動(dòng)力學(xué)建模方法與解法總結(jié)

1、目錄1剛體系統(tǒng) 12彈性系統(tǒng)動(dòng)力學(xué) 63高速旋轉(zhuǎn)體動(dòng)力學(xué) 101剛體系統(tǒng)一般力學(xué)研究的對(duì)象，是由兩個(gè)或兩個(gè)以上剛體通過(guò)鉸鏈等約束聯(lián)系在一起 的力學(xué)系統(tǒng)，為一般力學(xué)研究對(duì)象。自行車、萬(wàn)向支架陀螺儀通常可看成多剛體 系統(tǒng)。人體在某種意義上也可簡(jiǎn)化為一個(gè)多剛體系統(tǒng)?，F(xiàn)代航天器、機(jī)器人、人 體和仿生學(xué)中關(guān)于動(dòng)物運(yùn)動(dòng)規(guī)律的研究都提出了多剛體系統(tǒng)的一系列理論模型 作為研究對(duì)象。多剛體系統(tǒng)按其內(nèi)部聯(lián)系的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)， 分為樹(shù)型和非樹(shù)型(包含 有閉鏈)；按其同外界的聯(lián)系情況，則有有根和無(wú)根之別。利用圖論的工具可以 一般地分析多剛體系統(tǒng)的構(gòu)造，建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型和動(dòng)力學(xué)方程組。也可從分 析力學(xué)中的高斯原理出發(fā)，用求

2、極值的優(yōu)化算法直接求解系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)和鉸鏈反力。 依照多剛體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的理論和方法，廣泛采用電子計(jì)算機(jī)對(duì)這些模型進(jìn)行研究， 對(duì)于精確地掌握這些對(duì)象的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是很有價(jià)值的。1.1自由物體的變分運(yùn)動(dòng)方程任意一個(gè)剛體構(gòu)件i，質(zhì)量為mi，對(duì)質(zhì)心的極轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 Ji，設(shè)作用于 剛體的所有外力向質(zhì)心簡(jiǎn)化后得到外力矢量Fi和力矩ni，若定義剛體連體坐標(biāo)系xoy 的原點(diǎn)o位于剛體質(zhì)心，則可根據(jù)牛頓定理導(dǎo)出該剛體帶質(zhì)心坐 標(biāo)的變分運(yùn)動(dòng)方程：、向仃- Fi、讓 Ji i - nt = 0(1-1)其中，ri為固定于剛體質(zhì)心的連體坐標(biāo)系原點(diǎn)o 的代數(shù)矢量，為連體坐標(biāo)系相對(duì)于全局坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)角，5與-< 分別為r與i

3、的變分。定義廣義坐標(biāo)：qi =譏 iT(1-2)廣義：Qi =FiT, nF(1-3)及質(zhì)量矩陣：M i 二 diag(mi,mi, Ji)(1-4)體坐標(biāo)系原點(diǎn)固定于剛體質(zhì)心時(shí)用廣義力表示的剛體變分運(yùn)動(dòng)方程:(1-5)Tq (M jqi QJ =01.2束多體系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程考慮由nb個(gè)構(gòu)件組成的機(jī)械系統(tǒng)，對(duì)每個(gè)構(gòu)件運(yùn)用式(1-5)，組合后可得到系統(tǒng)的變分運(yùn)動(dòng)方程為：nb(1-6)-:qTMiqi -Qi0i丄若組合所有構(gòu)件的廣義坐標(biāo)矢量、質(zhì)量矩陣及廣義力矢量，構(gòu)造系統(tǒng) 的廣義坐標(biāo)矢量、質(zhì)量矩陣及廣義力矢量為：T TT Tq 珂5 ,q2,，qnb(1-7)M =diag (M 1, M2,.

4、, M nb)(1-8)Q =Q1T,Q：,QTbT(1-9)系統(tǒng)的變分運(yùn)動(dòng)方程則可緊湊地寫(xiě)為：、qTMq Q二 0(1-10)對(duì)于單個(gè)構(gòu)件，運(yùn)動(dòng)方程中的廣義力同時(shí)包含作用力和約束力，但在 一個(gè)系統(tǒng)中，若只考慮理想運(yùn)動(dòng)副約束，根據(jù)牛頓第三定律，可知作用在 系統(tǒng)所有構(gòu)件上的約束力總虛功為零，若將作用于系統(tǒng)的廣義外力表示為：QA "Q1aT,q2aT,Qn；TT11)其中：QjA 十匚 nAT， i =1,2,nb(1-12)則理想約束情況下的系統(tǒng)變分運(yùn)動(dòng)方程為：、qTMq -QA =0(1-13)式中虛位移q與作用在系統(tǒng)上的約束是一致的。系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)約束和驅(qū)動(dòng)約束的組合如式(1-10)，

5、為：(q,t) =0(1-14)對(duì)其微分得到其變分形式為: 式(1-13)和(1-15)組成受約束的機(jī)械系統(tǒng)的變分運(yùn)動(dòng)方程。為導(dǎo)出約束機(jī)械系統(tǒng)變分運(yùn)動(dòng)方程易于應(yīng)用的形式，運(yùn)用拉格朗日乘子定理對(duì)式(1-13)和(1-15)進(jìn)行處理。拉格朗日乘子定理：設(shè)矢量Rn，矢量x. Rn，矩陣 A Rmn為常數(shù)矩陣，如果有：bTx = O(1-16)對(duì)于所有滿足式(1-84 )的x條件都成立。Ax=O(1-17)則存在滿足式(1-85)的拉格朗日乘子矢量Rm obTx ：tAx=O(1-18)其中x為任意的。在式(1-13)和(1-15)中，q Rn，M Rnn，QA Rn ,譏 Rm n，運(yùn)用 拉格朗日乘

6、子定理于式 (1-13)和(1-15)，則存在拉格朗日乘子矢量 Rm，對(duì)于任意的 q應(yīng)滿足：Mq -Q AT、qq、q 二Mq 亠處：'；一QAT、q 二 0(1-19)由此得到運(yùn)動(dòng)方程的拉格朗日乘子形式：. TAMq 亠勺訂：；、=Q(1-20)式(1-20)還必須滿足式(1-10)、(1-12)和(1-14)表示的位置約束方程、速度約 束方程及加速度約束方程，如下：:：J(q,tH0(1-21)(q,q,t) =Gq(q,t)qj=0，=b(q,t)(1-22)(q,q；q；t) =q(q,t)q- (q,q,t)=0， 八3 qq)qq - 鮎亦 - Xt (1-23) 以上三式

7、其維數(shù)同式(1-14) o式(1-20)、(1-21)、(1-22)和(1-23)組成約束機(jī)械系統(tǒng)的完整的運(yùn)動(dòng)方程。將式(1-20)與(1-23)聯(lián)立表示為矩陣形式：M(1-24)式(1-24)即為多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)中最重要的動(dòng)力學(xué)運(yùn)動(dòng)方程，式(1-24)還必須滿足式(1-22)和(1-23)。它是一個(gè)微分一一代數(shù)方程組，不同于單純的常微 分方程組問(wèn)題，其求解關(guān)鍵在于避免積分過(guò)程中的違約現(xiàn)象，此外，還要 注意DAE問(wèn)題的剛性問(wèn)題。如果系統(tǒng)質(zhì)量矩陣是正定的，并且約束獨(dú)立，那么運(yùn)動(dòng)方程就有唯一解。實(shí)際中的系統(tǒng)質(zhì)量矩陣通常是正定的，只要保證約束是獨(dú)立的，運(yùn)動(dòng) 方程就會(huì)有解。在實(shí)際數(shù)值迭代求解過(guò)程中，需要

8、給定初始條件，包括位置初始條件q(t。)和速度初始條件q(t。)。此時(shí)，如果要使運(yùn)動(dòng)方程有解，還需要滿足初值相容條件，也就是要使位置初始條件滿足位置約束方程，速度初始條件 滿足速度約束方程。對(duì)于由式(1-24)及(1-21)、(1-22)確定的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程，初值相容條件為：(q(t °), t°)= oG(q(to),q(to),t0)Gq(q(to),t0)q(to)- (q(to),t。)=0(1-25)(1-26)1.3正向動(dòng)力學(xué)分析、逆向動(dòng)力學(xué)分析與靜平衡分析對(duì)于一個(gè)確定的約束多體系統(tǒng)，其動(dòng)力學(xué)分析不同于運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，并不需要系統(tǒng)約束方程的維數(shù)m等于系統(tǒng)廣義坐標(biāo)的維

9、數(shù)n , m ： n。在給定外力的作用下，從初始的位置和速度，求解滿足位置約束式(1-22)及速度約束式(1-23)的運(yùn)動(dòng)方程式(1-24)，就可得到系統(tǒng)的加速度和相應(yīng)的速度、位 置響應(yīng)，以及代表約束反力的拉格朗日乘子，這種已知外力求運(yùn)動(dòng)及約束 反力的動(dòng)力學(xué)分析，稱為正向動(dòng)力學(xué)分析。如果約束多體系統(tǒng)約束方程的維數(shù)m與系統(tǒng)廣義坐標(biāo)的維數(shù)n相等，m=n，也就是對(duì)系統(tǒng)施加與系統(tǒng)自由度相等的驅(qū)動(dòng)約束，那么該系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)學(xué)上就被完全確定，由2.2.3節(jié)的約束方程、速度方程和加速度方程可求解系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)。在此情況下，雅可比矩陣是非奇異方陣，即：展開(kāi)式(1-24)的運(yùn)動(dòng)方程，為：TAMq+6qh=Q(1-28)G

10、qqi(1-29)由式(1-29)可解得q；再由式(1-28)可求得，拉格朗日乘子就唯一地確定 了作用在系統(tǒng)上的約束力和力矩(主要存在于運(yùn)動(dòng)副中)。這種由確定的運(yùn)動(dòng)求系統(tǒng)約束反力的動(dòng)力學(xué)分析就是逆向動(dòng)力學(xué)分析。如果一個(gè)系統(tǒng)在外力作用下保持靜止?fàn)顟B(tài)，也就是說(shuō)，如果：q = q = 0(1-30)那么，就說(shuō)該系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)。將式(1-30)代入運(yùn)動(dòng)方程式(1-20)，得到平衡方程：Taq=Q(1-31)由平衡方程式(1-21)及約束方程式(1-13)可求出狀態(tài)q和拉格朗日乘子。這種求系統(tǒng)的平衡狀態(tài)及在平衡狀態(tài)下的約束反力的動(dòng)力學(xué)分析稱為(靜)平衡分析。1.4約束反力對(duì)于約束機(jī)械系統(tǒng)中的構(gòu)件i，設(shè)

11、其與系統(tǒng)中某構(gòu)件j存在運(yùn)動(dòng)學(xué)約束或驅(qū)動(dòng)約束，約束編號(hào)為k。除連體坐標(biāo)系xoy外，再在構(gòu)件i上以某點(diǎn)P為原點(diǎn)建立一個(gè)新的固定于構(gòu)件上的坐標(biāo)系x Py，稱為運(yùn)動(dòng)副坐標(biāo)系，設(shè)從坐標(biāo)系x Py到坐標(biāo)系xoy的變換矩陣為 Ci，從坐標(biāo)系x o y到坐標(biāo)系 xoy的變換矩陣為 Ai，則可導(dǎo)出由約束 k產(chǎn)生的反作用力和力矩分別為：Fk = CjTAT：.：，：T，k(1-32)Tk =(§戸匕8：丁 釣沾(1-33)以上兩式中，k為約束k對(duì)應(yīng)的拉格朗日乘子，反作用力F”k和力矩Tk均為運(yùn)動(dòng)副坐標(biāo)系 x Py "中的量。2彈性系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)由于工業(yè)機(jī)器人、機(jī)械手、彈性聯(lián)動(dòng)裝置、帶柔性附件人造衛(wèi)

12、星、直升飛機(jī) 的旋翼等工程結(jié)構(gòu)發(fā)展的需求，使運(yùn)動(dòng)中的彈性結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)分析得到了很大 的進(jìn)展。運(yùn)動(dòng)彈性體的動(dòng)力學(xué)分析屬于多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的范疇。而導(dǎo)出其有限元 格式的動(dòng)力學(xué)方程并研究其數(shù)值解法則是計(jì)算多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的任務(wù)。由于彈性變形與剛體運(yùn)動(dòng)的耦合導(dǎo)致了運(yùn)動(dòng)彈性體的動(dòng)力學(xué)方程為時(shí)變的或非線性的，因此運(yùn)動(dòng)中的彈性體會(huì)出現(xiàn)諸多非線性效應(yīng)。運(yùn)動(dòng)中彈性體的動(dòng)力分析問(wèn)題可分為兩類，其一是具有給定剛體運(yùn)動(dòng)的彈性體的動(dòng)力分析，這類問(wèn)題僅討論彈性體的剛體運(yùn)動(dòng)對(duì)其彈性變形的影響，比如機(jī)械手的彈性終端桿的振動(dòng)分析一般可歸于此類。第二類問(wèn)題是多體系統(tǒng)中之剛體運(yùn)動(dòng)與其中的彈性體的彈性變形的相互耦合的動(dòng)力分析，在這類問(wèn)題

13、中，彈性體的變形會(huì)受到系統(tǒng)剛體運(yùn)動(dòng)的影響，反之彈性體的變形也會(huì)影響系統(tǒng)的剛體運(yùn)動(dòng)。下面采用運(yùn)動(dòng)參考系方法并用 Jourdain動(dòng)力學(xué)普遍方程導(dǎo)出了具有空間一 般運(yùn)動(dòng)的彈性體之通用的有限元?jiǎng)恿W(xué)方程， 其最大的優(yōu)點(diǎn)在于推導(dǎo)簡(jiǎn)單并適用 于各類結(jié)構(gòu)及各種單元形式。對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程的數(shù)值求解，一般可以采用直 接積分法。下面給出了對(duì)時(shí)變的運(yùn)動(dòng)彈性的動(dòng)力學(xué)方程的Neumann級(jí)數(shù)2直接積分解法，該方法可以在保證計(jì)算精度的前提下很大程度地節(jié)省機(jī)時(shí)。圖2-1所示為一運(yùn)動(dòng)的彈性體B，選用兩個(gè)坐標(biāo)系來(lái)定義彈性體B的剛體運(yùn)動(dòng)與彈性變形：靜系一ox：x；x3，簡(jiǎn)記o系；原點(diǎn)在B上的01點(diǎn),固連于B上的動(dòng)系一OiX：

14、 x2x3,簡(jiǎn)記為Oi系。B的剛體移動(dòng)由01點(diǎn)對(duì)于o點(diǎn)的矢量心，定義B的 111 1空間轉(zhuǎn)動(dòng)則用O1系對(duì)o系的轉(zhuǎn)動(dòng)來(lái)定義，而B(niǎo)內(nèi)任意點(diǎn)P的彈性變形則用在O1系 內(nèi)的彈性變形位移矢量u來(lái)表示。由圖可見(jiàn)B發(fā)生彈性變形后，其上任意一點(diǎn)P對(duì)o系的位置矢量可以表示(2-1)(2-2)其中r是B未產(chǎn)生彈性變形時(shí)P點(diǎn)在O1系中的位置矢量，u則表示P點(diǎn)的彈性變 形位移矢量。把（2-2）式代入（2-1）式并向o系投影，且采用矩陣形式表示為：Tp To? - lAOO1（ 2-3）其中p刑匕0汾別表示和r向o系的投影列陣；a°o1 表示。1系向o系轉(zhuǎn)移的方向余弦矩陣。把（3-3）式中uor的用有限元的格

15、式，表達(dá)為：汕 1 - N f（2-4）其中N 1為單元形函數(shù)矩陣，“為P點(diǎn)所在單元的有限元結(jié)點(diǎn)位移列陣。把(2-4)式代入（2-3）式，并利用公式：一 幾 OO1 1AOO11:（2-5）其中！ i。1 是o系相對(duì)于o系轉(zhuǎn)動(dòng)角速度在o系上投影的斜對(duì)稱陣。由（2-3）式對(duì)時(shí)間分別求一次導(dǎo)數(shù)和二次導(dǎo)數(shù)可得 P點(diǎn)的速度vO '和加速度 筍，進(jìn)而可得到P點(diǎn)的虛速度§于是P點(diǎn)鄰域之微元體的Jourdain動(dòng)力 學(xué)普遍方程可以寫(xiě)作：AOO1?f-mpdvap1 =0（ 2-6）其中：mp為彈性體在P點(diǎn)的質(zhì)量密度；1是作用于P點(diǎn)微元體上的全部力在。1系上的投影。對(duì)于6 VpK Aoodf

16、可利用常規(guī)有限元的格式將它寫(xiě)作兒；F瓜呵I f -(2-7)其中：K和C分別為單元?jiǎng)偠汝嚭蛦卧枇﹃囋?P點(diǎn)的值；為作用在P點(diǎn)微元體上的外力在Oi系的列陣，把求得的P點(diǎn)的虛速度和加速度以及(2-7)式代 入(2-6)式，并考慮到6 P中諸元素之獨(dú)立性,可得P點(diǎn)微元體的動(dòng)力學(xué)方程為:N TF-k9_CP(2-8)N Hfk IpCl mpdvZp0Ta；=O將(2-8)式對(duì)單元積分便可得運(yùn)動(dòng)的彈性體的單元?jiǎng)恿W(xué)方程：L p> +(2-9)式中：Me L mp N N dvCel=N TTn dv 2 mp N Ta00 T X001 】A001CJ Cd Ikel=BT D dv mp N

17、 FA001T門001 x0011! ；001IIa001Un dv訂 丿kdl=k T 忙 bv - Jm p N T A=Fd 10。1廣«»0 %Iv 亠 I mp N T -A001-i001啦si 仏。0 Ir01:dv其中Cs，ks，Ts分別是常規(guī)有限元法中的單元阻力陣、剛度陣和外力向量, 而Cd ，Kd I,花則分別是由于剛體運(yùn)動(dòng)與彈性變形的耦合而產(chǎn)生的附加單元?jiǎng)恿ψ枘彡嚒?dòng)力剛度陣和動(dòng)力力向量。而且由于它們的表達(dá)式中含有表示彈性 體空間運(yùn)動(dòng)量汀05和仏,因此，通常這些動(dòng)力附加項(xiàng)是時(shí)變的。當(dāng)彈性體的剛體運(yùn)動(dòng)速度特別是轉(zhuǎn)動(dòng)速度較大時(shí)，彈性體受到較大的慣性力作用，

18、會(huì)產(chǎn)生變形 的耦合效應(yīng)。例如轉(zhuǎn)動(dòng)的梁，由于離心慣性力產(chǎn)生的軸向拉力會(huì)增大梁的抗彎剛 度,即所謂的 剛化效應(yīng)”這時(shí)在(2-10)式中的常規(guī)剛度陣 KJ中需計(jì)入結(jié)構(gòu) 的幾何剛度陣，關(guān)于各類單元的幾何剛度陣可參閱有關(guān)非線性有限元的書(shū)籍。而結(jié)構(gòu)的幾何剛度陣往往是未知內(nèi)力的函數(shù) ，這時(shí)方程(2-9)式就是一個(gè)非線性的 動(dòng)力方程。但對(duì)于簡(jiǎn)單的彈性體，如梁，由于剛體運(yùn)動(dòng)的慣性力產(chǎn)生的軸力容易 求得，這時(shí)的幾何剛度陣就變?yōu)闀r(shí)變陣。本文只討論幾何剛度陣為時(shí)變陣的情況， 即方程(2-9)式為時(shí)變動(dòng)力學(xué)方程時(shí)的數(shù)值解法。顯然，若彈性體沒(méi)有剛體運(yùn)動(dòng)，則方程(2-9)式退化為常規(guī)的有限單元?jiǎng)恿W(xué) 方程。把(2-9)式按

19、常規(guī)有限元的組集方法進(jìn)行組集，便可得到對(duì)于運(yùn)動(dòng)彈性體的 具有時(shí)變特性的、通用的有限元?jiǎng)恿W(xué)方程：畀昭打已+k 3=日(2-10)3高速旋轉(zhuǎn)體動(dòng)力學(xué)高速旋轉(zhuǎn)體通常是由是由三個(gè)剛體卜環(huán)、內(nèi)環(huán)、轉(zhuǎn)子互相約束在一起而成，可使陀螺儀轉(zhuǎn)子具有空間轉(zhuǎn)動(dòng)的三個(gè)自由度。 過(guò)去曾長(zhǎng)期認(rèn)為，高速自轉(zhuǎn)的平衡 對(duì)稱卡登陀螺儀和單剛體陀螺儀的理論模型沒(méi)有本質(zhì)區(qū)別，具有所謂定軸性。但實(shí)際上，理論研究和精密的實(shí)驗(yàn)研究都已證明這個(gè)想法是錯(cuò)誤的。平衡對(duì)稱卡 登陀螺儀的空間定向大都具有里雅普諾夫意義下的不穩(wěn)定性（見(jiàn)運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性）?？ǖ峭勇輧x和單剛體陀螺儀模型有本質(zhì)區(qū)別，只有通過(guò)多剛體系統(tǒng)模型的研究才 能正確解釋卡登陀螺儀的動(dòng)力學(xué)特征

20、。圖3-1如圖3-1所示，對(duì)于外徑D與長(zhǎng)度I的比值D/I : 5的轉(zhuǎn)子，如多缸內(nèi)燃機(jī)的 曲軸、機(jī)床主軸等，這些轉(zhuǎn)子的不平衡質(zhì)點(diǎn)不是集中在同一平面內(nèi)，而是分布在垂直于軸線的各個(gè)平面內(nèi)。對(duì)于這種轉(zhuǎn)子動(dòng)平衡問(wèn)題，一般都采用矢量法來(lái)求校 正質(zhì)量mb、mb的重徑積mbrj和mbrb。但是這種方法所帶來(lái)問(wèn)題是力多邊形不 易求解以及圖解法不夠精確。假如采用平面解法，不僅簡(jiǎn)單正確，而且對(duì)于沒(méi)有 動(dòng)平衡機(jī)的工廠無(wú)疑有一定的實(shí)用價(jià)值。上述轉(zhuǎn)子質(zhì)量分布簡(jiǎn)圖如圖3-2所示，不平衡質(zhì)量 葉、m2、m3分別分布在 與回轉(zhuǎn)軸線垂直的三個(gè)平面1、2、3內(nèi)，各質(zhì)點(diǎn)距回轉(zhuǎn)軸線的矢徑分別為 幾、r2、 r3。當(dāng)轉(zhuǎn)子以等角速度?；剞D(zhuǎn)時(shí)，各質(zhì)點(diǎn)所產(chǎn)生的離心慣性力分別為R = mi占（3-1）2(3-3)2二 m3"圖3-2方向如圖所示。若選擇轉(zhuǎn)子左、右二端面T （過(guò)點(diǎn)A與軸線垂直的平面）、T ”（過(guò) 點(diǎn)B與軸線垂直的平面）作為校正平面，在T >T平面內(nèi)分別加上校正質(zhì)量mb、 mb，矢徑為rb、r；，則校正質(zhì)量所產(chǎn)生的離心慣性力為R.二mb2和 Pb"=mbrb霸2，R、P2、P3、P；和P；組成了空間力系。選取三坐標(biāo)軸x、y、z軸如圖所示，并將作用在轉(zhuǎn)子上的所有力向 YAZ平 面和XAY平面投影，如圖3-3所示。在圖3-3中，所有的力組成