高等數(shù)學(xué)課件：4-1 不定積分的概念與性質(zhì)

1、返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021年12月15日星期三1微分法微分法:)?()( xF積分法積分法:)()?(xf互逆運(yùn)算互逆運(yùn)算第四章第四章 不定積分不定積分（Indefinite Integrals）返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021年12月15日星期三2主主 要要 內(nèi)內(nèi) 容容第一節(jié)第一節(jié) 不定積分的概念與性質(zhì)不定積分的概念與性質(zhì) 第二節(jié)第二節(jié) 換元積分法換元積分法第三節(jié)第三節(jié) 分部積分法分部積分法第四節(jié)第四節(jié) 幾種特殊類型函數(shù)的積分幾種特殊類型函數(shù)的積分第五節(jié)第五節(jié) 積分表的使用積分表的使用返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021年12月15日星期三3第一節(jié)第一節(jié) 不定積分的

2、概念與性質(zhì)不定積分的概念與性質(zhì) 第四章第四章 一、原函數(shù)與不定積分的概念一、原函數(shù)與不定積分的概念二、基本積分表二、基本積分表（Conceptions and properties of Indefinite Integrals）三、不定積分的性質(zhì)三、不定積分的性質(zhì)返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021年12月15日星期三4一、原函數(shù)與不定積分的概念一、原函數(shù)與不定積分的概念(Primitive Function and the Indefinite Integral)定義定義 1 若在區(qū)間若在區(qū)間 I 上定義的兩個函數(shù)上定義的兩個函數(shù) F (x) 及及 f (x)滿足滿足)()(xfxF,

3、d)()(dxxfxF或在區(qū)間在區(qū)間 I 上的一個上的一個原函數(shù)原函數(shù) .則稱則稱 F (x) 為為f (x) 例如例如, sint的原函數(shù)有的原函數(shù)有 ,cost, 3cos t返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021年12月15日星期三5一、原函數(shù)與不定積分的概念一、原函數(shù)與不定積分的概念(Primitive Function and the Indefinite Integral)問問 題題: 1. 在什么條件下, 一個函數(shù)的原函數(shù)存在 ?2. 若原函數(shù)存在, 它如何表示 ?返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021年12月15日星期三6 定理定理1（原函數(shù)存在定理）（原函數(shù)存在定理）,)

4、(上連續(xù)在區(qū)間若函數(shù)Ixf上在則Ixf)( 存在原函數(shù)存在原函數(shù) .初等函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù)初等函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù)初等函數(shù)在定義區(qū)間上有原函數(shù)初等函數(shù)在定義區(qū)間上有原函數(shù)返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021年12月15日星期三7,)()(的一個原函數(shù)是若xfxF的所有則)(xf原函數(shù)都在函數(shù)族CxF)( C 為任意常數(shù) ) 內(nèi) .證證: 1)的原函數(shù)是)()(xfCxF)(CxF)(xF)(xf，的任一原函數(shù)是設(shè))()()2xfx)()(xfx 又知)()(xfxF )()(xFx)()(xFx0)()(xfxf故0)()(CxFx)(0為某個常數(shù)C即0)()(CxFx屬于函數(shù)族( ).

5、F xC即定理定理 2 返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021年12月15日星期三8)(xf在區(qū)間 I 上的原函數(shù)全體稱為Ixf在)(上的不定積分,d)(xxf其中 積分號積分號;)(xf 被積函數(shù)被積函數(shù);xxfd)( 被積表達(dá)式被積表達(dá)式.x 積分變量積分變量;若, )()(xfxF則CxFxxf)(d)( C 為任意常數(shù) )C 稱為積分常數(shù)積分常數(shù)不可丟不可丟 !記作定義定義 2 返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021年12月15日星期三9)(xf在區(qū)間 I 上的原函數(shù)全體稱為Ixf在)(上的不定積分,d)(xxf例如例如,xexdCexxx d2Cx 331xxdsinCx cos

6、記作定義定義 2 返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021年12月15日星期三10)(xf的原函數(shù)的圖形稱為)(xfxxfd)(的圖形的所有積分曲線組成)(xf的曲線族.yxo0 x的積分曲線積分曲線 . 不定積分的幾何意義不定積分的幾何意義:返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021年12月15日星期三11xdd) 1 (xxfd)()(xf從不定積分定義可知從不定積分定義可知:dxxfd)(xxfd)(或Cxd)2()(xF)(xF或Cd)(xF)(xF上述結(jié)果可以概括為上述結(jié)果可以概括為:先先積積后后導(dǎo)導(dǎo),作用抵消（先積后微，作用抵消）作用抵消（先積后微，作用抵消）先先導(dǎo)導(dǎo)后后積積,差個常

7、數(shù)（先微后積，差個常數(shù)）差個常數(shù)（先微后積，差個常數(shù)）返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021年12月15日星期三12練習(xí)練習(xí)1. 若則的原函數(shù)是,)(xfex d)(ln2xxfx提示提示:xe)()(xexfxeln)(ln xfx1212xC返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021年12月15日星期三13)(xf;sin1)(xA;sin1)(xB的導(dǎo)函數(shù)為,sin x則)(xf的一個原函數(shù)是 ( ) .;cos1)(xC.cos1)(xD提示提示: 已知xxfsin)(求即B)()(xfxsin)( ?或由題意,cos)(1Cxxf其原函數(shù)為xxfd)(21sinCxCx2. 若返回返

8、回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021年12月15日星期三1422221d1d1xxBxxAxxx求 A , B .解解: 等式兩邊對 x 求導(dǎo), 得221xx22211xxAxA21xB2212)(xxABA120ABA2121BA3. 已知返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021年12月15日星期三15二、二、 基本積分表基本積分表利用逆向思維，根據(jù)導(dǎo)利用逆向思維，根據(jù)導(dǎo)數(shù)公式來推積分公式數(shù)公式來推積分公式xkd) 1 ( k 為常數(shù))Cxk xx d)2(Cx111xxd)3(Cx ln時0 x) 1( )ln()ln(xxx1返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021年12月15日星期三16

9、21d)4(xxCx arctanxxdcos)6(Cx sinxx2cosd)8(xxdsec2Cx tan或Cx cotarc21d)5(xxCx arcsin或Cx cosarcxxdsin)7(Cx cosxx2sind)9(xxdcsc2Cx cot返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021年12月15日星期三17xxxdtansec)10(Cx secxxxdcotcsc)11(Cxcscxexd)12(Cexxaxd)13(Caaxln2shxxeexCx chxxdch)15(Cx shxxdsh)14(2chxxeex返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021年12月15日星期三

10、18.d3xxx解解: 原式 =xxd34134Cx313134xC例例1 求返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021年12月15日星期三19例例2 求222sin cos d .xxx解解: 原式=sindx xcosx C返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021年12月15日星期三20三、不定積分的性質(zhì)三、不定積分的性質(zhì)(Properties of the Indefinite Integral)xxfkd)(. 1xxgxfd)()(. 2推論推論: 若, )()(1xfkxfinii則1( )d( )dniiif xxkf xxxxfkd)(xxgxxfd)(d)()0( k返回返回上

11、頁上頁下頁下頁目錄目錄2021年12月15日星期三21.d)5(2xexx解解: 原式 =xexxd)25)2()2ln()2(eex2ln25xCexx2ln512ln2C例例3 求返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021年12月15日星期三22.dtan2xx解解: 原式 =xxd) 1(sec2xxxddsec2Cxx tan例例4 求返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021年12月15日星期三23例例5 求221d .(1)xxxxx解解: 原式 =22(1)d(1)xxxxx21d1xx1dxxln xarctan xC返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021年12月15日星期三24

12、422222dd(1);(2);(3)d .(1)sincos1xxxxxxxxx練習(xí)：練習(xí)： 求下列積分求下列積分:返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021年12月15日星期三25提示提示:)1 (1)1 (1) 1 (2222xxxxxxxx2222cossincossin1)2(xx22cscsecxx22cossin22111xx)(2x2x42(1) 1(3)1xx222(1)(1)11xxx22111xx 返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021年12月15日星期三26解：解：( )df x x 1 d ,1,xxx(2 )d ,1x xx 2122,12,1,xxCxxCx221

13、211limlim2xxxxCxC返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021年12月15日星期三27解：解：( )df x x 1 d ,1,xxx(2 )d ,1x xx 2122,12,1,xxCxxCx121,2CC22,1,122( )d,1.xxxfCxxxCx返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021年12月15日星期三28內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 不定積分的概念不定積分的概念 原函數(shù)與不定積分的定義原函數(shù)與不定積分的定義 不定積分的性質(zhì)不定積分的性質(zhì) 基本積分表基本積分表2. 直接積分法直接積分法:利用利用恒等變形恒等變形, 及及 基本積分公式基本積分公式進(jìn)行積分進(jìn)行積分 .常用恒等變形方法常用恒等變形方法分項(xiàng)積分分項(xiàng)積分加項(xiàng)減項(xiàng)加項(xiàng)減項(xiàng)利用三角公式利用三角公式 , 代數(shù)公式代數(shù)公式 ,積分性質(zhì)積分性質(zhì)返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021年12月15日星期三29 基本初