數(shù)理統(tǒng)計(jì)充分統(tǒng)計(jì)量精品資料

1、充分統(tǒng)計(jì)量教程一、補(bǔ)充講解條件分布例題 1：隨機(jī)變量 X 和 Y 相互獨(dú)立， X Poisson1，Y Poisson2，若已知X Y n 發(fā)生，求此時(shí) X 的條件分布（比如，害蟲(chóng)產(chǎn)卵問(wèn)題）例題 2：射擊選手每次射擊同樣目標(biāo)，每次擊中的次數(shù)X 是總體，服從01 分布，1 PX0 P X 1 p ，現(xiàn)在進(jìn)行測(cè)試（ n 次），結(jié)果為X1 ,., X nx1,., xn ，已知總共擊中次數(shù) x1 . xnt 次，求P X1,., X nx1 ,., xn X1 . X n t 。例題 2：隨機(jī)變量X和Y聯(lián)合概率密度 p x, y ，證明，y發(fā)生前提下， X Y yY的條件概率密度為 f X |Yxp

2、x, yypY y證明：先求條件概率分布函數(shù)FX |Y y xP Xx |Yylim PXx | yYy hh 0P Xx, y Y y hP (X ,Y)(s, t ) : s x, y t y hlimP y Y y hlimP s s : y s y hh 0h 0ps, t dsdtxyhps,t dt dslimsx, y t y hlimyy hyhh 0pYs dsh 0pYs dsyyx1y hs, t dt dsxhpps, y dslimy1y hpYyh 0s dshpYy因此 f X |Ypx, yyxypY例題：已知包裝機(jī)械包裝白糖的各種可能重量X Na,0.1 2（

3、斤），包裝 n 袋白糖的總重量 t 已知前提下，求 X1 .X nt 的具體情形 X1x1 ,.X n xn對(duì)應(yīng)的條件概率密度p( X ,.,X)|T t x1,., xn 1,t (x1,., xn 1)p( X ,.,Xn 1, Xn) x1 ,., xn 1 ,t (x1 . xn 1)1n 1, XnpT (t )1p( X1,., Xn 1 ,X n )|Tt x1,., xn 1 , xnp( X1,., X n 1 ,X n )x1,., xn 1, xnpT (t)n1( xia ) 2ne20.12t 2 / nxi21n 1i 1i 12 0.1tna2ne 20.0112

4、0.1e 20.01n20.1n二、充分統(tǒng)計(jì)量定義背景問(wèn)題統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)收集效率： 假如已經(jīng)確定總體的分布是正態(tài)分布，所不知道的，是總體的期望和方差而已，那么，在做統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)收集的時(shí)候，是否有必要把樣本觀察值的每個(gè)數(shù)據(jù)都詳細(xì)記錄下來(lái)？另一方面，我們?cè)谑褂媒y(tǒng)計(jì)量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷的時(shí)候， 所用到的統(tǒng)計(jì)量是否把樣本中感興趣的問(wèn)題的信息全部包含進(jìn)來(lái)？比如， 射擊選手每次射擊同樣目標(biāo)， 每次擊中的次數(shù) X 是總體，服從 0 1 分布， 1 P X 0 P X1p ，我們感興趣的是估計(jì) p 的值，假定現(xiàn)在進(jìn)行測(cè)試（ 10 次），結(jié)果為X1,., X101,1,1,0,1,1,1,1,0,1 ，我們只記錄總共擊中次數(shù)

5、TX1. X10 8 次可以嗎？總共擊中8 次是否已經(jīng)包含p 的所有信息？換句話說(shuō)， 是否在已知擊中8 次 T8前提下再去追究具體情況X1,., X101,1,1,0,1,1,1,1,0,1發(fā)生的概率已經(jīng)不再包含p 的任何信息，即PX1 ,., X101,1,1,0,1,1,1,1,0,1 T8不再是p 的表達(dá)式？定義1：對(duì)于離散總體X Fx,，（在這里可以是未知的參數(shù)向量，比如(1,2) ），樣本X1 ,., X n觀察值為( x1,., xn ) ，統(tǒng)計(jì)量 T X1 ,.,Tn此時(shí)對(duì)應(yīng)取值Tt，若PX1,., X nx1 ,., xnT t 與無(wú)關(guān)，則稱 TX1,., Tn為 的充分統(tǒng)計(jì)量

6、 。（ Tt 包含了的所有信息）定義 2：對(duì)于連續(xù)總體 X f x, ，（在這里可以是未知的參數(shù)向量，比如( 1, 2)），樣本 X1 ,., X n觀察值為( x1,., xn ) ，統(tǒng)計(jì)量 T X1 ,.,Tn此時(shí)對(duì)應(yīng)取值 Tt ，若T x1 ,., xnf X1 ,., X nx1,., xn與無(wú)關(guān)，則稱 TX1 ,.,Tn為 的充分統(tǒng)計(jì)量。t 時(shí)f T t（ Tt 包含了的所有信息）三、因子分解定理 ：總體概率函數(shù) f(x, ) ，樣本 ( X1,., X n ) ，統(tǒng)計(jì)量 T ( X1 ,., X n )為未知參數(shù)的充分統(tǒng)計(jì)量的充要條件是樣本在已發(fā)生情形( X1,., X n )(

7、x1 ,., xn ) 處的聯(lián)合概率函數(shù)可以分解為T ( x1 ,., xn )t 和 的函數(shù)g(t ,)與樣本觀察值的函數(shù)h(x1,., xn ) 的乘積。應(yīng)用例題定理證明：只就離散情況證明，必要性x1 . xn tP( X1x1 ,., X nn | Tt)h( x1 ,., xn ) 與 無(wú)關(guān)因此 P( X1x1,., X nxn )P(X1x1,., X nxn | Tt) P(Tt )h( x1 ,., xn )P(Tt)g(t ,)h(x1,., xn )充分性x1 .xn t現(xiàn)在已知 P( X1x1 ,., X nxn )g(t ,)h( x1 ,., xn )P(T t )P(

8、X1x1 ,., X nxn )T x1 ,.,xntg(t , )h(x1,., xn )g(t ,)h( x1,., xn )T x1 ,., xntT x1,., xntx1. xn tP( X1x1 ,., X nxn ,Tt )因此 P( X1x1 ,., X nxn |Tt)P(Tt )P(X1x1 ,., X nxn ,Tt )P( X1x1 ,., X nxn )g (t ,)h(x1,., xn )g(t,)h( x1 ,., xn )T x1 ,.,xntTx1,., xntP(X1x1 ,., X nxn ,Tt )P( X1x1 ,., X nxn )g (t ,)h(x1,., xn )g(t,)h( x1 ,., xn )T x1 ,.,xntTx1,., xntg (t,)h( x1,., xn )h(