求陰影面積的常用方法-學(xué)法指導(dǎo)-不分版本3頁

1、求陰影面積的常用方法游金明 鄭海梅 周玉梅 計算平面圖形的面積問題是常見題型，求平面陰影部分的面積是這類問題的難點。不規(guī)則陰影面積常常由三角形、四邊形、弓形、扇形和圓、圓弧等基本圖形組合而成的，在解此類問題時，要注意觀察和分析圖形，會分解和組合圖形?，F(xiàn)介紹幾種常用的方法。 一、轉(zhuǎn)化法此法就是通過等積變換、平移、旋轉(zhuǎn)、割補等方法將不規(guī)則的圖形轉(zhuǎn)化成面積相等的規(guī)則圖形，再利用規(guī)則圖形的面積公式，計算出所求的不規(guī)則圖形的面積。 例1. 如圖1，點C、D是以AB為直徑的半圓O上的三等分點，AB=12，則圖中由弦AC、AD和圍成的陰影部分圖形的面積為_。 分析：連結(jié)CD、OC、OD，如圖2。易證AB/C

2、D，則的面積相等，所以圖中陰影部分的面積就等于扇形OCD的面積。易得，故。 二、和差法 有一些圖形結(jié)構(gòu)復(fù)雜，通過觀察，分析出不規(guī)則圖形的面積是由哪些規(guī)則圖形組合而成的，再利用這些規(guī)則圖形的面積的和或差來求，從而達到化繁為簡的目的。 例2. 如圖3是一個商標的設(shè)計圖案，AB=2BC=8，為圓，求陰影部分面積。 分析：經(jīng)觀察圖3可以分解出以下規(guī)則圖形：矩形ABCD、扇形ADE、。所以，。 三、重疊法 就是把所求陰影部分的面積問題轉(zhuǎn)化為可求面積的規(guī)則圖形的重疊部分的方法。這類題陰影一般是由幾個圖形疊加而成。要準確認清其結(jié)構(gòu)，理順圖形間的大小關(guān)系。 例3. 如圖4，正方形的邊長為a，以各邊為直徑在正方

3、形內(nèi)作半圓，求所圍成陰影部分圖形的面積。 解：因為4個半圓覆蓋了正方形，而且陰影部分重疊了兩次，所以陰影部分的面積等于4個半圓的面積和與正方形面積的差。故。 四、補形法 將不規(guī)則圖形補成特殊圖形，利用特殊圖形的面積求出原不規(guī)則圖形的面積。 例4. 如圖5，在四邊形ABCD中，AB=2，CD=1，求四邊形ABCD所在陰影部分的面積。 解：延長BC、AD，交于點E，因為，所以，又，易求得，所以。 五、拼接法 例5. 如圖6，在一塊長為a、寬為b的矩形草地上，有一條彎曲的柏油小路（小路任何地方的水平寬都是c個單位），求陰影部分草地的面積。 解：（1）將“小路”沿著左右兩個邊界“剪去”；（2）將左側(cè)的

4、草地向右平移c個單位；（3）得到一個新的矩形（如圖7）。由于新矩形的縱向?qū)捜匀粸閎，水平方向的長變成了，所以草地的面積為。 六、特殊位置法 例6. 如圖8，已知兩個半圓中長為4的弦AB與直徑CD平行，且與小半圓相切，那么圖中陰影部分的面積等于_。 分析：在大半圓中，任意移動小半圓的位置，陰影部分面積都保持不變，所以可將小半圓移動至兩個半圓同圓心位置（如圖9）。 解：移動小半圓至兩半圓同圓心位置，如圖9。設(shè)切點為H，連結(jié)OH、OB，由垂徑定理，知。又AB切小半圓于點H，故，故 七、代數(shù)法 將圖形按形狀、大小分類，并設(shè)其面積為未知數(shù)，通過建立方程或方程組來解出陰影部分面積的方法。 例7. 如圖10，正方形的邊長為a，分別以兩個對角頂點為圓心、以a為半徑畫弧，求圖中陰影部分的面積。 解：設(shè)陰影部分的面積為x，剩下的兩塊形狀、大小相同的每塊面積為y，則圖中正方形的面積是，而是以半徑為a的圓面積的。故有，。解得。即陰影部分的面積是。 需要說明的是，在求陰影部分圖形的面積問題時，要具體問題具體分析，從而選取一種合理