向心加速度公式推導(dǎo)完整版

1、向心加速度公式推導(dǎo)完整版一李朝輝整理向心加速度是勻速圓周運(yùn)動(dòng)中的教學(xué)難點(diǎn)，這是由于學(xué)生因長(zhǎng)期接受標(biāo)量運(yùn)算而產(chǎn)生山二0,于是有Q二三二=Cl 的思維定勢(shì)，認(rèn)為勻速圓周運(yùn)動(dòng)中物體運(yùn)動(dòng)速率不變，故其At因此我們?cè)诮虒W(xué)中必須強(qiáng)調(diào)兩點(diǎn)，一的矢量性，速度的方向變化也表示速慶有變化，故Av *0,另一是速度變化的方向就是加速度的方向因此在教學(xué)中必須說(shuō)清楚的方向。教材 中引進(jìn)了速度三角形的方法，實(shí)際上已經(jīng)考慮到了上述兩點(diǎn)。關(guān)于向心加速?gòu)B公式的推導(dǎo)方 法甚多，下面提供幾種有推導(dǎo)方法，供大家參考。方法一：（課本上的方法）利用加速度的定艾推導(dǎo)（又稱(chēng)矢量合成法）：如圖所示：設(shè)小球在很短的時(shí)間t內(nèi)從A運(yùn)動(dòng)到B,在時(shí)間t

2、內(nèi)速度變化為因?yàn)?OABABDC （可自己證一下），所以有：Zkv/v二AB/R 當(dāng)tTO時(shí)，AB二弧AB所以:廠弧AB/t, a=Av/1所以a=v2 /R方法二：在矢量合成法中應(yīng)用三角函數(shù)推導(dǎo)：如圖所示，物體自半徑為r的圓周a勻速率運(yùn)動(dòng)至b.所經(jīng)時(shí)間為若物體在a. b點(diǎn) 的速率為Va=Vb=V,則其速度的增#Av=Vb-Va=Vb+ （Va）,由平行四邊形法則作出其矢量 圖如圖。由余弦定理可得v =+ v2 - 2v2 cosJ1 - cos 81-cos 620由三角公式可知加虧=.eAv = 2vsin 20 g當(dāng) 8 -*0時(shí)）sin-=乙£于是有180 - 9另由圖1可釦

3、Q =-可見(jiàn)當(dāng)6T0時(shí)，a =90° ,即Av的方向和vb垂直，由于vb方向?yàn)閳A周切線方向， 故Av的方向指向圓心.因Av的方向即為加速皮的方向，可見(jiàn)勻速國(guó)周運(yùn)動(dòng)中加速慶的方向其大小為指向圓心， 方法三：利用運(yùn)動(dòng)的合成與分解推導(dǎo)(簡(jiǎn)稱(chēng)運(yùn)動(dòng)合成法)由于慣性，小球有離開(kāi)圓心沿切線運(yùn)動(dòng)的趨勢(shì)，而細(xì)線的拉力卻拉著小球向圓心運(yùn)動(dòng).這樣小球運(yùn)動(dòng)可分解成沿切線方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和沿半徑方向的初速度為零的勻加速直 線運(yùn)動(dòng)設(shè)在很短的時(shí)間t內(nèi)，小球沿圓周從A到B,可分解為沿切線AC方向的勻速直線運(yùn)動(dòng) 和沿AD方向初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)如圖一:1 2AC= vt , AD= at2由 RtAADBRt

4、AEDB 可知：BD±AD DE ,BD二AC（2=-3t2 （2P丄畀）2 24由于時(shí)間E很短，即r趨近丁0,所以-a2t2趨近于0.4故有：Mr方法四：利用開(kāi)普勒第三定律、萬(wàn)有引力定律和牛頓第二定律推導(dǎo)向心加速慶設(shè)：質(zhì)量為m的人造地球衛(wèi)星以速率v在半徑為r的近圓軌道上繞地球運(yùn)行，運(yùn)行周期 為T(mén),地球質(zhì)童為Mo根據(jù)開(kāi)普勒第三定律訂2 /盧=k (k為常量)根據(jù)萬(wàn)有引力定律：F=GMm/r2對(duì)于圓周運(yùn)動(dòng)的物體有：T=2n r/v根據(jù)牛頓第二定律:a=F/m聯(lián)立上述冬式有：a二(GMk/4n2 ) X (v2 /r)所以：av2 /r方法五：曲率圓法由干曲線運(yùn)動(dòng)是變速運(yùn)動(dòng)故肓定有加速度

5、質(zhì).也 的舜時(shí)加速度定義為=lini3嚴(yán)1式中罟為一段肘間內(nèi)的平均加速度、瞬時(shí)加速度是平 均加速度在3-0時(shí)的極限，加速度方向肯定與速度 方向不在同一直線.般的曲線運(yùn)動(dòng)為求在任一點(diǎn)的蛻時(shí)加速度通 常將具分解為法向加速度心.，與切向加速度如圖7-1所上示設(shè)質(zhì)點(diǎn)沿曲線運(yùn)動(dòng)在八、 B兩點(diǎn)的翼時(shí)速度各為s與f 叭| 間隔時(shí)間4速度增鞏為! 如 將H分解為法向分址 / /3 與切向分址法向分M 皿表示速度方向的變化® 7-1切向分拭表示速?gòu)B大小的變化則法向加速度心與切 向加速度血分別為I Vn1 unlm- tdf= IlTB .先確定心.設(shè)-4是半徑為"的圓周上一點(diǎn)該風(fēng) 稱(chēng)曲線A點(diǎn)

6、的曲率圓p稱(chēng)曲率半徑）曲線AH近似 為孩例上的.AB ,矢雖三角形HED與幾何三角形向心加速度公式推導(dǎo)完整版一李朝輝整理相似故有需=于弐二于罟劇5 =皿毛=皿寧至=lim斗旦=AL"丄/f “ X（ * P A仆 pP方向垂直干5 抬向曲率圓圓心故通常稱(chēng)法向加速度為向心加速度，至干切向加速度則與直線運(yùn)動(dòng)中一樣絆于速度大小的變化率.曲線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)加速度是切向加速度與向心加速度的矢址和方向與速度方向成。=打1、伽竺.",一般的曲線運(yùn)動(dòng)同時(shí)有切向加速度與向心加連度當(dāng)X尋時(shí)，速率増大當(dāng)化號(hào)時(shí)速率減?。蝗羟邢蚣铀俣葹榱闼俾什蛔兗礊閯蛩俾是€運(yùn)動(dòng)例如勻速岡周運(yùn)動(dòng)其加速度即為向心加速度大

7、小a=節(jié)不變，方向與速度方向垂直而梧向圓心勻速圓周運(yùn)動(dòng)是切向加逶度為零而向心加速度大小不變的曲線運(yùn)動(dòng)：若法向加速度為冬則運(yùn)動(dòng)方向不變，即為變速冑線運(yùn)動(dòng).可見(jiàn)直線運(yùn)動(dòng)是曲線運(yùn)動(dòng)的特例.曲線運(yùn)動(dòng)也可以是勻變速運(yùn)動(dòng)，即合加速度的大小、方向均不變例如斜（平）拋運(yùn)動(dòng)就足加速度恒為尺的勻變速曲線運(yùn)動(dòng).求解曲線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度與瞬時(shí)加速度的運(yùn)動(dòng)學(xué)舉本方法都是通過(guò)矢量的分解與合成從定義出發(fā)用 微無(wú)法解決.方法六：類(lèi)比法：設(shè)有一位置矢量r繞。點(diǎn)獲轉(zhuǎn)，其矢端由a至b時(shí)發(fā)生的位移為$ （如圖4）。若所-_ As經(jīng)時(shí)間為則在此段時(shí)間內(nèi)的平均速率宀込顯然這個(gè)速率描述的是位置矢量矢端的運(yùn)動(dòng)速率，當(dāng)趙近于零時(shí)，這個(gè)平均速率就表示位置矢量的矢端在某一時(shí)刻的即時(shí)速率，二2穴R 如果旋轉(zhuǎn)是勻角速的，則其矢端的運(yùn)動(dòng)也是勻速率的，易知其速率丫 一 A 圖5圖6(1)式中t為旋轉(zhuǎn)周期。再如圖5是一物體由a至b過(guò)程中，毎轉(zhuǎn)過(guò)1/8圓周，速度變化的 情況?，F(xiàn)將其速度平移至圖6中，容易看出圖6和圖5相類(lèi)似，所不同的是圖5表示的是位0.-AV 置矢量的旋轉(zhuǎn)，而圖6則是速度矢量的我轉(zhuǎn)