醫(yī)科數(shù)學(xué)第一章第二節(jié) 極限(limit)

1、一、極限的概念一、極限的概念二、無窮小及其性質(zhì)二、無窮小及其性質(zhì)三、極限的四則運(yùn)算法則三、極限的四則運(yùn)算法則四、兩個(gè)重要極限四、兩個(gè)重要極限第二節(jié)極限第二節(jié)極限( (limitlimit) )一、極限的概念一、極限的概念.1時(shí)時(shí)的的變變化化趨趨勢勢當(dāng)當(dāng)觀觀察察函函數(shù)數(shù) xxx1、 函數(shù)的極限x連續(xù)型的變化連續(xù)型的變化xy01通過上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察可知通過上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察可知:11)( xxxfx時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)注意注意2)(lim)(limxfxfxx 與與為單側(cè)極限為單側(cè)極限 定義定義1-3 當(dāng)自變量當(dāng)自變量 的絕對值無限增大時(shí)，如果的絕對值無限增大時(shí)，如果 函函數(shù)數(shù) 無限趨于某一個(gè)常數(shù)無限趨于

2、某一個(gè)常數(shù)A，就稱當(dāng)，就稱當(dāng) 趨于無窮大時(shí)，趨于無窮大時(shí)，函數(shù)函數(shù) 以以A為極限為極限.)(xf)(xfxx記為記為 或或Axfx )(lim)()(xAxf 注意注意1 若若 時(shí)時(shí), 不趨于某一常數(shù)不趨于某一常數(shù), 則稱則稱 時(shí)時(shí), 的極限不存在的極限不存在;若若 , 趨于無窮大趨于無窮大,為方便為方便起見起見,常記為常記為x)(xfx)(xfx)(xf 或或)(limxfx)()(xxf)(lim()(limAxfAxfxx或或單側(cè)極限單側(cè)極限 當(dāng)自變量當(dāng)自變量 的變化沿的變化沿 軸的正方向無限增大軸的正方向無限增大(或沿或沿 軸的負(fù)方向絕對值無限增大軸的負(fù)方向絕對值無限增大)時(shí)時(shí),函數(shù)函

3、數(shù) 無限趨近于某一無限趨近于某一個(gè)常數(shù)個(gè)常數(shù)A,就稱就稱A 為函數(shù)為函數(shù) 單側(cè)極限單側(cè)極限,記為記為)(xf)(xfxxx 例例1-14 求求 當(dāng)當(dāng) 時(shí)的單側(cè)極時(shí)的單側(cè)極限限xxfarctan)( x解解2 2 xy22xxxxarctanlimarctanlim考慮函數(shù)考慮函數(shù))2( xX024242 xxy0 xx2 2、 時(shí)函數(shù)的極限時(shí)函數(shù)的極限2x4y當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),)()()(lim00 xxAxfAxfxx或或 定義定義1-4 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 的附近有定義的附近有定義(但在這一但在這一點(diǎn)可以沒有定義點(diǎn)可以沒有定義),當(dāng)自變量當(dāng)自變量 以任意方式無限趨近定點(diǎn)以任意方式無限趨近定點(diǎn)

4、 時(shí)時(shí),若函數(shù)若函數(shù) 無限趨近于一個(gè)常數(shù)無限趨近于一個(gè)常數(shù)A,就稱當(dāng)就稱當(dāng) 趨于趨于 時(shí)，時(shí)，函數(shù)函數(shù) 以以A為極限為極限,記為記為0 x)(xfxx0 x0 x)(xf)(xf.)()(lim0)(0AxfAxfxx 或或.)()(lim0)(0AxfAxfxx 或或注注：左極限與右極限都稱之為單側(cè)極限左極限與右極限都稱之為單側(cè)極限左極限左極限從左邊趨于從左邊趨于x0 x,記為記為右極限右極限從右邊趨于從右邊趨于x,記為記為0 x0 xx 注注： 可以有兩個(gè)方向,所以又分為左極限與右極限左極限與右極限.例例1-15yox1xy 112 xy時(shí)時(shí)的的單單側(cè)側(cè)極極限限當(dāng)當(dāng)求求設(shè)設(shè)0)(0, 10

5、,1)(2 xxfxxxxxf解：解：1)(lim1)(lim00 xfxfxx.)()()(lim:000AxfxfAxfxx定理.lim0不存在不存在驗(yàn)證驗(yàn)證xxxyx11 oxxxxxx00limlim左右極限存在但不相等左右極限存在但不相等,.)(lim0不存在xfx例例1-16證證1) 1(lim0 xxxxxxx00limlim11lim0 x例例1-17 判斷函數(shù)判斷函數(shù) 當(dāng)當(dāng) 時(shí)極限是否存在時(shí)極限是否存在? ?0 x解解:,1,0 xx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng).21x則則,1,0 xx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng);021x則則.2)(,01的極限不存在時(shí)所以當(dāng)xxfxxxf12)(1100)(lim)(limxx

6、fxx解解1100)lim()(limxxxxfyox11例例1-18010001xxxxxxf)(討論函數(shù)討論函數(shù)當(dāng)當(dāng) 時(shí)的極限時(shí)的極限.0 x因?yàn)樽笥覙O限不相等因?yàn)樽笥覙O限不相等,所以所以時(shí)時(shí), 的極限不存在的極限不存在.)(xf0 x1100)(lim)(limxxfxxyox11解解1100)lim()(limxxxxf左右極限相等左右極限相等,所以所以10)(limxfx例例1-190101xxxxxf)(討論函數(shù)討論函數(shù)當(dāng)當(dāng) 時(shí)的極限時(shí)的極限.0 x定義定義1-5 (極限的分析性定義極限的分析性定義). )(xf在點(diǎn)0 x的某去心鄰域內(nèi)有定義 ,0,0當(dāng)00 xx時(shí), 有 Axf)

7、(則稱常數(shù) A 為函數(shù))(xf當(dāng)0 xx 時(shí)的極限,Axfxx)(lim0或)()(0 xxAxf當(dāng)即,0,0當(dāng)),(0 xUx時(shí), 有若記作 Axf)(Axfxx)(lim0極限存在函數(shù)局部有界這表明: AA幾何解釋幾何解釋:OAx0 xy)(xfy 設(shè)函數(shù)例例1-20. 證明211lim21xxx證證:Axf)(2112xx21 x故,0取,當(dāng)10 x時(shí), 必有2112xx因此211lim21xxx1 x選讀例子選讀例子. 證明: 當(dāng)00 x證證:Axf)(0 xx001xxx欲使,0且. 0 x而0 x可用0 xx因此,)( Axf只要,00 xxx00limxxxx.lim00 xxx

8、x時(shí)00 xxxx故取,min00 xx則當(dāng)00 xx時(shí),00 xxx保證 .必有Ox0 xx，100 xxx3數(shù)列極限數(shù)列極限如如;,2,8,4,2n;,21,81,41,21n,.1,.,34,23,2nn nn1 ),(),2(),1(nfff數(shù)列數(shù)列 若函數(shù)若函數(shù) 的定義域是正整數(shù)集的定義域是正整數(shù)集, ,當(dāng)當(dāng) 從小到從小到大取值大取值, ,全體對應(yīng)函數(shù)值的排列全體對應(yīng)函數(shù)值的排列稱為數(shù)列稱為數(shù)列(sequence of numbers)(sequence of numbers)通常通常 表示，且表示，且稱稱 為數(shù)列的第項(xiàng)，亦稱通項(xiàng)為數(shù)列的第項(xiàng)，亦稱通項(xiàng)(general term(ge

9、neral term）, ,并用并用 記此數(shù)列記此數(shù)列nna)(nf)(nfnan nan21 n2;,)1( , 1 , 1, 11 n;,)1(,34,21, 21nnn 觀察數(shù)列觀察數(shù)列 的變化趨勢：的變化趨勢：n10 x121514131nnn 1) 1(1) 1(n通過上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察通過上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察:01,nxnn時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)01limnn所以有所以有：記為為極限以則稱趨于某一常數(shù)若時(shí)當(dāng)一般地, AxAxn，nnAxnnlim)(nAxn或或解解：1)111 (lim1limlim, 0) 1(limlimnnnbnannnnnnnn., 1 ,0, 1 ,0的的極極限限不不存

10、存在在可可知知由由于于nncc 4極限存在的判別準(zhǔn)則極限存在的判別準(zhǔn)則)()()(21xfxfxf.)(lim),(lim)(lim21AxfxfAxf則且之間有關(guān)系)(),(),(21xfxfxf例例1-21判斷判斷極限是否存在？極限是否存在？2) 1(11) 1(nnnnn、cnn、na 三個(gè)函數(shù)若在同一變化過程中夾逼準(zhǔn)則準(zhǔn)則, )1( 例例1-22用夾逼準(zhǔn)則求用夾逼準(zhǔn)則求222sinlimxxxx解解:0|sin102222xxxxxxxxx由于0sinlim222xxxx所以所以.)(2單調(diào)有界數(shù)列必有極限單調(diào)有界準(zhǔn)則準(zhǔn)則滿足條件如果數(shù)列na,121nnaaaa單調(diào)增加單調(diào)增加,121

11、nnaaaa單調(diào)減少單調(diào)減少單調(diào)數(shù)列單調(diào)數(shù)列 .的極限必存在則),有界(都有且對一切的nnaMan例如例如, 0sinlim0 xx.0sin時(shí)時(shí)的的無無窮窮小小是是當(dāng)當(dāng)函函數(shù)數(shù)xx,01limxx.1時(shí)時(shí)的的無無窮窮小小是是當(dāng)當(dāng)函函數(shù)數(shù)xx注意：注意： 1.無窮小是變量無窮小是變量,不能與很小的數(shù)混淆不能與很小的數(shù)混淆;2.零是可以作為無窮小的唯一的數(shù)零是可以作為無窮小的唯一的數(shù).定義定義1-6則則的極限為零的極限為零函數(shù)函數(shù)時(shí)時(shí)或或如果如果,)(,)(0 xfxxx，xfxxx簡簡稱稱無無窮窮小小為為無無窮窮小小量量時(shí)時(shí)或或稱稱)()(0定義定義1-7則則函函數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)或或如如果果,)(,)

12、(0 xfxxx，xfxxx簡簡稱稱無無窮窮大大為為無無窮窮大大量量時(shí)時(shí)或或稱稱)()(0二、二、 無窮小量及其性質(zhì)無窮小量及其性質(zhì)1.無窮小量和無窮大量無窮小量和無窮大量性質(zhì)性質(zhì)1 1 有限個(gè)無窮小的代數(shù)和或乘積還是無窮小有限個(gè)無窮小的代數(shù)和或乘積還是無窮小. .2無窮小的性質(zhì)與定理無窮小的性質(zhì)與定理定理定理1-10)(lim)(limAxfAxf性質(zhì)性質(zhì)2 2 有界變量或常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小有界變量或常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小. .即：. 0)()(lim0)(lim)(xfxxM、xf則若性質(zhì)性質(zhì)3 3 在同一過程中在同一過程中, ,無窮大的倒數(shù)為無窮小無窮大的倒數(shù)為無窮小; ;恒

13、不為零的無恒不為零的無窮小的倒數(shù)為無窮大窮小的倒數(shù)為無窮大. . 即即:若函數(shù)若函數(shù) 以為以為A極限極限,則函數(shù)則函數(shù) 是無窮小是無窮小;反之反之,若若 是無窮小是無窮小,則則 以以A為極限為極限. 因此因此,通常將通常將)(xfAxf)(Axf)()(xfAxf)(lim表達(dá)為表達(dá)為 .)0(lim)(Axf例例1-23 求求xxxsinlim0 xxxsinlim例例1-24 求求111xxlim解解011)(lim xx,由性質(zhì)由性質(zhì)3可知可知111xxlim解解011xxxlim,sin,由性質(zhì)由性質(zhì)2可知可知例例1-25 證明證明1000 xxxxcoslim,sinlim22222

14、10222xxxxsincos0 xx sin00由夾逼法則和定理由夾逼法則和定理1-1,有有1000 xxxxcoslim,sinlim證明證明: 對開區(qū)間對開區(qū)間 內(nèi)的任何實(shí)數(shù)內(nèi)的任何實(shí)數(shù) ,有有x)2,2(-在自變量的同一變化過程中，兩個(gè)無窮小趨于零的在自變量的同一變化過程中，兩個(gè)無窮小趨于零的快慢可能會(huì)有所不同于是兩個(gè)無窮小的商是否會(huì)有極限，快慢可能會(huì)有所不同于是兩個(gè)無窮小的商是否會(huì)有極限，完全取決于兩個(gè)無窮小趨于零的快慢反過來，兩個(gè)無窮完全取決于兩個(gè)無窮小趨于零的快慢反過來，兩個(gè)無窮小量的商是否有極限，以及有什么樣的極限，可以提示兩小量的商是否有極限，以及有什么樣的極限，可以提示兩個(gè)

15、無窮小的差異個(gè)無窮小的差異x0lim20 xxx22lim0 xxx 20limxxx)(1sinlim0不不存存在在xxxx 例如例如3無窮小量的比較與階無窮小量的比較與階);(, , 0lim) 1 (o記作高階的無窮小更是比就說如果定義定義1-81-8. 0,且個(gè)無窮小是同一極限過程中的兩設(shè);),0(lim)3(是同階的無窮小與就說如果CC;, 1lim記作是等價(jià)的無窮小與則稱如果特殊地.),0, 0(lim)4( 無窮小階的是關(guān)于就說如果kkCCk;,lim)2( 更高階的無窮小是比或者說更低階的無窮小是比就說如果112 x所以：所以： 與與 為同階無窮小為同階無窮小xxxx11lim

16、20解解 因?yàn)橐驗(yàn)?()(lim1111112220 xxxxx111lim20 xx21 例例1-26 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), 與與 都是無窮小都是無窮小,試試對它們進(jìn)行階的比較對它們進(jìn)行階的比較.112 xx0 x例例1-27. 證明: 當(dāng)0 x時(shí),11nx.1xn證證: 0limx11nxxn10limx11nnxxn111nnx21nnx1,0時(shí)當(dāng) x11nxxn1nnba)(ba1(naban 2)1nb1x分子定理定理* .)(o證證:1lim, 0)1lim(0lim即, )(o即)(o例如例如,0 時(shí)x,sinxx,tanxx故,0 時(shí)x, )(sinxoxx)(tanxoxx定理定理*

17、 . 設(shè),且lim存在 , 則lim lim證證:limlim limlimlim lim例如例如,xxx5sin2tanlim0 xxx52lim052設(shè)對同一變化過程 , , 為無窮小 ,選讀內(nèi)容選讀內(nèi)容:無窮小的性質(zhì), (1) 和差取大規(guī)則和差取大規(guī)則: 由等價(jià)可得簡化某些極限運(yùn)算的下述規(guī)則. 若 = o() , (2) 和差代替規(guī)則和差代替規(guī)則: ,不等價(jià)與且若,則例如,xxxx3sinlim30 xxx3lim031則.limlim且！時(shí)此結(jié)論未必成立注意例如,11sin2tanlim0 xxxxxxxx2102lim2(見下頁例*) (3) 因式代替規(guī)則因式代替規(guī)則:極限存在或有且

18、若)(,x界, 則)(limx)(limx例如,.sintanlim30 xxxx30limxxxx原式30)cos1 (tanlimxxxx2132210limxxxx例例*. 求01sinlim1sinarcsinlim00 xxxxxx解解: 原式 選選讀讀內(nèi)內(nèi)容容231x221x例例1*. 求.1cos1)1 (lim3120 xxx解解:,0時(shí)當(dāng)x1)1 (312 x231x1cosx221x0limx原式32選選讀讀內(nèi)內(nèi)容容例例2*. 證明: 當(dāng)0 x時(shí),.11lnxxx證證:利用和差代替與取大規(guī)則和差代替與取大規(guī)則時(shí)，當(dāng) 0 x)1ln()1ln(11lnxxxx)(xxx)()

19、(1ln()1ln(xxx不等價(jià)與)1ln()1ln(xxxx )1ln( 選選讀讀內(nèi)內(nèi)容容證證:.)(lim,)(limBxgAxf由無窮小運(yùn)算法則由無窮小運(yùn)算法則, ,得得: :三、極限的運(yùn)算法則三、極限的運(yùn)算法則定理定理1-2則有則有若若,)(lim,)(limBxgAxf)0()(lim)(lim)()(lim)3()()(lim)()(lim)2()(lim)(lim)()(lim)1 (BBAxgxfxgxfBAxgxfxgxfBAxgxfxgxf. 0, 0.)(,)(其中BxgAxf)()()(BAxgxf. 0.) 1 ( 成立)()()(BAxgxfABBA)()(BA.

20、0.)2(成立BAxgxf)()(BABA)(1BB)(AB無窮小有界. 0.)3(成立推論1即即: :常數(shù)因子可以提到極限記號(hào)外面常數(shù)因子可以提到極限記號(hào)外面. .則則為為常常數(shù)數(shù)而而存存在在若若,)(limcxf)(lim)(limxfcxcfnnxfxf)(lim)(lim推論推論2 2則為正整數(shù)而存在若,)(limnxf例例1-28 求求11lim22xxx解解：11lim22xxx1lim1lim222xxxx31例例1-29 求求11lim21xxx解解：11lim21xxx) 1)(1(1lim1xxxx) 1(1lim1xx21.1后后再再求求極極限限因因子子先先約約去去不不為

21、為零零的的無無窮窮小小 x.,1分母的極限都是零分母的極限都是零分子分子時(shí)時(shí)x)00(型型解解：例例1-30 求求321lim3xxx41)21)(3(3lim)21)(3()21)(21(lim321lim333xxxxxxxxxxxx解解:當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),分子、分母都是無窮小所以先進(jìn)行分子、分母都是無窮小所以先進(jìn)行分子有理化來消去分子、分母里的無窮小因子分子有理化來消去分子、分母里的無窮小因子3x例例1-31 解解)32(lim21 xxx, 0 商的法則不能用商的法則不能用)14(lim1 xx又又, 03 1432lim21 xxxx. 030 由無窮小與無窮大的關(guān)系由無窮小與無窮大的關(guān)系

22、,得得.3214lim21 xxxx求求.3214lim21 xxxx解：解：.,分母的極限都是無窮大分母的極限都是無窮大分子分子時(shí)時(shí) x)(型型 .,3再求極限再求極限分出無窮小分出無窮小去除分子分母去除分子分母先用先用x332323147532lim147532limxxxxxxxxxx .72 .147532lim2323 xxxxx求求例例1-32 , 0,lim00110110mnmnmnbabxbxbaxaxannnmmmx當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)為為非非負(fù)負(fù)整整數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)有有和和所所以以當(dāng)當(dāng)nmba,0,000)2(lim2xxxx求求例例1-33 解：解：)2(lim2xxxxxxxxxxx

23、x2)2)(2(lim222xxxx22lim22212limxx1(1)1sinlim0 xxx)20(,xxAOB圓心角作單位圓ADxABxCBxtan,sin弧弧于是有于是有.A CBCOABDODOBAD交于的垂線作，并過交于線的延長與作單位圓的切線過,xOAB的圓心角為扇形CBOAB的高為四、兩個(gè)重要極限四、兩個(gè)重要極限xoBDAC由上圖可知由上圖可知:的面積的面積扇形面積OADOABOAB即即xxxtan2121sin211sincosxxx1sinlim. 1cos,00 xxxxx由由夾夾逼逼準(zhǔn)準(zhǔn)則則知知時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)則則時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng), 0,0 xx1)sin(limsinlim00 x

24、xxxxx綜合兩者即得綜合兩者即得1sinlim0 xxxxxx2sinlim0求求例例1-34 解解：xxx2sinlim0222sinlim222sin2lim00 xxxxxx例例1-35 xxx1sinlim求求xxx1sinlim解解：所所以以時(shí)時(shí)則則當(dāng)當(dāng)令令. 0,1txxt1sinlim0ttt2202sin2limxxx220)2(2sinlim21xxx 20)22sin(lim21xxx 2121 2120cos1limxxx求求例例1-36 解解：20cos1limxxx(2)exxx )11(limnnnx)11 ( ).11()21)(11(!1)11(! 2111n

25、nnnnn 21!2)1(1! 11nnnnnnnnnnnn1!)1()1( ).11 ()221)(111 ()!1(1)111 ()221)(111 (!1)111 (! 2111)111 (11nnnnnnnnnnnnxnn先利用單調(diào)有界數(shù)列必有極限證明先利用單調(diào)有界數(shù)列必有極限證明ennn)11 (lim,1nnxx 顯顯然然 ;是是單單調(diào)調(diào)遞遞增增的的nx!1! 2111nxn 1212111 n1213 n, 3 ;是有界的是有界的nx.lim存存在在nnx ennn )11(lim記為記為)71828. 2( e又因?yàn)橛忠驗(yàn)?1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x, 1 xxx有有,)11()11()111(1 xxxxxx)11(lim)11(lim)11(lim1xxxxxxxx 而而, e 11)111(lim)111(lim)11