醫(yī)用高等數(shù)學(xué)：1-1-函數(shù)

1、醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第一章函數(shù)函數(shù) 極限極限 研究的主要對(duì)象研究的基礎(chǔ)和方法函數(shù)與極限 函數(shù)是變量之間相互聯(lián)系、相互制約關(guān)系的抽象表示，是事物運(yùn)動(dòng)、變化及相互影響的復(fù)雜關(guān)系在數(shù)量方面的反映；極限刻畫(huà)了變量的變化趨勢(shì)，是研究函數(shù)的重要方法本章內(nèi)容主要包括函數(shù)、極限和函數(shù)的連續(xù)性等基本概念，以及它們的主要性質(zhì)醫(yī)用高等數(shù)學(xué)二、二、初等函數(shù)初等函數(shù) 三、分段函數(shù)三、分段函數(shù) 一、函數(shù)的概念一、函數(shù)的概念第一節(jié) 函數(shù)四、函數(shù)的幾個(gè)簡(jiǎn)單性質(zhì)四、函數(shù)的幾個(gè)簡(jiǎn)單性質(zhì) 醫(yī)用高等數(shù)學(xué)一、函數(shù)的概念一、函數(shù)的概念 變量：變量：在過(guò)程中可取不同數(shù)值的量。在過(guò)程中可取不同數(shù)值的量。 常量：常量：在某過(guò)程中始終保持同一數(shù)值的量。

2、在某過(guò)程中始終保持同一數(shù)值的量。 常用字母常用字母 表示。表示。.,zyx 常用字母常用字母 表示。表示。, , .a b c 例如：例如：人的身高，在研究少兒發(fā)育成長(zhǎng)的過(guò)程中是人的身高，在研究少兒發(fā)育成長(zhǎng)的過(guò)程中是變量，而在研究成人的健康狀況時(shí)通常認(rèn)為是常量變量，而在研究成人的健康狀況時(shí)通常認(rèn)為是常量 注意：注意：一個(gè)量究竟是常量還是變量，不是絕對(duì)的，一個(gè)量究竟是常量還是變量，不是絕對(duì)的，要根據(jù)具體過(guò)程和具體條件來(lái)確定要根據(jù)具體過(guò)程和具體條件來(lái)確定 醫(yī)用高等數(shù)學(xué)函數(shù)概念的歷史函數(shù)概念的歷史最早提出函數(shù) ()function概念的是17世紀(jì)德國(guó)數(shù)學(xué)家 萊布尼茨萊布尼茨:“函數(shù)”一詞表示冪，如

3、23xxx、 、1718年，萊布尼茨的學(xué)生、瑞士數(shù)學(xué)家伯努利伯努利把函數(shù)定義為“由某個(gè)變量及任意的一個(gè)常數(shù)結(jié)合而成的數(shù)量。”伯努利所強(qiáng)調(diào)的是函數(shù)要用公式 醫(yī)用高等數(shù)學(xué)函數(shù)概念的歷史函數(shù)概念的歷史 1755年瑞士數(shù)學(xué)家歐拉歐拉把函數(shù)定義為“如果某些變量，以某一種方式依賴(lài)于另一些變量，即當(dāng)后面這些變量變化時(shí)，前面這些變量也隨著變化，我們把前面的變量稱(chēng)為后面變量的函數(shù)?！薄Ｔ跉W拉的定義中，就不強(qiáng)調(diào)函數(shù)需要用公式表示了。他認(rèn)為“函數(shù)是隨意畫(huà)出的一條曲線(xiàn)”。 醫(yī)用高等數(shù)學(xué)1821年，法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西柯西給出了類(lèi)似現(xiàn)在中學(xué)課本的函數(shù)定義：“在某些變數(shù)間存在者一定的關(guān)系，當(dāng)一經(jīng)給定某一變數(shù)的值，其他變數(shù)的值可

4、隨這而確定時(shí)，則將最初的表示叫自變量，其他各表示叫做函數(shù)?！焙瘮?shù)概念的歷史函數(shù)概念的歷史醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 1834年，俄國(guó)數(shù)學(xué)家羅巴契夫斯基羅巴契夫斯基進(jìn)一步提出函數(shù)的的定義：“ x的函數(shù)是這樣的一個(gè)數(shù)，它對(duì)于每一個(gè) x都有確定的值，并且隨著 x一起變化。函數(shù)可以由解析式給出，也可以由幾個(gè)條件給出，這個(gè)條件提供了一種尋求全部對(duì)應(yīng)值的方法。函數(shù)的這種依賴(lài)關(guān)系可以存在，但仍然是未知的?！?，這個(gè)定義指出了對(duì)應(yīng)關(guān)系（條件）的必這個(gè)定義指出了對(duì)應(yīng)關(guān)系（條件）的必要性要性，利用這個(gè)關(guān)系，可以來(lái)求出每一個(gè) x的對(duì)應(yīng)值。 醫(yī)用高等數(shù)學(xué)1837年，德國(guó)數(shù)學(xué)家狄里克雷狄里克雷認(rèn)為怎樣去建立 x與 y之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系是無(wú)

5、關(guān)緊要的，所以他的定義是：“如果 對(duì)于 x的每一個(gè)值， y總有一個(gè)完全確定的值與之對(duì)應(yīng)，則 y是 x的函數(shù)。”，這個(gè)定義抓住了概念的本質(zhì)屬性，這個(gè)定義抓住了概念的本質(zhì)屬性， 因此，這個(gè)定義曾被比較長(zhǎng)期的使用著。醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 自從德國(guó)數(shù)學(xué)家康托爾康托爾的集合論被大家接受后，用集合對(duì)應(yīng)關(guān)系來(lái)定義函數(shù)概念競(jìng)賽現(xiàn)在課本里用的了。醫(yī)用高等數(shù)學(xué)按照一定的規(guī)律定義域Dxxfy, )(自變量因變量x則稱(chēng) 是 的函數(shù),yx記為DxxfyyW),(因變量與自變量之間的對(duì)應(yīng)規(guī)律稱(chēng)為函數(shù)關(guān)系;所有函數(shù)值的集合稱(chēng)為函數(shù)的值域。與自變量的值相對(duì)應(yīng)的因變量的值稱(chēng)為函數(shù)值;定義定義1-1 設(shè)xy、是同一變化過(guò)程中的兩個(gè)變量，

6、 如果對(duì) 于變量 的每一個(gè)允許的取值， 變量 y總有一個(gè)確定的值與之對(duì)應(yīng)， 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 在實(shí)際問(wèn)題中的定義域是由實(shí)際問(wèn)題的實(shí)際意義決定的。 (2) 定義域：定義域：(3)對(duì)應(yīng)規(guī)律對(duì)應(yīng)規(guī)律的表示方法: 公式法、圖像法、列表法。使表達(dá)式或?qū)嶋H問(wèn)題有意義的自變量集合. (1) 函數(shù)的兩個(gè)要素：函數(shù)的兩個(gè)要素： 定義域和對(duì)應(yīng)規(guī)律.注意：注意：例例11 在出生后16個(gè)月期間內(nèi)，正常嬰兒的體重近似滿(mǎn)足以下關(guān)系式： 30.61,6yxx公式法式法醫(yī)用高等數(shù)學(xué)例例1 12 2監(jiān)護(hù)儀自動(dòng)記錄了某患者一段時(shí)間內(nèi)體溫 T的變化曲線(xiàn)，如下圖（圖像法）所示例例13 某地區(qū)統(tǒng)計(jì)了某年112月中當(dāng)?shù)亓餍行猿鲅獰岬陌l(fā)病率，

7、見(jiàn)表1-1（表格法） tTo370t0()Ttt（月份）123456789101112Y（）16.6 8.3 7.16.57.0 10.02.53.55.7 10.017.17.0醫(yī)用高等數(shù)學(xué)二、函數(shù)的幾種簡(jiǎn)單特性二、函數(shù)的幾種簡(jiǎn)單特性1有界性有界性 設(shè)函數(shù) ( )f x在區(qū)間 ( , )a b內(nèi)有定義，如果存在一個(gè)正數(shù) M，使對(duì)所有的 ( , )xa b，恒有 ( )f xM，則稱(chēng)函數(shù) ( )f x在( , )a b內(nèi)是有界的如果不存在這樣的正數(shù) M，則稱(chēng) ( )f x在( , )a b內(nèi)是無(wú)界的 有界有界M-Myxoy=f(x)bay無(wú)界無(wú)界M-Mxo0 xba醫(yī)用高等數(shù)學(xué)例如：例如： s

8、in x在（一，+）內(nèi)是有界的； 1yx在（1，+）內(nèi)是有界的，但在（o，1）內(nèi)是無(wú)界的2單調(diào)性單調(diào)性設(shè) 12xx、是函數(shù) ( )f x的定義區(qū)間 ( , )a b內(nèi)的任意兩點(diǎn)， 且 12xx若 12( )()f xf x，則稱(chēng) ( )f x在 ( , )a b內(nèi)是單調(diào) 遞增的；若 12( )()f xf x，則稱(chēng) ( )f x在 ( , )a b內(nèi)是單調(diào)遞 減的 ( )yf x1()f x2()f xxyoab( )yf x1( )f x2()f xxyoba增函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)醫(yī)用高等數(shù)學(xué)例如例如： 2x在（一，）內(nèi)是單調(diào)遞增的； 2x在 （，）內(nèi)是單調(diào)遞減的，而在（0，）內(nèi)是單調(diào)遞增

9、的3奇偶性奇偶性如果對(duì)于函數(shù) ( )f x定義域內(nèi)的任意點(diǎn) x，恒有 ()( )fxf x，則稱(chēng) ( )f x是偶函數(shù)；如果對(duì)于函數(shù) ( )f x定義域內(nèi)的任意點(diǎn) x，恒有 ()( )fxf x ，則稱(chēng) ( )f x為 奇函數(shù)偶函數(shù)的圖像是關(guān)于 y軸對(duì)稱(chēng)的，而奇函數(shù)的圖 像是關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的 醫(yī)用高等數(shù)學(xué)yx()fx( )yf xox-x( )f x()fxyx( )f xox-x( )yf x偶函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)例如：例如： 24322cosxxxxx、都是偶函數(shù)；而 3222sinxxxxx、都是奇函數(shù) 醫(yī)用高等數(shù)學(xué)4 4周期性周期性對(duì)于函數(shù) ( )f x，如果存在正的常數(shù) T，使得

10、 ( )()f xf xT恒成立，則稱(chēng) ( )f x為周期函數(shù)，滿(mǎn)足這個(gè)等式的最小正數(shù) T，稱(chēng)為函數(shù)的周期 例如例如： sincosxx、都是周期函數(shù)，周期為 2 ;tancotxx、也都是周期函數(shù)，周期為 .xO2y2周期為 t)(tf22O周期為2醫(yī)用高等數(shù)學(xué)(5). 反函數(shù)反函數(shù)（ inverse function ）Dxxfy, )(的反函數(shù)記成)(,)(1Dfxxfy, 其反函數(shù)(減)(減) .1) yf (x) 單調(diào)遞增,)(1存在xfy且也單調(diào)遞增 性質(zhì): 2) 函數(shù))(xfy 與其反函數(shù))(1xfy的圖形關(guān)于直線(xiàn)xy 對(duì)稱(chēng) .醫(yī)用高等數(shù)學(xué)2) 函數(shù))(xfy 與其反函數(shù))(1x

11、fy的圖形關(guān)于直線(xiàn)xy 對(duì)稱(chēng) .例如 ,),(,exyx對(duì)數(shù)函數(shù)),0(,lnxxy互為反函數(shù) ,它們都單調(diào)遞增, 其圖形關(guān)于直線(xiàn)xy 對(duì)稱(chēng) .指數(shù)函數(shù)xyO)(xfy )(1xfyxy ),(abQ),(baP醫(yī)用高等數(shù)學(xué)反三角函數(shù)講解醫(yī)用高等數(shù)學(xué)三、初等函數(shù)三、初等函數(shù) 1基本初等函數(shù)基本初等函數(shù)（1）常數(shù)函數(shù) yC（C為任意實(shí)數(shù)）， （2）冪函數(shù) ayx（a為任意實(shí)數(shù)）， （3）指數(shù)函數(shù) xya(0,1),aa（4）對(duì)數(shù)函數(shù) log(0,1),ayxaa（5）三角函數(shù) sincostanyxyxyx、cotseccscyxyxyx、， （6）反三角函數(shù) arcsinarccosyxyx、

12、arctancotyxyarcx、等。醫(yī)用高等數(shù)學(xué)三角函數(shù)中常用公式三角函數(shù)中常用公式和差化積公式：sinsin2sincos22sinsin2cossin22coscos2coscos22coscos2sinsin22 醫(yī)用高等數(shù)學(xué)積化和差公式1sincossin()sin()21cossinsin()sin()21coscoscos()cos()21sinsincos()cos()2 注：在后面的極限及微積分計(jì)算中可能會(huì)用到。醫(yī)用高等數(shù)學(xué)2 2、復(fù)合函數(shù)、復(fù)合函數(shù)定義定義1-2設(shè)變量 y是變量 u的函數(shù)，變量 u又是變量x的函數(shù)，即 ( ),( )yf u ux如果變量 x的某些值通過(guò)變量

13、 u可以確定變量 y的值，則稱(chēng) y是 x的復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù) ，記為 ( )yfx變量 u 稱(chēng)為中間變量。復(fù)合函數(shù)的概念可以推廣到由多個(gè)函數(shù)，通過(guò)多個(gè)中間變量傳遞而構(gòu)成的情形。 例例14試通過(guò) lg ,arctan ,1yu uv vx，求 y醫(yī)用高等數(shù)學(xué)關(guān)于 x的復(fù)合函數(shù) 解：解：自變量、中間變量依次代入得lgarctan(1)( 1,)yxx ，例例1 15 5 設(shè) 2( ),f xx( ),1xg xx試求： ( ) ( )f g xf f x、 ( ) ( )g f xg x、。解：解： 2( )()1xf g xx224 ( )()f g xxx，22 ( )1xg f xx1( )1

14、 211xxxg g xxxx，。醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 如果由兩個(gè)函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)的定義域?yàn)榭占?，則此復(fù)合函數(shù)無(wú)意義（或稱(chēng)它們不能復(fù)合）例如例如，由 2arcsin ,2yu ux，復(fù)合而成的函數(shù) 2arcsin(2)yx因 221x，其定義域?yàn)榭占?，即函?shù) 2arcsin(2)yx無(wú)意義 在后面的很多計(jì)算問(wèn)題中，往往需要把復(fù)合函數(shù)的中間變量找出來(lái)，把它“分解”為若干個(gè)基本初等函數(shù)或由它們通過(guò)四則運(yùn)算而得到的簡(jiǎn)單函數(shù)簡(jiǎn)單函數(shù)形式，以便于利用公式進(jìn)行計(jì)算醫(yī)用高等數(shù)學(xué)例例16 將下列復(fù)合函數(shù)“分解”為簡(jiǎn)單函數(shù)： (1)sin();yabxc(2);12kxay 2(3)lg(11 cos).yx解解:

15、(1)sin(),sin ,.yabxcyauubxc(2),12 ,.12vkxaayyuvkxu 2(3)lg(11 cos),lg ,1,yxyuuv 21,cos .vwwx 醫(yī)用高等數(shù)學(xué)練習(xí)練習(xí)將下列復(fù)合函數(shù)分解成基本初等函數(shù)或簡(jiǎn)單函數(shù)221(1)sin1yx22sin(2)ln(tane)xxy醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 解解 (1) 最外層是二次方，即 221(1)sin1yx2yusinuv次外層是正弦，即從外向里第三層是冪函數(shù) 12vw21wx最里層是多項(xiàng)式，即 所以，分解得 1222,sin ,1yu uv vwwx醫(yī)用高等數(shù)學(xué)22sin(2)ln(tane)xxy最外層是對(duì)數(shù)，即 ln

16、 ,yu次外層是正切，即 tanuv 從外向里第三層是指數(shù)函數(shù)，即 ewv 最里層是簡(jiǎn)單函數(shù)，即 22sinwxx 所以，分解得 2ln ,tan ,e ,2sinwyu uv vwxx醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 3 3初等函數(shù)初等函數(shù) 定義定義1-2 由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算以及函數(shù)復(fù)合所得到的僅用一個(gè)解析式表達(dá)的函數(shù)，稱(chēng)為初等函數(shù)初等函數(shù) .初等函數(shù)？ 2lg1xyxtansin(1)xyxxe醫(yī)用高等數(shù)學(xué)四、分段函數(shù)四、分段函數(shù)對(duì)于其定義域內(nèi)自變量 不同的值， 要用兩個(gè)或兩個(gè)以 上解析式表示的函數(shù)稱(chēng)為分段函數(shù)分段函數(shù)。 醫(yī)用高等數(shù)學(xué)例例18222,1,10( )max,01,1xxxxf xx xxxxx 設(shè)求： ( 2)( 0.5)(0)(1.2).ffff、解：解： 2( 2)( 2)4;f ( 0.5)( 0.5)0.5;f (0.5)0.