標準偏差與相對標準偏差

1、標準偏差標準偏差（也稱標準離差或均方根差）是反映一組測量數(shù)據 離散程度 的統(tǒng)計指標。是指統(tǒng)計結果在某一個時段內誤差上下波動的幅度。是正態(tài)分布 的重要參數(shù)之一。是測量變動的統(tǒng)計測算法。它通常不用作獨立的指標而與其它指標配合使用。標準偏差在 誤差理論、質量管理、計量型抽樣檢驗 等領域中均得到了廣泛的應用。因此，標準偏差的計算十分重要，它的準確與否對器具的不確定度 、測量的不確定度以及所接收產品的質 量有重要影響。然而在對標準偏差的計算中，不少人不論測量次數(shù)多少 ，均按貝塞爾公式 計算。樣本標準差的表示公式S =（巴1嚴數(shù)學表達式：（$1 x）2 +（X2 i）2 + （叭可'71 1* S

2、-標準偏差（%）n值不應少于20-30個1n ；* n-試樣總數(shù)或測量次數(shù)，一般* i-物料中某成分的各次測量值,標準偏差的使用方法*在價格變化劇烈時，該指標值通常很高。*如果價格保持平穩(wěn)，這個指標值不高。在價格發(fā)生劇烈的上漲 /下降之前，該指標值總是很 低。標準偏差的計算步驟標準偏差的計算步驟是：步驟一、（每個樣本數(shù)據-樣本全部數(shù)據之平均值）2步驟二、把步驟一所得的各個數(shù)值相加。步驟三、把步驟二的結果除以（n - 1） （ “n指樣本數(shù)目）。步驟四、從步驟三所得的數(shù)值之平方根就是抽樣的標準偏差。六個計算標準偏差的公式標準偏差的理論計算公式設對真值為X的某量進行一組等精度測量，其測得值為1仆|

3、2、In。令測得值I與該量真值X之差為真差占0-則有02 = |2 - XOn = |n - X我們定義標準偏差（也稱標準差）O為a = limnlimn(1)由于真值X都是不可知的，因此真差o占也就無法求得，故式只有理論意義而無實用價值。標準偏差O的常用估計一貝塞爾公式由于真值是不可知的，在實際應用中，我們常用n次測量的算術平均值£(£ =來代表真值。理論上也證明隨著測量次數(shù)的增多術平均值最接近真值，當 也:時，算術平均值就是真值。于是我們用測得值 li與算術平均值 之差一一剩余誤差（也叫殘差）Vi來代替真差 o,即Vi = Li-I設一組等精度測量值為1l、|2、則-

4、: = <1 -W b EVnl n L通過數(shù)學推導可得真差b與剩余誤差V的關系為i=l式(2)就是著名的貝塞爾公式(Bessel)。它用于有限次測量次數(shù)時標準偏差的計算。由于當汽 時，二：r ：汽,可見貝塞爾公式與b的定義式 是完全一致的應該指岀，在n有限時，用貝塞爾公式所得到的是標準偏差b的一個估計值。它不是總體標準偏差b因此，我們稱式為標準偏差 b的常用估計。為了強調這一點，我們將b的估計值用“ S表示。于是，將式改寫為5 =(2')在求S時，為免去求算術平均值 的麻煩，經數(shù)學推導(過程從略)有nn£仏-心M(珀尸n于是，式(2')可寫為按式(2"

5、;)求S時，只需求岀各測得值的平方和和各測得值之和的平方藝n(D2,即標準偏差的無偏估計數(shù)理統(tǒng)計中定義S2為樣本方差s21幷一 1n工仙-勸2i=l數(shù)學上已經證明 S2是總體方差02的無偏估計。即在大量重復試驗中 ，S2圍繞o2散布，它們之 間沒有系統(tǒng)誤差。而式(2')在n有限時,S并不是總體標準偏差 o的無偏估計，也就是說S和o之 間存在系統(tǒng)誤差。概率統(tǒng)計告訴我們，對于服從正態(tài)分布的正態(tài)總體 ，總體標準偏差 o的無偏估計值為即Si和s僅相差一個系數(shù) K o,K。是與樣本個數(shù)測量次數(shù)有關的一個系數(shù)，K昇直見表計算K。時用到r n + i) = n r(r(j) = Wr (i) = i

6、表i&值nana2L25337LW24201.013260L004331J28481.036225L0105曲L00364L08549” 1,03173080L003251.063810L0281401加90L002861050915L0180SOL005110CL0025由表1知，當n>30時，汽河丄丄I。因此，當n>30時，式（3'）和式（2'）之間的差異可略而不計。在n=3050時，最宜用貝塞爾公式求標準偏差。當n<10時，由于K。值的影響已不可忽略，宜用式（3'）,求標準偏差。這時再用貝塞爾公式顯然是不妥的。標準偏差的最大似然估計將b的

7、定義式（1）中的真值X用算術平均值代替且當n有限時就得到r jUi/rfia1/血21414L1280. 886203.73510.2683L732L6936591213 71%0.26542.0002.0590.486223319C.26252.2362.326賀<33.8580.2596 '2.4507.53405112413.895 -10,25772.6462.7W0370253.9310.25482腫12.8470351304.0860.24593.00b2.9700337354.2190.237I103.1623.07803254043220.231113317347

8、30315|4544150.226123伽3.2580.307504.4980.222133.606:3.3360.3001005.0250499143.7423,4070.2942005.4950J82153.8733.4720.2884005.8820J7O16.4*0003+5320.2835006.0610J6517；4.1233,5880.2797006,2890J5918194.24343593.64013.6890.2750.27110006.4940J54- -式適用于n>50時的情況，當n>50時,n和(n-1)對計算結果的影響就很小了2.5標準偏差b的極差估計由

9、于以上幾個標準偏差的計算公式計算量較大，不宜現(xiàn)場采用而極差估計的方法則有運算簡便，計算量小宜于現(xiàn)場采用的特點。極差用"R"表示。所謂極差就是從正態(tài)總體中隨機抽取的n個樣本測得值中的最大值與最小值之差。若對某量作次等精度測量測得h、'，且它們服從正態(tài)分布，則maxl min概率統(tǒng)計告訴我們用極差來估計總體標準偏差的計算公式為S3稱為標準偏差b的無偏極差估計，d2為與樣本個數(shù)n(測得值個數(shù))有關的無偏極差系數(shù)，其值見表2由表2知，當nW 15時二、 ,因此，標準偏差 b更粗略的估計值為(5')還可以看岀，當200W nWlOOO時，曲心 了因而又有(5"

10、;)顯然，不需查表利用式(5')和(5") 了即可對標準偏差值作岀快速估計，用以對用貝塞爾公式及其他公式的計算結果進行校核。應指岀，式(5)的準確度比用其他公式的準確度要低 ，但當5W nW 15時式(5)不僅大大提高了計 算速度，而且還頗為準確。當n>10時，由于舍去數(shù)據信息較多，因此誤差較大，為了提高準確度 這時應將測得值分成四個或五個一組，先求岀各組的極差 Ri、 ' :,再由各組極差求岀極差平均值 。p = % + 尺2 + + Rk極差平均值和總體標準偏差的關系為需指岀，此時d2大小要用每組的數(shù)據個數(shù)n而不是用數(shù)據總數(shù) N(=nK)去查表2。再則，分組

11、時一定要按測得值的先后順序排列，不能打亂或顛倒。標準偏差b的平均誤差估計平均誤差的定義為v |1| + | 砌 + + I幾 I 耳=hm 誤差理論給出1 = J-6 = 0J979<t a -a TT5(A)可以證明EN EMI! 與！ 的關系為(證明從略)于是典/n(n 1)(B)由式(A)和式(B)得nn 1) V 打從而有rti ikin(n 1)=1.2533 ESHn(n 1)5孕顯IN Jn(n 1)式就是佩特斯(CAF.Peters.1856)公式。用該公式估計 S值，由于right|Vright|不需平方 故計算較為簡便。但該式的準確度不如貝塞爾公式。該式使用條件與貝塞

12、爾公式相似。標準偏差的應用實例對標稱值Ra = 0.160 < math > m < math >的一塊粗糙度樣塊進行檢定 ，順次測得以下15個 數(shù)據:1.45,1.65,1.60,1.67,1.52,1.46,1.72,1.69,1.77,1.64,4.56,1.50,1.64,1.74和 1.63 呵，試求該樣塊Rn的平均值和標準偏差并判斷其合格否。解：1）先求平均值.L = L60 +-12 + 5 I 0 1 7-8 - 14 + 12 + 9+ 17 + 4-4 - 10 | 4 | 4 | 315 x 100=1,60 +2715 x 1001,618(&l

13、t; math >< math > i2）再求標準偏差S若用無偏極差估計公式式（5）計算，首先將測得的,15個數(shù)據按原順序分為三組，每組五個見表3。表3組號l_1l_5R11.481.651.601.671.520.1921.461.721.691.771.640.3131.561.501.641.741.630.24= 0.43因每組為5個數(shù)據,按n=5由表2查得 二1 _53 = R = 043 x 0.247 = 0A0621(< math > firn < math >若按常用估計即貝塞爾公式式（2'）,則1 " -y 仏L)

14、3 = 0.0962(< math > fim < math > i n 若按無偏估計公式即式（3'）計算，因n=15，由表1查得Ks = 1.018，則S】=KfiS = 1.018 X 0.0962 = 0.09793(< math > fim < math >)若按最大似然估計 公式即式（4'）計算，則s2=.丄 x i 39.3985 一 1524J7215=0.09296( < math >< math > )若按平均誤差估計公式即式（6）,則12533=1.2533 x1.176/15 x 14

15、=0-1017(< math > pm < math >)現(xiàn)在用式（5'）對以上計算進行校核J -I= -= x 0.247 = 0.0637(< math > “m < math > i可見以上算得的 S、Si、S2、S3和S4沒有粗大誤差。由以上計算結果可知0.09296<0.0962<0.0979<0.1017<0.1062即S2 < S < Si < S4 < S3可見，最大似然估計值最小，常用估計值S稍大，無偏估計值 s又大，平均誤差估計值 S4再 大，極差估計值 S最大。縱觀這幾

16、個值，它們相當接近，最大差值僅為0.01324 。從理論上講， 用無偏估計值和常用估計比較合適 ，在本例中，它們僅相差0.0017 口?？梢韵嘈?，隨著的增大， S、Si、9、S和S4之間的差別會越來越小。就本例而言，無偏極差估計值 S和無偏估計值 Si僅相差0.0083呵，這說明無偏極差估計是既可以保證一定準確度計算又簡便的一種好方法。JJG102-89表面粗糙度比較樣塊 規(guī)定Ra的平均值對其標稱值的偏離不應超過+12%17%,標準偏差應在標稱值的 4%12%之間。已得本樣塊二產，幾打宀廠川：1 產均在規(guī)定范圍之內，故該樣塊合格。標準偏差與標準差的區(qū)別標準差(Standard Deviatio

17、n)各數(shù)據偏離平均數(shù)的距離( 離均差)的平均數(shù)，它是離差平方和平均后的方根。用b表示。因此，標準差也是一種平均數(shù)。標準差是方差的算術平方根。 標 準差能反映一個數(shù)據集的離散程度。平均數(shù)相同的，標準差未必相同。例如，A、B兩組各有6位學生參加同一次語文測驗，A組的分數(shù)為95、85、75、65、55、45, B組的分數(shù)為73、72、71、69、68、67。這兩組的平均數(shù)都是70，但A組的標準差為 17.08分，B組的標準差為 2.16分，說明A組學生之間的差距要比B組學生之間的差距大得多。標準偏差(Std Dev,Standard Deviation)- 統(tǒng)計學 名詞。一種量度數(shù)據分布的分散程度之

18、標準，用以衡量數(shù)據值偏離算術平均值的程度。標準偏差越小，這些值偏離平均值就越少，反之亦 然。標準偏差的大小可通過標準偏差與平均值的倍率關系來衡量。有人經?；煊镁礁`差(RMSE )與標準差(Standard Deviation )，實際上 二者并不是一回事。1.均方根誤差均方根誤差為了說明樣本的離散程度。均方根誤差(root-mean-square error ) 亦稱標準誤差，其定義為 i= 1，2， 3，n。在有限測量次數(shù)中，均方根誤差常用下式表示:式中，n為測量次數(shù)；di為一組測量值與平均值的偏差。如果誤差統(tǒng)計分布是正 態(tài)分布，那么隨機誤差落在土 c以內的概率為68%。2.標準差標準差

19、是方差的算術平方根。標準差能反映一個數(shù)據集的離散程度。平均數(shù)相同的，標準差未必相同。標準差也被稱為標準偏差，或者實驗標準差。均方根值也稱作為效值，它的計算方法是先平方、再平均、然后開方。比如幅度為100V而占空比為0.5的方波信號，如果按平均值計算，它的電壓只有50V，而按均方根值計算則有70.71V。這是為什么呢？舉一個例子，有一組 100伏的電池組，每次供電10分鐘之后停10分鐘，也就是說占空比為一半。如果這組電池帶動的是10Q電阻，供電的10分鐘產生10A的電流和1000W的功率，停電時電流和功率為零。那么在20分鐘的一個周期內其平均功率為 500W，這相當于70.71V的直流電向10Q

20、電阻 供電所產生的功率。而 50V直流電壓向10Q電阻供電只能產生的 250W的功率。對于電機 與變壓器而言，只要均方根電流不超過額定電流，即使在一定時間內過載，也不會燒壞。PMTS1.0抽油機電能圖測試儀對電流、電壓與功率的測試計算都是按有效值進行的，不會 因為電流電壓波形畸變而測不準。這一點對于測試變頻器拖動的電機特別有用。均方根誤差 為了說明樣本的離散程度。對于N1,.Nm,設N=(N1+.+Nm)/m;則均方根誤差記作：一t=sqrt(NA2-N1A2)+.+(NA2-NmA2)/(m(m-1);比如兩組樣本：第一組有以下三個樣本： 3，4，5第二組有一下三個樣本：2，4，6這兩組的平

21、均值都是 4，但是第一組的三個數(shù)值相對更靠近平均值，也就是離散程度小，均方差就是表示這個的。同樣，方差、標準差(方差開根，因為單位不統(tǒng)一)都是表示數(shù)據的離散程度的。幾種典型平均值的求法(1 )算術平均值這種平均值最常用。設x1、x2、x n為各次的測量值，n代表測量次數(shù)，則算術平均值為(2) 均方根平均值(3) 幾何平均值石俯=乂珂花耳=冷JI(4) 對數(shù)平均值In玉(5)加權平均值In嗎-In財相對標準方差的計算公式準確度精密度誤差偏差絕對誤差SX- fi 或 S = x-fi平均偏差d -1=1n標準偏差（n>5）氏（旳-X）23=1W - 1相對誤差%）5 = X_/xl00%相對

22、平均偏差-X100%相對標淮偏差-X100%X準確度：測定值與真實值符合的程度絕對誤差：測量值（或多次測定的平均值）與真（實）值之差稱為絕對誤差，用 表示。相對誤差：絕對誤差與真值的比值稱為相對誤差。常用百分數(shù)表示。絕對誤差可正可負，可以表明測量儀器的準確度，但不能反映誤差在測量值 中所占比例，相對誤差反映測量誤差在測量結果中所占的比例， 衡量相對誤差更 有意義。例：用刻度0.5cm的尺測量長度，可以讀準到0.1cm,該尺測量的絕對誤差 為0.1cm；用刻度1mn!勺尺測量長度，可以讀準到 0.1mm該尺測量的絕對誤差 為 0.1mm例：分析天平稱量誤差為0.1mg,減重法需稱2次，可能的最大誤差為0.2mg, 為使稱量相對誤差小于0.1%，至少應稱量多少樣品？解：-=2x100% 二 °