全等三角形壓軸題分類解析

1、三角形全等綜合題歸類 一、 雙等邊三角形模型 1. (1)如圖 1,點(diǎn) 0 是線段 AD 的中點(diǎn)，分別以 A0 和 DO 為邊在線段 AD 的同側(cè)作等邊三角形 OAB 和等邊三角形 OCD 連結(jié) AC 和 BD,相交于點(diǎn) E,連結(jié) BC.求/ AEB 的大??； (2)如圖 2, OAB 固定不動(dòng)， 求/ AEB 的大小. 如圖 a, ABC 和厶 CEF 是兩個(gè)大小不等的等邊三角形，且有一個(gè)公共頂點(diǎn) 線段 AF 和 BE 有怎樣的大小關(guān)系？請證明你的結(jié)論； 將圖 a 中的 CEF 繞點(diǎn) C 旋轉(zhuǎn)一定的角度，得到圖 b, 中的結(jié)論還成立嗎？作出判斷并說明理由； 若將圖 a 中的 ABC 繞點(diǎn) C

2、 旋轉(zhuǎn)一定的角度，請你畫出一個(gè)變換后的圖形 c(草圖即可),(1)中的結(jié)論還成 1,若厶ABC和厶ADE為等邊三角形，M,N分別為EB,CD的中點(diǎn) ADE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖 2 的位置時(shí)，CD=BE是否成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由； ADE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖 3 的位置時(shí)， AMN是否還是等邊三角形？若是，請給出證明，若不是，請說明2、 C,連接立嗎？作出判斷不必說明理3.如圖 ( (2)4 理由. 4、已知，如圖所示，在 ABC和厶ADE中，AB二AC , AD二AE , BAC二.DAE，且點(diǎn)B, A, D在 一條直線上，連接BE, CD, M , N分別為BE, CD的中點(diǎn). (1

3、) 求證： BE =CD : AM = AN ； (2) 在圖的基礎(chǔ)上，將 ADE繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)180，其他條件不變，得到圖所示的圖形請直接 寫出(1)中的兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立 5.如圖，四邊形 ABCD 和四邊形 AEFG 勻?yàn)檎叫危B接 BG 與 DE 相交于點(diǎn) H. (1) 證明： ABG = ADE ; (2) 試猜想 BHD 的度數(shù)，并說明理由； 3)將圖中正方形 ABCD 繞點(diǎn) A 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)(0 v BAE v 180 )，設(shè) ABE 的面積 為S , ADG 的面積為S2，判斷Si與S2的大小關(guān)系，并給予證明. 6.已知：如圖， ABC是等邊三角形，過AB邊上的點(diǎn)D作

4、DG / BC ,交AC于點(diǎn)G，在GD的延長線上取 點(diǎn) E ,使 DE 二 DB，連接 AE, CD . (1) 求證： AGE = DAC ； (2) 過點(diǎn)E作EF / DC，交BC于點(diǎn)F，請你連接AF ,并判斷 AEF是怎樣的三角形，試證明你的結(jié)論. D A 圖 D G H F E C B 垂直模型（該模型在基礎(chǔ)題和綜合題中均為重點(diǎn)考察內(nèi)容） 考點(diǎn) 1:利用垂直證明角相等 1、如圖， ABC 中，/ ACB= 90, AC= BQ AE 是 BC 邊上的中線，過 CF 的延長線于 D. 求證：（1） AE= CD （2）若 AC= 12 cm,求 BD 的長. C 作 CF 丄 AE,垂足

5、為 F,過 B 作 BD 丄 BC 交 2、如圖， 已知 ABC 中，/ BAC=900, AB=AC, AE 是過 A 的一條直線 CE丄 AE 于 E。 且 B C 在 A E 的異側(cè),BD 丄 AE 于 D, （1） 試說明：BD=DE+CE. （2） 若直線 AE 繞 A 點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖（2）位置時(shí)（BDCE）, 其余條件不變，問 BD 與 DE CE 的關(guān)系如何？說明理由。 其余條件不變，問 BD 與 DE CE 的關(guān)系如何？說明理由。 3.直線 CD 經(jīng)過乂BCA的頂點(diǎn) C, CA=CB E、F 分別是直線 CD 上兩點(diǎn)，且N BEC = 乂 CFA a . （1）若直線 CD 經(jīng)過

6、BCA的內(nèi)部，且 E、F 在射線 CD 上，請解決下面兩個(gè)問題： _ 如圖 1，若NBCA=90,m=90，則 EF BE-AF （填 “ ”，“ 蘭”或“=”號(hào)）； _ 如圖 2，若0. BCA : 180 ，若使中的結(jié)論仍然成立，則與 BCA應(yīng)滿足的關(guān)系 _ （2）如圖 3,若直線 CD 經(jīng)過 BCA的外部，._、： BCA，請?zhí)骄?EF、與 BE AF 三條線段的數(shù)量關(guān)系，并給 予證明. 圖 1 圖 2 圖 3 考點(diǎn) 2:利用角相等證明垂直 1、 如圖，在等腰 Rt ABC 中，/ ACB=90 , D 為 BC 的中點(diǎn)，DEL AB,垂足為 E,過點(diǎn) B 作 BF/ AC 交 DE 的

7、延長 線于點(diǎn)F,連接 CF. (1)求證：CD=BF (2)求證：ADL CF; (3)連接 AF,試判斷 ACF 的形狀. 2、如圖 9 所示， ABC 是等腰直角三角形， / ACB= 90, AD 是 BC 邊上的中線，過 C 作 AD 的垂線，交 AB 于點(diǎn) E, 交AD 于點(diǎn) F,求證：/ ADC=Z BDE 3.如圖 1,已知正方形ABCD的邊CD在正方形DEFG的邊DE上，連接AE , GC . (1) 試猜想AE與GC有怎樣的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論； (2) 將正方形DEFG繞點(diǎn)D按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使 E點(diǎn)落在BC邊上，如圖 2，連接AE和GC .你認(rèn)為(1) 中的結(jié)論是否還

8、成立？若成立，給出證明；若不成立，請說明理由 4.如圖 1, ABC的邊 BC 在直線I上，AC - BC,且AC二BC, .)EFP的邊FP也在直線l上，邊EF與邊AC 重合，且EF二FPI AB與AP所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系； EP交AC于點(diǎn)Q,連接AP,BQ .猜想并寫出BQ與Ap所滿 EP的延長線交AC的延長線于點(diǎn) Q,連結(jié)AP，BQ ,你認(rèn)為（2） 中所猜想的BQ與AP的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系和位置關(guān)系還成立嗎？若成立，給出證明；若不成立，請說明理由 三、等腰三角形（中考重難點(diǎn)之一） 考點(diǎn) 1:等腰三角形性質(zhì)的應(yīng)用 證：BE =AF , AE =CF 2. 兩個(gè)全等的含30 , 60角

9、的三角板ADE和三角板ABC，如圖所示放置，E,AC三點(diǎn)在一條直線上，連結(jié)BD , 取BD的中點(diǎn)M ,連結(jié)ME,MC .試判斷EMC 的形狀，并說明理由. （1） 在圖 1 中，請你通過觀察、測量，猜想并寫出 （2） 將 EFP沿直線I向左平移到圖 2 的位置時(shí), 足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，請證明你的猜想； 1. 如圖，ABC 中，AB =AC , BAC =90 ，D 是 BC 中點(diǎn), ED_FD，ED與AB交于E，F(xiàn)D與 AC 交于F 求 I 3、已知 Rt ABC 中，AC =BC，/C =90 , D為AB邊的中點(diǎn)， EDF =90 , - EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊 分別交 AC、CB

10、 (或它們的延長線)于 E、F 當(dāng)NEDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到 DE 丄 AC 于E時(shí)(如圖 1)，易證 證明；若不成立，SDEF，S.CEF , SABC又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，并證明. 4、已知：如圖， ABC 中，/ ABC=45 , CD 丄 AB 于 D, BE 平分/ ABC,且 BEX AC 于 E,與 CD 相交于點(diǎn) F, H 是 1 BC 邊的中點(diǎn)，連結(jié) DH 與 BE 相交于點(diǎn) G。(1) BF=AC (2) CE=BF (3)CE 與 BC 的大小關(guān)系如何。 2 考點(diǎn) 2 :等腰直角三角形(45 度的聯(lián)想) 1、如圖 1,四邊形 ABCD 是正方形，M 是 AB 延長

11、線上一點(diǎn)。直角三角尺的一條直角邊經(jīng)過點(diǎn) 在 AB 邊上滑動(dòng)(點(diǎn) E 不與點(diǎn) A, B 重合)，另一條直角邊與/ CBM 的平分線 BF 相交于點(diǎn) F. 如圖 141,當(dāng)點(diǎn) E 在AB 邊的中點(diǎn)位置時(shí)： 通過測量 DE, EF 的長度，猜想 DE 與 EF 滿足的數(shù)量關(guān)系是 _ ; 連接點(diǎn) E 與 AD 邊的中點(diǎn) N,猜想 NE 與 BF 滿足的數(shù)量關(guān)系是 _ ; 請證明你的上述兩猜想 如圖 142 ,當(dāng)點(diǎn) E 在 AB 邊上的任意位置時(shí)，請你在 AD 邊上找 到一點(diǎn)N,使得 NE=BF,進(jìn)而猜想此時(shí) DE 與 EF 有怎樣的數(shù)量關(guān)系并 證明 2. 在 RtA ABC 中，AC= BC,/ AC

12、B= 90 D 是 AC 的中點(diǎn)，DGX AC 交 AB 于點(diǎn) G. (1)如圖 1, E 為線段 DC 上任意一點(diǎn)，點(diǎn) F 在線段 DG 上，且 DE=DF,連結(jié) EF 與 CF,過點(diǎn) F 作 FH 丄 FC,交直線當(dāng).EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到DE和 AC 不垂直時(shí)，在圖 2 和圖 3 這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立 ?若成立，請給予 D,且直角頂點(diǎn) E 圖 1 圖 2 F 014-1 AB 于點(diǎn) H. 求證：DG=DC 判斷 FH 與 FC 的數(shù)量關(guān)系并加以證明. (2)若 E 為線段 DC 的延長線上任意一點(diǎn)，點(diǎn) F 在射線 DG 上，(1)中的其他條件不變，借助圖 2 畫出圖形。在你 所畫圖

13、形中找出一對全等三角形，并判斷你在 (1)中得出的結(jié)論是否發(fā)生改變.(本小題直接寫出結(jié)論，不必證明) 3、已知： ABC 為等邊三角形，M 是 BC 延長線上一點(diǎn)，直角三角尺的一條直角邊經(jīng)過點(diǎn) A,且 60o 角的頂點(diǎn) E 在 BC 上滑動(dòng)，(點(diǎn) E 不與點(diǎn) B、C 重合)，斜邊與/ ACM的平分線 CF 交于點(diǎn) F (1)如圖(1)當(dāng)點(diǎn) E 在 BC 邊得中點(diǎn)位置時(shí) 猜想 AE 與 EF 滿足的數(shù)量關(guān)系是 連結(jié)點(diǎn) E 與AE邊得中點(diǎn)N,猜想EE和CF滿足的數(shù)量關(guān)系是 請證明你的上述猜想； (2)如圖(2)當(dāng)點(diǎn)E在EC邊得任意位置時(shí)，AE和 EF 有 怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明你的理由？ 四、角平

14、分線問題 1. 如圖：E 在線段 CD 上，EA、EB 分別平分/ DAB 和/ CBA, / AEB=90，設(shè) AD= x, 2 2 BC= y，且 x，y滿足 x y -6x-8y 25 = 0 (1)求 AD 和 BC 的長；(2)你認(rèn)為 AD 和 BC 還有什么關(guān)系？并驗(yàn)證你的結(jié)論； (3) 你能求出 AB 的長度嗎？若能，請寫出推理過程；若不能，請說明理由 2. 如圖，OP 是/ MON 的平分線，請你利用該圖形畫一對以 OP 所在直線為對稱軸的全等三角形。請你參考這 個(gè)作全等三角形的方法，解答下列問題： (1) 如圖，在 ABC 中，/ ACB 是直角，/ B=60, AD、CE

15、分別是/ BAC/ BCA 的平分線，AD、CE 相交于 點(diǎn) F。請你判斷并寫出 FE 與 FD 之間的數(shù)量關(guān)系； (2) 如圖，在 ABC 中，如果/ ACB 不是直角，而(1)中的其它條件不變，請問，你在 (1)中所得結(jié)論是否仍然成 4. 如圖， ABC 中，AD 平分/ BAC, DG 丄 BC 且平分 BC, DE 丄 AB 于 E, DF 丄 AC 于 F. (1)說明 BE=CF 的理由；(2)如果 AB=a , AC=b，求 AE、BE 的長. 五、中點(diǎn)問題立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由。 3如圖，在四邊形 ABCD 中, 等于多少？ 1 AE =(AB +AD) AC

16、 平分.BAD，過 C 作 CE _ AB于 E，并且 2 F 1.在厶 ABC 中，D為BC的中點(diǎn)， 過D點(diǎn)的直線GF交AC于F,交AC的平行線 A 3、已知：如圖，矩形ABCD中點(diǎn)G為BC延長線上一點(diǎn)，連接 DG, BH DG 于 H ，且 BG于點(diǎn)G。 DE _ GF ,并交AB于點(diǎn)E .連結(jié)EG . (1) 求證：BG =CF ; (2) 請猜想BE CF與EF的大小關(guān)系，并加以證明 2、已知.SBC 中，AB =AC，BD為AB的延長線，且BD二AB，CE 為.:ABC 的AB邊上的中線. 求證 CD =2CE 3、以 AABC 的兩邊 AB、AC 為腰分別向外作等腰 Rt.ABD 和等腰 RtACE , BAD =. CAE = 90 連接DE , M、 N 分別是 BC、DE的中點(diǎn).探究： AM與DE的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系. 如圖 當(dāng) ABC 為直角三角形時(shí)，AM與DE的位置關(guān)系是 _ ;線段AM與DE的數(shù)量關(guān)系是 _ ; 將圖中的等腰 Rt ：ABD 繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)-(0:：: 90)后，如圖所示，問中得到的兩個(gè)結(jié)論是 否發(fā)生改變？并說明理由. E 圖 E 圖 GH 二 DH，點(diǎn) E,F 分別在 AB,BC 上，且 EF / DG。 (1) 若 AD =3,CG =2，