duì)應(yīng)點(diǎn)）（3） 橢圓：（其中且），表示以對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓（4） 雙曲線：（其中且），表示以對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為的雙曲線2. 實(shí)系數(shù)方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)求根（1） 求根公式：（2） 韋達(dá)定理：（3） 實(shí)系數(shù)方程虛根成對(duì)定理：實(shí)系數(shù)一元n次方程的虛根成對(duì)出現(xiàn)，即若z=a+bi(b0)是方程的一個(gè)根，則=a-bi也是一個(gè)根。3. 復(fù)系數(shù)方程問題常見類型（1） 已知方程的實(shí)根，求方程的復(fù)系數(shù)解法：設(shè)，將方程的實(shí)根代入方程，利用復(fù)數(shù)相等的性質(zhì)求解得到（2） 求解復(fù)系數(shù)方程的根解法：設(shè)方程的根，代入

6、方程，利用復(fù)數(shù)相等的性質(zhì)求解得到復(fù)根典型例題:例 .m取何實(shí)數(shù)時(shí)，復(fù)數(shù)（1）是實(shí)數(shù)？（2）是虛數(shù)？（3）是純虛數(shù)？分析：本題是判斷復(fù)數(shù)在何種情況下為實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)由于所給復(fù)數(shù)z已寫成標(biāo)準(zhǔn)形式，即，所以只需按題目要求，對(duì)實(shí)部和虛部分別進(jìn)行處理，就極易解決此題同步練習(xí):1. 設(shè)復(fù)數(shù)，則為純虛數(shù)的必要不充分條件是_。2. 已知復(fù)數(shù)，那么當(dāng)a=_時(shí)，z是實(shí)數(shù)；當(dāng)a_時(shí)，z是虛數(shù)；當(dāng)a=_時(shí)，z是純虛數(shù)。3. 已知，則實(shí)數(shù)4. 若復(fù)數(shù)a滿足,則復(fù)數(shù)a=_。5. 已知，則復(fù)數(shù)必位于復(fù)平面的第_象限。6. 復(fù)數(shù)在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第_象限。7. 設(shè)是虛數(shù)單位，計(jì)算_.8. 已知向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是，向量對(duì)應(yīng)的

7、復(fù)數(shù)是，則+對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是_。9. 已知復(fù)數(shù)，則的最小值是_。10. 計(jì)算：11. 復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是_。12. 如果復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)_.13. 設(shè)為實(shí)數(shù)，且，則 。14. 已知是實(shí)系數(shù)一元二次方程的兩根，則的值為_15. 求的平方根。16.已知復(fù)數(shù)，求實(shí)數(shù)使17. 已知復(fù)數(shù)滿足為虛數(shù)單位），求一個(gè)以為根的實(shí)系數(shù)一元二次方程.18.求同時(shí)滿足下列條件的所有復(fù)數(shù)z(1) 是實(shí)數(shù)，且；（2）z的實(shí)部和虛部都是整數(shù)。19.已知關(guān)于的方程有實(shí)根，求這個(gè)實(shí)數(shù)根以及實(shí)數(shù)k的值。20. 已知集合參考答案:典型例題:解：（1）當(dāng)即 時(shí)，z是實(shí)數(shù)（2）當(dāng)即 當(dāng)且時(shí)，z是虛數(shù)（3）當(dāng)即當(dāng)或時(shí)，z是純虛數(shù)點(diǎn)撥：研究一個(gè)復(fù)數(shù)在什么情況下是實(shí)數(shù)、虛數(shù)或純虛數(shù)時(shí)，首先要保證這個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部是有意義的，這是一個(gè)前提條件，學(xué)生易忽略這一點(diǎn)如本題易忽略分母不能為0的條件，丟掉，導(dǎo)致解答出錯(cuò)同步練習(xí)：1. a=0. 2. 3. 4. 1+2i. 5.第四6.第二7.0.8. 9. 11. .12. 復(fù)數(shù)=(m2m)+(1+m3)i是實(shí)數(shù)， 1+m3=0，m=113. ，而 所以，解得x1，y5，所以xy4。14. 因?yàn)?+ a i，b+i（ i 是虛數(shù)單位