統(tǒng)計(jì)學(xué)：第13章 直線相關(guān)與回歸

1、例：例：調(diào)查調(diào)查15名男生的胸圍和肺活量名男生的胸圍和肺活量. 欲了解胸圍和肺活量有欲了解胸圍和肺活量有無線性關(guān)系？如果有關(guān)其密切程度如何？無線性關(guān)系？如果有關(guān)其密切程度如何？編號編號 胸圍胸圍 肺活量肺活量123456789101112131415726878667065746469716560707569240022002750180027002500265021002000260023001900240025002350第十三章第十三章 直線相關(guān)與回歸直線相關(guān)與回歸探討兩個(gè)變量間的線性關(guān)系的一種統(tǒng)計(jì)分析方法探討兩個(gè)變量間的線性關(guān)系的一種統(tǒng)計(jì)分析方法 直線相關(guān)直線相關(guān) (linear co

2、rrelation) (簡單相關(guān)簡單相關(guān),simple correlation): 是探討服從正態(tài)分布的兩個(gè)變量是探討服從正態(tài)分布的兩個(gè)變量X 和和Y 有無線性相有無線性相 關(guān)關(guān)系關(guān)關(guān)系的一種統(tǒng)計(jì)方法的一種統(tǒng)計(jì)方法 直線回歸直線回歸 (linear regression) (簡單回歸簡單回歸,simple regression): 是探討兩個(gè)連續(xù)性變量是探討兩個(gè)連續(xù)性變量X 和和Y 間的間的數(shù)量依存關(guān)系數(shù)量依存關(guān)系的的一種統(tǒng)計(jì)方法一種統(tǒng)計(jì)方法 先確定相關(guān)關(guān)系先確定相關(guān)關(guān)系- 再作回歸再作回歸,分析其數(shù)量上的依存關(guān)系分析其數(shù)量上的依存關(guān)系第一節(jié)第一節(jié) 直線相關(guān)直線相關(guān) 直線相關(guān)分析的目的直線相關(guān)

3、分析的目的: 解決服從正態(tài)分布的兩個(gè)隨機(jī)變量解決服從正態(tài)分布的兩個(gè)隨機(jī)變量X 和和Y 是否是否存在線性關(guān)系存在線性關(guān)系,以及關(guān)系的密切程度和方向以及關(guān)系的密切程度和方向.例如例如, 血壓和年齡血壓和年齡, 療效和藥物劑量療效和藥物劑量,胰島素和血糖胰島素和血糖, 胸圍和肺活量之間是否有關(guān)系胸圍和肺活量之間是否有關(guān)系,我們可以先用簡我們可以先用簡單的圖來表示兩個(gè)變量之間是否有關(guān)聯(lián)單的圖來表示兩個(gè)變量之間是否有關(guān)聯(lián). -散點(diǎn)圖散點(diǎn)圖- 用點(diǎn)的位置表示兩變量間的數(shù)量關(guān)系用點(diǎn)的位置表示兩變量間的數(shù)量關(guān)系和變化趨勢和變化趨勢 15名男生的胸圍和肺活量. 試做相關(guān)分析.編號編號 胸圍胸圍 肺活量肺活量12

4、34567891011121314157268786670657464697165607075692400220027501800270025002650210020002600230019002400250023501700190021002300250027002900556065707580胸圍(cm)肺活量(ml)反映關(guān)聯(lián)的密切程度和方向的指標(biāo)反映關(guān)聯(lián)的密切程度和方向的指標(biāo)- 相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)(correlation coefficient) 樣本的相關(guān)系數(shù)樣本的相關(guān)系數(shù) r,總體的相關(guān)系數(shù)總體的相關(guān)系數(shù) . 一一.相關(guān)系數(shù)的特點(diǎn)及意義相關(guān)系數(shù)的特點(diǎn)及意義: 1. 沒有單位沒有單位 2

5、. 取值范圍取值范圍 : -1 r 1 3. r 的絕對值越接近于的絕對值越接近于1,兩變量的相關(guān)關(guān)系的密兩變量的相關(guān)關(guān)系的密切程度越高切程度越高. 4. r0 正相關(guān)正相關(guān), r 表中的表中的r r值值, ,則則P P 0, Y隨隨X增大而增大增大而增大; b0, Y隨隨X增大而減小增大而減小; b=0, X與與Y 沒有直線線性關(guān)系沒有直線線性關(guān)系bXaYY回歸方程中回歸方程中a和和 b的計(jì)算的計(jì)算-最小二乘法原理最小二乘法原理 回歸方程中回歸方程中, a和和 b取不同的數(shù)值可以獲得不同取不同的數(shù)值可以獲得不同的回歸直線的回歸直線. 當(dāng)獲得的回歸直線當(dāng)獲得的回歸直線,能保證各實(shí)測點(diǎn)能保證各實(shí)

6、測點(diǎn)到直線縱向距離的平方和為最小時(shí)到直線縱向距離的平方和為最小時(shí),這時(shí)的這時(shí)的a和和 b的值是最適宜的的值是最適宜的. 根據(jù)公式求出根據(jù)公式求出a和和 b的值的值. bXaYXbYallXXYYXXbXXXY2 例例 前面相關(guān)分析的結(jié)果前面相關(guān)分析的結(jié)果, , 胸圍和肺活量之胸圍和肺活量之間存在線性相關(guān)關(guān)系間存在線性相關(guān)關(guān)系, ,進(jìn)一步作回歸分析進(jìn)一步作回歸分析. . 根據(jù)基本數(shù)據(jù)分別計(jì)算根據(jù)基本數(shù)據(jù)分別計(jì)算 a a 和和 b,b,建立回歸建立回歸方程方程. .XY1137.455211.772肺活量肺活量 = -772.5211+45.1137胸圍胸圍6065707580X180020002

7、200240026002800YR Sq Linear = 0.517二二. 樣本回歸系數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)樣本回歸系數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)基本思想基本思想: 同相關(guān)系數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)同相關(guān)系數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn). 即判斷即判斷b是否從回歸系數(shù)為是否從回歸系數(shù)為 0 (=0) 的總的總體中隨機(jī)抽得的體中隨機(jī)抽得的.檢驗(yàn)方法檢驗(yàn)方法: t檢驗(yàn)檢驗(yàn) 也可以用相關(guān)系數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)代替也可以用相關(guān)系數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)代替. 同一個(gè)樣本相關(guān)系數(shù)有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義同一個(gè)樣本相關(guān)系數(shù)有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義,則回歸系則回歸系數(shù)必然有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義數(shù)必然有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義.檢驗(yàn)步驟檢驗(yàn)步驟: 1.建立假設(shè)建立假設(shè),確定檢驗(yàn)水準(zhǔn)確定檢驗(yàn)水準(zhǔn) H0: =0, H1: 0, =0

8、.05 2. 計(jì)算統(tǒng)計(jì)量計(jì)算統(tǒng)計(jì)量 3. 確定確定P值值,判斷結(jié)果判斷結(jié)果 查查 t 界值表界值表 df =n-2XXXYblSS.bSbt0三、直線回歸方程的應(yīng)用三、直線回歸方程的應(yīng)用 1.1.描述兩變量間的數(shù)量依存關(guān)系描述兩變量間的數(shù)量依存關(guān)系 2.2.利用回歸方程進(jìn)行預(yù)測利用回歸方程進(jìn)行預(yù)測3.3.進(jìn)行統(tǒng)計(jì)控制進(jìn)行統(tǒng)計(jì)控制第三節(jié)第三節(jié) 直線相關(guān)與回歸分析的關(guān)系直線相關(guān)與回歸分析的關(guān)系 直線相關(guān)與回歸的聯(lián)系直線相關(guān)與回歸的聯(lián)系: 1. 對于符合相關(guān)回歸條件的資料對于符合相關(guān)回歸條件的資料, 相關(guān)系數(shù)與相關(guān)系數(shù)與 回歸系數(shù)的正負(fù)號相同回歸系數(shù)的正負(fù)號相同 2. 相關(guān)與回歸系數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)是等價(jià)

9、的相關(guān)與回歸系數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)是等價(jià)的. 3. 可以用回歸解釋相關(guān)可以用回歸解釋相關(guān) 決定系數(shù)決定系數(shù)=r2 r2=SS回回/SS總總SS總總 表示應(yīng)變量表示應(yīng)變量Y的總變異，即離均差平方和的總變異，即離均差平方和SS總總=SS回回+SS剩余剩余SS回回- 反映反映Y的總變異中可以用的總變異中可以用X解釋的部分解釋的部分r2越接近越接近1，相關(guān)和回歸效果越好，相關(guān)和回歸效果越好 直線相關(guān)與回歸的區(qū)別直線相關(guān)與回歸的區(qū)別: 1. 對變量對變量X、Y的要求不同的要求不同 相關(guān)要求變量相關(guān)要求變量X、Y是正態(tài)分布的隨機(jī)變量是正態(tài)分布的隨機(jī)變量 回歸要求變量回歸要求變量Y是正態(tài)隨機(jī)變量，是正態(tài)隨機(jī)變量，X

10、可以是精確測量可以是精確測量 或嚴(yán)格控制的變量，也可以是正態(tài)分布的隨機(jī)變量?；驀?yán)格控制的變量，也可以是正態(tài)分布的隨機(jī)變量。 2. 意義不同意義不同 應(yīng)用時(shí)應(yīng)注意的問題應(yīng)用時(shí)應(yīng)注意的問題: 1. 相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系 2. 不能只根據(jù)相關(guān)系數(shù)的絕對值大小來推斷有無相關(guān)關(guān)系不能只根據(jù)相關(guān)系數(shù)的絕對值大小來推斷有無相關(guān)關(guān)系及關(guān)系的密切程度及關(guān)系的密切程度,而應(yīng)作假設(shè)檢驗(yàn)而應(yīng)作假設(shè)檢驗(yàn) 3. 回歸方程一般只適用于自變量回歸方程一般只適用于自變量X的實(shí)測數(shù)據(jù)的范圍內(nèi)的實(shí)測數(shù)據(jù)的范圍內(nèi),不不能隨意外推能隨意外推. 4. 進(jìn)行相關(guān)回歸分析要具有實(shí)際意義進(jìn)行相關(guān)回歸分析要具有實(shí)際意義. 第四節(jié)第四節(jié) Spearman 等級相關(guān)等級相關(guān) 適用于等級資料等級資料,不服從雙變量正態(tài)分布的資料不服從雙變量正態(tài)分布的資料或總體總體分布類型未知的資料分布類型未知的資料 描述指標(biāo)描述指標(biāo): 等級相關(guān)系數(shù)等級相關(guān)系數(shù) rs)1(6122nndrsrs 的取值范圍的取值范圍, 意義同直線相關(guān)系數(shù)意義同直線相關(guān)系數(shù)