三點(diǎn)抗彎強(qiáng)度

1、材料力學(xué)講義 i 第18講 教學(xué)方案 -彎曲切應(yīng)力、彎曲強(qiáng)度條件 基 本 內(nèi) 容 梁橫力彎曲時(shí)橫截面上的切應(yīng)力 教 學(xué) 目 的 1、 掌握各種形狀截面梁（矩形、圓形、圓環(huán)形、工字形）橫截面上 切應(yīng)力的分布和計(jì)算。 2、 熟練彎曲正應(yīng)力和剪應(yīng)力強(qiáng)度條件的建立和相應(yīng)的計(jì)算。 3、了解什么情況下需要對(duì)梁的彎曲切應(yīng)力進(jìn)行強(qiáng)度校核。 重 點(diǎn) 、 難 占 八、 本節(jié)重點(diǎn)：矩形截面梁的切應(yīng)力、彎曲強(qiáng)度條件及計(jì)算。 本節(jié)難點(diǎn)：掌握需要對(duì)梁彎曲切應(yīng)力進(jìn)行強(qiáng)度校核的各種情況。 第十八講 2 7-3 彎曲切應(yīng)力 梁受橫彎曲時(shí)，雖然橫截面上既有正 應(yīng)力 ，又有剪應(yīng)力 。但一般情況下，剪應(yīng)力對(duì) 因此對(duì)由剪力引起的剪應(yīng)力

2、， 不再用變形、物理和靜力關(guān) 6 6- -2 2）仍然適用的基礎(chǔ)上，假定剪應(yīng)力在橫截面上的分布 規(guī)律，然后根據(jù)平衡條件導(dǎo)出剪應(yīng)力的計(jì)算公式。 1 1 矩形截面梁 對(duì)于圖6 6- -5 5所示的矩形截面梁， 橫截面上作用 剪力Q Q?，F(xiàn)分析距中性軸 z z 為 y y 的橫線aa,上的剪 應(yīng)力分布情況。根據(jù)剪應(yīng)力成對(duì)定理，橫線 aa,兩 端的剪應(yīng)力必與截面兩側(cè)邊相切，即與剪力 Q Q 的 方向一致。由于對(duì)稱的關(guān)系，橫線 aa,中點(diǎn)處的剪 應(yīng)力也必與 Q Q 的方向相同。根據(jù)這三點(diǎn)剪應(yīng)力的 方向，可以設(shè)想aa,線上各點(diǎn)剪應(yīng)力的方向皆平行 于剪力 Q Q。又因截面高度h h 大于寬度 b b,剪應(yīng)力

3、的 數(shù)值沿橫線aa,不可能有太大變化，可以認(rèn)為是均 勻分布的?；谏鲜龇治觯勺魅缦录僭O(shè)： , ,）橫截面上任一點(diǎn)處的剪應(yīng)力方向均平行于剪力 2 2 ）剪應(yīng)力沿截面寬度均勻分布。 基于上述假定得到的解，與精確解相 比有足夠的精確度。從圖 6 6- -6a6a 的橫彎梁中 截出 dxdx微段，其左右截面上的內(nèi)力如圖 6 6- -6b6b 所示。梁的橫截面尺寸如圖 6 6- -6c6c 所 示，現(xiàn)欲求距中性軸 z z 為 y y 的橫線aa,處 的剪應(yīng)力 過(guò)aa,用平行于中性層的縱 截面aa,cc,自 dxdx微段中截出一微塊（圖 6 6- -6d6d） 根據(jù)剪應(yīng)力成對(duì)定理，微塊的縱截 面上存在均

4、勻分布的剪應(yīng)力 。微塊左 右側(cè)面上正應(yīng)力的合力分別為 N,和N2, 其中 N, idA 坐dA MS； A* A* I； I； (a(a) 梁的強(qiáng)度和變形的影響屬于次要因素， 系進(jìn)行推導(dǎo)，而是在承認(rèn)正應(yīng)力公式（ as0-5浴觀而寬度剪度力的奇帶 （c） （ 囲根堆鍬塊平罰永勇應(yīng)力 材料力學(xué)講義 2 3 式中，A*為微塊的側(cè)面面積, I （ II ）為面積A*中距中性 N2 II dA A* (M dM)% (M dM) * - dA - Sz A* Iz Iz (b(b) ) 軸為 y1處的正應(yīng)力，S； y1dA。 由微塊沿 x x 方向的平衡條件 x 0,得 N1 N2 bdx 0 (c)

5、將式（a a）和式（b b）代入式 (c),得 如 S； bdx 0 I z ffi 6-矩劈厳囲萌曲力的分布 dM Sz dx bIz ，故求得橫截面上距中性軸為 y y 處橫線上各點(diǎn)的剪應(yīng)力 為 * QSz br (6(6- -3 3) 式（6 6- -3 3）也適用于其它截面形式的梁。式中， Q Q 為截面上的剪力；Iz為整個(gè)截面對(duì)中 性軸 z z 的慣性矩；b b 為橫截面在所求應(yīng)力點(diǎn)處的寬度； Sy為面積A*對(duì)中性軸的靜矩。 對(duì)于矩形截面梁（圖 * Sz yidA A 6 6- -7 7),可取dA bdy1，于是 一 :by1 dy1 這樣，式（6 6- -3 3）可寫成 _Q(h

6、l 2Iz( 4 y2) max 上式表明，沿截面高度剪應(yīng)力 6 6- -7b7b） o在截面上、下邊緣處， y= y= 一，=0 =0 ；在中性軸上，z=0z=0, 按拋物線規(guī)律變化（圖 剪應(yīng)力值最大，其值為 出序踐薪揃直力桶介* 第十八講 4 式中 A=bhA=bh，即矩形截面梁的最大剪應(yīng)力是其平均剪應(yīng)力的 32倍 2 .圓形截面梁 在圓形截面上（圖 6 6- -8 8）,任一平行于中性軸的橫線 aaaa1兩端處，剪應(yīng)力的方向必切于圓周， 并相交于 y y 軸上的 c c 點(diǎn)。因此，橫線上各點(diǎn)剪應(yīng)力方向是變化的。 但在中性軸上各點(diǎn)剪應(yīng)力的方 Q Q,設(shè)為均勻分布，其值為最大。由式（ 6 6

7、- -3 3）求得 式中A d2，即圓截面的最大剪應(yīng)力為其平均剪應(yīng)力 4 的43倍。 3 .工字形截面梁 工字形截面梁由腹板和翼緣組成。式（ 6 6- -3 3 ）的計(jì)算結(jié)果表明，在翼緣上剪應(yīng)力很小，在腹 板上剪應(yīng)力沿腹板高度按拋物線規(guī)律變化，如圖 6 6- -9 9 所示。最大剪應(yīng)力在中性軸上，其值為 Q(Sz)max max dl Z 式中（S Sz）max為中性軸一側(cè)截面面積對(duì)中性軸的靜 計(jì)算結(jié)果表明，腹板承擔(dān)的剪力約為 （0.950.950.970.97） Q Q,因此也可用下式計(jì)算 max的近似 值 式中 h h 1為腹板的高度，d d 為腹板的寬度。max 3Q 2 A (6(6-

8、 -4 4) max 4Q 3 A (6(6- -5 5) 向皆平行于剪力 矩。對(duì)于軋制的工字鋼，式中的 鋼表中查得。 max Q h1d 可以從型 材料力學(xué)講義 5 7-4 彎曲強(qiáng)度計(jì)算 根據(jù)前節(jié)的分析，對(duì)細(xì)長(zhǎng)梁進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算時(shí) ，主要考慮彎矩的影響，因截面上的最大正應(yīng)力 作用點(diǎn)處，彎曲剪應(yīng)力為零，故該點(diǎn)為單向應(yīng)力狀態(tài)。為保證梁的安全，梁的最大正應(yīng)力點(diǎn)應(yīng)滿 足強(qiáng)度條件 式中為材料的許用應(yīng)力。對(duì)于等截面直梁，若材料的拉、壓強(qiáng)度相等，則最大彎矩的所在面 稱為危險(xiǎn)面，危險(xiǎn)面上距中性軸最遠(yuǎn)的點(diǎn)稱為危險(xiǎn)點(diǎn)。此時(shí)強(qiáng)度條件（ 6 6- -6 6 ）可表達(dá)為 式中 (6(6- -8 8) ymax 稱為抗彎截

9、面系數(shù)（或抗彎截面模量），其量綱為長(zhǎng)度3。國(guó)際單位用 m m3或 mmmm3 直徑為d的圓截面，抗彎截面系數(shù)為 軋制型鋼（工字鋼、槽鋼等）的 Wz可從型鋼表中查得。 對(duì)于由脆性材料制成的梁， 由于其抗拉強(qiáng)度和抗壓強(qiáng)度相差甚大，所以要對(duì)最大拉應(yīng)力 點(diǎn)和最大壓應(yīng)力點(diǎn)分別進(jìn)行校核。 max M maxy max (6(6- -6 6) max max (6(6- -7 7) Wz 對(duì)于寬度為 b、高度為h的矩形截面，抗彎截面系數(shù)為 bh3/ 12 h 2 Wz bh2 6 (6(6- -9 9) Wz d4 64 d 2 d3 32 (6(6- -1010) 內(nèi)徑為d，外徑為D Wz 的空心圓截面, 抗彎截面系數(shù)為 (6(6- -1111) 第十八講 6 根據(jù)式（6 6- -7 7），可以解決三類強(qiáng)度問(wèn)題，即強(qiáng)度校核，截面設(shè)計(jì)和許用載荷計(jì)算材料力學(xué)講義 7 需要指出的是，對(duì)于某些特殊情形，如梁的跨度較小或載荷靠近支座時(shí)，焊接或鉚接的 壁薄截面梁，或梁沿某一方向的抗剪能力較差（木梁的順紋方向，膠合梁的膠合層）等，還 需進(jìn)行彎曲剪應(yīng)力強(qiáng)度