異面直線所成角練習(xí)

1、1如圖，在正方體 ABCD - A B C D 中，異面直線A1D 與 BC1 所成的角為1111A30°B45°C60°D90°【答案】 D【解析】試題分析：如圖所示，連接B1C，則 B1C A1D，B1C BC1， A1D BC1， A1 D與 BC1 所成的角為90°故選： D考點(diǎn)：異面直線及其所成的角2已知平行六面體ABCD- A1B1C1D1 中，底面 ABCD是邊長為1 的正方形， AA1 2， A1AB A1AD120°，則異面直線AC1 與 A1D 所成角的余弦值（）A6B14C 15D 103755【答案】 B【解析

2、】uuurr uuurr uuurruuuurr r r uuuur r r試題分析：設(shè)向量AB a, ADb, AA1c ， 則 AC1a b c, A1D b c ，uuuuruuuurAC12, A1D7 ，uuuur uuuurcosAC1 , A1Duuuur uuuurAC1A1 Duuuur uuuurAC1 A1 D14。7考點(diǎn)：空間向量的集合運(yùn)算及數(shù)量積運(yùn)算。3正方體 ABCDA1B1C1 D1 中， E, F ,G , H 分別是 AA1 , AB , BB1 , B1C1 的中點(diǎn)，則直線 EF 與 GH 所成的角是（）A30°B45° C60°

3、;D 90°精選文庫【答案】 C【解析】試題分析：由三角形中位線可知EF PA1B,GH PBC1 ，所以異面直線所成角為A1 BC1 ，大小為 60°考點(diǎn)：異面直線所成角4在正方體ABCDA1 B1C1 D1 中， E 是 B1C1 的中點(diǎn)，則異面直線DC1 與 BE 所成角的余弦值為（）A25B 1010D255C555【答案】 B【解析】試題分析： 取 BC 中點(diǎn) F ，連結(jié) FD , FC1 ，則 DC1F 為異面直線所成角，設(shè)邊長為 2，C1 F5, DC18, DF105 cos DC1F5考點(diǎn)：異面直線所成角5 如圖，正四棱柱ABCDA B C D 中（底面是

4、正方形，側(cè)棱垂直于底面），AA3AB ，則異面直線 A B 與 AD 所成角的余弦值為（）D'C'A'B'DCABA、 9B、 4C、 7D、 3105105【答案】 A【解析】試題分析：連結(jié) BC'，異面直線所成角為 A'BC'，設(shè) AB 1, 在 A'BC'中' '''10AC2,ABBCcosA'BC'910考點(diǎn)：異面直線所成角6點(diǎn) P 在正方形 ABCD 所在平面外， PA 平面 ABCD ，PAAB，則PB與 AC所成的角是A 60B 90C 45D 30【答案】

5、A【解析】試題分析：作出空間幾何體如下圖所示：設(shè)正方形的邊長為2 ，2精選文庫所以 PB 與 AC 所成的角就是FEA ，由題意可知：EFAEAF2 ，所以FEA60 考點(diǎn)：異面直線的位置關(guān)系7如圖所示， 在棱長為1 的正方體ABCDA1B1C1 D1 中，M 是棱 CD 的中點(diǎn)，則 A1M與 DC 1 所成角的余弦值為（）221010A.B.C.D.106610【答案】 A【解析】試題分析：以D 為原點(diǎn)，分別以DA , DC , DD1 為 x, y, z 軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系 D -xyz ， 由 棱 長 為 1 ， 則 D (0,0,0),A1(1,0,1), M (0, 1 ,

6、0), C1 (0,1,1), 所 以2uuuur1uuuur0+1-12, 故 cos < A1M , DC1 >=2= -A1M = (- 1, - 1), DC1 = (0,1,1)3，故選 A.2622考點(diǎn)：空間向量所成角的余弦值.8在正方體 ABCD A1 B1C1D1 中， E、F 分別為 AB、BC 中點(diǎn)，則異面直線EF 與AB1 所成角的余弦值為3精選文庫A3B 3C2D 12322【答案】 D【解析】試題分析：聯(lián)結(jié)AC、 B1C則B1 AC即為所成的角。 VB1 AC為等邊三角形，所以 cosB1 ACcos60o12考點(diǎn)：異面直線所成的角9在正方體 ABCD A

7、 B C D 中，點(diǎn) P 在線段 AD 上運(yùn)動，則異面直線CP與 BA 所的 111111角的取值范圍是（）PA.4精選文庫B.C.D.【答案】 D【解析】如圖，連結(jié)CD'，則異面直線CP與 BA'所成的角5精選文庫等于 D'CP，由圖可知，當(dāng)P 點(diǎn)與 A 點(diǎn)重合時，3當(dāng) P 點(diǎn)無限接近D' 點(diǎn)時，趨近于 0. 由于是異面直線，故 0.選 D考點(diǎn)：空間幾何體，異面直線所成角10如圖，正方體ABCDA1 B1C1 D1 ，則下列四個命題： P 在直線 BC1上運(yùn)動時，三棱錐AD1PC 的體積不變； P 在直線 BC1上運(yùn)動時，直線AP與平面 ACD1 所成角的大小

8、不變； P 在直線 BC1上運(yùn)動時，二面角PAD1 C 的大小不變； M 是平面 A1B1C1D1 上到點(diǎn) D 和 C1 距離相等的點(diǎn)，則 M 點(diǎn)的軌跡是過D1 點(diǎn)的直線其中真命題的個數(shù)是A1B2C3D4【答案】 C【解析】試題分析： BC1 平面 AD1， BC1上任意一點(diǎn)到平面 AD1C的距離相等，所以體積不變，正確 P在直線 BC1上運(yùn)動時，直線 AB與平面 AD1C所成角和直線 AC1與平面 AD1C所成角不相等，所以不正確 當(dāng) P在直線BC1上運(yùn)動時， AP的軌跡是平面 PAD1，即二面角 P AD1 C的大小不受影響，所以正確 M 是平面 A1B1C1D1上到點(diǎn) D和 C1距離相等

9、的點(diǎn)， M 點(diǎn)的軌跡是一條與直線 DC1平行的直線，而 DD1 D1C1，所以正確, 故答案為：C .考點(diǎn)：異 面直線及其所成的角；棱柱、棱錐、棱臺的體積；與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題 .11如圖，正方體 ABCD-AB C D 中， AB的中點(diǎn)為M， DD的中點(diǎn)為 N，則異面直線B M與111111CN所成的角是（）A.0B.45 C.60D.906精選文庫【答案】 D【解析】試題分析：解：取AA1的中點(diǎn) E，連接 EN ， BE交 B1M 于點(diǎn) O，則 EN/BC，且 ENBC四邊形 BCNE 是平行四邊形BE / CNBOM 就是異面直線B1M 與 CN 所成的角，而 Rt BB1 M

10、Rt ABEABEBB1 M ，BMB1AEB，BOM900 故選 D考點(diǎn)：異面直線所成角12如圖 , 直四棱柱 ABCD -A1B1C1 D1 的底面是邊長為1 的正方形 , 側(cè)棱長 AA1=2 , 則異面直線 A1B1 與 BD1 的夾角大小等于7精選文庫【答案】 60°【解析】試題分析：由直四棱柱 ABCD -A1B1C1 D1 的底面是邊長為1 的正方形 , 側(cè)棱長 AA1 = 2可得 BD1 2,由 AB PA1B1知ABD 1就是異面直線 A1B1與BD1的夾角,且cos ABD 1AB1, 所以ABD1 =60 ° , 即異面直線 A1B1 與 BD1 的夾角

11、大小等于BD1260°考點(diǎn)： 1 正四棱柱； 2 異面直線所成角13如果直線 AB 與平面相交于 B，且與內(nèi)過點(diǎn) B 的三條直線 BC，BD，BE所成的角相同，則直線AB與 CD所成的角 =_.【答案】 90 0【解析】試題分析：因?yàn)?，直線 AB 與平面相交于B，且與內(nèi)過點(diǎn) B 的三條直線BC, BD , BE 所成的角相同，所以，直線AB 在平面內(nèi)的射影應(yīng)是BC, BD 夾角的平分線，同時也應(yīng)是BD , BE 夾角及 BC, BE 的平分線，因此，直線AB 在平面內(nèi)的射影是點(diǎn) B ，即 AB，而 CD，所以 AB CD ，直線 AB 與 CD 所成的角為 900考點(diǎn)：直線與直線、直

12、線與平面的位置關(guān)系.14平行六面體 ABCD A B C D 中，以頂點(diǎn) A 為端點(diǎn)的三條棱長度都為2，且兩兩夾角為111160°，則 DB1 和 C1 A1 所成角大小為 _.【答案】 arccos66【解析】試題分析：由于DB1AB AA1AD, A1C1AB AD， 而DB1 C1 A12 ABAA1 AD (ABAD) ABABADAA1 AB AA1AD AD AB24AD，同理求8精選文庫22222DB1AB1AA1ADAB1AA1AD2 AB1 AA12AB1AD2 AA1 ADuuuur=8, DB12 2 ，同理： C1A12 3，設(shè) DB1和 C1A1 所成角大小

13、為， 則coscosDB1 ,C1 A1DB1C1 A146，arccos 6.DB1 C1 A1222366考點(diǎn)： 1. 向量的加法和減法；2. 向量的數(shù)量積；3. 向量的模； 4.異面直線所成的角；15已知四面體 ABCD 中， DADBDC3 2 ，且 DA , DB, DC 兩兩互相垂直，點(diǎn) O 是ABC 的中心，將DAO 繞直線 DO 旋轉(zhuǎn)一周，則在旋轉(zhuǎn)過程中，直線DA 與直線 BC 所成角的余弦值的最大值是_6【答案】.3【解析】試題分析：當(dāng)OA/ BC 時，直線 DA 與直線 BC 所成角最小，對應(yīng)的余弦值最大，即cos OAD ；易知： ABAC BC 6,OA 63OA2 3

14、62 3 , cos OADDA3 2.33考點(diǎn)：異面直線所成的角.16如圖所示，ABCDA1 B1C1 D1 為正方體，給出以下五個結(jié)論： BD / 平面 CB1D1 ； AC1平面 CB1D1 ； AC1與底面 ABCD 所成角的正切值是2 ；二面角 C B1 D1 C1 的正切值是2 ；9精選文庫過點(diǎn) A1 且與異面直線AD 和 CB1 均成 70°角的直線有2 條其中，所有正確結(jié)論的序號為_【答案】【解析】試題分析：如下圖，正方體ABCD A1B1C1D1中，由于 BDB D ，由直線和平面平行的判定定理可得BD平面 CBD ，故正確1111由正方體的性質(zhì)可得 B DA C，

15、CCB D，故 B D平面 ACC A，故 B DAC11111111111111同理可得 B 1C AC1再根據(jù)直線和平面垂直的判定定理可得，AC1平面 CB1D1 ，故正確AC1 與底面 ABCD所成角的正切值為CC112，故不正確AC22取 BD 的中點(diǎn)M，則 CMC 即為二面角C B D C 的平面角， Rt CMC中， tan 1111111CMC=CC112 ，故正確1C1M22如下圖，由于異面直線AD與 CB1 成 45°的二面角，過A1 作 MN AD、PQ CB1，設(shè) MN與PQ確定平面， PA1M=45°，過A1 在面 上方作射線A1H，則滿足與MN、

16、PQ 成 70°的射線A1H 有 4 條：滿足 MA1H= PA1H=70°的有一條，滿足 PA1H= NA1H=70°的有一條，滿足 NA1 H= QA1H=70°的有一條，滿足 QA1H= MA1H=70°的有一條故滿足與 MN、PQ 成 70°的直線有 4 條，故過點(diǎn) A1 與異面直線 AD與 CB1 成 70°角的直線有 4 條，故不正確故答案為考點(diǎn)：二面角的定義及求法；直線和平面平行的判定；直線和平面垂直的判定；異面直線的判定 .17如圖， 正方體 ABCDA1B1C1D1 中，E，F(xiàn) 分別是正方形ADD1A1 和

17、 ABCD的中心， G是 CC1的中點(diǎn)。設(shè)GF， C1E與 AB所成的分別為,，則10精選文庫【答案】2【解析】試題分析：取正方形B1C1CB的中點(diǎn)為點(diǎn) O，連結(jié) OC1 , OE , 取 BC 的中點(diǎn)為點(diǎn) A ，連結(jié)GH ,FH ，通過分析可知 OC1 / GH , OE / FH得平面 CEO/ 平面GFH ,設(shè)正方形邊長為2，在GFH中， GH2,FH，11GF3，則sin2 , cos1,在C1EO中，33OE2, C!E6, OC12 ，則 sin216,3cos22, 所以。632考點(diǎn)：直線與平面所成角，面面平行問題。18如圖所示，在三棱柱 ABC A1B1C1 中， AA1底面

18、ABC， AB BC AA1， ABC90°，點(diǎn) E、 F 分別是棱 AB、 BB1 的中點(diǎn)，則直線 EF 和 BC1 的夾角是【答案】3【解析】試題分析：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系由于AB=BC=AA，不妨取 AB=2，則 E（ 0，1uuuruuuur1， 0）， F（ 0， 0， 1）， C1（ 2， 0， 2） EF=（ 0， 1， 1）， BC1 =（ 2， 0， 2）uuur uuuurcosEF , BC1uuur uuuurEF BC1uuuruuuur|EF | |BC1|21故28異面直線 EF 和 BC1 的夾角為23答案為:311精選文庫考點(diǎn)：用空間向量求直

19、線間的夾角、距離；異面直線及其所成的角19如圖，在直三棱柱ABCA1 B1C1 中，ACB900 , AA12, ACBC1 ，則異面直線 A1B 與 AC 所成角的余弦值是_6【答案】6【解析】試題分析：由于AC A1C1 ，所以BA1C1 （或其補(bǔ)角）就是所求異面直線所成的角，在 BAC 中，A1B6， AC1 ，BC15，6 1 56 1 11 1cos BAC116162考點(diǎn)：異面直線所成的角20 在正三棱柱 ABCA1B1C1 中，各棱長均相等，BC1與 B1 C 的交點(diǎn)為 D ，則 AD與平面 BB1C1C 所成角的大小是 _【答案】 60o【解析】試題分析：如圖所示取BC中點(diǎn) E

20、，連接 AE， DE，12精選文庫易得 AD 與平面 BB1C1C 所成角為ADE ，設(shè)正三棱柱棱長為2，則等邊三角形ABC，邊上的中線AE3 ， DE1，直角三角形中ADE60o考點(diǎn)：直線與平面所成的角.21如圖，直三棱柱 ABC-A1B1C1 中， AB AC1， AA12， B1A1C190°， D 為 BB1 的中點(diǎn)，則異面直線 C1D與 A1C 所成角的余弦值為 _ 15【答案】15【解析】試題分析：求異面直線所成的角，關(guān)鍵是作出這個角，一般把異面直線的一條平移后與另一條相交，得到要求的角（當(dāng)然異面直線所成的角不大于90 ）本題中我們就可以把C1D 向下平移到過點(diǎn)C （實(shí)際

21、作圖時，是延長B1B 到 E ，使 BE B1D ，則有CE C1 D ，然后在A1CE 中求出A1CE ，就可得出題中要求的角考點(diǎn)：異面直線所成的角22四棱錐 P ABCD的所有側(cè)棱長都為5 ，底面 ABCD是邊長為 2 的正方形，則CD與PA所成角的余弦值為.【答案】55【解析】試題分析：正方形ABCD 中， CD AB， PAB 或其補(bǔ)角就是異面直線CD 與13精選文庫PA 所成的角， PAB中， PA=PB=5 ，AB=2 ， cos PA2AB2PB25455PAB=.2PAAB2525考點(diǎn)： 1. 余弦定理的應(yīng)用； 2.異面直線及其所成的角23如圖所示，正方形ABCD中， E、 F

22、 分別是 AB、 AD的中點(diǎn)，將此正方形沿EF 折成直二面角后，異面直線AF 與 BE所成角的余弦值為.BEAFCD【答案】 12【解析】試題分析：過 F 做 FH / /DC ，過 A 做 AGEF ，連接 GH ，在三角形 AGH 中，AH1023 ，AFH 即為異面直線 AF 與 BE 所成角 .44設(shè)正方形 ABCD 的邊長為2，則在 VAFH 中， AF1，F(xiàn)H2，AH3 ， cosAFH1 ，故答案為 1.22考點(diǎn)：異面直線所成的角的計算ABCDA1B1C1 D1 E為 C1 D1 AE BC【答案】23【解析】如圖，由 AD BCDAE 是異面直線 AE 與 BC 所成角，連結(jié)DE ，則 DE平面 CD1 中D'EC'DE平面 CD1AD DEAD平面