塑性加工力學(xué)__第3章_應(yīng)力分析

1、引言引言3.1 3.1 應(yīng)力的基本概念應(yīng)力的基本概念3.2 3.2 點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)3.3 3.3 主應(yīng)力主應(yīng)力3.4 3.4 主剪應(yīng)力主剪應(yīng)力3.5 3.5 應(yīng)力球張量和應(yīng)力偏張量應(yīng)力球張量和應(yīng)力偏張量3.6 3.6 八面體應(yīng)力和等效應(yīng)力八面體應(yīng)力和等效應(yīng)力3.7 3.7 應(yīng)力莫爾圓應(yīng)力莫爾圓3.8 3.8 平衡微分方程平衡微分方程 3.9 3.9 平面應(yīng)力狀態(tài)和軸對(duì)稱應(yīng)力狀態(tài)平面應(yīng)力狀態(tài)和軸對(duì)稱應(yīng)力狀態(tài) 第3章 應(yīng)力分析 引言引言為了簡(jiǎn)化研究過程，塑性理論通常采用以下假設(shè)：變形體是連續(xù)的，即整個(gè)體積內(nèi)不存任何空隙。這樣，應(yīng)力、應(yīng)變、位移等物理量也都是連續(xù)的，并可用坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)來(lái)表示。

2、變形體是均質(zhì)的和各向同性的。這樣，從變形體切取的任一微元體都能保持原變形體所具有的物理性質(zhì)，不隨坐標(biāo)的改變而變化。今變形的任意瞬間，力的作用是平衡的。在一般情況下，忽略體積力的影響。塑性變形的力學(xué)基礎(chǔ)：塑性變形的力學(xué)基礎(chǔ)： 靜力學(xué)：靜力學(xué)：從變形體中質(zhì)點(diǎn)的應(yīng)力分析出發(fā)，根據(jù)影力車平衡條件導(dǎo)出校點(diǎn)附近各應(yīng)力分量之間的關(guān)系式，即平衡微分方程。 幾何學(xué)：幾何學(xué)：幾何學(xué)角度就是根據(jù)變形體的連續(xù)性和均勻性，用幾何的方法導(dǎo)出應(yīng)變分量與位移分量之間的關(guān)系人，即幾何方程。 物理學(xué)：物理學(xué)角度就是根據(jù)實(shí)驗(yàn)一與假設(shè)導(dǎo)出應(yīng)變分量與應(yīng)力分量之間的關(guān)系式，即物理方程或本構(gòu)方程。屈服準(zhǔn)則或塑性條件：屈服準(zhǔn)則或塑性條件：建

3、立變形體從彈性狀態(tài)進(jìn)入塑性狀態(tài)、并使塑性變形繼續(xù)進(jìn)行時(shí)，其應(yīng)力分量與材料性能之間的關(guān)系，即屈服準(zhǔn)則或塑性條件。 實(shí)際應(yīng)用中的問題飛機(jī)蒙皮的成形：破裂？起皺？能否一次成形，用什么樣的模具？變形量是否滿足要求（厚度減薄量等）？ 理論分析基礎(chǔ)理論分析基礎(chǔ) 1.基本假設(shè)設(shè) 變形體是連續(xù)的，不存在微觀結(jié)構(gòu)，是宏觀的，材料是均勻的。 2.一點(diǎn)處欲求的未知量 方法：取單元體，代替一點(diǎn)處的狀態(tài)。 位移：三個(gè)方向 應(yīng)力：6個(gè)獨(dú)立分量 應(yīng)變：同上，6個(gè)獨(dú)立分量3、力的平衡平衡方程 3個(gè)4、變形的協(xié)調(diào)幾何方程 6個(gè)5、材料性質(zhì)本構(gòu)關(guān)系 6個(gè) 共15個(gè)方程。 3.1 3.1 應(yīng)力的基本概念應(yīng)力的基本概念 1、外外 力

4、力 面面 力：力：作用力、反作用力、摩擦力。作用力和反作用力為塑性加工設(shè)備提供的變形力與金屬坯料之間的力，壓力、拉力、剪力。 體積力：體積力：與變形體各質(zhì)點(diǎn)成正比的力，重力、磁力、慣性力。 2、內(nèi)內(nèi) 力：力：質(zhì)點(diǎn)之間的相互作用，變形物體受到外力作用時(shí)，內(nèi)部將出現(xiàn)與外力平衡、抵抗變形的內(nèi)力。內(nèi)力的強(qiáng)度稱為應(yīng)力 。3、應(yīng)應(yīng) 力：力：?jiǎn)挝幻娣e上的內(nèi)力，稱為應(yīng)力。 S：全應(yīng)力 ：正應(yīng)力，垂直于作用面 ：剪應(yīng)力 xs sPP1P5P3P4P2P7P8P6dFdPFCQSNCCSQyxyzyNOxyZ面力、內(nèi)力和應(yīng)力全應(yīng)力、正應(yīng)力、切應(yīng)力 ：FPS0limFN0limsFT0lim全應(yīng)力：全應(yīng)力： 正應(yīng)力

5、正應(yīng)力： 切應(yīng)力切應(yīng)力：00000dPPSdFFs0102000coscoscoscos1sincos sinsin22PPSFFSSsssssPP0CCQF0C1C1S0F1NQ單向均勻拉伸時(shí)任意截面上的應(yīng)力應(yīng)力分解：應(yīng)力分解：任意截面上的應(yīng)力分量，通常按兩種方式分解： 1、按坐標(biāo)軸方向分解： 表示全應(yīng)力矢量 作用面的外法線方向， 表示應(yīng)力矢量又在坐標(biāo)軸X、Y、上的分量，于是： 2、按法線和切線方向分解： 在法線上的分量用表示 ，稱為給定截面 上的法向應(yīng)力（或正應(yīng)力）； 在切線方向上的分量用表示 ，稱為給定截面 上的切向應(yīng)力（或剪應(yīng)力），顯然：NNSNzNyNxSSS,2222NzNyNxN

6、SSSSNSNsNS222NNNSsN3.2 3.2 點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)：點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)：點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，是指物體內(nèi)任意一點(diǎn)附近不同方位上所承受的應(yīng)力情況，必須了解物體內(nèi)任意一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，才可推斷整個(gè)變形物體的應(yīng)力狀態(tài)。 1、一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的兩種描述方法、一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的兩種描述方法 第一種方法：應(yīng)力狀態(tài)圖第一種方法：應(yīng)力狀態(tài)圖 在變形區(qū)內(nèi)某點(diǎn)附近取一無(wú)限小的單元六面體，在其每個(gè)界面上都作用著一個(gè)全應(yīng)力，設(shè)單元體很小，可視為一點(diǎn)，故對(duì)稱面上的應(yīng)力是相等的，只需在三個(gè)可見的面上畫出全應(yīng)力： 圖 單元六面體應(yīng)力圖第二種方法：應(yīng)力狀態(tài)張量第二種方法：應(yīng)力狀態(tài)張量每個(gè)應(yīng)力分量的符號(hào)帶有兩個(gè)下角標(biāo)的

7、含義：每個(gè)應(yīng)力分量的符號(hào)帶有兩個(gè)下角標(biāo)的含義： 第一個(gè)角標(biāo)表示該應(yīng)力分量所在的坐標(biāo)面； 第二個(gè)角標(biāo)則表示應(yīng)力所指的坐標(biāo)方向。 正應(yīng)力分量的兩個(gè)下角標(biāo)相同，一般只用一 個(gè)下角標(biāo)表示。九個(gè)應(yīng)力分量的矩陣形式：九個(gè)應(yīng)力分量的矩陣形式：xxyxzijyxyyzzxzyzssss-表示X平面-表示y平面-表示z平面-表示z方向-表示y方向-表示X方向由于單元體處于平衡之中，則繞單元體的合力矩必須為零,因此可以導(dǎo)出切應(yīng)力互等定理 ： 因此，九個(gè)應(yīng)力分量只有六個(gè)是獨(dú)立的。正面、負(fù)面的定義： 在單元體上，外法線指向坐標(biāo)軸正向的微分而叫做正面，反之稱為負(fù)面（圖中只標(biāo)出了正面的應(yīng)力，負(fù)面上的應(yīng)力沒有標(biāo)出）。應(yīng)力分

8、量的正、負(fù)符號(hào)規(guī)定： 在正面上，指向坐標(biāo)軸正向的應(yīng)力分量取正號(hào)，反之取負(fù)號(hào)； 在負(fù)面上，指向坐標(biāo)軸負(fù)向的為正，反之為負(fù)。2、一點(diǎn)應(yīng)力的任意斜切面上的應(yīng)力、一點(diǎn)應(yīng)力的任意斜切面上的應(yīng)力 任意面ABC其法線的方向余弦為N（l，m，n）設(shè)微分面ABC的面積為dF，則有OBC=dFx=ldFOCA=dFy=mdFOAB=dFz=ndF設(shè)：ABC上的全應(yīng)力為S，其在三個(gè)坐標(biāo)軸上的分量為 xyxzzyyzzxyxxyzABCxyzSyNSOdFSxSz任意斜切微分面上的應(yīng)力xsyszs由靜力平衡得：0 xP0ndFmdFldFdFSzxyxxxs0yP0ndFldFmdFdFSzyxyyys0zP0ldF

9、mdFndFdFSzxzyzzsmlnSnlmSnmlSyzxzzzzyxyyyzxyxxxsssxyxzzyyzzxyxxyzABCxyzSyNSOdFSxSz任意斜切微分面上的應(yīng)力2222zyxSSSS222s S寫成矩陣形式：寫成矩陣形式：斜面上全應(yīng)力為：斜面上全應(yīng)力為：斜面上剪應(yīng)力為：斜面上剪應(yīng)力為：xyzS lS mS ns2222xyzxyyzzxlmnlmmnnlsss斜面上切應(yīng)力為：斜面上切應(yīng)力為：xyxzzyyzzxyxxyzABCxyzSyNSOdFSxSz任意斜切微分面上的應(yīng)力3.3 3.3 主應(yīng)力主應(yīng)力 1、主應(yīng)力、主軸方向、主平面：、主應(yīng)力、主軸方向、主平面： 當(dāng)斜切

10、面ABC上只有正應(yīng)力，而無(wú)切應(yīng)力時(shí)（ ，）， 為主應(yīng)力， 的方向QN為主軸方向，斜切面為主平面。 xyxzzyyzzxyxxyzSzS= ABCxyzSxSyN主平面上的應(yīng)力0,sSss2、應(yīng)力狀態(tài)的特征方程、應(yīng)力狀態(tài)的特征方程 主應(yīng)力（或全應(yīng)力S）在三個(gè)坐標(biāo)軸上的分量分別為： snSmSlSzyxsss,nmlnSnmlmSnmllSzyzxxzzzyyxyyzxyxxxssssss即：即：mlnSnlmSnmlSyzxzzzzyxyyyzxyxxxsss0)(0)(0)(nmlnmlnmlzyzxzzyyxyzxyxxssssss得：得： 其中一組解為 l=m=n=0不成立1222nml必

11、存在條件：系數(shù)行列式的值=0 02)()(22222223xyzzxyyzxzxyzxyzyxzxyzxyxzzyyxzyxssssssssssssssssss展開行列式，得：321230IIIsss 因?yàn)椋?)()()(sssssszyzxzzyyxyzxyxx即：得應(yīng)力狀態(tài)的特征方程：得應(yīng)力狀態(tài)的特征方程：設(shè)應(yīng)力張量不變量（一次、二次、三次常數(shù)）：設(shè)應(yīng)力張量不變量（一次、二次、三次常數(shù)）：22232xyzxyyzzxxyzyzxzxyIs s s s s s 1()xyzIsss2222()xyyzzxxyyzzxIs ss ss s 解此方程式可求得有三個(gè)主應(yīng)力分量解此方程式可求得有三個(gè)

12、主應(yīng)力分量將 分別代入下列方程，并可求得該主應(yīng)力分量的作用方向（l1,m1,n2）， （l2,m2,n2）， （l3,m3,n3） ：123,s s s10)(0)(0)(222nmlnmlnmlnmlzyzxzzyyxyzxyxxssssss 可以證明三個(gè)主應(yīng)力作用的微分面是互相垂直的，而且 是實(shí)根。證明略P13。321,sss4、應(yīng)力張量不變量：、應(yīng)力張量不變量： 在主軸系統(tǒng)下，即取三個(gè)主軸方向?yàn)樽鴺?biāo)軸，用主軸1、2、3代替任意坐標(biāo)軸X、Y、Z：22231232xyzxyyzzxxyzyzxzxyIs s s s s s s s s1123()()xyzIssssss2222122331(

13、)xyyzzxxyyzzxIs ss ss ss ss ss s 在主軸系統(tǒng)中任意斜切面上：nSmSlS332211,sss任意斜切面上的全應(yīng)力、正應(yīng)力、切應(yīng)力為：2232222212nmlSsss232221nmlnssss223222122322222122)(nmlnmlSnnsssssss例題例題1：已知二個(gè)應(yīng)力張量，試判別它們是否屬于同一應(yīng)力狀態(tài)？ 解：解：分別寫出二個(gè)應(yīng)力張量的三個(gè)不變量：00002000040)(aijs0000300010301)(bijs， 112321223313123122222223( )60( )()800( )0( )60( )()900 10080

14、0( )2()0 xyzxyyzzxxyyxzxxyzxyyzzxxyzyxzzxyI aIaI aI bI bI bssss ss ss ss s sssss ss ss ss s s s s s 由于這二個(gè)應(yīng)力張量的三個(gè)不變量分別都相等，所以它們屬于同一應(yīng)力狀態(tài)。 例題例題2：已知某受應(yīng)力作用點(diǎn)的九個(gè)應(yīng)力分量分別為： 解：（解：（1）求主應(yīng)力： 應(yīng)力張量為： 應(yīng)力張量不變量：Payx71020ss,1010,7Payxxy0zs0,zyyzzxxz，試求主應(yīng)力分量大小和方向。 0)(210300)(1040)(22237222271xyzxzyyzxzxyzxyzyxxzxyxxyxzzy

15、yxzyxIIIsssssssssssssss7201001020010000ijPas（2）求三個(gè)主應(yīng)力分量的作用方向：先求主應(yīng)力 的微分面的方向：得應(yīng)力狀態(tài)的特征方程：01030010407273sss解得： 0,1010,103037271sssPaPa711030s10010103001010101001010101022222277777nmlnmlnmlnmlml解此方程得可得 的微分面的方向， 同理，可分別求得 所作用的微分平面的方向：711030s01010372ss和Pa02222111nml02222222nml100222nml 4、應(yīng)力橢球面應(yīng)力橢球面 主軸系統(tǒng)中：主軸

16、系統(tǒng)中： 332211,sssSnSmSl由于： 1222nml于是得： 1323222121sssSSS或： 1322122ssszyx在三個(gè)主應(yīng)力中：在三個(gè)主應(yīng)力中：1.如果有兩個(gè)主應(yīng)力為零，叫單向應(yīng)力狀態(tài)。2.如果一個(gè)主應(yīng)力為零，則是兩向應(yīng)力狀態(tài)（或平面應(yīng)力狀態(tài)），此時(shí)應(yīng)力橢球面變?yōu)樵谀硞€(gè)平面上的橢圓軌跡。3.如果有兩個(gè)主應(yīng)力相等，例如，應(yīng)力橢球面變成為旋轉(zhuǎn)橢球面，該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)對(duì)稱于主軸，稱為圓柱體應(yīng)力狀態(tài)。4.如果三個(gè)主應(yīng)力都相等，則力橢球面變?yōu)榱饲蛎妫Q為球應(yīng)力狀態(tài)，此時(shí)所有方向都是主方向，且應(yīng)力都相等。213321ss1s2s3應(yīng)力橢球面主應(yīng)力圖3.4 3.4 主剪應(yīng)力主剪應(yīng)力

17、已知通過變形體內(nèi)任意點(diǎn)可作許多微分平面，其上作用著切應(yīng)力及正應(yīng)力，研究在微分平面的方位為何種數(shù)值時(shí)，其上的切應(yīng)力達(dá)到極值，稱之為主切應(yīng)力，其作用面為主切平面。2232221223222221222)(nmlnmlSsssssss2221mln將 代入上式，得：232322312322322223212)()()()(ssssssssssmlml0l0m123s1s2s3sSN為應(yīng)力主軸 3s2s1s 令： 02202232232231323123223131mmllmlssssssssssssssss討論 一組解為l=m=0，n=1，=0 ； 1s2s3s=若球應(yīng)力狀態(tài)，0 主平面 若l=0，

18、m0，則聯(lián)解得m= 21則得此斜面的方向余弦為：l=0，m=n= 21若m=0, l 0則聯(lián)解得l = 21則得此斜面的方向余弦為：m=0， l =n= 21若n=0， 則得此斜面的方向余弦為：解得，l =m= 21將上述方向余弦分別代入，求 ， ：222123lmnssss2222 222222222123123()Slmnlmnsssssss得 232331311212222sssssssss 最大剪應(yīng)力面上的主應(yīng)力最大剪應(yīng)力面上的主應(yīng)力 最大剪應(yīng)力面上的主剪應(yīng)力最大剪應(yīng)力面上的主剪應(yīng)力232331311212222ssssss 最大剪應(yīng)力：最大剪應(yīng)力：13max2ss 主剪應(yīng)力01222

19、112sss22112sss21212ss45設(shè)021sss123sss若：3.5 3.5 應(yīng)力球張量和應(yīng)力偏張量應(yīng)力球張量和應(yīng)力偏張量 1123/3()/3()/3mxyzIsssssss稱 為平均應(yīng)力、應(yīng)力球張量、靜水應(yīng)力 mxmmxxssssss)( mzzyzxyzmyyxxzxymxssssssijs=zzyzxyzyyxxzxyxsss=+mmmsss000000100010001ij設(shè) 為三個(gè)正應(yīng)力分量的平均值，即： msmijs+ijs= 應(yīng)力偏張量 應(yīng)力球張量ms=+=+mmmmmmyxzyxxyxzzxzyyz1231s2s3sxsyszsyzyxxyxzzyzx應(yīng)力張量

20、應(yīng)力球張量 應(yīng)力偏張量應(yīng)力張量的分解：應(yīng)力張量的分解： a) 任意坐標(biāo)系b) 主軸坐標(biāo)系球應(yīng)力張量：球應(yīng)力張量： 的第二個(gè)張量表示一種球應(yīng)力狀態(tài)，故稱作球應(yīng)力張量。在球應(yīng)力狀態(tài)下，任何方向都是主方向，而各主壓力分量 都相同，所以 又稱靜液應(yīng)力。同時(shí)，由于球應(yīng)力狀態(tài)在任何斜切面上都沒有切應(yīng)力，所以它不能使物體產(chǎn)生形狀變形和塑性變形，而只能產(chǎn)生體積變化。應(yīng)力的偏張量：應(yīng)力的偏張量： 的第一個(gè)張量叫做應(yīng)力的偏張量。它是由原應(yīng)力張量減去球張量后得到的，由于它保留原應(yīng)力張量全部切應(yīng)力分量，所以它只能使物體產(chǎn)生形狀變化，而不產(chǎn)生體積變化。材料的塑性變形也主要與應(yīng)力偏張量有關(guān)。應(yīng)力偏張量不變量：應(yīng)力偏張量不

21、變量：應(yīng)力偏張量同樣有三個(gè)不變量，可用 表示：ijsmsmsijs321,JJJ122222222223()()()0()1()()()6()6xyzxmymzmxyyzzxxyyxzxxyyzzxxyyxzxxxyxzyxyyzzxzyzIIIssssssssssssss ssssssssss 10I 22221223311()()() 6Issssss3123Is s s 對(duì)于主軸系統(tǒng)，則：對(duì)于主軸系統(tǒng)，則：主偏應(yīng)力圖：主偏應(yīng)力圖：主應(yīng)力圖：主應(yīng)力圖：主應(yīng)力圖與主偏應(yīng)力圖主應(yīng)力圖與主偏應(yīng)力圖應(yīng)力狀態(tài)分析a) 簡(jiǎn)單拉伸b) 拉拔c) 擠壓=+-8-8-2-3-33-6-6-6-2-2444-

22、2-2-1-1-1222-26=+=+-2根據(jù)應(yīng)力偏張量德類型，可以判斷變形的類型：根據(jù)應(yīng)力偏張量德類型，可以判斷變形的類型： 實(shí)踐證明：實(shí)踐證明：同號(hào)應(yīng)力狀態(tài)圖示比異號(hào)應(yīng)力狀態(tài)圖示的單位變形力大。例：例：由直徑為 的坯料，擠壓和拉拔成直徑為 的紅銅棒。 擠壓時(shí)單位擠壓力為: 拉拔時(shí)單位拉力為 ： 實(shí)踐表明：實(shí)踐表明：低塑性金屬或合金，用擠壓方式成形比其他塑性成形方式更易于成形而不破裂，這是因?yàn)楹軓?qiáng)的壓應(yīng)力可以抵消局部區(qū)域附加拉應(yīng)力的有害影響，也可以使工件內(nèi)部的某些裂紋得以焊合的緣故。 3.6 3.6 八面體應(yīng)力和等效應(yīng)力八面體應(yīng)力和等效應(yīng)力 222123113mlmnIssss13lmn 在

23、主軸系統(tǒng)中，作八個(gè)傾斜的微分平面，所有這些面的方向余弦都相等，這八個(gè)面形成一個(gè)正八面體在這些面上的應(yīng)力，稱為八面體應(yīng)力。因?yàn)橛校喊嗣骟w應(yīng)力為：8s833,33,33nml222212312311()()39ssssss222122331212()()()33Issssss 2222221()()()6()3xyyzzxxyyzzxssssss 平均正應(yīng)力：平均正應(yīng)力：正八面體面上的正應(yīng)力，等于平均正應(yīng)力。 從塑性成形的觀點(diǎn)來(lái)看，這個(gè)應(yīng)力只能引起物體體積的改變糙成膨脹或縮?。?，而不能引起形狀的變化。當(dāng) 均為壓縮應(yīng)力時(shí)，這個(gè)平均正應(yīng)力即稱為靜水壓力。靜水壓力。 321,sss圖圖 應(yīng)力球與特殊面應(yīng)

24、力球與特殊面三種殊應(yīng)力面三種殊應(yīng)力面:I. 三組主平面，應(yīng)力空間中構(gòu)成平行六 面體。II.六組主切平面，在應(yīng)力空間構(gòu)成十二面體。III.四組八面體面，構(gòu)成正八面體。等效應(yīng)力：等效應(yīng)力：8222212233122222231321()()() 21()()()6()2exyyzzxxyyzzxIsssssssssssss等效應(yīng)力反映應(yīng)力偏張量部分，與塑性成形關(guān)系密切，單向拉伸時(shí)： 1ssxyszs=01ess 為了使不同應(yīng)力狀態(tài)具有可比性，定義了等效應(yīng)力（應(yīng)變能相同的條件下），等效應(yīng)力等效應(yīng)力=應(yīng)力強(qiáng)度應(yīng)力強(qiáng)度=廣義應(yīng)力廣義應(yīng)力。3.7 3.7 應(yīng)力莫爾圓應(yīng)力莫爾圓 23ss23s s以應(yīng)力主軸

25、為坐標(biāo)軸，作一斜微分面，其方向?yàn)閘，m，n則有 ：222123222222222221323313233222()()()()1lmnlmlmlmnssssssssssssss2式-（ ）乘1式+ 乘3式+ ：1 2 3232ss222223231213222231312321222212123132()()()()22()()()()22()()()()22lmnsssssssssssssssssssssssssss以和為軸，表示上述方程的圖形，便有三個(gè)圓： O231PP213ss232ss221ssL、m、n分別為定值的斜微分面上的、 的變化規(guī)律2222232312132222313123

26、21222212123132()()()()22()()()()22()()()()22lmnsssssssssssssssssssssssssssl=0:m=0:n=0：222121222223232223131()()22()()22()()22sssssssssssssss321s ss ss s s s2s s1yzxs s33s2s1ss maxO1 O2 O3 232ss221ss231ssO1：l=0，m，n變化（，）軌跡O2：m=0，l，n變化（，）軌跡O3：n=0，m，l變化（，）軌跡 13max2ss222223231213222231312321222212123132(

27、)()()()22()()()()22()()()()22lmnsssssssssssssssssssssssssss3.8 3.8 平衡微分方程平衡微分方程 設(shè)一點(diǎn)Q（x，y，z），取單元體：dx，dy，dz dzzzyzydxxxyxydyyyyssdzzzzssdxxxxssdxxxzxzdyyyxyxdyyyzyzdzzzxzxyzysxszsxzxyyzyxzyzxoQQ靜力平衡狀態(tài)下六面體上的應(yīng)力Q點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)為 。 ijs),(zyxfxs如： 在dx面上，若應(yīng)力一階連續(xù) ： dxxdxxfdxxfzyxfzydxxfxxss22221),(),(應(yīng)用平衡條件 ：化簡(jiǎn)后得：在y

28、方向上有： dzzzyzydxxxyxydyyyyssdzzzzssdxxxxssdxxxzxzdyyyxyxdyyyzyzdzzzxzxxyzysxszsxzxyyzyxzyzxoQQ靜力平衡狀態(tài)下六面體上的應(yīng)力0)()()(dxdydzzdydzdxxdxdzdyyzyzyzyxyxyxyyyysss000yxxzxxyyzyyzxzzxyzxyzxyzsss0iijxs簡(jiǎn)化記為 ：應(yīng)力未知量有6個(gè)，三個(gè)方程無(wú)法求確定解。 應(yīng)用平衡條件 ：其他坐標(biāo)系中一點(diǎn)的應(yīng)力分量其他坐標(biāo)系中一點(diǎn)的應(yīng)力分量 圖圖 柱面坐標(biāo)系柱面坐標(biāo)系柱面坐標(biāo)系：柱面坐標(biāo)系：在柱面坐標(biāo)系中，一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)是通過九個(gè)應(yīng)力分量確定。dzzdzzssdsszzdzzdsszzdzz/2dss相鄰點(diǎn)的應(yīng)力分量：相鄰點(diǎn)的應(yīng)力分量：()d柱坐標(biāo)平衡方程：柱坐標(biāo)平衡方程：22220()()()()()2222()()022zzzFdddzddzddddddzddzdddd dzd dzd dzsss ss1021010zzzzzzzzzzsssssdzzdzzssdsszzdzzdsszzdzz()d同理： 圖 球面坐標(biāo)系