6-2 一階微分方程ppt課件

1、6.2 一階微分方程一階微分方程一、一、可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程。二、二、一階線性微分方程一階線性微分方程。一般形式F(x, y, y)=01;.一、可分離變量的微分方程一、可分離變量的微分方程則稱此方程為可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程。2.可分離變量的微分方程求解步驟：可分離變量的微分方程求解步驟：(3)求通解 G(y) = F(x) + C(1)分離變量dxxfygdy)()(2)兩邊積分dxxfygdy)()(1.定義定義),()(ygxfdxdy如一階微分方程可寫成2;.例1 求微分方程 xdx + ydy = 0的通解。 解：分離變量得 ydy = - xd

2、x兩邊積分 dxxydy)(求通解 2211122yxC 故所求通解為221(2)xyC CC即2212xyC3;.2dd的通解求微分方程xyxy，兩端同時積分xxyyd2d ，即，得2112eee| |ln 12xCCxyCxy，或記作21ee xCy.e ,e21xCCyC則有若記例2，原方程分離變量得xxyyd2d 解4;. 例例3 求方程求方程 滿足初始條件滿足初始條件 的特解的特解 yxy1001xy解解 原方程可改寫為 分離變量，得 兩邊積分，得 化簡，得 令 于是 這就是所求的微分方程的通解。 把初始條件 代入上式，求得C=11，于是所求微分方程的特解為 。yxdxdy1010d

3、xdyxy1010dxdyxy1010cxy10ln11010ln11010ln10101cyx10ln1cccyx101001xy111010yx5;. 6-2 微分方程應用（1）增長與衰減增長與衰減用分離變量法解實際中經(jīng)常出現(xiàn)的方程分離變量，得 兩邊積分，得 即 其中，于是系數(shù)A為正值，所以 所以，微分方程 總是聯(lián)系于指數(shù)增長 或指數(shù)衰減 。kydxdykdxydykdxydyckxylnkxckxckxAeeeeykxkxBeAeykydxdy)0(k)0( k6;. 6-2 微分方程應用（1）例例6 當一次謀殺發(fā)生后，尸體溫度從原來的370C，按照牛頓冷卻定律（一塊熱的物體其溫度下降的

4、速度是與其自身溫度同外界溫度的差值成正比的關(guān)系），開始變涼，假設(shè)兩小時后尸體溫度變?yōu)?50C，并且假定周圍空氣的溫度保持200C不變（1）求出自打謀殺發(fā)生后尸體溫度是如何作為時間的函數(shù)而變化的；（2）畫出溫度時間曲線；（3）最終尸體的溫度將如何？用圖像和代數(shù)兩種方式表示出最終結(jié)果；（4）如果尸體被發(fā)現(xiàn)時的溫度為300C ，時間為下午4點整，那么謀殺時何時發(fā)生的？7;.解解 （1）按冷卻定律建立方程 溫度變化率=a溫度差=a(H-20), 其中a為比例常數(shù)，H 為尸體溫度 于是 考慮a的正負號，如果溫度差是正的（即H20）、則是H下降的，所以溫度的變化率就應是負的，因此a 應為負的，于是 分離變量求解，得代入初始值（t=0時，H=37）求B，于是 為了求K的值，我們根據(jù)兩小時后尸體溫度為350C這一事實，有化簡，取對數(shù)得 ， 于是溫度函數(shù)為)20(HkdtdH)20(HadtdH0kktBeH 20BBek0*2037kteH1720ke2172035)ln(1715ln2ke063. 0kteH063. 017208;. （2）作草圖如下：（3）“最終趨勢”指 ,取極限（4）求多長時間尸體溫度達到300C，即 令H=30，代入得 ， 兩邊取自然對數(shù)得 即t8.4 （小時） 于是，謀殺一定發(fā)生在下午4點這一尸體被發(fā)現(xiàn)時的前8.4小時（即8小時24