勾股定理典型題總結(jié)

1、勾股定理勾股定理證明與拓展 模型一思考：如下圖，以直角三角形 a、b、c為邊，向外作等邊三角形、半圓、等腰直角三角形和 正方形，上述四種情況的面積有和關(guān)系？1的正方形，經(jīng)過一次"生長(zhǎng)”后，在他的左右肩上上生出兩個(gè)小正方例1、有一個(gè)面積為形（如圖1），其中,n三個(gè)正方形圍成的三角形是直角三角形，再經(jīng)過一次“生長(zhǎng)”后，生 出了 4個(gè)正方形（如圖2），如果按此規(guī)律繼續(xù)“生長(zhǎng)”下去，它將變得“枝繁葉茂”；在“生長(zhǎng)”了 2017次后形成的圖形中所有正方形的面積和是變式1:在直線I上依次擺放著七個(gè)正方形（如圖1所示）已知斜放置的三個(gè)正方形的面積分別是1 ,1.21 ,1.44，正放置的四個(gè)正方形

2、的面積依次是S, S, S3, S4，則SS4 = 變式 2:如圖，四邊形 ABCD 中，AD / BC,/ ABC + / DCB=90° 且 BC=2AD，以 AB、BC、DC為邊向外作正方形，其面積分別為Si、S2、S3，若Si=3 , S3=9，求S2.（變式2）（變式3）變式3:如圖，Rt ABC的面積為10cm2，在AB的同側(cè)，分別以 AB BC AC為直徑作三個(gè) 半圓，則陰影部分的面積為 .ABC中，/ ACB= 90 °AO BC= 6,空白部分面積為（難題）如圖，是小明為學(xué)校舉辦的數(shù)學(xué)文化節(jié)設(shè)計(jì)的標(biāo)志，在 以厶ABC的各邊為邊作三個(gè)正方形，點(diǎn) G落在HI上

3、，若 10.5，則陰影部分面積 模型內(nèi)弦圖外弦圖例題2.四年一度的國(guó)際數(shù)學(xué)大會(huì)于2002年8月20日在北京召開，大會(huì)會(huì)標(biāo)如圖所示，它是由四個(gè)相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形，若大正方形的面積為5。求中間小正方形的面積為變式1如圖，是用4個(gè)全等的直角三角形與1個(gè)小正方形鑲嵌而成的正方圖案，已知大正 方形面積為25，小正方形面積為1，若用x、y表示直角三角形的兩直角邊（ x y），下2 2列四個(gè)說法：x y 25，x y 2，2xy 125，x y 9 .其中說法正確的有 （填序號(hào)）（變式1）變式2:如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為10, AG=CH=8 BG=DH=6連接GH則線段

4、GH的長(zhǎng)變式3 :我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一副“弦圖”，后人稱為“趙爽弦圖”（如圖5）,圖6是由弦圖變化得到的，他是由八個(gè)全等的直角三角形拼接而成。記圖中正方形ABCD正方形EFGH正方形MNKT的面積分別為 S、圧、8若S +圧+83=10,貝U $=二勾股定理及逆定理分類討論思想：（易錯(cuò)點(diǎn)）例題1、在RtAABC中，已知兩邊長(zhǎng)為 3、4，則第三邊的長(zhǎng)為 變式1:已知在 ABC中，AB=17, AC=10, BC邊上的高等于 8,則厶ABC的周長(zhǎng)為變式2:在厶ABC中，AB=15,AC=13高AD=12,則三角形的周長(zhǎng)是 變式3:在厶ABC中，AB=2 5 , AC=4,

5、BC=2以AB為邊向 ABC外做 ABD，使 ABD為等腰直角三角形，則線段 CD的長(zhǎng)為方程思想：例題2、已知：如圖，折疊長(zhǎng)方形（四個(gè)角都是直角，對(duì)邊相等）的一邊AD，使點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)F處，已知AB 8cm, BC 10cm,求：（1） EC的長(zhǎng)；（2）求 FEC的面積；例題 3在 ABC 中，AB=15, BC=14, AC=13 求厶 ABC的面積。思考記憶：正三角形，邊長(zhǎng)為 a,面積為變式1:如圖所示，已知 ABC中，/ C=90°, AB的垂直平分線交 BC?于 M交AB于N,若AC=4, MB=2MC求 AB的長(zhǎng).變式2:小明想知道旗桿的高度，他發(fā)現(xiàn)旗桿上的繩子垂到地

6、面還多了2米，當(dāng)他把繩子的下端拉開旗桿底部 8米時(shí)，發(fā)現(xiàn)繩子的末端剛好接觸地面，旗桿的高度為 變式3:小溪旁長(zhǎng)著兩棵樹，恰好隔岸相望，一棵樹 A高30尺，一棵樹B高20尺，兩棵樹 之間距離恰好為50尺，每棵樹頂部都停有一只小鳥，忽然兩只鳥同時(shí)看到兩樹間水面游出一只小魚，他們立刻以相同的速度飛去抓魚，結(jié)果同時(shí)到達(dá)目標(biāo)， 問游魚出現(xiàn)在距離 A多少尺？構(gòu)造直角三角形：例題 4 四邊形 ABCD 中，/ A=135, / B=Z D=90 , BC=5, AD=2,則四邊形ABCD的面積是變式 1.如圖，在四邊形 ABCD 中 B 135o, C 120o,AB J6, BC 3 J3,CD 6, 則

7、 AD =.變式2:如下（右）圖一副直角三角板放置， 點(diǎn)C在FD的延長(zhǎng)線上，AB / CF, / F= / ACB=90 °AC=5 , CD 的長(zhǎng).變式 3:如圖，ABC 中，AB=AC，/ A=30 ° 點(diǎn) D 在 AB 上，/ ACD=15 ° AD=#1， 貝y bc=變式4：如圖所示，P為 ABC邊BC上一點(diǎn)，且PC=2PB已知 ABC =45， APC 60 ,求 ACB的度數(shù)。AP轉(zhuǎn)化思想例5.等邊三角形 ABC內(nèi)一點(diǎn)P, AP= 3, BP= 4, CP= 5,求/ APB的度數(shù).Rt ABC 中，/ CAB = 90°, P 是厶 AB

8、C 內(nèi)一點(diǎn)，且 PA=1, PB=3,PC= 7 ;求：/ CPA的大小。變式2:如圖，0是等邊 ABC內(nèi)一點(diǎn)，0A=3, OB=4, OC=5，將線段BO以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中 心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段B0',下列結(jié)論：厶BO'A可以由 BOC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到； 點(diǎn)0與0的距離為4;_9 ；3/ A0B=150° ;四邊形 A0 B0 的面積為 6 33 ; S a0c+Sm°b=6+二.4其中正確的結(jié)論是 （只填正確的序號(hào)）變式 3 .如圖所示，在 Rt ABC 中，BAC 90,AC AB, DAE 45,且 bd 3,CE 4

9、,求 DE 的 長(zhǎng).變式4如圖， ABC是直角三角形，/ CAB=90° , MCN 45（1）當(dāng)點(diǎn)M、N在AB上時(shí)，求證：MN2 AM 2 BN2（2） 將 MCN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)M在BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，以上結(jié)論是否成立？若不成立,請(qǐng)說明理由.直角的判定：2 2 2例5、已知 ABC的三邊a、b、c滿足條件a b c 338 10a 24b 26c，求證: ABC是直角三角形.變式1、如圖，在四邊形 ABCD中， B 90、AB 3、BC 4、CD 12、AD 13，求 四邊形ABCD的面積。CA變式 2 如圖 Rt ABC 中， ACB 90，CD AB 于 D 點(diǎn)，AC b, B

10、C a，CD h.丄丄丄有下列四種說法：（1）ab=ch （2）/ b7 h7 ；（ 3）a b c h ； 以 a b、h、c h為三邊的三角形是直角三角形。其中正確的有 （填序號(hào)）格點(diǎn)問題例6、如圖，2 X 2的方格中小正方形的邊長(zhǎng)是為（）A、35B、5310D、35"2-1,點(diǎn) A、B變式1、如圖，方格紙中小正方形的邊長(zhǎng)為1， ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形的格點(diǎn)上,小明在觀察探究時(shí)發(fā)現(xiàn)：ABC勺形狀是等腰三角形；厶 ABC勺周長(zhǎng)是2 .10+ _：'2;4 ABC的面積是5;點(diǎn)C到AB邊的距離是5 .冠你認(rèn)為小明觀察的結(jié)論正確的序號(hào)有變式2、如圖，正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正

11、方形的邊長(zhǎng)為1,則網(wǎng)格上的三角形 ABC中，邊長(zhǎng)為無理數(shù)的邊數(shù)是（）A. 0 B . 1 C . 2 D . 3變式3、如圖，正方形網(wǎng)格中的 ABC,若小方格邊長(zhǎng)為1,則厶ABC是（）A.直角三角形 B.銳角三角形 C鈍角三角形 D.以上答案都不對(duì)變式4、如圖，小方格都是邊長(zhǎng)為1的正方形，則四邊形ABCD勺面積是（）A. 25 B. 12.5 C. 9 D. 8.517BCADBC三勾股定理實(shí)際應(yīng)用最短路徑問題例題1如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為 15，寬為10，高為20,點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離為5，已知螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn) A爬到點(diǎn)B,需要爬行的最短距離是（）B.25c.10.5 5D.35變式1、

12、如圖，一個(gè)無蓋的長(zhǎng)廊體盒子緊貼地面，一只螞蟻由A出發(fā)，在盒子表面上爬到點(diǎn)G，已知 AB 7、BC 5、CG求這只螞蟻爬行的最短距離G變式2圖變式3圖變式2、如圖，長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)分別為 1cm和3cm，高為6cm，如果用一根細(xì)線從點(diǎn) A 開始經(jīng)過4個(gè)側(cè)面纏繞一圈到達(dá)點(diǎn) B,那么所用細(xì)線最短需要cm ;如果從點(diǎn)A開始經(jīng)過4個(gè)側(cè)面纏繞n圈到達(dá)點(diǎn)B,所用細(xì)線最短需要 cm。變式3、如圖，透明的圓柱形容器（容器厚度忽略不計(jì)）的高為12cm，底面周長(zhǎng)為10cm，在容器內(nèi)壁離容器底部 3cm的點(diǎn)B處有一飯粒，此時(shí)一只螞蟻正好在容器外壁，且離容器 上沿3cm的點(diǎn)A處，則螞蟻吃到飯粒需爬行的最短路徑是（）A

13、13cm B 2. 'I cm C Vsi cm D. 2 - cm影響判定問題例題2如圖，某貨船以24海里/時(shí)的速度將一批重要物資從A處運(yùn)往正東方向的 M處，在點(diǎn)A處測(cè)得某島C在北偏東60°的方向上。該貨船航行 30分鐘到達(dá)B處，此時(shí)又測(cè)得該島 在北偏東30°的方向上，已知在 C島周圍9海里的區(qū)域內(nèi)有暗礁，若繼續(xù)向正東方向航行， 該貨船有無暗礁危險(xiǎn)？試說明理由。變式1如圖，某沿海開放城市 A接到臺(tái)風(fēng)警報(bào)，在該市正南方向260km的B處有一臺(tái)風(fēng)中心,沿BC方向以15km/h的速度向D移動(dòng)，已知城市 A到BC的距離AD=100km那么臺(tái)風(fēng)中心經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間從B點(diǎn)移到D點(diǎn)

14、？如果在距臺(tái)風(fēng)中心 30km的圓形區(qū)域內(nèi)都將有受到臺(tái)風(fēng)的破壞的危險(xiǎn)，正在 D點(diǎn)休閑的游人在接到臺(tái)風(fēng)警報(bào)后的幾小時(shí)內(nèi)撤離才可脫離危險(xiǎn)?變式2:如圖，公路 MN和公路PQ在點(diǎn)P處交匯，且/ QPN= 30°，點(diǎn)A處有一所中學(xué)，AP= 160m。假設(shè)拖拉機(jī)行駛時(shí)， 周圍100m以內(nèi)會(huì)受到噪音的影響， 那么拖拉機(jī)在公路 MN 上沿PN方向行駛時(shí)，學(xué)校是否會(huì)受到噪聲影響？請(qǐng)說明理由，如果受影響，已知拖拉機(jī)的速度為18km/h，那么學(xué)校受影響的時(shí)間為多少秒?變式3:某公司的大門如圖所示,其中四邊形ABCD是長(zhǎng)方形,上部是以AD為直徑的半圓，其中AB =2.3 m, BC =2m ,現(xiàn)有一輛裝滿貨

15、物的卡車，高為2.5 m ,寬為1.6 m，問這輛卡車能否通過公司的大門？并說明你的理由綜合練習(xí)一、選擇題1、以a、b、c三邊長(zhǎng)能構(gòu)成直角三角形的是（）A.a=1, b=2, c=3 B.a=3 如圖，已知 ABC中，/ ABC=90°，AB=BC,三角形的頂點(diǎn)在相互平行的三條直線11，12,13上，且11，12之間的距離為2，12，13之間的距離為3，則AC的長(zhǎng)是. 如圖是兩個(gè)全等的三角形紙片，其三邊長(zhǎng)之比為3: 4: 5，按圖中方法分別將其對(duì)折，使折痕（圖中虛線）過其中的一個(gè)頂點(diǎn)， 且使該頂點(diǎn)所在兩邊重合，記折疊后不重疊部分面 積分別為 Sa ， SB ， 已知 S+Q39 ，

16、則紙片 A 的面積是, b=42, c=52 C.a=二，b= -；，c=. = D.a=5, b=6, c=72、如圖，在RtA ABC 中,ACB 90° BC 3, AC 4, AB 的垂直平分線DE交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則CE的長(zhǎng)為（A、256D、23、如圖，正方形 ABCD的邊長(zhǎng)為2,其面積標(biāo)記為 Si，以CD為斜 邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外 作正方形，其面積標(biāo)記為 S2，按照此規(guī)律繼續(xù)下去，則 S9的值E、填空題1、如圖，已知 AB=16，DA丄AB于點(diǎn)A，CB丄AB于點(diǎn)B，DA=10，CB=2，AB上有一點(diǎn) E使DE+EC最短，那么 DE

17、+EC的最短距離為 .4、如圖，在同一平面內(nèi)，兩條平行高速公路11和12間有一條Z”型道路連通，其 中AB段與高速公路11成30°夾角，長(zhǎng)為20km, BC段與AB、CD段都垂直.長(zhǎng) 為10km，CD段長(zhǎng)為30km，貝U高速公路間的距離為 .（結(jié)果保留根號(hào)）&四個(gè)全等的直角三角形按圖示方式圍成正方形ABCD,過各較長(zhǎng)直角邊的中點(diǎn)作垂線，圍成面積為S的小正方形EFGH已知 AM為RtAABM較長(zhǎng)直角邊,AM=2 :'：EF,則正方形ABCD的面積為（用含s的式子表示）5、如圖，長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)分別為1cm和3cm，高為6cm.如果用一根細(xì)線從點(diǎn) A開始經(jīng)過4個(gè)側(cè)面纏繞一圈到達(dá)點(diǎn)B，那么所用細(xì)線最短需要 6、（整體思想）已知Rt ABC的周長(zhǎng)是4 4、3，斜邊上的中線長(zhǎng)是2,則Sa abc=.7、直角三角形周長(zhǎng)為 13cm，斜邊長(zhǎng)為 5cm,求直角三角形的面積三、解答題1.在等腰直角三角形中，AB=AC點(diǎn)D是斜邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別為AB AC邊上的點(diǎn),且 DEI DF。（1）說明：BE2 CF2 EF2