線性系統(tǒng)理論 西工大

1、講授：講授：作者：作者：出版：西北工業(yè)大學(xué)出版社出版：西北工業(yè)大學(xué)出版社線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論簡介：簡介： 線性系統(tǒng)理論（線性系統(tǒng)理論（linear systems theorylinear systems theory）以狀態(tài)空）以狀態(tài)空間法為主要工具研究多變量線性系統(tǒng)的理論。間法為主要工具研究多變量線性系統(tǒng)的理論。2020世紀(jì)世紀(jì)5050年年代以后，隨著航天等技術(shù)發(fā)展和控制理論應(yīng)用范圍的擴(kuò)大，代以后，隨著航天等技術(shù)發(fā)展和控制理論應(yīng)用范圍的擴(kuò)大，經(jīng)典線性控制理論的局限性日趨明顯，它既不能滿足實(shí)際經(jīng)典線性控制理論的局限性日趨明顯，它既不能滿足實(shí)際需要，也不能解決理論本身提出的一些問題，這就推

2、動(dòng)了需要，也不能解決理論本身提出的一些問題，這就推動(dòng)了線性系統(tǒng)的研究，于是在線性系統(tǒng)的研究，于是在19601960年以后從經(jīng)典階段發(fā)展到現(xiàn)年以后從經(jīng)典階段發(fā)展到現(xiàn)階段。階段。線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論美國學(xué)者美國學(xué)者R.E.R.E.卡爾曼首先把狀態(tài)空間法應(yīng)用于多變量線性卡爾曼首先把狀態(tài)空間法應(yīng)用于多變量線性系統(tǒng)的研究，提出了能控性和能觀測(cè)性兩個(gè)基本概念。系統(tǒng)的研究，提出了能控性和能觀測(cè)性兩個(gè)基本概念。 2020世紀(jì)世紀(jì)6060年代以后，現(xiàn)代線性系統(tǒng)理論又有了新發(fā)展，出年代以后，現(xiàn)代線性系統(tǒng)理論又有了新發(fā)展，出現(xiàn)了線性系統(tǒng)幾何理論、線性系統(tǒng)代數(shù)理論和多變量頻域現(xiàn)了線性系統(tǒng)幾何理論、線性系統(tǒng)代數(shù)理論

3、和多變量頻域方法等研究多變量系統(tǒng)的新理論和新方法。隨著計(jì)算機(jī)技方法等研究多變量系統(tǒng)的新理論和新方法。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，以線性系統(tǒng)為對(duì)象的計(jì)算方法和計(jì)算輔助設(shè)計(jì)術(shù)的發(fā)展，以線性系統(tǒng)為對(duì)象的計(jì)算方法和計(jì)算輔助設(shè)計(jì)問題也受到普遍的重視。問題也受到普遍的重視。線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論與經(jīng)典線性控制理論相比，現(xiàn)代線性系統(tǒng)主要特點(diǎn)是：研與經(jīng)典線性控制理論相比，現(xiàn)代線性系統(tǒng)主要特點(diǎn)是：研究對(duì)象一般是多變量線性系統(tǒng)，而經(jīng)典線性理論則以單輸究對(duì)象一般是多變量線性系統(tǒng)，而經(jīng)典線性理論則以單輸入單輸出系統(tǒng)為對(duì)象；除輸入和輸出變量外，還描述系統(tǒng)入單輸出系統(tǒng)為對(duì)象；除輸入和輸出變量外，還描述系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)的變量；在分

4、析和綜合方面以時(shí)域方法為主而經(jīng)內(nèi)部狀態(tài)的變量；在分析和綜合方面以時(shí)域方法為主而經(jīng)典理論主要采用頻域方法；使用更多數(shù)據(jù)工具。典理論主要采用頻域方法；使用更多數(shù)據(jù)工具。線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論相關(guān)書籍相關(guān)書籍線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論第一章第一章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為了分析研究系統(tǒng)，建立描述系統(tǒng)的數(shù)學(xué)方程是首要為了分析研究系統(tǒng)，建立描述系統(tǒng)的數(shù)學(xué)方程是首要的。經(jīng)典控制理論中的時(shí)間域理論對(duì)單輸入的。經(jīng)典控制理論中的時(shí)間域理論對(duì)單輸入- -單輸出線性單輸出線性定常系統(tǒng)用高階微分方程或傳遞函數(shù)來描述輸入定常系統(tǒng)用高階微分方程或傳遞函數(shù)來描述輸入- -輸出變輸出變量間的因果關(guān)系，分

5、析的主要方面限于運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性，不量間的因果關(guān)系，分析的主要方面限于運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性，不便用來綜合系統(tǒng)。便用來綜合系統(tǒng)。 2020世紀(jì)世紀(jì)6060年代以后，現(xiàn)代線性系統(tǒng)理年代以后，現(xiàn)代線性系統(tǒng)理論又有了新發(fā)展，出現(xiàn)了線性系統(tǒng)幾何理論、線性系統(tǒng)代論又有了新發(fā)展，出現(xiàn)了線性系統(tǒng)幾何理論、線性系統(tǒng)代數(shù)理論和多變量頻域方法等研究多變量系統(tǒng)的新理論和新數(shù)理論和多變量頻域方法等研究多變量系統(tǒng)的新理論和新方法。方法。線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論 隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，以線性系統(tǒng)為對(duì)象的計(jì)算方法隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，以線性系統(tǒng)為對(duì)象的計(jì)算方法和計(jì)算輔助設(shè)計(jì)問題也受到普遍的重視。運(yùn)用狀態(tài)空間法和計(jì)算輔助設(shè)計(jì)問題也受到普遍

6、的重視。運(yùn)用狀態(tài)空間法研究系統(tǒng)是現(xiàn)代控制理論的重要標(biāo)志，狀態(tài)空間方程是現(xiàn)研究系統(tǒng)是現(xiàn)代控制理論的重要標(biāo)志，狀態(tài)空間方程是現(xiàn)代控制理論的最基本的數(shù)學(xué)模型。本章主要介紹狀態(tài)空間代控制理論的最基本的數(shù)學(xué)模型。本章主要介紹狀態(tài)空間描述的基本概念以及建立狀態(tài)空間方程的方法。描述的基本概念以及建立狀態(tài)空間方程的方法。 線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論1.11.1系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述1.21.2化輸入化輸入- -輸出描述為狀態(tài)空間描述輸出描述為狀態(tài)空間描述1.3由狀態(tài)空間描述導(dǎo)出傳遞函數(shù)矩陣由狀態(tài)空間描述導(dǎo)出傳遞函數(shù)矩陣1.4線性系統(tǒng)的坐標(biāo)變換線性系統(tǒng)的坐標(biāo)變換1.5組合系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程與傳遞函組

7、合系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程與傳遞函數(shù)矩陣數(shù)矩陣線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論1.1 1.1 系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述系統(tǒng)數(shù)學(xué)描述的兩種基本類型系統(tǒng)數(shù)學(xué)描述的兩種基本類型 這里所謂的系統(tǒng)是泛這里所謂的系統(tǒng)是泛指一些互相作用的部分構(gòu)成的整體，它可能是一個(gè)反饋控指一些互相作用的部分構(gòu)成的整體，它可能是一個(gè)反饋控制系統(tǒng)，也可能是某一控翻裝置或受控對(duì)象。所研究系統(tǒng)制系統(tǒng)，也可能是某一控翻裝置或受控對(duì)象。所研究系統(tǒng)均假定具有若干輸入端和輸出端。外部環(huán)境對(duì)系統(tǒng)的作用均假定具有若干輸入端和輸出端。外部環(huán)境對(duì)系統(tǒng)的作用稱為系統(tǒng)輸入，以向量稱為系統(tǒng)輸入，以向量 表示，施于輸入端；系表示，施于輸入端；系統(tǒng)對(duì)外部環(huán)境

8、的作用稱系統(tǒng)輸出，以向量統(tǒng)對(duì)外部環(huán)境的作用稱系統(tǒng)輸出，以向量 表示，表示，可在輸出端量測(cè)，它們均為系統(tǒng)的外部變量?？稍谳敵龆肆繙y(cè)，它們均為系統(tǒng)的外部變量。1Tpuuu1Tqyyy線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論描述系統(tǒng)內(nèi)部所處的行為狀態(tài)的變量以向量描述系統(tǒng)內(nèi)部所處的行為狀態(tài)的變量以向量 表表示，它們?yōu)閮?nèi)部變量。示，它們?yōu)閮?nèi)部變量。系統(tǒng)數(shù)學(xué)描述通常可分為下列兩種系統(tǒng)數(shù)學(xué)描述通?？煞譃橄铝袃煞N基本類型：一為系統(tǒng)的外部描述，即輸入基本類型：一為系統(tǒng)的外部描述，即輸入- -輸出描述，這輸出描述，這種描述將系統(tǒng)看成是一個(gè)種描述將系統(tǒng)看成是一個(gè)“黑箱黑箱”，只能接觸系統(tǒng)的輸入，只能接觸系統(tǒng)的輸入端和輸出端，不去表

9、示系統(tǒng)內(nèi)部的結(jié)構(gòu)及變量，只從輸入端和輸出端，不去表示系統(tǒng)內(nèi)部的結(jié)構(gòu)及變量，只從輸入- -輸出的因果關(guān)系中獲悉系統(tǒng)特性。若系統(tǒng)是一個(gè)單輸入輸出的因果關(guān)系中獲悉系統(tǒng)特性。若系統(tǒng)是一個(gè)單輸入- -單輸出線性定常系統(tǒng)，其外部描述的數(shù)學(xué)方程就是一個(gè)單輸出線性定常系統(tǒng)，其外部描述的數(shù)學(xué)方程就是一個(gè) 階微分方程及對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)。階微分方程及對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)。1Tnxxxn線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論一為系統(tǒng)的內(nèi)部描述，即狀態(tài)空間描述，這種描述將一為系統(tǒng)的內(nèi)部描述，即狀態(tài)空間描述，這種描述將系統(tǒng)視為由動(dòng)力學(xué)部件和輸出部件組成，將系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過系統(tǒng)視為由動(dòng)力學(xué)部件和輸出部件組成，將系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過程細(xì)化為兩個(gè)過程，即輸入引

10、起內(nèi)部狀態(tài)的變化，程細(xì)化為兩個(gè)過程，即輸入引起內(nèi)部狀態(tài)的變化， 和和 間的因果關(guān)系常用一階微分方程組或間的因果關(guān)系常用一階微分方程組或差分方程組表示，稱為狀態(tài)方程；還有內(nèi)部狀態(tài)和輸入一差分方程組表示，稱為狀態(tài)方程；還有內(nèi)部狀態(tài)和輸入一起引起輸出的變化，起引起輸出的變化， 和和 、 間的因果間的因果關(guān)系是一組代數(shù)方程，稱為輸出方程。外部描述僅描述系關(guān)系是一組代數(shù)方程，稱為輸出方程。外部描述僅描述系統(tǒng)的終端特性，內(nèi)部描述則是既描述系統(tǒng)內(nèi)部特性又描述統(tǒng)的終端特性，內(nèi)部描述則是既描述系統(tǒng)內(nèi)部特性又描述終端持性的。終端持性的。 1( , , )nxx1( , , )puu1( , , )qyy1( ,

11、, )nxx1( , , )puu線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論系統(tǒng)的兩種基本描述的結(jié)構(gòu)示意圖見圖系統(tǒng)的兩種基本描述的結(jié)構(gòu)示意圖見圖1.11.1。以后的研究。以后的研究可看出，外部描述通常是一種不完全的描述，具有完全不可看出，外部描述通常是一種不完全的描述，具有完全不同的內(nèi)部結(jié)構(gòu)特性的兩個(gè)系統(tǒng)可能具有相同的外部特性，同的內(nèi)部結(jié)構(gòu)特性的兩個(gè)系統(tǒng)可能具有相同的外部特性，而內(nèi)部描述是一種完全的描述，能完全表示系統(tǒng)的一切動(dòng)而內(nèi)部描述是一種完全的描述，能完全表示系統(tǒng)的一切動(dòng)態(tài)特性。僅當(dāng)系統(tǒng)具有一定屬性的條件下，兩種描述才具態(tài)特性。僅當(dāng)系統(tǒng)具有一定屬性的條件下，兩種描述才具有等價(jià)關(guān)系。有等價(jià)關(guān)系。 線性系統(tǒng)理論

12、線性系統(tǒng)理論圖圖1.1 1.1 系統(tǒng)的兩種基本描述系統(tǒng)的兩種基本描述(a) (a) 外部描述；外部描述；(b) (b) 內(nèi)部描述內(nèi)部描述線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論 無論是外部描述還是內(nèi)部描述，下列概念是常用的，無論是外部描述還是內(nèi)部描述，下列概念是常用的，現(xiàn)給出定義以有助于理解系統(tǒng)性質(zhì)及系統(tǒng)分類?，F(xiàn)給出定義以有助于理解系統(tǒng)性質(zhì)及系統(tǒng)分類。 系統(tǒng)在時(shí)刻系統(tǒng)在時(shí)刻 稱為松弛的，當(dāng)且僅當(dāng)輸出稱為松弛的，當(dāng)且僅當(dāng)輸出 由輸由輸入入 唯一確定。從能量的觀點(diǎn)看，在時(shí)刻唯一確定。從能量的觀點(diǎn)看，在時(shí)刻 不存在存不存在存儲(chǔ)能量，則稱系統(tǒng)在時(shí)刻儲(chǔ)能量，則稱系統(tǒng)在時(shí)刻 是松弛的。式中是松弛的。式中 表示定表示定義在

13、時(shí)間區(qū)間義在時(shí)間區(qū)間 的輸入。的輸入。 0 ,)t u0t0 ,)t y0t0 ,)t u0 ,)t 0t線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論例如一個(gè)例如一個(gè)RLCRLC網(wǎng)絡(luò)，若所有電容兩端的電壓和流過電網(wǎng)絡(luò)，若所有電容兩端的電壓和流過電感的電流在感的電流在 時(shí)刻均為零（即初始條件為零），則網(wǎng)絡(luò)稱時(shí)刻均為零（即初始條件為零），則網(wǎng)絡(luò)稱為在為在 時(shí)刻是松弛的。若網(wǎng)絡(luò)不是松弛的，其輸出響應(yīng)時(shí)刻是松弛的。若網(wǎng)絡(luò)不是松弛的，其輸出響應(yīng)不僅由不僅由 所決定，還與初始條件有關(guān)。所決定，還與初始條件有關(guān)。 在松弛性假定下，系統(tǒng)得輸入在松弛性假定下，系統(tǒng)得輸入- -輸出描述有輸出描述有 （1.11.1） 式中式中 是某一

14、算子或函數(shù)，例如傳遞函數(shù)就是一種算子。是某一算子或函數(shù)，例如傳遞函數(shù)就是一種算子。0t0t0 ,)t uHyuH線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論 若系統(tǒng)在時(shí)刻的輸出僅取決于若系統(tǒng)在時(shí)刻的輸出僅取決于t t時(shí)刻及在時(shí)刻及在t t之前的輸入，之前的輸入，而與之后的輸入無關(guān)，則稱系統(tǒng)具有因果性。本書所研究而與之后的輸入無關(guān)，則稱系統(tǒng)具有因果性。本書所研究的實(shí)際物理系統(tǒng)都具有因果性，并稱為因果系統(tǒng)。若系統(tǒng)的實(shí)際物理系統(tǒng)都具有因果性，并稱為因果系統(tǒng)。若系統(tǒng)在在t t時(shí)刻的輸入尚與時(shí)刻的輸入尚與t t之后的輸入有關(guān)，則稱該系統(tǒng)不具有之后的輸入有關(guān)，則稱該系統(tǒng)不具有因果性，不具因果性的系統(tǒng)能夠在預(yù)測(cè)之后的輸入并施加

15、因果性，不具因果性的系統(tǒng)能夠在預(yù)測(cè)之后的輸入并施加于系統(tǒng)而影響其輸出。于系統(tǒng)而影響其輸出。線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論 一個(gè)松弛的系統(tǒng)稱為線性的，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于任何輸入一個(gè)松弛的系統(tǒng)稱為線性的，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于任何輸入 和和 ，以及任何實(shí)數(shù)，以及任何實(shí)數(shù) ，均有，均有（1.2） （1.3）否則稱為非線性的。式（否則稱為非線性的。式（1.2）稱為可加性，式（）稱為可加性，式（1.3）稱）稱為齊次性。松弛系統(tǒng)具有這兩種特性，稱該系統(tǒng)滿足疊加為齊次性。松弛系統(tǒng)具有這兩種特性，稱該系統(tǒng)滿足疊加原理。原理。2u1u1212()HHHuuuu11()HHuu線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論式（式（1.2 ）和式（）和式（1

16、.3） 可合并表示為可合并表示為（1.4） 線性系統(tǒng)數(shù)學(xué)方程中的各項(xiàng)，只含變量及其各階導(dǎo)數(shù)線性系統(tǒng)數(shù)學(xué)方程中的各項(xiàng)，只含變量及其各階導(dǎo)數(shù)的一次項(xiàng)，不含變量或其導(dǎo)數(shù)的高次項(xiàng)，要不含不同變量的一次項(xiàng)，不含變量或其導(dǎo)數(shù)的高次項(xiàng)，要不含不同變量的乘積項(xiàng)。的乘積項(xiàng)。1 12 21122()HHHuuuu線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論1.1 系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 一個(gè)松弛系統(tǒng)為時(shí)不變的（定常的），當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于一個(gè)松弛系統(tǒng)為時(shí)不變的（定常的），當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于任何輸入任何輸入 和任何實(shí)數(shù)和任何實(shí)數(shù) ，有，有 （1.51.5）否則稱為時(shí)變得。式中否則稱為時(shí)變得。式中 稱為位移算子，稱為位移算子， 表示對(duì)于所表示對(duì)于所有有

17、t t有有 （1.61.6）意為意為 的波形與延遲的波形與延遲 秒的秒的 的波形完全相同。的波形完全相同。uHQQ HuuQQ u()QtuuQ u( ) tu線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論式（式（1.5）也可寫作）也可寫作 （1.7）意為當(dāng)輸入的波形位移意為當(dāng)輸入的波形位移 秒時(shí)，輸出的波形也位移秒時(shí)，輸出的波形也位移 秒。秒。線性時(shí)不變（定常）系統(tǒng)數(shù)學(xué)方程中各項(xiàng)的系數(shù)必為線性時(shí)不變（定常）系統(tǒng)數(shù)學(xué)方程中各項(xiàng)的系數(shù)必為常數(shù)，只要有一項(xiàng)的系數(shù)是時(shí)間的函數(shù)時(shí)，則是時(shí)變的。常數(shù)，只要有一項(xiàng)的系數(shù)是時(shí)間的函數(shù)時(shí)，則是時(shí)變的。 HQQuy線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論 系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述是建立在狀態(tài)和狀態(tài)空間概念

18、的系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述是建立在狀態(tài)和狀態(tài)空間概念的基礎(chǔ)上的。狀態(tài)與狀態(tài)空間概念早在古典力學(xué)中得到廣泛基礎(chǔ)上的。狀態(tài)與狀態(tài)空間概念早在古典力學(xué)中得到廣泛應(yīng)用，當(dāng)將其引入到系統(tǒng)和控制理論中來，使之適于描述應(yīng)用，當(dāng)將其引入到系統(tǒng)和控制理論中來，使之適于描述系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)行為，才使這兩個(gè)概念有了更一般性的含義。系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)行為，才使這兩個(gè)概念有了更一般性的含義。系統(tǒng)在時(shí)間域中的行為或運(yùn)動(dòng)信息的集合稱為狀態(tài)。系統(tǒng)在時(shí)間域中的行為或運(yùn)動(dòng)信息的集合稱為狀態(tài)。但狀態(tài)（行為或信息）需用變量來表征，故狀態(tài)變量可簡但狀態(tài)（行為或信息）需用變量來表征，故狀態(tài)變量可簡稱為狀態(tài)。稱為狀態(tài)。線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的狀態(tài)

19、定義為：能夠唯一地確定系統(tǒng)時(shí)間動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的狀態(tài)定義為：能夠唯一地確定系統(tǒng)時(shí)間域行為的一組獨(dú)立（數(shù)目最少的）變量，只要給定域行為的一組獨(dú)立（數(shù)目最少的）變量，只要給定 時(shí)刻時(shí)刻的這組變量和的這組變量和 的輸入，則系統(tǒng)在的輸入，則系統(tǒng)在 的任意時(shí)刻的的任意時(shí)刻的行為隨之完全確定。行為隨之完全確定。眾所周知，一個(gè)用眾所周知，一個(gè)用n n階微分方程描述的系統(tǒng)，當(dāng)階微分方程描述的系統(tǒng)，當(dāng)n n個(gè)初個(gè)初始條件始條件 ， ， 的輸入的輸入 給定時(shí)，可唯一確給定時(shí)，可唯一確定方程的解定方程的解 ，故變量，故變量 ， ， 是一組狀態(tài)是一組狀態(tài)變量。變量。0t0tt0tt0( )x t0()x t(1)0( )n

20、xt( )u t( )x t( )x t( )x t(1)( )nxt線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論對(duì)于確定系統(tǒng)的時(shí)域行為來說，一組獨(dú)立的狀態(tài)變量對(duì)于確定系統(tǒng)的時(shí)域行為來說，一組獨(dú)立的狀態(tài)變量既是必要的，也是充分的，獨(dú)立狀態(tài)變量的個(gè)數(shù)即系統(tǒng)微既是必要的，也是充分的，獨(dú)立狀態(tài)變量的個(gè)數(shù)即系統(tǒng)微分方程的階次分方程的階次n n。顯然，當(dāng)狀態(tài)變量個(gè)數(shù)小于。顯然，當(dāng)狀態(tài)變量個(gè)數(shù)小于n n，便不能完，便不能完全確定系統(tǒng)狀態(tài)，變量個(gè)數(shù)大于全確定系統(tǒng)狀態(tài)，變量個(gè)數(shù)大于n n則必有不獨(dú)立變量，對(duì)則必有不獨(dú)立變量，對(duì)于確定系統(tǒng)狀態(tài)是多余的。至于于確定系統(tǒng)狀態(tài)是多余的。至于 時(shí)刻的狀態(tài)，表征了時(shí)刻的狀態(tài)，表征了 以前的系

21、統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的結(jié)果，故常稱狀態(tài)是對(duì)系統(tǒng)過去、現(xiàn)在以前的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的結(jié)果，故常稱狀態(tài)是對(duì)系統(tǒng)過去、現(xiàn)在和將來行為的描述。通常取參考時(shí)刻和將來行為的描述。通常取參考時(shí)刻 為零。為零。0t0t0t線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論狀態(tài)變量的選擇不是唯一的。選擇與初始條件對(duì)應(yīng)的狀態(tài)變量的選擇不是唯一的。選擇與初始條件對(duì)應(yīng)的變量作為狀態(tài)變量是一種狀態(tài)變量的選擇方法，但也可以變量作為狀態(tài)變量是一種狀態(tài)變量的選擇方法，但也可以選擇另外一組獨(dú)立變量作為狀態(tài)變量，特別應(yīng)優(yōu)先考慮在選擇另外一組獨(dú)立變量作為狀態(tài)變量，特別應(yīng)優(yōu)先考慮在物理上可量測(cè)的量作為狀態(tài)變量，如機(jī)械系統(tǒng)中的轉(zhuǎn)角、物理上可量測(cè)的量作為狀態(tài)變量，如機(jī)械系統(tǒng)中的轉(zhuǎn)角、位

22、移以及它們的速度，電路系統(tǒng)中的電感電流、電容器兩位移以及它們的速度，電路系統(tǒng)中的電感電流、電容器兩端電壓等，這些可量測(cè)的狀態(tài)變量可用于實(shí)現(xiàn)反饋控制以端電壓等，這些可量測(cè)的狀態(tài)變量可用于實(shí)現(xiàn)反饋控制以改善系統(tǒng)性能。改善系統(tǒng)性能。線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論在理論分析研究中，常選擇一些在數(shù)學(xué)上才有意義的量作在理論分析研究中，常選擇一些在數(shù)學(xué)上才有意義的量作為狀態(tài)變量，它們可能是一些物理量的復(fù)雜的線性組合，為狀態(tài)變量，它們可能是一些物理量的復(fù)雜的線性組合，但卻可以導(dǎo)出某種典型形式的狀態(tài)空間方程，以利于建立但卻可以導(dǎo)出某種典型形式的狀態(tài)空間方程，以利于建立一般的狀態(tài)空間分析理論。選擇不同的狀態(tài)變量只是以不

23、一般的狀態(tài)空間分析理論。選擇不同的狀態(tài)變量只是以不同形式描述系統(tǒng)，由于不同的狀態(tài)變量組之間存在著確定同形式描述系統(tǒng)，由于不同的狀態(tài)變量組之間存在著確定關(guān)系，對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)描述隨之存在對(duì)應(yīng)的確定關(guān)系，而系統(tǒng)關(guān)系，對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)描述隨之存在對(duì)應(yīng)的確定關(guān)系，而系統(tǒng)的特性則是不變的。的特性則是不變的。線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論本書中將狀態(tài)變量記為本書中將狀態(tài)變量記為 ， 。若將個(gè)狀。若將個(gè)狀態(tài)變量看作向量態(tài)變量看作向量 的分量，則的分量，則n n維列向量維列向量稱為系統(tǒng)的狀態(tài)向量。給定稱為系統(tǒng)的狀態(tài)向量。給定 時(shí)的狀態(tài)向量時(shí)的狀態(tài)向量 及及 的輸入向量的輸入向量 ， ，則，則 的狀態(tài)向量、的狀態(tài)向量、 唯一確定

24、。唯一確定。1( )x t( )nx t1( )( )( )nx ttx tx0t0( )tx0tt( ) tu1( ) ( )( )Tptu tutu0tt( ) tx( ) tx線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論 以以n n個(gè)狀態(tài)變量為坐標(biāo)軸所構(gòu)成的個(gè)狀態(tài)變量為坐標(biāo)軸所構(gòu)成的n n維空間稱為狀態(tài)維空間稱為狀態(tài)空間。狀態(tài)空間中的一點(diǎn)代表系統(tǒng)的一個(gè)特定時(shí)刻的狀態(tài)，空間。狀態(tài)空間中的一點(diǎn)代表系統(tǒng)的一個(gè)特定時(shí)刻的狀態(tài)，該點(diǎn)就是狀態(tài)向量的端點(diǎn)。隨著時(shí)間推移，系統(tǒng)狀態(tài)在變?cè)擖c(diǎn)就是狀態(tài)向量的端點(diǎn)。隨著時(shí)間推移，系統(tǒng)狀態(tài)在變化，便構(gòu)成了狀態(tài)空間中的一條軌線，即狀態(tài)向量的矢端化，便構(gòu)成了狀態(tài)空間中的一條軌線，即狀態(tài)向

25、量的矢端軌線。由于狀態(tài)變量只能取實(shí)數(shù)值，故狀態(tài)空間是建立在軌線。由于狀態(tài)變量只能取實(shí)數(shù)值，故狀態(tài)空間是建立在實(shí)數(shù)域上的向量空間。實(shí)數(shù)域上的向量空間。在上述狀態(tài)和狀態(tài)空間概念基礎(chǔ)上，可著手建立系統(tǒng)在上述狀態(tài)和狀態(tài)空間概念基礎(chǔ)上，可著手建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述。的狀態(tài)空間描述。線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論 圖圖1.11.1已示出狀態(tài)空間描述的結(jié)構(gòu)，輸入引起狀態(tài)的已示出狀態(tài)空間描述的結(jié)構(gòu)，輸入引起狀態(tài)的變化是一個(gè)動(dòng)態(tài)過程。列寫每個(gè)狀態(tài)變量的一階導(dǎo)數(shù)與所變化是一個(gè)動(dòng)態(tài)過程。列寫每個(gè)狀態(tài)變量的一階導(dǎo)數(shù)與所有狀態(tài)變量、輸入變量的關(guān)系的數(shù)學(xué)方程稱為狀態(tài)方程。有狀態(tài)變量、輸入變量的關(guān)系的數(shù)學(xué)方程稱為狀態(tài)方程。由于由

26、于n n階系統(tǒng)有階系統(tǒng)有n n個(gè)獨(dú)立的狀態(tài)變量，故系統(tǒng)狀態(tài)方程是個(gè)獨(dú)立的狀態(tài)變量，故系統(tǒng)狀態(tài)方程是n n個(gè)聯(lián)立的一階微分方程或差分方程。個(gè)聯(lián)立的一階微分方程或差分方程?？紤]最一般的情況，考慮最一般的情況，連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程為連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程為 111111( ,;,; )( ,;,; )npnnnpxf xx uutxfxx uut線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論輸入和狀態(tài)一起引起輸出的變化是一個(gè)代數(shù)方程。輸入和狀態(tài)一起引起輸出的變化是一個(gè)代數(shù)方程。列列寫每個(gè)輸出變量與所有狀態(tài)變量及輸出變量的關(guān)系的數(shù)學(xué)寫每個(gè)輸出變量與所有狀態(tài)變量及輸出變量的關(guān)系的數(shù)學(xué)方程稱為輸出方程，設(shè)有個(gè)方程稱為輸出方程，設(shè)有個(gè)q

27、q輸出變量，故系統(tǒng)輸出方程輸出變量，故系統(tǒng)輸出方程含含q q個(gè)聯(lián)立代數(shù)方程。最一般情況下的連續(xù)輸出方程為個(gè)聯(lián)立代數(shù)方程。最一般情況下的連續(xù)輸出方程為 （1.91.9）111111( ,;,; )( ,;,; )npqqnpyg xx uutygxx uut線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論為了書寫簡潔，引入向量及矩陣符號(hào)，令為了書寫簡潔，引入向量及矩陣符號(hào)，令（1.101.10）分別為狀態(tài)向量、控制向量（輸入向量）、輸出向量。分別為狀態(tài)向量、控制向量（輸入向量）、輸出向量。1nxxx1puuu1qyyy線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論1.1 系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述再引入向量函數(shù)再引入向量函數(shù)（1.111.11）則式

28、（則式（1.81.8）和式（）和式（1.91.9）可簡記為）可簡記為（1.121.12）1( , , )( , , )( , , )nfttftx uf x ux u1( , , )( , , )( , , )qgttgtx ug x ux u( , , )( , , )tt xf x uyg x u線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論式（式（1.12）為狀態(tài)方程和輸出方程的組合，構(gòu)成了完整的）為狀態(tài)方程和輸出方程的組合，構(gòu)成了完整的狀態(tài)空間描述，稱為狀態(tài)空間方程，又稱為動(dòng)態(tài)方程。狀態(tài)空間描述，稱為狀態(tài)空間方程，又稱為動(dòng)態(tài)方程。只要式（只要式（1.121.12）中向量函數(shù)）中向量函數(shù) 和和 的某元顯含的某

29、元顯含t t，便表明系統(tǒng)是時(shí)變的。定常系統(tǒng)不顯含便表明系統(tǒng)是時(shí)變的。定常系統(tǒng)不顯含t t，故有，故有（1.131.13）( ) f( ) g( ,)( ,) xfx uyg x u線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論若式（若式（1.121.12）中）中 和和 的某元是的某元是 ， 和和 ， 的某類非線性函數(shù)時(shí)，便表明系統(tǒng)是非線性的某類非線性函數(shù)時(shí)，便表明系統(tǒng)是非線性的。若和的諸元都是的。若和的諸元都是 ， 和和 ， 的線性函的線性函數(shù)，才表明系統(tǒng)是線性的。數(shù)，才表明系統(tǒng)是線性的。1x( ) f( ) gnx1upu1xnx1upu線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論對(duì)于線性系統(tǒng)，狀態(tài)空間方程可表為更明顯的一般形式對(duì)于

30、線性系統(tǒng)，狀態(tài)空間方程可表為更明顯的一般形式（1.141.14）1111122111112211122112211111221111122111( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )nnppnnnnnnnnnppnnppqqxat xat xat xb t ubt ubt uxat xat xat xbt ubt ubt uyct xct xct xdt udt udt uyct x221122( )( )( )( )( )qqnnqqqppct xct xbt ubt ubt u線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論寫成向量寫成向

31、量- -矩陣形式為矩陣形式為 （1.151.15）式中式中 、 、 、 分別稱為系統(tǒng)矩陣（狀態(tài)矩）、分別稱為系統(tǒng)矩陣（狀態(tài)矩）、輸入矩陣（控制矩陣）、輸出矩陣、耦合陣（前饋矩陣）。輸入矩陣（控制矩陣）、輸出矩陣、耦合陣（前饋矩陣）。諸系數(shù)矩陣分別為諸系數(shù)矩陣分別為( )( )( )( )tttt xAxBuyCxDu( )A t( )B t( )C t( )D t1111( )( )( )( )( )nnnna ta tta ta tA1111( )( )( )( )( )pnnpb tbttb tbtB線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論諸系數(shù)矩陣中只要有某元時(shí)時(shí)間函數(shù)，便是時(shí)變系統(tǒng)。諸系數(shù)矩陣中只要有

32、某元時(shí)時(shí)間函數(shù)，便是時(shí)變系統(tǒng)。當(dāng)諸系數(shù)矩陣的所有元都是常數(shù)時(shí)，便是定常系統(tǒng)。線性當(dāng)諸系數(shù)矩陣的所有元都是常數(shù)時(shí)，便是定常系統(tǒng)。線性定常連續(xù)系統(tǒng)是現(xiàn)代控制理論的最基本研究對(duì)象，其狀態(tài)定常連續(xù)系統(tǒng)是現(xiàn)代控制理論的最基本研究對(duì)象，其狀態(tài)空間方程為空間方程為 （1.16）1111( )( )( )( )( )nqqnctcttctctC1111( )( )( )( )( )pqqpdtdttdtdtD xAxBuyCxDu線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論式中式中A A為為 矩陣，矩陣，B B為為 矩陣，矩陣，C C為為 矩陣，矩陣，D D為為 矩陣。其狀態(tài)空間方程可用方塊圖表示，見圖矩陣。其狀態(tài)空間方程可用方

33、塊圖表示，見圖1.21.2。圖圖1.2 1.2 線性定常系統(tǒng)方塊圖線性定常系統(tǒng)方塊圖()n n()np()qp()qn線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論實(shí)際物理系統(tǒng)總是含有非線性因素，但是許多實(shí)際系實(shí)際物理系統(tǒng)總是含有非線性因素，但是許多實(shí)際系統(tǒng)當(dāng)和均限制在其工作點(diǎn)或平衡點(diǎn)附近做小偏差運(yùn)動(dòng)時(shí)，統(tǒng)當(dāng)和均限制在其工作點(diǎn)或平衡點(diǎn)附近做小偏差運(yùn)動(dòng)時(shí)，其非線性方程能夠足夠精確的用線性化方程來描述，從而其非線性方程能夠足夠精確的用線性化方程來描述，從而狀態(tài)空間方程線性化。設(shè)式（狀態(tài)空間方程線性化。設(shè)式（1.131.13）所示非線性向量函數(shù)）所示非線性向量函數(shù) 和和 在工作點(diǎn)在工作點(diǎn) 臨域展開成臺(tái)勞級(jí)數(shù)并臨域展開成臺(tái)

34、勞級(jí)數(shù)并略去二次及其以上各項(xiàng)，有略去二次及其以上各項(xiàng)，有( , )f x u( , )g x u00(,)x u0000000000,00,( , )(,)( , )(,)TTTT x ux ux ux ufff x uf x uxuxuggg x ug x uxuxu線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論式中式中 ， ，且有，且有 ，故，故 工作點(diǎn)處滿足工作點(diǎn)處滿足于是可得小擾動(dòng)線性化狀態(tài)空間方程為于是可得小擾動(dòng)線性化狀態(tài)空間方程為 （1.171.17）0 xxx0 uuu0 yyy0 xxx0yyy000(,) xf x u000(,)yg x u00000000,TTTT x ux ux ux uff

35、xxuAxBuxuggyxuCxDuxu線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論當(dāng)非線性系統(tǒng)在工作點(diǎn)附近運(yùn)動(dòng)時(shí)，式（當(dāng)非線性系統(tǒng)在工作點(diǎn)附近運(yùn)動(dòng)時(shí)，式（1.171.17）所示）所示線性系統(tǒng)可以足夠的精度代替（線性系統(tǒng)可以足夠的精度代替（1.131.13）所示原非線性系統(tǒng)。）所示原非線性系統(tǒng)。式（式（1.171.17）中諸系數(shù)矩陣可由列向量對(duì)行向量的求導(dǎo)規(guī)則）中諸系數(shù)矩陣可由列向量對(duì)行向量的求導(dǎo)規(guī)則導(dǎo)出，它們分別為導(dǎo)出，它們分別為0000111,1,nTnnnffxxffxx x ux ufAx線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論0000111,1,pTnnpffuuffuux ux ufBu0000111,1,nTqqn

36、ggxxggxxxuxugCx0000111,1,pTqqpgguugguuxuxugDu線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論當(dāng)工作點(diǎn)變化時(shí)，諸系數(shù)矩陣各元的數(shù)值將更新。當(dāng)工作點(diǎn)變化時(shí)，諸系數(shù)矩陣各元的數(shù)值將更新。需要指出的是，當(dāng)所選狀態(tài)變量不同時(shí)，所得狀態(tài)方需要指出的是，當(dāng)所選狀態(tài)變量不同時(shí)，所得狀態(tài)方程也不同，故狀態(tài)方程也不是唯一的。為了保證狀態(tài)方程程也不同，故狀態(tài)方程也不是唯一的。為了保證狀態(tài)方程解的存在和唯一性，既滿足初始條件解的存在和唯一性，既滿足初始條件 、在、在 （ ）作用下的解作用下的解 ，在，在 時(shí)存在且只有一個(gè)，時(shí)存在且只有一個(gè)， 不產(chǎn)生不產(chǎn)生繼電式的跳躍現(xiàn)象，也不存在在某時(shí)刻變?yōu)槔^電

37、式的跳躍現(xiàn)象，也不存在在某時(shí)刻變?yōu)?，故對(duì)函數(shù)，故對(duì)函數(shù) 應(yīng)加以限制。應(yīng)加以限制。0( )tx( ) tu0tt( ) tx0tt( ) tx( , , ) tf x u線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論解唯一存在的充分必要條件是應(yīng)滿足利普希茨解唯一存在的充分必要條件是應(yīng)滿足利普希茨（Lipschitz）條件，對(duì)線性時(shí)變系而言，）條件，對(duì)線性時(shí)變系而言， 、 、 的元都是的的元都是的t分段連續(xù)函數(shù)；對(duì)于線性定常系統(tǒng)而言，分段連續(xù)函數(shù)；對(duì)于線性定常系統(tǒng)而言， 、都是元為有限值的常數(shù)矩陣；狀態(tài)方程中不含都是元為有限值的常數(shù)矩陣；狀態(tài)方程中不含 的導(dǎo)的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)。有些實(shí)際系統(tǒng)的微分方程是含有輸入導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的，為數(shù)項(xiàng)。

38、有些實(shí)際系統(tǒng)的微分方程是含有輸入導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的，為使導(dǎo)出的狀態(tài)方程不含輸入導(dǎo)數(shù)，需適當(dāng)選取狀態(tài)變量。使導(dǎo)出的狀態(tài)方程不含輸入導(dǎo)數(shù)，需適當(dāng)選取狀態(tài)變量。( ) tA( ) tB( ) tuA B( ) tu線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論式（式（1.151.15）和式（）和式（1.161.16）表示了多輸入）表示了多輸入- -多輸出線性多輸出線性系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程，當(dāng)，時(shí)，即單輸入系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程，當(dāng)，時(shí)，即單輸入- -單輸出線性系統(tǒng)的單輸出線性系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為動(dòng)態(tài)方程為 （1.181.18）這時(shí)這時(shí)u u、y y均為標(biāo)量，均為標(biāo)量，b b為為 維，維，a a為為 維，維，d d為為標(biāo)量。標(biāo)量。( )( )( )(

39、 )tt uuytd t uyduxAxbxAxbcxcx(1)n(1)n線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述的優(yōu)越性在于：能解釋處于系統(tǒng)系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述的優(yōu)越性在于：能解釋處于系統(tǒng)內(nèi)部的狀態(tài)信息并加以利用；一階微分方程比高階微分方內(nèi)部的狀態(tài)信息并加以利用；一階微分方程比高階微分方程宜于在計(jì)算機(jī)上求解；采用向量程宜于在計(jì)算機(jī)上求解；采用向量- -矩陣形式，當(dāng)各種變矩陣形式，當(dāng)各種變量數(shù)目增加時(shí)，并不增加數(shù)學(xué)表達(dá)式的復(fù)雜性；可適用于量數(shù)目增加時(shí)，并不增加數(shù)學(xué)表達(dá)式的復(fù)雜性；可適用于單變量或多變量、線性或非線性、定?；驎r(shí)變、確定性或單變量或多變量、線性或非線性、定?；驎r(shí)變、確定性或隨機(jī)性各

40、類系統(tǒng)的描述。隨機(jī)性各類系統(tǒng)的描述。線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論依據(jù)物理系統(tǒng)所含元件遵循的定律列寫出微分方程組，依據(jù)物理系統(tǒng)所含元件遵循的定律列寫出微分方程組，選擇可以量測(cè)的物理量作為狀態(tài)變量，便可導(dǎo)出狀態(tài)方程；選擇可以量測(cè)的物理量作為狀態(tài)變量，便可導(dǎo)出狀態(tài)方程；根據(jù)系統(tǒng)的任務(wù)或給定可確定輸出量與狀態(tài)變量間的輸出根據(jù)系統(tǒng)的任務(wù)或給定可確定輸出量與狀態(tài)變量間的輸出方程。下面通過舉例來說明建立系統(tǒng)狀態(tài)空間方程的步驟。方程。下面通過舉例來說明建立系統(tǒng)狀態(tài)空間方程的步驟。線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論研究圖研究圖1.31.3所示電網(wǎng)絡(luò)，輸入變量為所示電網(wǎng)絡(luò)，輸入變量為 和和 ，輸，輸出變量為出變量為 ，試列寫該

41、雙輸入，試列寫該雙輸入- -單輸出系統(tǒng)的狀態(tài)空間方單輸出系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程。程。圖圖1.3 1.3 例例1.11.1電網(wǎng)絡(luò)電網(wǎng)絡(luò)1e2ecucuCL1e1r3r2r4r2eLi1i2i線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論 運(yùn)用回路電流法列出三個(gè)回路的方程：運(yùn)用回路電流法列出三個(gè)回路的方程：式中式中 滿足滿足消去之間變量可得網(wǎng)絡(luò)的二階微分方程，故網(wǎng)絡(luò)的獨(dú)消去之間變量可得網(wǎng)絡(luò)的二階微分方程，故網(wǎng)絡(luò)的獨(dú)立狀態(tài)變量為立狀態(tài)變量為2 2個(gè)。個(gè)。1131 12 32111223234LLcLcLdieLirri ri rdteui ri rreui rirrcu12cduCiidt線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論由回路方程顯

42、見，若選取流過電感的電流由回路方程顯見，若選取流過電感的電流 和電容器和電容器端電壓端電壓 作為狀態(tài)變量既有明確物理意義又便于導(dǎo)出狀態(tài)作為狀態(tài)變量既有明確物理意義又便于導(dǎo)出狀態(tài)方程。電感、電容器都是儲(chǔ)能元件，它們未分布在一個(gè)回方程。電感、電容器都是儲(chǔ)能元件，它們未分布在一個(gè)回路網(wǎng)孔內(nèi)，一定是獨(dú)立的儲(chǔ)能元件，獨(dú)立儲(chǔ)能元件的個(gè)數(shù)路網(wǎng)孔內(nèi)，一定是獨(dú)立的儲(chǔ)能元件，獨(dú)立儲(chǔ)能元件的個(gè)數(shù)即獨(dú)立狀態(tài)變量的個(gè)數(shù)。即獨(dú)立狀態(tài)變量的個(gè)數(shù)。消去中間變量消去中間變量 ， ，可整理得到，可整理得到2 2個(gè)一階微分方程個(gè)一階微分方程Licu1i2i1222133221LLCcLCdiRRRiueedtLLLLduRRRiu

43、edtCLC 線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論式中式中寫成向量矩陣形式，有寫成向量矩陣形式，有3 431 2112312341234123411,rrrrrrRRRrrrrrrrrrrrr122133221001LLccLccRRRieiLLLLuRReRuCLCiuu線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論試確定圖試確定圖1.41.4（a a）、（）、（b b）、）、(c)(c)所示網(wǎng)絡(luò)的獨(dú)所示網(wǎng)絡(luò)的獨(dú)立狀態(tài)變量。圖中立狀態(tài)變量。圖中 分別為輸入電壓、輸入電流，為分別為輸入電壓、輸入電流，為輸出電壓，輸出電壓， 為電容器端電壓或流過電感的電流。為電容器端電壓或流過電感的電流。 (a) (b) (c)(a) (b)

44、(c), u iyix3Cy1CR2x1x3x2Cu3Cy1CR2x1xuCiR1L2L1x2xy線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論 并非所有的電網(wǎng)絡(luò)中的電容端電壓和電感電流都是獨(dú)并非所有的電網(wǎng)絡(luò)中的電容端電壓和電感電流都是獨(dú)立的狀態(tài)變量。圖中，立的狀態(tài)變量。圖中， 分別是獨(dú)立的狀態(tài)變量。據(jù)電路分別是獨(dú)立的狀態(tài)變量。據(jù)電路定律，圖定律，圖1.41.4（a a）有）有 ，已知其中任意兩個(gè)變，已知其中任意兩個(gè)變量，第三個(gè)隨之確定，故獨(dú)立狀態(tài)變量為量，第三個(gè)隨之確定，故獨(dú)立狀態(tài)變量為 或或 或或 。圖。圖1.41.4（b b）及（）及（c c）恒有）恒有 ，獨(dú)立狀態(tài)變量，獨(dú)立狀態(tài)變量只有一個(gè)。只有一個(gè)。, u

45、 i1230 xxx13xx、12xx、23xx、12xx線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論 設(shè)有一倒立擺安裝在傳動(dòng)車上，見圖設(shè)有一倒立擺安裝在傳動(dòng)車上，見圖1.51.5，圖中，圖中z z為小車相對(duì)參考系的位置，為小車相對(duì)參考系的位置， 為倒立擺偏離垂直位置的角為倒立擺偏離垂直位置的角度；擺桿長度度；擺桿長度 ，忽略其質(zhì)量；，忽略其質(zhì)量；m m為擺的質(zhì)量；給質(zhì)量為擺的質(zhì)量；給質(zhì)量M M為為的小車在水平方向施加控制力的小車在水平方向施加控制力u u，以便保證倒立擺豎立在，以便保證倒立擺豎立在垂直位置而不傾倒。假定擺軸、車輪軸、車輪與軌道之間垂直位置而不傾倒。假定擺軸、車輪軸、車輪與軌道之間的摩擦均忽略不計(jì)

46、。試列出倒立擺裝置的線性化狀態(tài)空間的摩擦均忽略不計(jì)。試列出倒立擺裝置的線性化狀態(tài)空間方程。方程。l線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論圖圖1.5 1.5 倒立擺裝置倒立擺裝置uMlz線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論解解 擺的水平位置為擺的水平位置為 ，在控制力，在控制力u u作用下小車作用下小車與擺一起將產(chǎn)生加速運(yùn)動(dòng)。據(jù)力學(xué)原理，小車與擺在水平與擺一起將產(chǎn)生加速運(yùn)動(dòng)。據(jù)力學(xué)原理，小車與擺在水平直線運(yùn)動(dòng)方向的慣性力應(yīng)與控制力平衡，故有直線運(yùn)動(dòng)方向的慣性力應(yīng)與控制力平衡，故有即即 擺繞擺軸旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的慣性力矩應(yīng)與重力矩平衡，故有擺繞擺軸旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的慣性力矩應(yīng)與重力矩平衡，故有 sinzl2222sind zdMmzlud

47、tdt2cossinMm zmlmlu22sincossindmzllmgldt線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論式和都是非線性方程。由于控制目的在于保持倒立擺式和都是非線性方程。由于控制目的在于保持倒立擺直立，只要施加的控制力合適，作出直立，只要施加的控制力合適，作出 接近于零的假定接近于零的假定將是正確的，即以將是正確的，即以 作為工作點(diǎn)，倒立擺相對(duì)該作為工作點(diǎn)，倒立擺相對(duì)該工作點(diǎn)進(jìn)行線性化，其臺(tái)勞級(jí)數(shù)展開的結(jié)果等價(jià)于令式、工作點(diǎn)進(jìn)行線性化，其臺(tái)勞級(jí)數(shù)展開的結(jié)果等價(jià)于令式、中中 ， ，且忽略項(xiàng)，且忽略項(xiàng) ，即有，即有 聯(lián)立求解可得聯(lián)立求解可得 , 000,0sincos12Mm zmluzlg11m

48、gzuMMMm guMlMl 線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論經(jīng)消元可得倒立擺系統(tǒng)微分方程經(jīng)消元可得倒立擺系統(tǒng)微分方程這是四階方程，獨(dú)立狀態(tài)變量為四個(gè)。選擇小車位移這是四階方程，獨(dú)立狀態(tài)變量為四個(gè)。選擇小車位移 ，小車速度小車速度 ，擺桿角位移，擺桿角位移 ，擺桿角速度，擺桿角速度 。這些易于量。這些易于量測(cè)的量作為狀態(tài)變量，其狀態(tài)向量測(cè)的量作為狀態(tài)變量，其狀態(tài)向量 定義為定義為考慮恒等式考慮恒等式 由式和可得狀態(tài)方程由式和可得狀態(tài)方程 41Mm ggZzuuMlMMlzz xTzzx,zzxAxbu線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論式中式中假定下車位移作為輸出變量假定下車位移作為輸出變量y y，故輸出方程為，

49、故輸出方程為 式中式中010001000,000101000mgMMAbMm gMlMlyzcx1000c線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論1.21.2 化輸入化輸入-輸出描述為狀態(tài)空間描述輸出描述為狀態(tài)空間描述有些實(shí)際系統(tǒng)難于利用定律來導(dǎo)出數(shù)學(xué)方程，需通過有些實(shí)際系統(tǒng)難于利用定律來導(dǎo)出數(shù)學(xué)方程，需通過實(shí)驗(yàn)手段取得輸入、輸出數(shù)據(jù)，以適當(dāng)方法確定輸入實(shí)驗(yàn)手段取得輸入、輸出數(shù)據(jù)，以適當(dāng)方法確定輸入- -輸輸出描述，然后再由輸入出描述，然后再由輸入- -輸出描述換成狀態(tài)空間描述。至輸出描述換成狀態(tài)空間描述。至于由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)確定輸入于由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)確定輸入- -輸出描述的方法，涉及系統(tǒng)辨識(shí)輸出描述的方法，涉及系統(tǒng)辨識(shí)

50、與估計(jì)，已超出本書范圍，這里僅討論已知輸入與估計(jì)，已超出本書范圍，這里僅討論已知輸入- -輸出描輸出描述如何導(dǎo)出狀態(tài)空間描述的問題，且限于研究單輸入述如何導(dǎo)出狀態(tài)空間描述的問題，且限于研究單輸入- -單單輸出線性定常系統(tǒng)的情況，以便對(duì)兩種基本描述的關(guān)系有輸出線性定常系統(tǒng)的情況，以便對(duì)兩種基本描述的關(guān)系有一個(gè)比較直觀的了解。一個(gè)比較直觀的了解。線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論表征輸入表征輸入- -輸出描述的最常用的數(shù)學(xué)方程式系統(tǒng)微分方程輸出描述的最常用的數(shù)學(xué)方程式系統(tǒng)微分方程或系統(tǒng)傳遞函數(shù)；傳遞函數(shù)方塊圖也可作看作是一種輸入或系統(tǒng)傳遞函數(shù)；傳遞函數(shù)方塊圖也可作看作是一種輸入- -輸出描述，本節(jié)將分別研究

51、其導(dǎo)出狀態(tài)空間方程的方法。輸出描述，本節(jié)將分別研究其導(dǎo)出狀態(tài)空間方程的方法。探究中揭示了狀態(tài)空間方程的某些典型結(jié)構(gòu)，為后面章節(jié)探究中揭示了狀態(tài)空間方程的某些典型結(jié)構(gòu)，為后面章節(jié)的討論做準(zhǔn)備。由輸入的討論做準(zhǔn)備。由輸入- -輸出描述確定狀態(tài)空間描述稱為輸出描述確定狀態(tài)空間描述稱為實(shí)現(xiàn)問題，關(guān)于實(shí)現(xiàn)的一般理論和方法將在第四、九章系實(shí)現(xiàn)問題，關(guān)于實(shí)現(xiàn)的一般理論和方法將在第四、九章系統(tǒng)地研究。統(tǒng)地研究。線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論一、由系統(tǒng)微分方程或系統(tǒng)傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間方程一、由系統(tǒng)微分方程或系統(tǒng)傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間方程設(shè)單輸入設(shè)單輸入- -單輸出線性定常連續(xù)系統(tǒng)的微分方程具有單輸出線性定常連續(xù)系統(tǒng)的

52、微分方程具有下列的一般形式下列的一般形式 (1.19) (1.19) 121210121210nnnnnnnnnyayaya ya yuuuu線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論式中式中 分別為系統(tǒng)輸入、輸出變量。分別為系統(tǒng)輸入、輸出變量。其系統(tǒng)傳遞函數(shù)其系統(tǒng)傳遞函數(shù) 為嚴(yán)格真分式，有為嚴(yán)格真分式，有(1.20) , ,iiiiiid yd uyuu ydtdt G s 121210121210nnnnnnnnny sN ssssG su ssasasa saD s線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論 顯見微分方程中含有輸入導(dǎo)數(shù)項(xiàng)（即顯見微分方程中含有輸入導(dǎo)數(shù)項(xiàng)（即 含有零點(diǎn)）。為含有零點(diǎn)）。為尋求下列形式的狀態(tài)空間

53、方程尋求下列形式的狀態(tài)空間方程 (1.21)(1.21)必須適當(dāng)選取狀態(tài)變量與確定各系數(shù)矩陣必須適當(dāng)選取狀態(tài)變量與確定各系數(shù)矩陣 。若選取下列狀態(tài)變量若選取下列狀態(tài)變量 G s,xAx+buy = cx+duAbcd、 、 、112,nnxy xyxy線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論可求得下列狀態(tài)方程可求得下列狀態(tài)方程(1.22)(1.22)1223101121110nnnnnxxxxxa xa xaxuuu 線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論上述一階微分方程組中第上述一階微分方程組中第n n個(gè)方程右端含有個(gè)方程右端含有u u的各階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，的各階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，若若u u是階躍或分段連續(xù)函數(shù)，則的各階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)中將出現(xiàn)脈是

54、階躍或分段連續(xù)函數(shù)，則的各階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)中將出現(xiàn)脈沖函數(shù)沖函數(shù) 及及 等，使?fàn)顟B(tài)方程的解出現(xiàn)無窮等，使?fàn)顟B(tài)方程的解出現(xiàn)無窮大的階躍，從而破壞解的存在性和唯一性。為此必須適當(dāng)大的階躍，從而破壞解的存在性和唯一性。為此必須適當(dāng)選擇狀態(tài)變量，以使?fàn)顟B(tài)方程中不出現(xiàn)的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)。狀態(tài)變選擇狀態(tài)變量，以使?fàn)顟B(tài)方程中不出現(xiàn)的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)。狀態(tài)變量選取方法不同，所得狀態(tài)空間方程便不同。下面介紹的量選取方法不同，所得狀態(tài)空間方程便不同。下面介紹的方案是部分常見選擇方法。它們的狀態(tài)空間方程的結(jié)構(gòu)呈方案是部分常見選擇方法。它們的狀態(tài)空間方程的結(jié)構(gòu)呈某種規(guī)范或標(biāo)準(zhǔn)形式。某種規(guī)范或標(biāo)準(zhǔn)形式。 t tt、線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論按如下規(guī)

55、則設(shè)置一組狀態(tài)變量按如下規(guī)則設(shè)置一組狀態(tài)變量 (1.23)其展開式為其展開式為11,1niiiixyxxa yuin線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論111112122112223222334411222212111223112nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnxxayuyayuxxayuyayuayuxxa yuyayuayua yuxxa yuyayuay3211nnua yu線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論故有故有考慮式考慮式(1.19)，得，得故狀態(tài)方程為故狀態(tài)方程為(1.24) 11221112211nnnnnnnnnxyayuayua yu10000nxa yua xu 1

56、0021111222111nnnnnnnnnnnnxa xuxxa xuxxaxuxxaxu 線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論輸出方程為輸出方程為（1.25）故各系數(shù)矩陣為（記下標(biāo)故各系數(shù)矩陣為（記下標(biāo) ）(1.26)希讀者注意希讀者注意 的形狀特征有能觀測(cè)規(guī)范型之稱的形狀特征有能觀測(cè)規(guī)范型之稱 nyxo01210001000100001onaaaaA0121on b0001To c0od ,ooA c線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論將式將式(1.20)所示所示 分解為兩部分串聯(lián)，并引入中間分解為兩部分串聯(lián)，并引入中間變量變量 ，見圖，見圖1.6。圖圖1.6 的串聯(lián)分解的串聯(lián)分解 由第一個(gè)方塊可導(dǎo)出由第一個(gè)方

57、塊可導(dǎo)出u作輸入，以作輸入，以z作輸出的不含輸入導(dǎo)數(shù)作輸出的不含輸入導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的微分方程，由第二個(gè)方塊可將項(xiàng)的微分方程，由第二個(gè)方塊可將y表為表為z及其各階導(dǎo)數(shù)的及其各階導(dǎo)數(shù)的線性組合，于是有線性組合，于是有 G s z s11101nnnsa sas a1110nnss u s z s y s G s線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論 (1.27)按如下規(guī)則設(shè)置一組狀態(tài)變量按如下規(guī)則設(shè)置一組狀態(tài)變量(1.28) 11101110nnnnnzaza za zuyzzz112,nnxz xzxz 線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論可得狀態(tài)方程可得狀態(tài)方程 (1.29) 1212101101112nnnnnnxxxxxz

58、a za zazua xa xaxu 線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論輸出方程為輸出方程為 (1.30)故各系數(shù)矩陣為（記下標(biāo)故各系數(shù)矩陣為（記下標(biāo) ）(1.31) 01121nnyxxxc0121010000100001cnaaaa A0001c b0121Tcnn c0cd 線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論希讀者注意希讀者注意 的形狀特征有能控規(guī)范型之稱。形的形狀特征有能控規(guī)范型之稱。形如的矩陣稱為友矩陣。如的矩陣稱為友矩陣。能控與能觀測(cè)兩種規(guī)范型的系數(shù)矩陣存在下列關(guān)系能控與能觀測(cè)兩種規(guī)范型的系數(shù)矩陣存在下列關(guān)系 (1.32)式式(1.32)所示關(guān)系有對(duì)偶原理之稱。兩種規(guī)范型的各所示關(guān)系有對(duì)偶原理之稱。兩

59、種規(guī)范型的各系數(shù)矩陣均可直接根據(jù)微分方程或傳遞函數(shù)中的常系數(shù)而系數(shù)矩陣均可直接根據(jù)微分方程或傳遞函數(shù)中的常系數(shù)而列寫出來。列寫出來。,ccA bcATcoAATcobcTcocb線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論 3.A 當(dāng)當(dāng) 只含相異實(shí)極點(diǎn)時(shí)，除了可化為能控或能觀測(cè)只含相異實(shí)極點(diǎn)時(shí)，除了可化為能控或能觀測(cè)規(guī)范型以外，還可化為規(guī)范型以外，還可化為A是對(duì)角型的狀態(tài)空間方程。設(shè)是對(duì)角型的狀態(tài)空間方程。設(shè) 的因式分解為的因式分解為(1.33) 式中式中 為系統(tǒng)的相異實(shí)極點(diǎn)，則為系統(tǒng)的相異實(shí)極點(diǎn)，則 可展開成部可展開成部分分式之和，即分分式之和，即 G s D s 12nD ssss1,n G s 1niiiy

60、 sN scG su sD ss線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論式中式中 為極點(diǎn)為極點(diǎn) 的留數(shù)，且的留數(shù)，且故故(1.35)若按如下規(guī)則設(shè)置一組狀態(tài)變量若按如下規(guī)則設(shè)置一組狀態(tài)變量(1.36) ici iiisN scsD s 1niiicy su ss 11,iix su sins線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論其拉氏反變換為其拉氏反變換為 (1.37)展開展開(1.37)式，可得狀態(tài)空間方程式，可得狀態(tài)空間方程 (1.38) (1.39) 故各系數(shù)矩陣為故各系數(shù)矩陣為1iiiniiixxuyc x11 1222,nnnxxu xxuxxu1 122nnyc xc xc x線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論 (1.4