圓錐曲線方程-橢圓知識(shí)點(diǎn)歸納

1、橢圓典例剖析知識(shí)點(diǎn)一橢圓定義的應(yīng)用方程1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則m的取值范圍是_解析：因?yàn)榻裹c(diǎn)在y軸上，所以16m>25m，即m>，又因?yàn)閎225m>0，故m<25，所以m的取值范圍為<m<25.答案：<m<25 知識(shí)點(diǎn)二求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(4,0)和(4,0)，且橢圓經(jīng)過點(diǎn)(5,0)(2)經(jīng)過點(diǎn)A(，)，B(0，)(1)解方法一橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a>b>0)由橢圓定義知：2a10，所以a5.又c4，所以b2a2c225169.故橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為1.方法二設(shè)橢

2、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a>b>0)，因?yàn)閏4，所以a2b2c216.又橢圓經(jīng)過點(diǎn)(5,0)，所以1，所以a225，所以b225169，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)方法一當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a>b>0)，依題意有解得又因?yàn)閍>b，所以該方程組無解當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a>b>0)依題意有解得所以方程為1.綜上知，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：1.方法二設(shè)所求橢圓的方程為mx2ny21(m>0，n>0，mn)，依題意有解得所以所求橢圓的方程為5x24y21，即其標(biāo)準(zhǔn)方程為1.練習(xí)：過點(diǎn)(3,2)且與橢圓1有相同焦點(diǎn)的橢圓

3、的標(biāo)準(zhǔn)方程是_解析：因?yàn)閏2945，所以設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.由點(diǎn)(3,2)在橢圓上知1，所以a215.所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.答案：1知識(shí)點(diǎn)三根據(jù)方程研究幾何性質(zhì)求橢圓25x216y2400的長軸、短軸、離心率、焦點(diǎn)坐標(biāo)和頂點(diǎn)坐標(biāo)解將方程變形為1，得a5，b4，所以c3.故橢圓的長軸和短軸的長分別為2a10,2b8，離心率e，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，3)，(0,3)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0，5)，(0,5)，(4,0)，(4,0)知識(shí)點(diǎn)四根據(jù)幾何性質(zhì)求方程求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)長軸長是6，離心率是.(2)在x軸上的一個(gè)焦點(diǎn)，與短軸兩個(gè)端點(diǎn)的連線互相垂直，且焦距為6.解(1)設(shè)橢圓的方

4、程為1(a>b>0)或1(a>b>0)由已知得2a6，a3.e，c2.b2a2c2945.橢圓方程為1或1.(2)設(shè)橢圓方程為 (a>b>0)如圖所示，A1FA2為一等腰直角三角形，OF為斜邊A1A2的中線(高)，且|OF|=c，|A1A2|=2b，c=b=3，a2=b2+c2=18，故所求橢圓的方程為,知識(shí)點(diǎn)五求橢圓的離心率如圖所示，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，橢圓上點(diǎn)M的橫坐標(biāo)等于右焦點(diǎn)的橫坐標(biāo)，其縱坐標(biāo)等于短半軸長的，求橢圓的離心率解方法一設(shè)橢圓的長半軸、短半軸、半焦距長分別為a，b，c.則焦點(diǎn)為F1 (c,0)，F(xiàn)2 (c,0)，M點(diǎn)的坐標(biāo)為(

5、c， b)，則MF1F2為直角三角形在RtM F1F2中：|F1F2|2+|MF2|2=|MF1|2，即4c2+b2=|MF1|2.而|MF1|+| MF2|= 整理得3c2=3a2 2 ab.又c2=a2 b2，所以3b=2a.所以，所以所以e=知識(shí)點(diǎn)六直線與橢圓的位置關(guān)系問題當(dāng)m取何值時(shí)，直線l：yxm與橢圓9x216y2144相切、相交、相離解由題意，得代入，得9x216(xm)2144，化簡，整理，得25x232mx16m21440，(32m)24×25×(16m2144)576m214 400.當(dāng)0時(shí)，得m±5，直線l與橢圓相切>0時(shí)，得5<

6、m<5，直線l與橢圓相交當(dāng)<0時(shí)，得m<5，或m>5，直線l與橢圓相離知識(shí)點(diǎn)七中點(diǎn)弦問題已知點(diǎn)P(4,2)是直線l被橢圓1所截得的線段的中點(diǎn)，求l的方程解設(shè)l與橢圓的交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有兩式相減，得kAB.l的方程為：y2(x4)，即x2y80.考題賞析1(江西高考)設(shè)橢圓1(a>b>0)的離心率為e，右焦點(diǎn)為F(c,0)，方程ax2bxc0的兩個(gè)實(shí)根分別為x1和x2，則點(diǎn)P(x1，x2)()A必在圓x2y22內(nèi)B必在圓x2y22上C必在圓x2y22外D以上三種情形都有可能解析x1x2，x1x2.xx(x1x2)22x1x2.e，c

7、a，b2a2c2a22a2.xx<2.P(x1，x2)在圓x2y22內(nèi)答案A2(浙江高考)如圖所示，AB是平面的斜線段，A為斜足若點(diǎn)P在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，使得ABP的面積為定值，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是()A圓 B橢圓C一條直線 D兩條平行直線解析由題意可知P點(diǎn)在空間中的軌跡應(yīng)是以AB為旋轉(zhuǎn)軸的圓柱面，又P點(diǎn)在平面內(nèi)，所以P點(diǎn)的軌跡應(yīng)是該圓柱面被平面所截出的橢圓 答案B1設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓1的焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，則PF1F2的周長為()A16 B18C20 D不確定答案B解析PF1F2的周長為|PF1|PF2|F1F2|2a2c.因2a10，c4，周長為10818.2a6，c1的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()

8、A.1 B.1C.1 D以上都不對(duì)答案D解析因焦點(diǎn)可能在x軸上，也可能在y軸上，故標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種可能故選D.3中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，若長軸長為18，且兩個(gè)焦點(diǎn)恰好將長軸三等分，則此橢圓的方程是()A.1 B.1C.1 D.1答案A解析由題意2a18,2c×2a6a9，c3，b281972.4已知F1、F2是橢圓1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，過F1且與橢圓長軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，若ABF2是正三角形，則這個(gè)橢圓的離心率為()A. B.C. D.答案A解析|AF1|，故有tan60°2c×(2ac)23(a2c2)2解得e.5設(shè)橢圓1的離心率為

9、，則m的值是()A3 B.C.或3 D2或答案C解析當(dāng)m>4時(shí)，此時(shí)有，所以m；當(dāng)0<m<4時(shí)，所以m3.6直線yx與橢圓1(ab0)的兩個(gè)交點(diǎn)在x軸上的射影恰為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則橢圓的離心率為_答案解析當(dāng)xc時(shí)，y±，c即ce2e10，解得e.7傾斜角為的直線交橢圓y21于A，B兩點(diǎn)，則線段AB中點(diǎn)的軌跡方程是_答案x4y0(<x<)解析設(shè)中點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，直線方程為yxb，代入橢圓方程，整理，得5x28bx4(b21)0，則所以x4y0.由64b24×5×4(b21)>

10、;0，得<b<，故<x<.8求過點(diǎn)A(2,0)，且與圓x24xy2320內(nèi)切的圓的圓心的軌跡方程解將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式(x2)2y262，這時(shí)，已知圓的圓心坐標(biāo)為B(2,0)，半徑為6，如圖所示設(shè)動(dòng)圓圓心M的坐標(biāo)為(x，y)，由于動(dòng)圓與已知圓相內(nèi)切，設(shè)切點(diǎn)為C.已知圓(大圓)半徑與動(dòng)圓(小圓)半徑之差等于兩圓心的距離即|BC| |MC|=|BM|.而|BC|=6，|BM|+|CM|=6.又|CM|=|AM|，|BM|+|AM|=6.根據(jù)橢圓的定義知點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)B(2,0)和點(diǎn)A(2,0)為焦點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)(0,0)為中心的橢圓a=3，c=2，b=所求圓心的軌跡

11、方程為 , 19求滿足下列各條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)長軸是短軸的3倍且經(jīng)過點(diǎn)A(3,0)；(2)短軸一個(gè)端點(diǎn)與兩焦點(diǎn)組成一個(gè)正三角形，且焦點(diǎn)到同側(cè)頂點(diǎn)的距離為；(3)經(jīng)過點(diǎn)P(2，1)，Q(，2)兩點(diǎn)；(4)與橢圓1有相同離心率，焦點(diǎn)在x軸上，且經(jīng)過點(diǎn)(2，)解(1)若橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)方程為1(a>b>0)，橢圓過點(diǎn)A(3,0)，1，a3，2a3·2b，b1，方程為y21.若橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)橢圓方程為1(a>b>0)，橢圓過點(diǎn)A(3,0)，1，b3,2a3·2b，a9，方程為1.綜上所述，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21或1.(2)由已知從而b2

12、9所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1或1.(3)設(shè)橢圓的方程為mx2ny21(m>0，n>0，mn)，點(diǎn)P(2，1)，Q(，2)在橢圓上，代入上述方程得，解得，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(4)由題意，設(shè)所求橢圓的方程為t(t>0)，因?yàn)闄E圓過點(diǎn)(2，)，所以t2，故所求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為1.10已知橢圓C：1(ab0)的離心率為，短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為，求AOB面積的最大值解(1)設(shè)橢圓的半焦距為c，依題意，b1，所求橢圓方程為y21.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)當(dāng)ABx軸時(shí)，|AB|.當(dāng)A

13、B與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線AB的方程為ykxm.由已知，得m2(k21)把ykxm代入橢圓方程，整理得(3k21)x26kmx3m230，x1x2，x1x2.|AB|2(1k2)(x2x1)2(1k2)33(k0)34.當(dāng)且僅當(dāng)9k2，即k±時(shí)等號(hào)成立當(dāng)k0時(shí)，|AB|，綜上所述|AB|max2.當(dāng)|AB|最大時(shí)，AOB面積取最大值S×|AB|max×.11.已知F1、F2是橢圓1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上任意一點(diǎn)(1)若F1PF2，求F1PF2的面積；(2)求PF1·PF2的最大值解：(1)設(shè)PF1m，PF2n(m>0，n>0)根據(jù)橢圓的定義得m

14、n20.在F1PF2中，由余弦定理得PFPF2PF1·PF2·cosF1PF2F1F，即m2n22mn·cos122.m2n2mn144，即(mn)23mn144.2023mn144，即mn.又SF1PF2PF1·PF2·sinF1PF2mn·sin，SF1PF2××.(2)a10，根據(jù)橢圓的定義得PF1PF220.PF1PF22，PF1·PF222100，當(dāng)且僅當(dāng)PF1PF210時(shí)，等號(hào)成立PF1·PF2的最大值是100.講練學(xué)部分22.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程(一)對(duì)點(diǎn)講練知識(shí)點(diǎn)一橢圓定義的應(yīng)用平

15、面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)M到兩定點(diǎn)F1、F2距離之和為常數(shù)2a，則點(diǎn)M的軌跡為()A橢圓 B圓C無軌跡 D橢圓或線段或無軌跡答案D解析當(dāng)2a>|F1F2|時(shí)是橢圓，當(dāng)2a|F1F2|時(shí)，是線段，當(dāng)2a<|F1F2|時(shí)無軌跡，所以選D. 【反思感悟】并不是動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之和為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡就一定是橢圓，只有當(dāng)距離之和大于兩定點(diǎn)之間的距離時(shí)得到的軌跡才是橢圓命題甲：動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)A、B的距離之和|PA|PB|2a(a>0且a為常數(shù))；命題乙：點(diǎn)P的軌跡是橢圓，且A、B是橢圓的焦點(diǎn)，則命題甲是命題乙的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充分且必要條件 D既不充分又不必要條件答案B知識(shí)點(diǎn)二由

16、橢圓方程求參數(shù)的范圍若方程1表示橢圓，求k的取值范圍解由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程知解得3<k<5，且k4.【反思感悟】5kk3包括了焦點(diǎn)在x軸、y軸兩種情況的橢圓方程1表示焦點(diǎn)在y軸的橢圓，求m的范圍解由題意得32m>2m1>0，即解得：<m<1.知識(shí)點(diǎn)三求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是(2,0)，(2,0)，并且經(jīng)過點(diǎn)，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過A(，2)和B(2，1)兩點(diǎn)(1)解方法一因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在x軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為1 (a>b>0)由橢圓的定義知2a 2，所以a.又因?yàn)閏2，

17、所以b2a2c21046.因此，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.方法二設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1，因點(diǎn)在橢圓上，代入橢圓方程得：1，解得：a210.所求方程為1.(2)解方法一當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a>b>0)根據(jù)題意有，解得所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a>b>0)根據(jù)題意有解得因?yàn)閍<b，所以方程無解綜上知，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.方法二設(shè)所求橢圓的方程為mx2ny21(m>0，n>0，且mn)，根據(jù)題意得解得所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.【反思感悟】求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程通常利用待定系數(shù)法，如果不能確定焦點(diǎn)是在x軸上

18、還是在y軸上，要分兩種情況求解，當(dāng)然也可以按(2)中的方法二設(shè)橢圓的方程為mx2ny21(m>0，n>0，且mn)，這樣就可避免分情況討論了求焦點(diǎn)在x軸上，焦距等于4，并且經(jīng)過點(diǎn)P(3，2)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解2c4，c2.由題意可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.代入P(3，2)，得1.a21或a236，a>c，方程為1.課堂小結(jié)：1.橢圓的定義中只有當(dāng)距離之和2a>|F1F2|時(shí)，軌跡才是橢圓；2a=| F1F2|時(shí)，軌跡是線段 F1F2；2a<| F1F2|時(shí)沒有軌跡.2.判斷橢圓的焦點(diǎn)在x、y軸上的依據(jù)是標(biāo)準(zhǔn)方程中的分母，焦點(diǎn)在分母大的對(duì)應(yīng)軸上. 3.求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程常

19、用待定系數(shù)法，要恰當(dāng)?shù)剡x擇方程的形式，如果不能確定焦點(diǎn)的位置，那么有兩種方法來解決問題，一是分類討論全面考慮問題；二是設(shè)橢圓方程一般式，也就是：（1）如果明確焦點(diǎn)在x軸上，那么設(shè)所求的橢圓的方程為(a>b>0).(2)如果明確焦點(diǎn)在y軸上，那么設(shè)所求的橢圓的方程為(a>b>0).（3）如果中心在原點(diǎn)，但焦點(diǎn)的位置不能明確是在x軸上還是在y軸上，那么方程可以設(shè)為mx2 + ny2=1(m>0,n>0，mn)，進(jìn)而求解.課時(shí)作業(yè)一、選擇題1橢圓的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，若長、短軸之和為18，焦距為6，那么橢圓的方程為()A.1 B.1C.1 D.1或1答案D解析.2已知

20、ABC的頂點(diǎn)B、C在橢圓y21上，頂點(diǎn)A是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)在邊BC上，則ABC的周長為()A2 B4 C6 D16答案B解析由題意知，三角形的周長為B點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)距離之和加上C點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)距離之和，因此周長為4.3當(dāng)直線ykx2的傾斜角大于45°小于90°時(shí)，它和曲線2x23y26的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()A0 B1 C2 D不能確定答案C解析由題意知k>1，(23k2)x212kx60，(12k)24×(23k2)×672k248>0.該直線與曲線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2.4橢圓x21的一個(gè)焦點(diǎn)是(0，)，那么k等于()A6 B6

21、 C.1 D1答案B解析由題意a2k，b21，k1()2k6.二、填空題5ABC中，已知B、C的坐標(biāo)分別為(3,0)和(3,0)，且ABC的周長等于16，則頂點(diǎn)A的軌跡方程為_答案1(y0)6“神舟六號(hào)”載人航天飛船的運(yùn)行軌道是以地球中心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)其近地點(diǎn)距地面n千米，遠(yuǎn)地點(diǎn)距地面m千米，地球半徑為R，那么這個(gè)橢圓的焦距為_千米答案mn解析設(shè)a，c分別是橢圓的長半軸長和半焦距，則，則2cmn.7P是橢圓1上的點(diǎn)，F(xiàn)1和F2是該橢圓的焦點(diǎn)，則k|PF1|·|PF2|的最大值是_；最小值是_答案43解析設(shè)|PF1|x，則kx(2ax)因ac|PF1|ac，即1x3.kx22ax

22、x24x(x2)24kmax4，kmin3.三、解答題8ABC的三邊a、b、c成等差數(shù)列，A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(1,0)，(1,0)，求頂點(diǎn)B的軌跡方程解由題意得2bac，即ac4.|BC|BA|4>|AC|2.B點(diǎn)的軌跡為橢圓方程為1.因B點(diǎn)是ABC的頂點(diǎn)，不在x軸上，所以所求的軌跡方程為1 (x±2)9已知經(jīng)過橢圓1的右焦點(diǎn)F2作垂直于x軸的直線AB，交橢圓于A、B兩點(diǎn)，F(xiàn)1是橢圓的左焦點(diǎn)(1)求AF1B的周長；(2)如果AB不垂直于x軸，AF1B的周長有變化嗎？為什么？解由已知，a5，b4，所以c3. (1)AF1B的周長|AF1|AF2|BF1|BF2|.由橢圓的定義

23、，得|AF1|AF2|2a，|BF1|BF2|2a，所以，AF1B的周長為4a20.(2)如果AB不垂直于x軸，AF1B的周長不變化這是因?yàn)閮墒饺匀怀闪?，AF1B的周長為20，這是定值10求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是(3,0)，(3,0)，橢圓經(jīng)過點(diǎn)(5,0)；(2)兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為(0,5)，(0，5)，橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離和為26.解(1)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為1 (a>b>0)，2a10，2c6，a5，c3，b2a2c2523216，所求橢圓的方程為1.(2)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為1 (a>b>

24、;0)2a26,2c10，a13，c5，b2a2c2144，所求橢圓的方程為1.22.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程(二)對(duì)點(diǎn)講練知識(shí)點(diǎn)一與橢圓有關(guān)的軌跡方程已知點(diǎn)M在橢圓1上，MP垂直于橢圓焦點(diǎn)所在的直線，垂足為P，并且M為線段PP的中點(diǎn)，求P點(diǎn)的軌跡方程分析因點(diǎn)P與點(diǎn)M的坐標(biāo)間存在一定關(guān)系，故可用P點(diǎn)坐標(biāo)表示M點(diǎn)坐標(biāo)，并代入M點(diǎn)坐標(biāo)所滿足的方程，整理即得所求軌跡方程解設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，M點(diǎn)的坐標(biāo)為(x0，y0)點(diǎn)M在橢圓1上，1.M是線段PP的中點(diǎn)，把，代入1，得1，即x2y236.P點(diǎn)的軌跡方程為x2y236.【反思感悟】本例中動(dòng)點(diǎn)P與曲線上的點(diǎn)M稱為相關(guān)點(diǎn)(有關(guān)系的兩點(diǎn))，這種求軌跡方程的

25、方法稱為相關(guān)點(diǎn)求軌跡方程法其基本步驟就是先求出M點(diǎn)與P點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系式并用P點(diǎn)的坐標(biāo)表示M點(diǎn)坐標(biāo)，然后代入M點(diǎn)坐標(biāo)所滿足的方程，整理后即得所求如圖所示在圓x2+y2=4上任取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作x軸的垂線段PD，D為垂足當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段PD的中點(diǎn)M的軌跡是什么？為什么？解設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0，y0)，則x=x0，y=.因?yàn)辄c(diǎn)P(x0，y0)在圓x2+y2=4上，所以x024y024.把x0x，y02y代入方程，得x24y24，即y21.所以點(diǎn)M的軌跡是一個(gè)橢圓知識(shí)點(diǎn)二應(yīng)用橢圓定義求軌跡方程已知圓B：(x1)2y216及點(diǎn)A(1,0)，C為圓B上任意一點(diǎn)，求AC的垂直平

26、分線l與線段CB的交點(diǎn)P的軌跡方程分析由圖可知點(diǎn)P到B點(diǎn)和A點(diǎn)的距離的和為定值，可借助橢圓定義來求解如圖所示，連結(jié)AP，l垂直平分AC，|AP|=|CP|，|PB|+|PA|=|BP|+|PC|=4，P點(diǎn)的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的橢圓2a4,2c|AB|2，a2，c1，b2a2c23.點(diǎn)P的軌跡方程為1.【反思感悟】求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程時(shí)，應(yīng)首先充分挖掘圖形的幾何性質(zhì)，看能否確定軌跡的類型，而不要起步就代入坐標(biāo)，以致陷入繁瑣的化簡運(yùn)算之中已知兩定點(diǎn)A、B，且|AB|8，M是平面上一動(dòng)點(diǎn)，且|AM|10，線段BM的垂直平分線交AM于P點(diǎn)，P點(diǎn)的軌跡是什么圖形？解如右圖所示|PB|=|PM|，|PA|+

27、|PB|=|PA|+|PM|=10，|AB|=8，所以|PA|+|PB|>|AB|，所以P點(diǎn)軌跡是橢圓知識(shí)點(diǎn)三橢圓定義的綜合應(yīng)用設(shè)M是橢圓1上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2為焦點(diǎn)，F(xiàn)1MF2，求MF1F2的面積分析在MF1F2中，已知|F1F2|和F1MF2，況且|MF1|MF2|2a10，可根據(jù)余弦定理求得|MF1|和|MF2|的長，再利用面積公式可求解橢圓1中，a225，b216，c2a2b29.a5，b4，c3.|F1F2|2c6,2a10.設(shè)|MF1|r1，|MF2|r2.在MF1F2中，由余弦定理，得：rr|F1F2|22r1r2·cos.即(r1r2)22r1r236r1r2.根

28、據(jù)橢圓的定義，有r1r210.r1r264(2)，SMF1F2r1r2·sin3216.【反思感悟】橢圓中，MF1F2往往稱為焦點(diǎn)三角形在MF1F2中，|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，求解有關(guān)問題時(shí)，注意正、余弦定理的運(yùn)用如圖ABC中底邊BC12，其它兩邊AB和AC上中線的和為30，求此三角形重心G的軌跡方程，并求頂點(diǎn)A的軌跡方程解以BC所在直線為x軸，BC邊中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立如圖所示坐標(biāo)系，則B(6,0)，C(6,0)，CE、BD為AB、AC邊上的中線，則|BD|CE|30.由重心性質(zhì)可知|GB|GC|(|BD|CE|)20.B、C是兩個(gè)定點(diǎn)，G點(diǎn)到B、C距離和等于定值20

29、，且20>12，G點(diǎn)軌跡是橢圓，B、C是橢圓焦點(diǎn)2c=|BC|=12，c=6,2a=20，a=10，b2=a2c2=10262=64，故G點(diǎn)軌跡方程為 ,，去掉(10,0)、(10,0)兩點(diǎn)又設(shè)G(x，y)，A(x，y)，則有 又 故A點(diǎn)的軌跡方程為 ，去掉(30,0)、(30,0)兩點(diǎn).課堂小結(jié)：1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是指當(dāng)橢圓在標(biāo)準(zhǔn)位置時(shí)的方程，所謂標(biāo)準(zhǔn)位置，就是指橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種形式：（1）(a>b>0),焦點(diǎn)在x軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±c,0)，焦距2c；（2）(a>b>0)，焦點(diǎn)在y軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,&

30、#177;c)，焦距2c.橢圓的焦點(diǎn)在x軸上標(biāo)準(zhǔn)方程中x2項(xiàng)的分母較大；橢圓的焦點(diǎn)在y軸上標(biāo)準(zhǔn)方程中y2項(xiàng)的分母較大.這是判斷橢圓焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸的重要方法.2.在與圓有關(guān)的求軌跡方程的問題中要注意挖掘幾何中的等量關(guān)系.課時(shí)作業(yè)一、選擇題1橢圓1上一點(diǎn)P與橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)F1、F2的連線互相垂直，則PF1F2的面積為()A20B22C28D24答案D解析由|PF1|PF2|14，|PF1|2|PF2|2|F1F2|2100，得2|PF1|·|PF2|14210096.又因PF1PF2，所以S|PF1|·|PF2|24.2一動(dòng)圓與已知圓O1：(x3)2y21外切，與圓O2：(x3

31、)2y281內(nèi)切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程為()A.1 B.1C.1 D.1答案A解析兩定圓的圓心和半徑分別為O1(3,0)，r11；O2(3,0)，r29，設(shè)動(dòng)圓圓心為M(x，y)，半徑為R，則由題設(shè)條件可得|MO1|1R，|MO2|9R.所以|MO1|MO2|10.由橢圓的定義知：M在以O(shè)1、O2為焦點(diǎn)的橢圓上，且a5，c3.所以b2a2c225916.故動(dòng)圓圓心的軌跡方程為1.所以選A.3橢圓1上的一點(diǎn)M到左焦點(diǎn)F1的距離為2，N是MF1的中點(diǎn)，則|ON|等于()A2 B4 C8 D.答案B解析因?yàn)閨MF1|MF2|10，|ON|MF2|，因?yàn)閨MF2|8，所以|ON|4.4橢圓1的一個(gè)焦點(diǎn)

32、為F1，點(diǎn)P在橢圓上，如果線段PF1的中點(diǎn)M在y軸上，那么點(diǎn)M的縱坐標(biāo)是()A± B± C± D±答案A解析因?yàn)榫€段PF1的中點(diǎn)在y軸上，所以PF2x軸，F(xiàn)2為另一焦點(diǎn)，所以P點(diǎn)坐標(biāo)為.M是PF1的中點(diǎn)，M的縱坐標(biāo)是±.二、填空題5已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)是F1，F(xiàn)2，P是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果延長F1P到Q，使得|PQ|PF2|，那么動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是_答案圓解析如圖所示，因?yàn)镻是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，所以由橢圓的定義可知：|PF1|+|PF2|=2a為常數(shù)；又因?yàn)閨PQ|=|PF2|，所以|PF1|+|PQ|=2a，即|QF1|=2a為常數(shù)即動(dòng)點(diǎn)Q到定點(diǎn)

33、F1的距離為定值，所以動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是以F1為圓心，以2a為半徑的圓故Q的軌跡為圓6橢圓1上到兩個(gè)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2距離之積最大的點(diǎn)的坐標(biāo)是_答案(±3,0)解析設(shè)橢圓上的動(dòng)點(diǎn)為P，由橢圓的定義可知：|PF1|PF2|2a10，所以|PF1|×|PF2|2225，當(dāng)且僅當(dāng)|PF1|PF2|時(shí)取等號(hào)；由，解得：|PF1|PF2|5a，此時(shí)點(diǎn)P恰好是橢圓短軸的兩端點(diǎn)，即P(±3,0)7點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是(1,0)，(1,0)，直線AM，BM相交于點(diǎn)M，且直線AM的斜率與直線BM的斜率的商是2，點(diǎn)M的軌跡方程為_答案x3 (y0)解析設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，由已知，得直線

34、AM的斜率kAM(x1)；直線BM的斜率kBM(x1)由題意，得2，所以，2×(x±1，y0)化簡，得x3(y0)因此，點(diǎn)M的軌跡是直線x3，并去掉點(diǎn)(3,0)三、解答題8已知一直線與橢圓4x29y236相交于A、B兩點(diǎn)，弦AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為M(1,1)，求直線AB的方程解方法一由題意直線AB的斜率存在，設(shè)通過點(diǎn)M(1,1)的直線AB的方程為yk(x1)1代入橢圓方程，整理得(9k24)x218k(1k)x9(1k)2360.設(shè)A、B的橫坐標(biāo)分別為x1、x2，則1，解得k，故AB的方程為y(x1)1，所以所求方程為4x9y130.方法二設(shè)A(x1，y1)，因?yàn)锳B中點(diǎn)為M(1

35、,1)，所以B點(diǎn)坐標(biāo)是(2x1,2y1)將A、B點(diǎn)坐標(biāo)代入方程4x29y236，得4x9y360，及4(2x1)29(2y1)236，化簡為4x9y16x136y1160.式式得16x136y1520，化簡為4x19y1130.同理可推出4x29y2130.因?yàn)锳(x1，y1)與B(x2，y2)都滿足方程4x9y130，所以4x9y130即為所求9設(shè)x、yR，i、j分別為直角坐標(biāo)平面內(nèi)x軸、y軸正方向上的單位向量，ax i(y2)j，bx i(y2)j，且|a|b|8.(1)求點(diǎn)M(x，y)的軌跡方程（2）過點(diǎn)（0，3）作直線l與曲線C（為（1）問中點(diǎn)M的軌跡）交于A、B兩點(diǎn)，是否存在這樣的直

36、線l使得四邊形OAPB是矩形？若存在，求l的方程；若不存在，說明理由解(1)由|a|b|8，得8，即點(diǎn)M(x，y)到兩定點(diǎn)F1(0，2)，F(xiàn)2(0,2)的距離和為定值8，且|F1F2|<8.所以點(diǎn)M的軌跡是橢圓，其方程為1.(2)設(shè)l的斜率為k，l的方程為ykx3，代入橢圓方程得1，即(3k24)x218kx210.設(shè)A、B坐標(biāo)分別為(x1，y1)、(x2，y2)，x1x2，x1x2，四邊形OAPB是平行四邊形要使其是矩形只需OAOB即可，即x1x2y1y20.y1y2(kx13)(kx23)k2x1x23k(x1x2)9，所以(1k2)x1x23k(x1x2)90，90，解得k2，即k

37、±.所以l存在，其方程為y±x3.2，·0，點(diǎn)N的軌跡為曲線E.(1)求曲線E的方程；(2)求過點(diǎn)Q(2,1)的弦的中點(diǎn)的軌跡方程（1）2，·0NP為AM的中垂線，|NA|NM|又因?yàn)閨CN|NM|10，所以|CN|NA|10>6所以動(dòng)點(diǎn)N的軌跡是以點(diǎn)C(3,0)和A(3,0)為焦點(diǎn)的橢圓，且2a10，所以曲線E的方程為：1；(2)設(shè)直線與橢圓交與G(x1，y1)，H(x2，y2)兩點(diǎn)，中點(diǎn)為S(x，y)由點(diǎn)差法可得：弦的斜率k.由S(x，y)，Q(2,1)兩點(diǎn)可得弦的斜率為k，所以k，化簡可得中點(diǎn)的軌跡方程為：16x225y232x25y0.22

38、.2橢圓的簡單幾何性質(zhì). 對(duì)點(diǎn)講練知識(shí)點(diǎn)一由橢圓方程研究其幾何性質(zhì)設(shè)橢圓的中心在原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)的連線互相垂直，且此焦點(diǎn)與長軸上較近的端點(diǎn)的距離為4(1)，求此橢圓方程及它的離心率、焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo)分析設(shè)出橢圓方程，再依據(jù)橢圓幾何性質(zhì)建立參數(shù)關(guān)系式確定橢圓方程，進(jìn)而可使其他問題解決解設(shè)所求的橢圓方程為1或1(a>b>0)，則解得所以所求的橢圓方程為1，或1.離心率e，當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，焦點(diǎn)為(4,0)，(4,0)，頂點(diǎn)(4，0)，(4，0)，(0，4)，(0,4)，當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，焦點(diǎn)為(0，4)，(0,4)，頂點(diǎn)(4,0)，(4,0)，(0，4)，(

39、0,4)【反思感悟】解決這類問題關(guān)鍵是將所給方程正確地化為標(biāo)準(zhǔn)形式，然后根據(jù)方程判斷出橢圓的焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸上，再利用a，b，c之間的關(guān)系求橢圓的幾何性質(zhì)已知橢圓x2(m3)y2m的離心率e，求m的值及橢圓的長軸和短軸的長、焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo)解橢圓方程可化為1，m>0.又m>0，m>，a2m，b2，c .e， m1橢圓的長軸長為2，短軸長為1，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±，0)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)(1,0)，(0，)(0，)知識(shí)點(diǎn)二由橢圓的幾何性質(zhì)求橢圓方程例2. 已知F1、F2是橢圓(a>b>0),的左、右焦點(diǎn)，A是橢圓上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，若·=0，橢

40、圓的離心率等于，AOF2的面積為2，求橢圓的方程.解 ·=0AF2F1F2，因?yàn)闄E圓的離心率e，則b2a2，設(shè)A(x，y)(x>0，y>0)，由AF2F1F2知xc，A(c，y)，代入橢圓方程得,AOF2的面積為2，SAOF2=x×y=2，即 c·= 2,=，b2=8，a2=2b2=16，故橢圓的方程為 【反思感悟】由橢圓的幾何性質(zhì)，求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的一般步驟是：(1)構(gòu)造方程求出a、b的值；(2)確定焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸；(3)寫出標(biāo)準(zhǔn)方程. 已知F1、F2是橢圓 (a>b>0)的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，A是橢圓上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，點(diǎn)B也在橢圓上，

41、且滿足0(O是坐標(biāo)原點(diǎn))，AF2F1F2.若橢圓的離心率等于，ABF2的面積等于4，求橢圓的方程解 由0知，直線AB經(jīng)過原點(diǎn)，e，b2a2，設(shè)A(x，y)，由AF2F1F2知xc，A(c，y)，代入橢圓方程得1，y，連結(jié)AF1，BF1，AF2，BF2，由橢圓的對(duì)稱性可知SABF2SABF1SAF1F2，所以·2c·a4，又由ca，解得a216，b2×168，故橢圓方程為1.知識(shí)點(diǎn)三求橢圓的離心率已知F1，F(xiàn)2是橢圓1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，F(xiàn)1PF260°.(1)求橢圓離心率的取值范圍；(2)求證：F1PF2的面積只與橢圓的

42、短軸長有關(guān)解設(shè)|PF1|m，|PF2|n，(1)在PF1F2中，由余弦定理得cosF1PF2，即cos60°11112()212e2(當(dāng)且僅當(dāng)mn時(shí)取“”號(hào))所以e2，又e(0,1)，所以e，1)(2)證明在PF1F2中，由余弦定理可知|PF1|2|PF2|22|PF2|PF1|·cosF1PF2|F1F2|2，即cos60°因?yàn)閙2n2(mn)22mn4a22mn所以1，所以mnb2，所以SPF1F2mnsin60°b2，即F1PF2的面積只與短軸長有關(guān)【反思感悟】橢圓的離心率是橢圓固有的性質(zhì)，與橢圓的位置無關(guān)求橢圓的離心率e，即求比值，而在橢圓方程中

43、a2b2c2，所以求離心率只需尋求a，b，c三者或者其中兩者之間的關(guān)系式注意橢圓離心率0<e<1.已知F1為橢圓的左焦點(diǎn)，A，B分別為橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，P為橢圓上的點(diǎn)，當(dāng)PF1F1A，POAB(O為橢圓中心)時(shí)，求橢圓的離心率解方法一由已知可設(shè)橢圓的方程1 (a>b>0)，c2a2b2，F(xiàn)1(c,0)，因?yàn)镻F1F1A,所以P ( -c , )即P (-c , ),ABPO,kAB = kOP,b=c,a2 = 2c2,e = = 2,方法二 由方法一知P (-c , ),又PF1OBOA, = , = ， 即b=c,a2=2c2, e =.= ，課堂小結(jié)：1.橢圓

44、的范圍實(shí)質(zhì)就是橢圓上點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的取值范圍，在求解一些存在性和判斷性問題中有著重要的應(yīng)用.2.橢圓既是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，又是一個(gè)中心對(duì)稱圖形.橢圓的對(duì)稱性在解決直線與橢圓的位置關(guān)系以及一些有關(guān)面積的計(jì)算問題時(shí)，往往能起到化繁為簡的作用.3.橢圓的離心率是反映橢圓的扁平程度的一個(gè)量，其取值范圍是0<e<1.離心率越大，橢圓越扁；離心率越小，橢圓越接近于圓.離心率的求解問題是本單元的一個(gè)重點(diǎn)，也是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容.在求解有關(guān)橢圓離心率的問題時(shí)，一般并不直接求出a和c的值去計(jì)算，而是根據(jù)題目給出的橢圓的幾何特征，建立關(guān)于參數(shù)c,a,b的方程或不等式，通過解方程或不等式求得離心率的值或范

45、圍.課時(shí)作業(yè)一、選擇題1橢圓長軸上兩端點(diǎn)為A1(3,0)，A2(3,0)，兩焦點(diǎn)恰好把長軸三等分，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A.1 B.y21C.1 D.y21答案A解析由題意知a3,2c×62，c1，b2，故橢圓的方程為1.2橢圓x2my21的焦點(diǎn)在y軸上，長軸長是短軸長的兩倍，則m的值是()A. B. C2 D4答案A解析由題意可得22×2，解得m.3P是長軸在x軸上的橢圓1上的點(diǎn)，F(xiàn)1、F2分別為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，橢圓的半焦距為c，則|PF1|·|PF2|的最大值與最小值之差一定是()A1 Ba2 Cb2 Dc2答案D解析由橢圓的幾何性質(zhì)得|PF1|ac，ac，

46、|PF1|PF2|2a，所以|PF1|·|PF2|2a2，當(dāng)且僅當(dāng)|PF1|PF2|時(shí)取等號(hào)|PF1|·|PF2|PF1|(2a|PF1|)|PF1|22a|PF1|(|PF1|a)2a2c2a2b2，所以|PF1|·|PF2|最大值與最小值之差為a2b2c2.4. 已知F1、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn).滿足· = 0的點(diǎn)M總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是 ()A(0,1) B.C. D.答案C解析 · 0，M點(diǎn)軌跡方程為x2y2c2，其中F1F2為直徑，由題意知橢圓上的點(diǎn)在圓x2y2c2外部，設(shè)點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)，則|OP|>c恒成立

47、，由橢圓性質(zhì)知|OP|b，其中b為橢圓短半軸長，b>c，c2<b2a2c2，a2>2c2，2<，e<.又0<e<1，0<e<.5設(shè)0<k<9，則橢圓1與1具有相同的()A頂點(diǎn) B長軸與短軸C離心率 D焦距答案D解析由0<k<9，知0<9k<25k，橢圓1焦點(diǎn)在y軸上，焦距為8.而橢圓1的焦點(diǎn)在x軸上，焦距也為8.二、填空題6過橢圓1的右焦點(diǎn)作一條斜率為2的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則OAB的面積為_答案解析橢圓1的右焦點(diǎn)為F(1,0)，過F(1,0)且斜率為2的直線方程為y2(x1)，即y2

48、x2.代入4x25y220得4x25×4(x22x1)20x10，x2.y12，y2.A(0，2)，B.|AB|.又點(diǎn)O(0,0)到y(tǒng)2x2的距離為d.SOAB××.7在ABC中，ABBC，cosB，若以A、B為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)C，則該橢圓的離心率e_.答案解析如圖所示，設(shè)AB=BC=x，由cosB= - 及余弦定理得AC2=AB2+BC2 - 2AB·BCcosB= x2+x2+2x2×，AC2=x2，AC = x.橢圓以A、B為焦點(diǎn)，焦距為2c = AB = x.又橢圓經(jīng)過點(diǎn)C，AC+BC=x +x=2a，2a=x，e= .三、解答題8已知y21表示離心率為的橢圓，求橢圓方程解當(dāng)a2>1時(shí)，半焦距為，所以，解得a2，方程為y21.當(dāng)a2<1時(shí)，同理可得