戴維南定理例題

1、第四章電路定理重點：1疊加定理2、戴維南定理和諾頓定理難點：1熟練地運用疊加定理、戴維南定理和諾頓定理分析計算電路。2、掌握特勒根定理和互易定理，理解這兩個定理在路分析中的意義。4-1疊加定理網(wǎng)絡(luò)圖論與矩陣論、計算方法等構(gòu)成電路的計算機輔助分析的基礎(chǔ)。其中網(wǎng)絡(luò)圖論 主要討論電路分析中的拓撲規(guī)律性，從而便于電路方程的列寫。幾個概念1. 線性電路Lin ear circuit由線性元件和獨立源組成的電路稱為線性電路。2. 激勵與響應(yīng)excitatio n and response在電路中，獨立源為電路的輸入，對電路起著“激勵”的作用，而其他元件的電壓 與電流只是激勵引起的“響應(yīng)”。激勵e響應(yīng)r3.

2、 齊次性和可加性homoge neity property and additivity property“齊次性”又稱“比例性”，即激勵增大 K倍，響應(yīng)也增大 K倍；“可加性”意為激 勵的和產(chǎn)生的響應(yīng)等于激勵分別產(chǎn)生的響應(yīng)的和。“線性”的含義即包含了齊次性和可加性。齊次性:激勵Ke響應(yīng)Kr系統(tǒng) 1可加性:疊加定理1定理內(nèi)容在線性電阻電路中，任一支路電流（電壓）都是電路中各個獨立電源單獨作用時在該支路產(chǎn)生的電流（電壓）之疊加。此處的“線性電阻電路”，可以包含線性電阻、獨立源和線性受控源等元件。2.定理的應(yīng)用方法將電路中的各個獨立源分別單獨列出，此時其他的電源置零一一獨立電壓源用短路線代替，獨立

3、電流源用開路代替一一分別求取出各獨立源單獨作用時產(chǎn)生的電流或電壓。 計算時，電路中的電阻、受控源元件及其聯(lián)接結(jié)構(gòu)不變。關(guān)于定理的說明1. 只適用于線性電路2. 進行疊加時，除去獨立源外的所有元件，包含獨立源的內(nèi)阻都不能改變。3. 疊加時應(yīng)該注意參考方向與疊加時的符號4. 功率的計算不能使用疊加定理例題1. 已知：電路如圖所示6V +求：Ux及兩個獨立源和受控源分別產(chǎn)生的功率。解：根據(jù)疊加定理，電路中電壓源和電流源分別作用時的電路如圖（b）、（ c）所示。圖（b）中，根據(jù)節(jié)點法或直接根據(jù)克?；舴蚨珊蜌W姆定律可得電路方程為：1 11（）U'x 5 -U'x2 42解得：U'

4、;x 4V。圖（c）中，同樣也可根據(jù)節(jié)點法或直接根據(jù)克?；舴蚨珊蜌W姆定律可得電路方程為:U''x6U''x1嚴24解得：U'x1.2V。根據(jù)疊加定理，Ux U'xU''x2.8V對于獨立電壓源：U s 6V，I5Ux 2.852 23.6V因此，獨立電壓源的功率PusUsI6 3.621.6(W)對于獨立電流源：Is 5V，UUx2.8V因此，獨立電流源的功率PisUI s5 2.814(W)一U 2 8對于受控源：| 受 X1.4(A) , U 受 6 Ux 6 2.8 8.8(V)受22因此，受控源的功率 F受U受I受 8.

5、8 1.412.32(W)從這個例題可以看出，使用疊加定理時，當(dāng)幾個獨立源單獨作用時的電路的分析應(yīng)該 靈活地使用我們所學(xué)過的電路分析方法。2.已知：如圖所示的電路中，網(wǎng)絡(luò)N由線性電阻組成，當(dāng)is 1A , Us 2V時,i 5A ；求:解:當(dāng) is 2A ,所求的電壓3usu可以看作是激勵is和u當(dāng) is 2A ,產(chǎn)生的響應(yīng)，利用線性電路的線性性質(zhì),響應(yīng)U與激勵i s和之間為一次線性函數(shù)關(guān)系:kJskzUs根據(jù)已知條件,列寫聯(lián)立方程組,可以解出k,5A24V3k1k1(2A) k21A k2 2V4V13.5, k20.75,由此當(dāng)is 2A , % 6V時,ukNk2us13.5 20.75

6、 631.5(V)4-2替代定理定理內(nèi)容給定任意一個線性電阻電路，其中第k條支路的電壓uk和電流ik已知，那么這條支路就可以用一個具有電壓等于 uk的獨立電壓源，或者一個具有電流等于ik的獨立電流源來代替，替代后的電路中的全部電壓和電流均將保持原值（即電路在改變前后，各支路 電壓和電流均是唯一的）。關(guān)于定理的說明1. 定理中的支路可以含源，也可以不含源，但不含受控源的控制量或受控量;2. 定理可以應(yīng)用于非線性電路；3. 定理的證明略去，但可以根據(jù)“等效”的概念去理解。例題91.已知：如圖所示解：圖（a）中:0.51 U10 211434717圖（b）中:由于對于外電路而言是等效的，因此，被劃開

7、的支路的VCR應(yīng)相同:U I -U 134172這樣，就可以在圖（a）中計算待求量。11外外電電+路路11(b)1+11(c)(d)外+Au(t)u(t)NN加疋11理(b)+外電u(t)+路電 路UocUocis(t)NsNoNsReq1 i(t)1 i(t)1 i(t)Uoc1I1 (1 8)14 A910 2/42494-3戴維南定理和諾頓定理戴維南定理、定理內(nèi)容一個含獨立電源、線性電阻和受控源的一端口，對外電路來說，可以用一個電壓源和電阻串聯(lián)的組合來等效置換，此電壓源的電壓等于一端口的開路電壓，而電阻等于端口的全部獨立源置零后的輸入電阻。、定理的證明替代定理(c)1i°c=O

8、+u(t) = Uoc+ Uno1 i(t)u(t) Uoc Uno (t) UocRq i(t)三、定理的使用1. 將所求支路劃出，余下部分成為一個一端口網(wǎng)絡(luò)；2. 求出一端口網(wǎng)絡(luò)的端口開路電壓；3. 將一端口網(wǎng)絡(luò)中的獨立源置零，求取其入端等效電阻；4. 用實際電壓源模型代替原一端口網(wǎng)絡(luò)，對該簡單電路進行計算，求出待求量。諾頓定理一、定理內(nèi)容一個含獨立電源、線性電阻和受控源的一端口，對外電路來說，可以用一個電流源 和電阻并聯(lián)的組合來等效置換，此電流源的電流等于一端口的短路電流，而電阻等于一 端口的全部獨立源置零后的輸入電阻。 1 1«外廠外Ns電is©Req電1A >

9、;路了 11'路11(b)(c)(d)二、定理的證明 略。三、定理的使用與戴維南定理的用法相同。只是在第2點時變?yōu)榍笕∫欢丝诰W(wǎng)絡(luò)的短路電流。最大功率傳遞定理一、定理內(nèi)容應(yīng)用T-N定理可以推出：由線性單口網(wǎng)絡(luò)傳遞給可變負載的功率為最大的條件是:負載應(yīng)該與戴維南（諾頓）等效電阻相等。設(shè)Rl為變量，在任意瞬間，其獲得的功率為:p i2%(Uoc(廠R.這樣，原電路問題變?yōu)椋阂?Rl為函數(shù)，p為變量，求取在變量 Rl為何值時，其功 率p為最值。因為U oc ( RoRl )(RoRl)30時,dp U(Ro Rl)2 2(Ro Rl)RldRL(Ro Rl)4RL Rod2pdR；22ocRl

10、Ro8 Rj因此，Rl Ro即為使功率為最大值時的條件。二、說明1. 該定理應(yīng)用于電源（或信號）的內(nèi)阻一定，而負載變化的情況。如果負載電阻 一定，而內(nèi)阻可變的話，應(yīng)該是內(nèi)阻越小，負載獲得的功率越大，當(dāng)內(nèi)阻為零時，負載 獲得的功率最大。2. 線性一端口網(wǎng)絡(luò)獲得最大功率時，功率的傳遞效率未必為 50%。（即由等效電阻 Ro算得的功率并不等于網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部消耗的功率）關(guān)于這兩個定理的說明1. 十分重要，常常用以簡化一個復(fù)雜電路中不需要進行研究的有源部分，即將一 個復(fù)雜電路中不需要進行研究的有源二端網(wǎng)絡(luò)用戴維南或諾頓等效來代替，以利于其余 部分的分析計算。2. 如果外部電路為非線性電路，定理仍然適用。3.

11、并非任何線性含源一端口網(wǎng)絡(luò)都有戴維南或諾頓等效電路。如果一個單口網(wǎng)絡(luò) 只能等效為一個理想電壓源，那么它就不具有諾頓等效電路；相同的，如果一個單口網(wǎng) 絡(luò)只能等效為一個理想電流源，那么它就不具有戴維南等效電路。具體的說明可以參看 有關(guān)參考文獻或資料。（問題：何時會出現(xiàn)這種情況，可否舉出相應(yīng)的例子）4. 當(dāng)電路中存在受控源時使用這兩個定理要十分小心。外電路不能含有控制量在 一端口網(wǎng)絡(luò)Ns之中的受控源，但是控制量可以為端口電壓或電流。因為在等效過程中, 受控量所在的支路已經(jīng)被消除，在計算外電路的電流電壓時就無法考慮這一受控源的作 用了。例題戴維南定理1 已知：電路如圖所示(b)(c)求：負載上的電流I

12、。解：實際上這是我們在電子測量中常常遇到的“電橋”電路?？梢苑治龀觯绻们懊娴摹爸贩ā?、“回路法”或“節(jié)點法”計算負載電阻上流過的電流，都比較麻煩。而且這類問題只關(guān)系某一條支路的響應(yīng)，用前面的方法必然引入多余的電量。1.將負載電阻劃出電路如圖（b）所示2.求一端口網(wǎng)絡(luò)的開路電壓 節(jié)點法來解決）（這一部分可能會遇到復(fù)雜電路，就可以用網(wǎng)孔法或UocU abU acU cbUsUssRlsR3RiR2R3R4UR1R4R2 R3s(RiR2XR3R4)3. 將一端口網(wǎng)絡(luò)內(nèi)的獨立電源置零，求其入端等效電阻 置零后，一端口網(wǎng)絡(luò)的電路如圖（ c）所示，。因此ReqRl / R2R3 / R4R1R2(

13、R3R4)R3R4(R1R2)(R RJR R4)4. 對于負載電阻而言，原電路等效為Ri R4R2 R3Uoc(R1R2 ) R3 R4( R314 ) Ri R2(R1R2)RR4)Rl、諾頓定理1 .已知：電路如圖所示2k(a)求：I。解：1將待求支路從原電路中劃開，如圖（a）2 求 Ro將電路中的電源置零一一電壓源用短路線代替，電流源用開路代替， 如圖（b）所示:Ro 2.25 1/3 3k3求 Isc將它等效為圖（d）+圖（e）：在圖（d）中,應(yīng)用疊加定理。求取短路電流的電路如圖（c）所示。sc123 2.25/1I''sc2 mA11mA12.25在圖（e）中，所求

14、支路為短路線，所以所以：Isc I'sc I''sc2 1 1mA。4. 原電路等效為：(f)可以計算得出:3 25 電路如圖，用戴維南定理求I及U0.6 mA解:1 111 1 11+U(1) 將所求支路劃出(2) 求 Uoc11IX 10“因為 XIx，所以 Ix 2A。而 Ucd 5Ix 10 20V15(3) 求 Req11111Ix10使用節(jié)點法：(15 1評1 15，解得u122VU15Ix10sc22 2A，1120210(4)戴維南等效對于非線性電阻而言，其外電路的戴維南等效如圖。這樣聯(lián)立非線性元件的伏安關(guān)系及外電路提供給非線性電阻的伏安關(guān)系，有以下方1

15、A而U 10V。20I10 104-4 特勒根定理特勒根定理（Tellegen ' s theorem是在克希霍夫定律的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的網(wǎng)絡(luò)定理。它與網(wǎng)絡(luò)元件的特性無關(guān)，對非線性參數(shù)以及時變參數(shù)的網(wǎng)絡(luò)都適用。特勒根功率定理一、內(nèi)容在一個具有 n 個節(jié)點、 b 條支路的網(wǎng)絡(luò) N 中，假設(shè)各個支路的電壓與支路電流分別 為（ui, U2, ，Ub）和（h, i2, ，ib），它們?nèi)￡P(guān)聯(lián)參考方向，則對任意時間t，有bu ki k 0k1二、定理的證明本教材中給出了一個實際的例子進行說明,有助于大家理解。 證明的依據(jù)是克?；舴蚨?以及電路的節(jié)點電壓與各個支路電壓的關(guān)系。具體的 嚴格證明過程同學(xué)

16、們可以參見相關(guān)參考文獻。三、意義在任意網(wǎng)絡(luò)N中，在任意瞬時t，各個支路吸收的功率的代數(shù)和恒等于零。也就是說，該定理實質(zhì)上是功率守恒的具體體現(xiàn)。特勒根擬功率定理一、內(nèi)容兩個具有n個節(jié)點、b條支路的網(wǎng)絡(luò)N，它們由不同的元件組成， 但它們的拓撲結(jié)構(gòu) 完全相同。假設(shè)兩個網(wǎng)絡(luò)中對應(yīng)的各個支路的電壓與電流取關(guān)聯(lián)參考方向,分別為（ui，U2，山）、，i2，ib）和（U?，i?2，U）、（i?，i?，i?），則對任意時間 t，有bbu?kik 0，uki?k 0k ik i這個和式中的每一項，都僅僅是一個數(shù)學(xué)量，沒有實際物理意義，定義它為“擬功 率”。三、定理的證明類似于前面的證明方法。四、意義有向圖相同的任

17、意兩個網(wǎng)絡(luò)N和N?在任意瞬時t，任意網(wǎng)絡(luò)的支路電壓與另一個網(wǎng)絡(luò)的支路電流的乘積的代數(shù)和恒等于零。該定理實質(zhì)上是擬功率守恒的具體體現(xiàn)。而實際上，該定理并不一定要求式中的量為實際網(wǎng)絡(luò)中的電壓電流，只要它們滿足克?；舴蚨?。網(wǎng)絡(luò)中的平均功率和無功功率的守恒）（該定理可以應(yīng)用證明正弦交流五、例題1.已知：電路如圖所示，當(dāng) R22, Ui6V 時，測得 Ii 2A , U210V時，測得I? 3A ,2V求: U?1112+U1 rb網(wǎng)絡(luò)NU2 1R2解：設(shè)網(wǎng)絡(luò)N中含有b條支路，由特勒根似功率定理:bUi? U2?2UkPk 0k 1bU1I1 2I2iKlk 0k 1bUkl?k 1bU?kIkk 1

18、這樣就有：U1I? U2I?1I1&2I2由于網(wǎng)絡(luò)N中得結(jié)構(gòu)與參數(shù)均不會變化，因此所以:l?2 4V4-5 互易定理（RECIPROCITY THEOREM該定理僅針對線性網(wǎng)絡(luò)?；ヒ锥ɡ?Reciprocity theorem )可以直接由特勒根定理推導(dǎo)出來。同樣，它與網(wǎng)絡(luò) 元件的特性也無關(guān)，定理的形式一N1UsiQ-2'i2 U?i2定理的形式二u?iisi'2'U2定理的形式三U?ii'i?2'定理的證明思路及有關(guān)說明、證明思路略去，希望同學(xué)們自學(xué)，有興趣的同學(xué)還可以進一步研究。二、說明該定理實質(zhì)上是表征了線性網(wǎng)絡(luò)的特性。在下冊的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)和二端口網(wǎng)絡(luò) 章節(jié)中，我們可以直接看到它的意義。例題1.已知：R440S且22'端短接時,U30.2Us當(dāng)在11端加電壓源Us,當(dāng)在22'端加電壓源Us,求：R且11'端短接時,U?10.1Us ,U3 0.5Us所以：1£U 3R4RRU3R420U?22.已知：當(dāng)53V ,r220, R35 時，J 1.2