導(dǎo)數(shù)與零點(含答案)名師優(yōu)秀資料

1、導(dǎo)數(shù)與零點考點一。求參數(shù)取值范圍（ 1）設(shè)函數(shù) f (x)x39x26xa ,若方程 f ( x)0 有且僅有一個實根，求a 的取值范圍2解：(1)'2''f( x)3x9x63(x 1)(x 2) ,因為 當 x1時,f(x)當 1x 2 時,f ( x)當 x2 時,0 ;0 ;f'(x)0所以 當 x1 時, f ( x)取極大值f (1)5a ;當 x2 時,f ( x)取極小值f (2)2a ;2故當 f (2)0或 f (1)0 時 ,方程 f ( x)0 僅有一個實根 .解得 a52 或 a.2（ 2）已知函數(shù)f (x)x33ax1，（ a0） f

2、 ( x)在 x1 處取得極值，直線y=m 與yf ( x)的圖象有三個,若不同的交點，求m 的取值范圍。解： f ' ( x)3x23a 3(x2a), 因為 f ( x) 在 x1 處取得極大值，所以f ' ( 1)3 (1)23a0,a1.所以 f ( x)x33x1, f ' ( x)3x23, 由 f ' ( x)0 解得 x11, x21。f ( x) 在 x1 處取得極大值f (1)1 ，在 x1處取得極小值f (1)3 ，又直線 ym 與函數(shù) yf ( x) 的圖象有三個不同點，則m 的范圍是 (3,1)。（ 3）已知函數(shù) f ( x)x2x s

3、in xcosx ，若曲線 yf ( x) 與直線 yb 有兩個不同的交點, 求 b 的取值范圍 .解 : 由 f ( x)x2xsin xcosx , 得 f( x)x(2cos x) ，令 f ( x)0 , 得 x0 .函數(shù) f ( x) 在區(qū)間 (,0) 上單調(diào)遞減 , 在區(qū)間 (0,) 上單調(diào)遞增 ,f (0)1是 f ( x) 的最小值 .當 b1時 ,曲線 yf ( x) 與直線 yb 最多只有一個交點 ;當 b1時 ,yf ( x) 與直線 yb有且只有兩個不同交點. 綜上可知 ,b 的取值范圍是 (1,) .(4 ）已知函數(shù) f ( x)x11若直線 l : ykx1與曲線

4、yf (x) 沒有公共點 , 求 k 的最大值 .ex，解 : fxx11直線 l : ykx1與曲線 yfx沒有公共點 ,等價于關(guān)于 x 的方程 kx1x11在ex ，exR 上沒有實數(shù)解 , 即關(guān)于 x 的方程 :k1 x1x 在 R 上沒有實數(shù)解 .可化為 1e當 k1時 ,方程 (*)0,在 R上沒有實數(shù)解 .ex當 k1時 ,方程 (*)化為k1xex .令 gxxex , 則有 gx1x ex . 令 gx0 , 得 x1 ,1當 x1時 ,gx min1 , 同時當 x 趨于時 ,gx 趨于,從而 gx 的取值范圍為1 ,.ee所以當11,1 時 ,方程 (*) 無實數(shù)解 , 解

5、得 k 的取值范圍是1 e,1 .綜上 , 得 k 的最大值為 1.ke考點二。判斷零點個數(shù)，證明（ 1）已知函數(shù) f (x) ex , x R .證明 :曲線 y = f (x)與曲線 y1 x2x 1有唯一公共點 .2證明： 令 h( x) f (x)1 x 2x 1ex1 x2x1, x R,則22h' (x)ex的導(dǎo)數(shù)h' '( x)ex1,且h(0)，h'(0)，0x 1, h' (x)00 , h''(0)當 x0時 h'' (x)0yh'(x)單調(diào)遞減 ;當x0時 h'' (x)0y

6、h'( x)單調(diào)遞增yh' (x)h'(0)0,所以 yh( x)在 R上單調(diào)遞增，最多有一個零點 x0所以 , 曲線 y=f(x)與曲線 y1 x2x1只有唯一公共點 (0,1).32(2) 已知函數(shù) f (x)x sin x,判斷函數(shù) f(x) 在（ 0， ）內(nèi)的零點個數(shù)，并加以證明。2解： f ( x)xsin x3h( x)f( x)sin xx cos x233當 x 0, 時， f ( x)0yf ( x) 在 (0, 上單調(diào)遞增，f (0) f ( )yf ( x) 在 (0, 2202222上有唯一零點2當 x, 時， h (x)2cos xx sin

7、x0f( x) 當 x, 上單調(diào)遞減，f () f ()0存在2222唯一 x0(,) 使 f ( x0 )0。由得：函數(shù)f ( x) 在 (0,) 內(nèi)有兩個零點。2（ 3）已知函數(shù) f ( x) 4x33tx 2 6t 2 xt1，證明：對任意的t(0,), f ( x) 在區(qū)間 (0,1) 內(nèi)均存在零點解： f( x)12x26tx6t 2 ，令 f ( x)0 ，解得 xt或 xt .2當 t0時， f ( x) 在 0, t內(nèi)的單調(diào)遞減，在t,內(nèi)單調(diào)遞增，以下分兩種情況討論：22（ 1）當 t,1 即 t 2時， f(x) 在（ 0，1）內(nèi)單調(diào)遞減， f (0) t10, f (1)6

8、t 24t36442 30.2所以對任意 t2,),f ( x) 在區(qū)間（ 0， 1）內(nèi)均存在零點。（2）當 0t1,0t2時， f ( x)t內(nèi)單調(diào)遞減，在t ,1內(nèi)單調(diào)遞增，2即在 0,22若 t(0,1, ft7t3t17t 30. ， f (1)6t 24t36t4t32t30.244所以 f ( x)在 t,1內(nèi)存在零點。2若 t(1,2), ft7 t 3t17 t 310. ， f (0)t10 ，所以 f (x)在 0, t內(nèi)存在零點。2442所以，對任意 t(0,), f ( x) 在區(qū)間（ 0， 1）內(nèi)均存在零點。（ 4）已知 a， b 是實數(shù)， 1 和1是函數(shù) f ( x

9、)x3ax2bx 的兩個極值點，設(shè)h( x)f ( f ( x) c ，其中 c 2 ，2 ，求函數(shù) yh(x) 的零點個數(shù)解：由f ( x)x3ax2bx ，得f' ( x)3x22axb ，1 和是函數(shù) f ( x)x3ax2bx 的兩個極值點，1f'(1)32ab=0 ， f' (1) 32ab=0 ，解得 a = 0， b =3 ，則 f ( x) x33x，令 f ( x)=t ，則 h( x)f ( t)c ，先討論關(guān)于x 的方程 f ( x)= d根的情況： d2, 2。當 d=2 時， f ( x)=2 的兩個不同的根為 1和一 2 ， f ( x) 是

10、奇函數(shù)， f ( x)=2 的兩個不同的根為-1 和2。當 d< 2 時， f (1)d =f (2)d =2d > 0， f (1)d=f ( 2)d = 2 d < 0，一 2, 1，1 ，2都不是 f ( x)=d的根。f' ( x)=3 x1x1 ， 當 x2，時， f' ( x) > 0，于是 f ( x) 是單調(diào)增函數(shù)， 從而 f (x) > f (2)=2 ，此時 f ( x)=d在 2，無實根。 當 x1，2時 f' ( x) > 0 ，于是 f ( x) 是單調(diào)增函數(shù)。又f (1)d <0 ， f (2)d &

11、gt; 0 ， y= f ( x)d 的圖象不間斷， f ( x)= d在（1,2）內(nèi)有唯一實根。同理，f ( x)=d 在（一2 ，一 I ）內(nèi)有唯一實根。 當 x1，1 時， f' ( x)< 0 ，于是 f ( x) 是單調(diào)減兩數(shù)。又f ( 1)d > 0 ，f (1) d <0 ， y=f ( x) d 的圖象不間斷，f ( x)=d 在（一1， 1 ）內(nèi)有唯一實根。因此，當 d =2 時， f ( x)= d 有兩個不同的根 x1， x2滿足 x1=1，x2 =2 ；當 d < 2時f ( x)=d 有三個不同的根 x3，x1， x5 ，滿足 xi < 2， i =3, 4,5，現(xiàn)考慮函數(shù)y h(x) 的零點：( i ）當 c =2 時， f ( t)= c 有兩個根 t1， t2 ，滿足 t1=1，t2=2 。而 f ( x)= t1 有三個不同的根，f ( x)= t2有兩個不同的根，故 yh(x) 有 5 個